(Luận văn thạc sĩ) bài toán phân hoạch số nguyên dương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HUẾ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HUẾ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN DƯƠNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển 11 1.2.1 Công thức gần cho p(n) 11 1.2.2 Hàm sinh hàm phân hoạch 1.2.3 Đồng thức Rogers–Ramanujan 18 1.2.4 Tính chất đồng dư p(n) 1.2.5 Biểu diễn đồ thị phân hoạch chứng minh 13 22 Định lí số ngũ giác Euler 27 Một số lớp toán phân hoạch số nguyên khác toán liên quan 2.1 31 Phân hoạch thành phần phân biệt ánh xạ đối hợp Franklin 31 2.2 Phân hoạch thành phần lẻ song ánh Sylvester 34 2.3 Một số toán liên quan 35 2.3.1 Một số toán chứng minh 35 2.3.2 Bài toán chia kẹo Euler 39 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 ii Danh mục hình vẽ Hình 2.1: 33 Hình 2.2: 33 Hình 2.3: 35 Hình 2.4: 36 MỞ ĐẦU Bài toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số nguyên dương có lịch sử lâu đời Leibniz người nghiên cứu tốn này, sau Euler, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Andrews nhà tốn học có đóng góp quan trọng Bài tốn nói xuất nhiều vấn đề khác toán học đề tài nghiên cứu sôi tận ngày hôm (Các cơng trình Okounkov, Giải thưởng Fields 2006, có liên quan đến việc ứng dụng tốn xác suất, hình học đại số, học thống kê, ) Dưới hướng dẫn tận tình GS.TSKH Hà Huy Khoái, tác giả chọn đề tài:"Bài toán phân hoạch số nguyên dương" Luận văn có mục tiêu giới thiệu toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng, từ lịch sử phát triển kết kinh điển, đến số kết gần Luận văn trình bày số tốn liên quan đến tốn nói Với mục tiêu trên, tác giả tiến hành nghiên cứu hai chương: Chương Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển Chương Một số lớp toán phân hoạch số nguyên khác số toán liên quan 2.1 Phân hoạch thành phần phân biệt ánh xạ đối hợp Franklin 2.2 Phân hoạch thành phần lẻ song ánh Sylvester 2.3 Một số toán liên quan Luận văn hồn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình GS.TSKH Hà Huy Khoái, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc Giáo sư Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học - Đạị học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017 Tác giả Đinh Thị Thu Huế Chương Một số kết kinh điển tốn phân hoạch số ngun dương Mục đích chương trình bày lịch sử phát triển số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương Tài liệu tham khảo Chương [3], [4] 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương Phân hoạch lần xuất thư tay Leibnitz viết vào năm 1669 gửi cho John Bernoulli, ông hỏi Bernoulli liệu có kiểm tra nhanh số cách viết số nguyên dương cho thành tổng hai hay nhiều số nguyên? Từ lý thuyết phân hoạch hình thành nhánh quan trọng lý thuyết số Khái niệm phân hoạch số ngun khơng âm thuộc tốn học tổ hợp (xem [4]) Định nghĩa 1.1 (xem [4]) Một phép phân hoạch số nguyên dương n dãy không tăng hữu hạn số nguyên dương λ1 λ λr cho ri=1 λi = n, λi gọi phần số hạng phân hoạch Đôi phân hoạch (λ1 , λ2 , , λr ) kí hiệu λ ta viết λ ⊢ n | λ |= n Định nghĩa 1.2 (xem [4]) Hàm phân hoạch p(n) số phân hoạch n Khi xét phép phân hoạch n có số ý sau (xem [4]): Chú ý 1.1 Chúng ta thấy có phân hoạch, phân hoạch rỗng, khơng có phần tử Ta quy ước p(0) = Chú ý 1.2 Thường viết tắt phần lặp cách sử dụng lũy thừa Chú ý 1.3 Theo định nghĩa phân hoạch thứ tự không quan trọng 4+3 3+4 phân hoạch Một tập hợp có thứ tự gọi phép hợp thành Do đó, 4+3 3+4 hai phép hợp thành khác Ví dụ 1.1 Có năm phân hoạch số 4, 31, 22 , 212 , 14 Có bảy phân hoạch số 5, 41, 32, 312 , 22 1, 213 , 15 Leibnitz quan sát có phân hoạch (3, 21, 13 ), phân hoạch Sau ơng quan sát có phân hoạch 11 phân hoạch Điều gợi ý, số phân hoạch n số nguyên tố Tuy nhiên, điều khơng tính tốn 15 phân hoạch Như từ bước khởi đầu, toán phân hoạch dẫn đến câu hỏi mở mà đến tận ngày hôm chưa có lời giải: tồn vơ hạn hay hữu hạn n cho số phân hoạch n số nguyên tố? Bên cạnh câu hỏi p(n) như: cấp tăng nào? Tính chẵn lẻ nó? Liệu có tính chất số học đặc biệt nào? Có cách để tính p(n) hiệu khơng?(xem [3]) Từ thiết lập chủ đề khác lý thuyết phân hoạch phát triển xa nhiều nhà Toán học vĩ đại, bật số họ Euler, Gauss, Jacobi, Cayley, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Rademacher, Schur, Mac Mahon, Gupta, Gordon, Andrews, Stanley Công việc nghiên cứu Ramanujan Hardy thực cách mạng hóa việc nghiên cứu thuyết phân hoạch Bởi ứng dụng vĩ đại lĩnh vực khác xác suất thống kê, vật lý học lý thuyết phân hoạch trở thành lĩnh vực nghiên cứu sơi lý thuyết số Có thể thấy p(n) tăng nhanh theo n Thậm chí, người tập trung làm việc cách hồn hảo phải 126000 năm để viết tất 3972999029388 phân hoạch 200 Ramanujan tự hỏi câu hỏi bản: Chúng ta tìm p(n) mà khơng cần viết tất phân hoạch n không?” Câu hỏi Hardy Ramanujan trả lời vào năm 1918 Họ đưa công thức gần cho p(n) Tuy tiên D.H.Lehmer nhận thấy chuỗi Hardy – Ramanujan phân kỳ Năm 1937, H Rademacher thay điều kiện để nhận p(n) chuỗi hội tụ Hardy – Ramanujan – Rademacher lập công thức mở rộng cho p(n) tiếng, kết đáng ghi nhận tốn học Nó cho thấy tương tác hàm số học p(n) số kỹ thuật tính tốn Nó khơng cơng thức lý thuyết cho p(n) mà cịn cơng thức cho phép tính tương đối nhanh (xem [4]– Tr 6) Một số giá trị p(n) n : 20 50 100 200 p(n) : 11 30 627 204226 190569292 3972999029388 Nhiều cần quan tâm đến tốn khơng thiết phải xét đến tất phân hoạch n mà phân hoạch đặc biệt n Ví dụ 1.2 Trong số 22 phân hoạch số 8, có sáu phân hoạch chứa phần số lẻ 71, 53, 513 , 32 12 , 315 , 18 có phân hoạch phần tử phân biệt 8, 71, 62, 53, 521, 431 Về vấn đề Euler bắt đầu nghiên cứu vào năm 1674 Ph.Naudé hỏi Euler phân hoạch số nguyên dương n thành m phần định Đặc biệt, Naudé hỏi ơng có phân hoạch 50 thành phần riêng biệt Câu trả lời 522, điều khó có khả thu cách viết tất phân hoạch 50 thành phần Để giải vấn đề Euler khám phá giới thiệu hàm sinh hàm phân hoạch, đồng thức, định lí số ngũ giác, đổi quan trọng toàn nghiên cứu phân hoạch Hầu hết phát phân hoạch nhờ vào bắt đầu Euler (xem [3]) Từ cuối kỉ XVIII nửa đầu kỉ XIX không xuất nhiều bước tiến đáng ghi nhận nghiên cứu phân hoạch Tất nhiên điều tương tự không xảy với tốn học nói chung Đã có xuất nghiên cứu lý thuyết biến phức lý thuyết hàm eliptic chúng mang lại ảnh hưởng sâu sắc tới nghiên cứu phân hoạch Legendre, Gausse, Cauchy nhà toán học vĩ đại khác tìm lời giải thích cho cơng trình Euler Trong kỷ từ năm 1750 – 1850, trọng tâm việc nghiên cứu đưa công thức tường minh cho pm (n), số phân hoạch n thành phần không lớn m P Paoli, A Dc Morgan, F.W Herschsl, T Kirkmar H Warburton, Cayley, Sylvester nghiên cứu pm (n) với giá trị nhỏ xác định m họ đưa số công thức định Tuy nhiên, Sylvester nhà toán học đưa nhìn thực cho vấn đề này(xem [3]– Tr 5) Sau xem xét vài cách mà phân hoạch thực đưa dạng hình học, ơng khẳng định phân hoạch + + + + biểu diễn thuận tiện nhiều dạng: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Sylvester gọi cách biểu diễn biểu đồ Ferrers phân hoạch, đặt tên theo nhà toán học N.M Ferrers Ơng ý ta đếm số nút cột thay hàng Lấy ví dụ biểu đồ cho ta phân hoạch + + + + Hai phân hoạch từ biểu đồ gọi liên hợp Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Phân hoạch n tự liên hợp liên hợp trùng với ... Chương Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển Chương Một số lớp toán phân hoạch số nguyên khác số toán. .. Có bảy phân hoạch số 5, 41, 32, 312 , 22 1, 213 , 15 Leibnitz quan sát có phân hoạch (3, 21, 13 ), phân hoạch Sau ông quan sát có phân hoạch 11 phân hoạch Điều gợi ý, số phân hoạch n số nguyên. .. GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển