De thi thu Toan THPT Nguyen Xuan Nguyen

IV Từ giả thiết hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD nên 1 đ giao tuyến SO vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Đường cao của hình chóp Thể tích khối chóp S.ABCD:.[r]

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH -CĐ NĂM HỌC 2011 -2012 Môn: TOÁN, khối A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x −2(m −1)x 2+m− (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m=2 Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1; ¿ ¿ Câu II (2 điểm) Giải phương trình: cos x+5=2(2 −cos x )(sin x − cos x) ¿ x −3 x ( y −1)+ y 2+ y (x −3)=4 (x , y ∈ R) Giải hệ phương trình: x − xy −2 y=1 ¿{ ¿ Câu III (2 điểm) e x+( x − 2) ln x dx Tính tích phân: I = ∫ x (1+ln x) Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: 1 1 1  b  c  c  a + + + + 1+ a+b 2+ a 2+ b 2+ c Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt ¿ 3a , phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AC BD ¿ a O SAB a , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu V.a (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C là x+ y − 1=0 và x − y − 9=0 Tìm tọa độ các đỉnh B , C tam giác ABC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình 2 x + y +2 x − y −8=0 và đường thẳng ( Δ ) có phương trình : x −3 y −1=0 Chứng minh ( Δ ) luôn cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn ( C ) cho diện tích tam giác ABM lớn x+1 x−1 Giải phương trình: (3 x −2)log =4 − 3 B Theo chương trình Nâng cao Câu V.b (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d , d có phương trình là x+ y +2=0 và x − y + 4=0 Gọi A là giao điểm d và d Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d và d B , 1 + đạt giá trị nhỏ C ( B và C khác A ) cho AB AC 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): x + y −2 x+ y +2=0 Viết phương trình đường tròn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) hai điểm A , B cho AB=√ Tính giá trị biểu thức A = 1 2 3 2011 2011 C 2011 C 2011 C 2011 C 2011 C2011 − + − +¿ 2012 - Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A, B KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH - CĐ NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu I (2đ) Đáp án (1 điểm) Với m = 2, y=x −2 x TXĐ: D = R Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 3 y '=4 x − x ; y '=0 ⇔ x − x=0 ⇔ x=0 , x=± Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ; -1) và (0; 1) b) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0; ycđ = y(0) = Hàm số đạt cực tiểu x = ± 1; yct = y( ± 1) = -1 -c) Giới hạn vô cực: Lim (x −2 x 2)=¿ + ∞ x → ±∞ d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên Điểm 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 3) Đồ thị: 0,25 đ 2) điểm y' = x − 4( m−1)x y' = ⇔ x − 4( m−1)x = ⇔ x [ x −(m−1) ]=0 -TH1: Nếu m- ⇔ m Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞ ) Vậy m thoả mãn ycbt TH 2: m - > ⇔ m> y' = ⇔ x = 0, x = ± √m −1 0,25 đ 0,25 đ Hàm số đồng biến trên các khoảng (- √ m−1 ; ) và ( √ m−1 ; + ∞ ) ⇔ m Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) thì √ m−1 ≤ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) ⇔ m ¿ 0,25 đ 0,25 đ II (2 đ) (1 ểm) cos x+5=2(2 −cos x )(sin x − cos x) ⇔ 2cos2x - + = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0 -⇔ 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = Đặt t = sinx - cosx ( - √ 2≤ t ≤ √2 ) −t ⇒ sinxcosx = Phương trình trở thành t2 + 4t - = t = 1; t = -5 (loại) π π Với t = ⇔ sinx - cosx = ⇔ √ sin x − = ⇔ sin x − = √2 -π π x − = +k π π x= +k π 4 ¿ ¿ π 3π x− = +k π x=π + k π ⇔ ⇔ 4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (1 điểm) x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = ⇔ (x-y)2 + 3(x-y) - = x − y =1 ¿ x − y=− ¿ ¿ ¿ ¿ -¿ x − y=1 * Với x- y = 1, ta có x − xy − y=1 ¿{ ¿ ⇔ x = 1; y = và x= -1; y = -2 ¿ x − y =− * Với x - y = -4 ta có x − xy − y=1 (Hệ PT vô nghiệm) ¿{ ¿ ( ) ( ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2) III (1 điểm) e e e (2 đ) x (1+ ln x) −2 ln x ln x dx=∫ dx -2 ∫ dx I= ∫ x (1+ ln x ) 1 x (1+ ln x) - 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Ta có e ∫ dx=e −1 0,25 đ e ln x dx Tính J = ∫ x (1+ ln x) Đặt t = + lnx 1− t t −1 (¿) dt dt = J= ∫ = (t - ln |t| ) ¿21 = - ln2 t ∫¿ 0,25 đ 0,25 đ Vậy I = e - - 2(1- ln2) = e - + 2ln2 (1 điểm) Do vai trò a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết < a b c Khi đó < + a + b 1+a+c 1+b+c và < + a 2+b 2+c Ta có 1 1 1 + + + + = 2+ a 2+ b 2+ c 1+ a+b 1+ b+c 1+c + a b−1 c −1 a −1 = + + (2+a)(1+a+ b) (2+b)(1+b+ c) (2+c )(1+ a+c ) ( ) b −1 c −1 a −1 + + = (2+c )(1+ b+c ) (2+c )(1+b+c ) (2+c )(1+ b+c ) a+b+c −3 (2+c )(1+ b+c ) 3 √ abc −3 =0 (2+c )(1+ b+c ) Vậy 1 1+ a+b +  b  c +  c  a 2+ a + 2+ b + 2+ c IV Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên (1 đ) giao tuyến SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) VSABCD = SO.SABCD Diện tích đáy S ABCD = AC BD=2 √ a 0,25 đ Ta có tam giác ABO vuông O và AO = a ; BO = a , đó ABD=60 ⇒ tam giác ABD Do tam giác ABD nên với H là trung điểm AB, K là trung điểm HB ta có a OK  DH  2  OK  AB  AB  DH  AB và DH = a ; OK // DH và (SOK) Gọi I là hình chiếu O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 a    SO  2 OK SO Tam giác SOK vuông O, OI là đường cao  OI a SO  Đường cao hình chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: 0,5 đ 3a VS ABC D  S ABC D SO  3 I D 0,25 đ a O H a K C B Va (1 điểm) (3 đ) Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M lµ trung ®iÓm cña BC ⇒ M(m; 1-m) Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c) 0,25 đ -2 m− c +3 − m−3 c Gọi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta có I( ; ) 2 0,25 đ Vì I nằm trên đường thẳng 3x - y - = nªn 3( m− c+3 −2 m− c )−( )− 9=0 2 ⇒ m = ⇒ M(2; -1) Ph¬ng tr×nh BC: x – y - 3=0 -¿ ¿ x − y − 9=0 x =3 Tọa độ C là nghiệm hệ: x − y − 3=0 ⇔ y=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Tọa độ C = (3; 0), toạ độ B(1; -2) (1 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √ 13 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( Δ ) là d (I , Δ)= <R √ 13 Vậy đường thẳng ( Δ ) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có S Δ ABM= AB d (M , Δ) Trong đó AB không đổi nên S Δ ABM lớn d (M , Δ) lớn -Gọi d là đường thẳng qua tâm I và vuông góc với ( Δ ) PT đường thẳng d là 3x + 2y - = Gọi P, Q là giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q là nghiệm hệ phương trình: x=1 , y=−1 ¿ ¿ x 2+ y +2 x − y −8=0 x=−3 , y=5 ⇔ x+ y −1=0 ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ⇒ P(1; -1); Q(-3; 5) 22 Ta có d (P , Δ)= ; d (Q , Δ)= √ 13 √ 13 Ta thấy d (M , Δ) lớn và M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5) (1 điểm) Điều kiện: x > x+1 x+1 x x−1 ⇔ (3 −2) [ log ( x − 1) − log 3 ]=4 − (3 x −2)log =4 − 3 -⇔ (3 x −2) [ log (x − 1) −1 ] =4 − x ⇔ (3 x −2)log (x − 1)+3 x − 2=0 ⇔ (3 x −2) [ log (x − 1)+1 ]=0 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ A -x=log(loại) x 32 −2=0 ¿ ¿ log ( x −1)=−1 x= ⇔ ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy PT có nghiệm x = Vb (1 điểm) (3 đ) Toạ độ điểm A(-1; 1) Ta thấy đường thẳng d1 và d2 vuông góc với Gọi Δ là đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d và d B , C ( B và C khác A ) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên Δ Ta có: 1 1 + 2= ≥ (không đổi) 2 AB AC AH AM -1 1 H M, hay Δ là đường + đạt giá trị nhỏ ⇒ AB AC AM thẳng qua M và vuông góc với AM PT đường thẳng Δ : x + y - = (1 ểm) Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2), bk R= √ Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB  IM trung điểm H đoạn AB -AB √ = Ta có AH=BH= 2 MI    1 2     5 Trường hợp 1: MH = MI – IH = √ MH2 +AH Khi đó bán kính đường tròn (C’) là R’ = √ MH2 +AH = 13 y − 1¿ =13 Phương trình đường tròn (C’) là: x − ¿2+ ¿ ¿ 13 Trường hợp : MH = MI + IH = 5+ = 2 Khi đó bán kính đường tròn (C’) là R’ = √ MH2 +AH = 43 y − 1¿ =43 Phương trình đường tròn (C’) là: x −5 ¿2 +¿ ¿ Vậy có đường tròn (C') thỏa mãn ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 và (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 (1 điểm) 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2 2 IH ¿ √ IA − AH = √ R − AH = 0,25 đ 0,25 đ k − 2¿ 2011 ! −2 ¿ k 2011 ! ¿ +1 ¿ −2 ¿k C k2012 k ¿ −2 ¿ 2012 ! k k Ta có = == ¿ k C2011 ¿ −1 ¿ =¿ ¿ 2012 k +1 ¿ ¿ ¿ k +1 k+1 −2 ¿ C2012 = ¿ 4024 Với k = 0, 1, 2, …… , 2011 ta có: −2 ¿2012 C 2012 2012 2 −2 ¿ C2012 + .+¿ A= = 4024 − ¿1 C 1202 +¿ ¿ ¿ − 2¿ C 02012 − 2¿ 2012 C2012 2012 −¿ 2 −2 ¿ C2012 + .+¿ = = 4024 − ¿1 C 1202 +¿ 0 −2 ¿ C 2012 +¿ ¿ ¿ −2 ¿0 C02012 1 2012 = −2+1 ¿ −¿ = [ 1−1 ] = 4024 4024 ¿ ¿ Vậy A = 0,5 đ 0,5 đ