(Luận văn thạc sĩ) bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vilavong Vanthong BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vilavong Vanthong BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số:60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU CÁC KÝ HIỆU Chương I BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán Cauchy, bổ đề bất đẳng thức vi phân tích phân 1.1.1 Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1.2 Bổ đề bất đẳng thức tích phân vi phân 1.2 Định lý tồn nghiệm 11 1.3 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính tuần 15 1.4 Phương pháp biến thiên số, công thức Cauchy 24 1.5 Đinh lý tính xấp xỉ tốn ( 1.1 ), ( 1.2 ) 26 Chương II.BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 32 2.1 Định lý tồn nghiệm cho toán biên tổng quát 32 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát 46 Chương III BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 51 3.1 Định lý tồn nghiệm 51 3.2 Tập hợp U ( t1 , t ,…, t n ) , bổ đề đánh giá tiệm cận 54 3.3 Các định lý tồn nghiệm toán biên (3.1), (3.3) (3.1), (3.4) 58 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi kính gửi đến Thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn lời cảm ơn chân thành tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian làm luận văn tốt nghiệp hỗ trợ nhiều suốt thời gian thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tình thân đến người thân gia đình bạn bè đồng nghiệp, người động viên,luôn tạo điều kiện tốt tinh thần vật chất, giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Một lần nữa, xin gửi đến tất người lòng biết ơn chân thành sâu sắc TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2015 Học viên Cao học khóa 24 Vilavong Vanthong LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên cho hệ phương trình vi phân thường xây dựng vào năm cuối kỉ 20, gắn liền với tên tuổi nhà toán học cổ điển Cauchy, Bernoulli, D’Alembert,… Trong năm gần đây, với phát triển phương pháp đánh giá tiên nghiệm, cho phép thiết lập dấu hiệu giải xấp xỉ nghiệm toán biên với điều kiện biên khác như: điều kiện dạng tuần hoàn, điều kiện biên nhiều điểm, điều kiện biên dạng tích phân,… Mục đích luận văn xem xét tồn tại, tính xấp xỉ nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Tơi chọn đề tài: “Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường” để thực nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Ý nghĩa luận văn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu “ Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ” Nội dung luận văn Chương I: Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm toán Chương II: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho toán Chương III: Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Mục đích chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, từ điều kiện đủ này, xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Tuy nhiên, luận văn chưa thể xem xét tính xấp xỉ nghiệm tốn thời gian cịn hạn chế CÁC KÝ HIỆU • R = (−∞, +∞); R + = x+ x • x ∈ R, [ x= ]+ [0, +∞ ) ; R − = ( −∞,0] , [ x= ]− x− x • δik – Kronecker tức là: 1 i = k δik =  0 i ≠ k • x = ( x i )i =1 vectơ cột n-chiều n { } R n = x =( x i )i =1 x i ∈ R,i =1, n n x = ( xi ) n i =1 Trên R n ta trang bị chuẩn = x n x , x ∑= i =1 i max x i i =1, ,n • Ký hiệu X = ( x ik )m×n – ma trận cấp m × n { } Đặt R m×n = X = ( x ik )m×n x ik ∈ R,i =1, m, k =1, n Trên R m×n ta có chuẩn sau tương đương Nếu= X m n x = ∑∑ x ik x = max x ik =i = k X = • Cho k =1,n , Y ( yik )m×n ∈ R m×n Ta nói: ( x ik )= m× n X ≤ Y ⇔ x ik ≤ yik ,i = 1, n, = k 1, m • X = i =1,m x ik )m×n , X ( x ik )m×n (= • Cho I ⊂ R Ta gọi ánh xạ ( x ik ) ∈ R m×n X : I → R m× n t  X ( t ) = ( x ik ( t ) )m×n ma trận hàm cấp m × n • Ma trận hàm X ( t ) = ( x ik ( t ) )m×n gọi liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, khả = x ik ( t ) ,i 1,= 2, , m k 1, 2, , n có tích, khả vi I tất hàm tính chất I • Cho ma trận hàm X ( t ) = ( x ik ( t ) )m×n t) Đặt X′ (= ( x′ ( t )) dX = dt ki m× n   τ = τ τ τ X d x d ( ) ( )   ik I I mì n ã C ( I, R m×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n liên tục bị chặn I với chuẩn { } = X C sup X ( t ) : t ∈ I • Nếu I = [ a, b ] , C ([ a, b ] , R m×n ) khơng gian ma trận hàm X ( t ) = ( x ik ( t ) ) liên tục [ a, b ] với chuẩn { } = X C max X ( t ) : t ∈ [ a, b ] { } = X C max x ik (= t ) C ,i 1,= m, k 1, n  ([ a, b ] , R m×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n X:[ a, b ] R mìn ã C liờn tục tuyệt đối [ a, b ] với chuẩn= X C b X ( a ) + ∫ X′ ( t ) dt a  ( I, R m×n ) tập ma trận hàm cấp m × n liên tục tuyệt đối tập • C loc compắc I • Lα ( I, R m×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n khả tích bậc α I với chuẩn X Lα   α α =  ∫ X ( t ) dt  với1 ≤ α < +∞ I  • Lαloc ( I, R m×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n khả tích bậc α tập compắc I • E – ma trận đơn vị • θ – ma trận khơng Chương I BÀI TỐN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 Bài tốn Cauchy, bổ đề bất đẳng thức vi phân tích phân 1.1.1 Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Giả sử I ⊂ R khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vô hạn) P ∈ Lloc ( I, R n×n ) ,q ∈ Lloc ( I, R n ) Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính: dx = P ( t ) x + q ( t ) (1.1) dt Véctơ hàm x : I → R n gọi nghiệm hệ (1.1) hầu khắp nơi I có: dx ( t ) = P ( t ) x ( t ) + q ( t ) , x ∈ C loc ( I, R n ) dt với t ∈ I,C0 ∈ R n cố định Bài tốn tìm nghiệm x(t) hệ (1.1) thỏa điều kiện đầu: x ( t ) = C0 (1.2) gọi tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Với n = hiển nhiên ta có kết sau: Mệnh đề 1.1 Nếu q ∈ Lloc ( I, R ) phương trình vi phân dx ( t ) = q ( t ) có dt nghiệm thỏa điều kiện đầu (1.2) nghiệm có dạng : t x ( t= ) C0 + ∫q ( s ) ds t0 Mệnh đề 1.2 Giả sử P,q ∈ Lloc ( I,R ) ,C0 ∈ R Khi tốn Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm dạng: 47 t t ∫ q k (s) ds ∫ q(s) ds I a a b    sup Pk (s) ds , k = 1, 2,  < + ∞ (2.32)  a  ∫ lim  k (y) = (y) Và k → +∞ ∀y ∈ C(I, R n ) lim C0 k = C0 (2.33) k → +∞ Khi tồn số tự nhiên k cho ∀k ≥ k toán (2.1 k ), (2.2 k ) có nghiệm x k lim k → +∞ x k − x C = (2.34) Định lý 2.4 Nếu toán (2.1), (2.2) có nghiệm xấp xỉ Trước chứng minh định lý 2.4 ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử u k ∈ C(I, R) , v k ∈ L(I, R) , (k = 0, 1, 2, , n, ) t ∫ vk (s) ds a t ∫ v0 (s) ds I (2.35) a b  = ζ sup  ∫ v= 0, 1, 2,  < + ∞ k (s) ds , k a  (2.36) Và lim k → +∞ u k − u0 C = (2.37) Khi t ∫ vk (s) uk (s) ds a t ∫ v0 (s) u0 (s) ds I a (2.38) 48 Chứng minh: Với ε> tồn đa thức u∈ C(I, R) cho 2ζ u(t ) − u (t ) C < ∞ (2.39) Đặt t z k (t) = ∫ [ vk (s) uk (s) − v0 (s) u0 (s) ] ds a t = z 0k (t) ∫[ v k (s) − v (s) ] u(s) ds a Do (2.35) nên lim k → +∞ z k C = (2.40) Mặt khác theo (2.36), (2.39) ta có z k C ≤ ζ u k − u0 C + z 0k C + ε ( k = 1, 2, ) Do ε bé tùy ý (2.37), (2.40) ta có lim k → +∞ zk C = Vậy (2.38) Chứng minh định lý 2.4: Gọi Y – ma trận (2.1 ), (2.2 ) thỏa Y(a) = E Do tốn (2.1), (2.2) có nghiệm nên theo (2.7) ta có det (Y) ≠ Giả sử Pk ∈ L(I, R n × n ) , q k ∈ L(I, R n ) , C0 k ∈ R n ,  k : C(I, R n ) → R n dãy tốn tử tuyến tính liên tục thỏa điều kiện (2.31) → (2.33) Với số tự nhiên k, gọi Y k – ma trận hệ dx = Pk (t) x(t) dt thỏa điều kiện biên Yk (a) = E 49 Khi theo định lý 1.10 ta có lim k → +∞ Yk − Y C = (2.41) Từ (2.33) theo định lý không gian Banach – Steinhass tồn số ζ > cho  k (y) ≤ ζ y C ∀y ∈ C(I, R n ) , ( k = 1, 2, ) Khi  k (Yk ) − (Y) =  k (Yk − Y) +  k (Y) − (Y) ≤ ζ Yk − Y +  k (Y) − (Y) Từ theo (2.33) (2.41) ta có lim (Yk ) = (Y) (2.42) k → +∞ Do det (Y) ≠ nên tồn k ∈ N cho ∀k ∈ N , k ≥ k det  k (Yk ) ≠ Từ suy tốn (2.1 k ), (2.2 k ) có nghiệm x k Hơn x k có dạng x k (t ) = x k (t) + Yk (t ) h k (q k ) + (A k (q k ))(t ) (2.43) Trong x k (t ) nghiệm (2.1 k ), (2.2 k ) x k (t ) = Yk (t ) [ k (Yk )]−1 C k t (A k (q k ))(t ) = Yk (t ) ∫ Y −1k (s) q k (s) ds a t = Yk (t ) ∫ a s   q k ( τ ) dτ    a   Y −1k (s) d ∫ t   s s t  ′   −1   −1 = Yk (t ) Y k (s) q k ( τ) dτ − Y k (s)  q k ( τ) dτ  ds      a a  a a   ∫ ∫( ) ∫ 50 t t ∫ ∫ t t = q k (s) ds + Yk (t ) a = ∫ a a s   q k ( τ) dτ  ds   a   Y −1k (s) Yk′ (s) Y −1k (s)  s    −1 q k (s) ds + Yk (t ) Y k (s) Pk (s)  q k ( τ) dτ  ds ∫ ∫  a a h k (q k ) = − [ k (Yk )]−1 (A k (q k )) x k (t ) = Yk (t) [ k (Yk )]−1 C k Theo bổ đề 2.1 từ điều kiện (2.31), (2.32) ta có lim k → +∞ A k (q k ) − A(q ) C = Với t s  (A(q))(t ) = q(s) ds + Y(t ) Y (s) P(s)  q(τ) dτ  ds   a a a  t ∫ ∫ −1 ∫ t ∫ = Y(t ) Y −1(s) q(s) ds a Ngồi theo (2.33), (2.41), (2.42) ta có lim h k (q k ) = h(q) k → +∞ Với h(q) = − [(Y)]−1 (A(q)) Và lim k → +∞ ∫ x0k − x0 C = Với x (t ) = Y(t) [(Y )]−1 C0 Từ (2.43) cho k → + ∞ ta có x(t ) = x (t) + Y(t ) h(q) + (A(q))(t ) nghiệm (2.1), (2.2) Định lý chứng minh.   51 Chương III.BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 3.1 Định lý tồn nghiệm Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính tốn tìm nghiệm hệ phương trình vi phân dx = P (t)x + q (t) dt (3.1) Thỏa điều kiện biên γ ∑A  x ( t ) = c j j   (3.2) j =1 Khi xét toán (3.1), (3.2) ta giả thiếtI = [ a,b ] P = ( p ik )i,k =1  ∈  L (  I, R n×n  ) n q ∈ L ( I, R n ) , t j ∈ I, A j ∈ R n×n ( j= 1,…γ ) C0 ∈ R n Trường hợp đặc biệt điều kiện biên (3.2) điều kiện biên dạng CauchyNicoletin x i ( t i )= Coi ( i= 1.… n ) (3.3) Ngồi ta cịn xét tốn (3.1) điều kiện biên xi ( ti ) = li ( x1 , x ,…, x n ) + Coi 1.… n ) ( i= Với li : C ( R n ) → R (i=1…n) tốn tử tuyến tính bị chặn Cùng với toán (3.1), (3.2) ta xét tốn dx = P ( t ) x dt γ ∑A j=1 j x (t j ) = Từ định lý 2.1 ta có định lý sau (3.1 ) (3.2 ) (3.4) 52 Định lý 3.1 Bài tốn (3.1), (3.2) có nghiệm toán tương ứng (3.1 ), (3.2 ) có nghiệm tầm thường γ ⇔ det ∑A j Y ( t j ) ≠ (3.5) j=1 Với Y ma trận hệ (3.1 ) Nếu (3.5) thực nghiệm hệ (3.1), (3.2) có dạng b x ( t ) x o ( t ) + ∫G ( t, τ ) q ( τ ) dτ = (3.6) a Trong x o ( t ) nghiệm toán (3.1 ), (3.2) G hàm Green toán (3.1 ), (3.2 ) Hệ 3.1 Cho t ∈ I hầu khắp nơi I ta có t  t  P ( t )  ∫P ( s ) ds  =  ∫P ( s ) ds  P ( t ) t  t      Khi điều kiện cần đủ để tốn (3.1), (3.2) có nghiệm  det    tj  A j exp  ∫P ( s ) ds   ≠ ∑ t  j=1 0  γ Đặt  1 χ a,t  ( t ) =   j 0 t ∈ a, t j  t ∉ a, t j  Khi ta có b  γ   γ  = A j x ( t j )  ∑A j  x ( a ) + ∫  ∑χ a,t  A j  x ′ ( t ) dt ∑  j =j = a j  j1 =   γ Từ định lý 2.2 ta nhận kết sau: (3.7) 53 Định lý 3.2 Điều kiện cần đủđể tốn (3.1), (3.2) có nghiệm tồn số tựnhiên k , m cho ma trận k −1 b   = M k ∑A j  E + ∑ ∫χ a,t  ( s )  P ( s )  i ds   j =j = i a   γ qui r ( M k,m ) < Với m −1 b   b −1 γ = M k,m ∫  P ( s )  ds +  E + ∑ ∫  P ( s )  i ds  ∫ M k ∑χ a,t  ( s ) A j  P ( s )  ds k m  j j i 1= a = a  a b Hệ 3.2 Giả sử  γ   b  det  ∑A j  ≠ r  A ∫ P ( s ) ds  < với  a   j=1  −1  γ  n A 0= E +  ∑A j  ∑ A j =  j 1=  j1 Khi đó, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Xét hệ dx = εp ( t ) x + q ( t ) dt Từ định lý 3.2 hệ 3.1 ta có Hệ 3.3  γ  Nếu det  ∑A j  ≠ hay  j=1  (3.8) 54  γ b  A j θ det  ∑ ∫ a,t  ( t ) A j P ( t ) dt  ≠ ∑ j =j = j1 a    γ tồn số εo > cho với ε ∈ [ 0, ε0 ] , tốn (3.8), (3.2) có nghiệm 3.2 Tập hợp U ( t1 , t ,…, t n ) , bổ đề đánh giá tiệm cận Cho lo : C ( I, R n+ ) → R n tốn tử tùy ý (nói chung khơng tốn tử tuyến tính) Tốn tử lo gọi dương ∀ λ ∈ R + , ∀x ∈ C ( I, R +n ) ta có l0 ( λx ) = λ l0 ( x ) Tốn tử lo gọi khơng giảm ∀x, y ∈ C(I, R n+ ) x ( t ) ≤ y ( t ) lo ( x ) ≤ lo ( y ) Định nghĩa 3.1 Cho H = (h ik )ikn =1 ∈ L ( I, R n×n = lo ( loi )i =1 n ) toán tử : C ( I, R n+ ) → R n+ Ta nói cặp ( H,lo ) thuộc vào tập hợp U ( t1 ,t ,…, t n ) i) Ma trận hàm H tựa không âm, tức hầu khắp nơi I ta có h ik ( t ) ≥ ( i ≠ k, ) i, k = 1, n ii) lo tốn tử liên tục dương khơng giảm iii) Hệ bất phương trình vi phân n x ′i ( t ) sign ( t − t i ) ≤ ∑h ik ( t ) x k ( t ) ( i =1,…, n ) (3.9) k =1 khơng có nghiệm khơng âm khác tầm thường thỏa điều kiện biên x i ( t i ) ≤ loi ( x1 , x ,…, x n ) (3.10) ∀ t ∈I 55 Bổ đề 3.1(Wirtig) Cho u : [ a, b ] → R hàm liên tục tuyệt đối, u ′ ( t ) ∈ L2 ( a, b ) u ( t ) = với t ∈ [ a, b ] Khi b ∫u ( t ) dt ≤ ( b-a ) π2 a b ∫u′ ( t ) dt (3.11) a Xem chứng minh tài liệu [1] Bổ đề 3.2 Giả sử: = H ( h ik )i,k =1 n ∈ Lα ( I, R n+×n  n = lo ( x1 , x ,…, x n )  ∑loik x k  k =1 ) n Lβ   i =1 ( loik ∈ R+ ) r ( M ) < (3.12) Trong ≤ α ≤ +∞, + =1 α β  β − b a   ) ( β  M= ( b − a ) loik +   h ik  π    n Lα    i =1 Khi ( H,lo ) ∈ U ( t1 , t ,…, t n ) (3.13) Chứng minh: Giả sử x = ( x i )i =1 nghiệm không âm tùy ý (3.9), (3.10) Khi n tích phân (3.9) với điều kiện (3.10) ta có n x ( t ) ≤ ∑l n t x + ∑ ∫h ik ( s ) x ( s ) ds i oik β k 1= k ti = ∀t ∈ I , ( i =1, 2, , n ) 56 Theo bất đẳng thức Minkovky-Holder (trong trường hợp α > ) ta có β b t  β  ≤ ( b − a ) ∑ x k Lβ + ∑ ∫ ∫h ik ( s ) x k ( s ) ds dt   = k 1= k  a ti   n xi Lβ ≤ (b − a) n β n ∑l n + ∑ h ik x oik k Lβ k 1= k = Lα b   ∫a  t ∫ x (s ) k ti β  ds dt    2 β β ( i =1, 2, , n ) ∀t ∈ I Mặt khác theo bổ đề 3.1 ta có b   ∫a  t ∫ x (s ) k ti β  ds dt    2 β  2(b − a)  ≤   π   β xk Lβ Từ ta có ( xi β ) n ≤ M ( xi β ) n L L = i 1= i Với α = bất đẳng thức hiển nhiên Theo (3.12) ta có ( r ( M ) < 1nên x= 0= i 1, n i Lβ Vì ) ( ) hay x i ( t ) ≡ i = 1, n ( H,lo ) ∈ U ( t1 , t ,…, t n )  Bổ đề 3.3 Giả sử H = ( h ik )i,k =1 n ∈ R n×n ma trận tựa khơng âm giá trị riêng có phần thực âm l o ( x1 , x , …, x n ) = ( x i ( si ) )i =1 n với si ∈ I, si ≠ t i Khi ( H,lo ) ∈ U ( t1 , t ,…, t n ) Chứng minh: Theo định lý 1.13 1.18 [2] ta có h ii < ( 1, 2,…, n ) ma trận 57  h =  (1 − δik ) ik M h ii  n   i,k =1 thỏa điều kiện (3.12), r ( M ) < Giả sử x = ( x i )i =1 nghiệm tùy ý khơng âm tốn (3.9), (3.10) với n h ik ( t ) =h ik =const, loi ( x1 , x ,…, x s ) =x i ( si ) ( i, k =1, 2,…, n ) Khi đó, H ma trận tựa không âm theo bổ đề 1.1 ta có n t k =1 ti x i ( t ) ≤ γ i ( t ) x i ( t i ) + ∑ (1 − δik ) h ik × ∫ exp( h ii t − s ) x k ( s ) ds ( =i ∀t ∈ I 1, 2,…, n ) Do h ii < nên ta có t ∫ exp( h ti t ii t − s ) x k ( s ) ds ≤ ∫ exp( h ii t − s ) ds x k c ti =( − γ i ( t ) ) x k h ii C Vì ta có n x i ( t ) ≤ γ i x i ( si ) + (1 − γ i ( t ) ) × ∑ (1 − δik ) k =1 h ik x k c , ∀t ∈ I, h ii ( =i 1, 2,…, n ) (3.14) Thay t = si lưu ý t i ≠ si nên γ i ( si ) < nên ta có n x i ( si ) ≤ ∑ (1 − δik ) k =1 Thế bất đẳng thức (3.14) ta có ( h ik xk h ii xi ) m c ≤M ( xi ) n C i 1= C i = ( Do r ( M ) < nên x= 0= i 1, n i C Bổ đề chứng minh. ) 58 3.3 Các định lý tồn nghiệm toán biên (3.1), (3.3) (3.1), (3.4) Định lý 3.3 Cho H = ( h ik ( t ) )i.k =1 , l0 = ( loi )i =1 n n ( H,l0 ) ∈ U ( t1 , t ,…, t n ) Giả sử hầu khắp nơi I ta có pii ( t ) sign ( t − t i ) ≤ h ii ( t ) ( i ≠ k, pik ( t ) ≤ h ik ( t ) li ( x1 , x ,…, x n ) ≤ loi ( x1 , x ,…, x n = i 1, n = ∀x ( x i )i =1 n ) i, k = 1, n ) (3.15) (3.16) ∈ C ( I, R n ) Khi tốn (3.1), (3.4) có nghiệm Chứng minh: Theo định lý 2.1 tốn (3.1), (3.4) có nghiệm toán (3.1 ) với điều kiện biên x i ( t i ) = li ( x1 , x 2,…, x n ) (3.4 ) có nghiệm tầm thường Giả sử: x = ( x i )i =1 nghiệm tùy ý ( 3.10 ) ( 3.40 ) n Đặt = x i ( t ) x= i 1, n i (t) Khi (3.15), (3.16) ta có x i ( t ) sign = ( t − t i )  pii ( t ) sign ( t − t i )  x ( t ) n + ∑ (1 − δik ) pik ( t ) x k ( t ) sign ( t − t i ) ( x ( t ) ) k =1 n ≤ ∑h ik ( t ) x k ( t ) k =1 x i ( t i ) ≤ loi ( x1 , x ,…, x n ) 1, n ) ( i= 59 Vậy ( x ( t )) i n i =1 nghiệm không âm (3.9), (3.10) Do ( H, lo ) ∈ U ( t1 , t 2,…, t n ) nên x i ( t ) ≡ ( i ≡ 1, n ) hay x ( t ) ≡ ( i ≡ 1, n ) i Định lý chứng minh. Từ bổ đề 3.2 định lý 3.3 ta có kết sau: Định lý 3.4 Giả sử hầu khắp nơi I bất đẳng thức (3.15) thực với = x ( x i )i =1 n ∈ C ( I, R n ) ta có 1, n ) ( i= n lo ( x1 , x ,…, x n ) ≤ ∑loik x k k =1 Lβ Trong h ik ∈ Lα ( I, R + ) , ≤ α ≤ +∞ , + =1 α β ma trận  β b a −   ( ) β  M =− h ik ( b a ) loik +    π    n La   thỏa r ( M ) <  i,k =1 Khi tốn (3.1), (3.4) có nghiệm Khi chọn loik = ta có hệ sau: Hệ 3.4 Giả sử hầu khắp nơi I (3.15) thực với h ik ∈ Lα ( I, R + ) , ≤ α ≤ +∞ Thêm vào ma trận H = ( h ik với Lα   n π r H < thỏa ( ) )i,k =1   o  2(b − a)  β + = Khi tốn (3.1), (3.3) có nghiệm α β 60 KẾT LUẬN Mục tiêu luận văn xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn gồm chương: Chương I: Nội dung chương chủ yếu xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm toán Định lý 1.1 khẳng định toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm nghiệm cho cơng thức Cauchy (1.50) trình bày định lý 1.8.Định lý 1.9 đưa điều kiện để toán (1.1), (1.2) xấp xỉ Chương II: Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho tốn này.Sự tồn nghiệm toán (2.1), (2.2) nói định lý 2.1.Định lý 2.4 đưa điều kiện để toán (2.1), (2.2) xấp xỉ Chương III: Mục đích chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 3.1, định lý 3.2 đưa điều kiện để tốn (3.1), (3.2) có nghiệm nhất.Sự tồn nghiệm toán (3.1), (3.3) tốn (3.1), (3.4) nói định lý 3.3, định lý 3.4 hệ 3.4 Vì hiểu biết thân cịn hạn hẹp nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý quý Thầy Hội đồng để luận văn hoàn thiện 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] I Kiguradze, Some singular boundary value problems for ordinary differential equations (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi 1975 [2] I Kiguradze, Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (Russian) Current problems in mathematics.Newest results, vol 3c, 3103, VINI’TI, Moscow 1987 [3] I.Kiguradze, On the correctness of Cauchy problem for the linear differential system on an infinite interval Georgian Math J.3 (1996) 475-484 [4] I Kiguradze, B Puza, on boundary value problems for systems of linear functional differential equations Czechoslovak Math J 47 (1997), No 2.341373 [5] I Kiguradze, B.Puza, boundary value problems for systems of linearfunctional differential equations Masaryk university.Brno, Czech Republic, 2003 ... tích phân, … Mục đích luận văn xem xét tồn tại, tính xấp xỉ nghiệm tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Tơi chọn đề tài: ? ?Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường? ??... cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, từ điều kiện đủ này, xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình. .. đủ cho vi? ??c tồn nghiệm tốn biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 3 Hơn nữa, cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho tốn Chương III: Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân