Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MƠN THI ĐH -CĐ NĂM HỌC 2011 -2012
Mơn: TỐN, khối A, B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x4−2(m −1)x2+m−2 (1)
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m=2 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng 1;
¿ 3¿
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: cos 2x+5=2(2−cosx)(sinx −cosx) Giải hệ phương trình:
¿
x2−3x(y −1)+y2+y(x −3)=4 x −xy−2y=1
¿{
¿
(x , y∈R) Câu III (2 điểm)
1 Tính tích phân: I = ∫
e
x+(x −2)lnx x(1+lnx) dx
2 Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng:
1
1+a+b + 1bc
+ 1ca
1 1
2+a +
1 2+b +
1 2+c
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AC ¿ 3a,
BD ¿
2 a , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB )
3
a
Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu V.a (3 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C x+y −1=0
3x − y −9=0 Tìm tọa độ đỉnh B , C tam giác ABC
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình x2+y2+2x −4y −8=0 đường thẳng ( Δ ) có phương trình : 2x −3y −1=0 Chứng minh ( Δ ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M đường tròn (
C ) cho diện tích tam giác ABM lớn Giải phương trình: (3x−2)log3x −1
3 =4−
x+1
B Theo chương trình Nâng cao Câu V.b (3 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình 3x+y+2=0 x −3y+4=0 Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A ) cho
AB2+
AC2 đạt giá trị nhỏ
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2−2x+4y+2=0 Viết phương
trình đường trịn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) hai điểm A , B cho
(2)3 Tính giá trị biểu thức A =
C20110
1 −
21C20111
2 +
22C20112
3 −
23C20113
4 +¿
-22011C20112011
2012
Hết
-Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh số báo danh
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN KHỐI A, B
KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH - CĐ NĂM HỌC 2011 - 2012
Câu Đáp án Điểm
I (2đ)
1 (1 điểm)
Với m = 2, y=x4−2x2
1 TXĐ: D = R Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên:
y '=4x3−4x ; y '=0⇔ 4x3−4x=0⇔x=0, x=±1 Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞ )
Hàm số nghịch biến khoảng (- ∞ ; -1) (0; 1)
-b) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại x = 0; ycđ = y(0) =
Hàm số đạt cực tiểu x = ± 1; yct = y( ± 1) = -1
-c) Giới hạn vô cực:
Lim
x → ±∞(x
4
−2x2)=¿ + ∞
d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên
-3) Đồ thị:
0,25 đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
2) điểm y' = 4x3−4
(m−1)x
y' = ⇔ 4x3−4(m−1)x = ⇔ x[x2−(m−1)]=0
-TH1: Nếu m- ⇔ m
Hàm số đồng biến khoảng (0; + ∞ ) Vậy m thoả mãn ycbt
-TH 2: m - > ⇔ m>
y' = ⇔ x = 0, x = ±√m −1
(3)Hàm số đồng biến khoảng (- √m−1 ; ) ( √m−1 ; + ∞ ) Để hàm số đồng biến khoảng (1; ) √m−1≤1 ⇔ m
-Vậy hàm số đồng biến khoảng (1; ) ⇔ m ¿
0,25 đ
0,25 đ II
(2 đ)
1 (1 ểm)
cos 2x+5=2(2−cosx)(sinx −cosx)
⇔ 2cos2x - + = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0
-⇔ 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 =
Đặt t = sinx - cosx ( - √2≤ t ≤√2 ) ⇒ sinxcosx = 1−t
2
2
Phương trình trở thành t2+ 4t - = 0 t = 1; t = -5 (loại)
-Với t = ⇔ sinx - cosx = ⇔ √2 sin (x −π
4) = ⇔ sin (x −
π
4) =
√2
2
-⇔
x −π
4=
π
4+k2π
¿
x −π
4= 3π
4 +k2π
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=π
2+k2π
¿
x=π+k2π
¿ ¿ ¿ ¿
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2 (1 điểm)
x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = ⇔ (x-y)2 + 3(x-y) - = 0
-x − y=1
¿
x − y=−4
¿ ¿ ¿ ¿
-* Với x- y = 1, ta có
¿
x − y=1
x −xy−2y=1
¿{
¿
⇔ x = 1; y = x= -1; y = -2
-* Với x - y = -4 ta có
¿
x − y=−4
x −xy−2y=1
¿{
¿
(Hệ PT vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (-1; -2)
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III (2 đ)
1 (1 điểm) I = ∫
1
e
x(1+lnx)−2 lnx
x(1+lnx) dx=∫1
e
dx -2 ∫
e
lnx
x(1+lnx)dx
(4)
Ta có ∫
1
e
dx=e −1
-Tính J = ∫
1
e
lnx
x(1+lnx)dx Đặt t = + lnx
J = ∫
t −1
t dt =
1−1 t (¿)dt
∫
¿
= (t - ln |t| ) ¿1
= - ln2
-Vậy I = e - - 2(1- ln2) = e - + 2ln2
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2 (1 điểm)
Do vai trị a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết 0 < a b c Khi 0 < + a + b + a + c + b + c
và < + a + b + c Ta có
1 2+a +
1 2+b +
1
2+c - (
1 1+a+b+
1 1+b+c+
1
1+c+a) = = b −1
(2+a)(1+a+b) +
c −1
(2+b)(1+b+c) +
a −1
(2+c)(1+a+c) b −1
(2+c)(1+b+c) +
c −1
(2+c)(1+b+c) +
a −1
(2+c)(1+b+c) =
a+b+c −3
(2+c)(1+b+c)
33
√abc−3 (2+c)(1+b+c)=0
Vậy
1
1+a+b + 1bc
+ 1ca
1 1
2+a +
1 2+b +
1 2+c IV
(1 đ)
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến SO vng góc với mặt phẳng (ABCD)
VSABCD =
3 SO.SABCD
Diện tích đáy SABCD=1
1AC BD=2√3a
2
-.Ta có tam giác ABO vng O AO = a 3; BO = a , ABD=600
⇒ tam giác ABD
Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH AB DH = a 3; OK // DH
1
2
a OK DH
OKABAB
(SOK)
Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OISK; ABOIOI (SAB) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông O, OI đường cao 2
1 1
2 a SO OI OK SO Đường cao hình chóp
a SO
Thể tích khối chóp S.ABCD:
0,25 đ
0,5 đ
(5)3
1
3
D D
S ABC ABC
a
V S SO
0,25 đ
Va (3 đ)
1 (1 điểm)
Gäi C = (c; 3c - 9) M trung điểm BC M(m; 1-m) Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c)
-Gi I trung điểm AB, ta có I( 2m− c2 +3 ; 7−2m−2 3c )
Vì I nằm đường thẳng 3x - y - = nªn 3(2m− c+3
2 )−(
7−2m−3c
2 )−9=0
⇒ m = ⇒ M(2; -1) Phơng trình BC: x y - 3=0
-Tọa độ C nghiệm hệ:
¿
3x − y −9=0 x − y −3=0
¿{
¿
⇔
¿
x=3 y=0
¿{
¿
Tọa độ C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 2 (1 điểm)
Đường trịn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √13 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( Δ ) d(I , Δ)=
√13 < R
Vậy đường thẳng ( Δ ) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt
-Gọi M điểm nằm (C), ta có SΔABM=1
2AB.d(M , Δ)
Trong AB khơng đổi nên SΔABM lớn d(M , Δ) lớn
-Gọi d đường thẳng qua tâm I vng góc với ( Δ )
PT đường thẳng d 3x + 2y - =
Gọi P, Q giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q nghiệm hệ phương trình:
¿
x2
+y2+2x −4y −8=0
3x+2y −1=0
¿{
¿
⇔
x=1, y=−1
¿
x=−3, y=5
¿ ¿ ¿ ¿
⇒ P(1; -1); Q(-3; 5) Ta có d(P , Δ)=
4
√13 ; d(Q , Δ)= 22
√13
-Ta thấy d(M , Δ) lớn M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 3 (1 điểm)
Điều kiện: x > (3x−2)log3x −1
3 =4−
x+1
2 ⇔ (3x−2)[log
3(x −1)−log33]=4−
2 33
x+1
-⇔ (3x−2)[log3(x −1)−1]=4−2
x ⇔
(3x−2)log3(x −1)+3x−2=0 ⇔ (3x−2)[log3(x −1)+1]=0
0,25 đ
0,25 đ A
B K
H C
O
I D
3
a
(6)-
⇔
3x−2=0
¿
log3(x −1)=−1
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=log32
¿
x=4
3
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy PT có nghiệm x = 43
0,5 đ
Vb (3 đ)
1 (1 điểm)
Toạ độ điểm A(-1; 1)
-Ta thấy đường thẳng d1 d2 vng góc với
Gọi Δ đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A )
Gọi H hình chiếu vng góc A Δ Ta có:
AB2+ AC2=
1 AH2≥
1
AM2 (không đổi)
-⇒
AB2+
AC2 đạt giá trị nhỏ
AM2 H M, hay Δ đường
thẳng qua M vng góc với AM
-PT đường thẳng Δ : x + y - =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 2 (1 ểm)
Phương trình đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2), bk R=
√3
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB
-Ta có AH=BH=AB
2 =√
2
MI 1 2 5
IH ¿√IA2−AH2=√R2−AH2=3
2
-Trường hợp 1: MH = MI – IH = √MH2
+AH2
Khi bán kính đường tròn (C’) R’ = √MH2+AH2 = 13 Phương trình đường trịn (C’) là: y −1¿
2
=13
x −5¿2+¿ ¿
-Trường hợp : MH = MI + IH = 5+3
2= 13
2
Khi bán kính đường tròn (C’) R’ = √MH2+AH2 = 43 Phương trình đường trịn (C’) là: y −1¿
2
=43
x −5¿2+¿ ¿
Vậy có đường tròn (C') thỏa mãn ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3 (1 điểm)
(7)Ta có
−2¿k 2011! ¿ ¿
−1¿k2 k
.C2011k k+1 =¿
¿
=
−2¿k 2011! ¿
−2¿k.2012! ¿ ¿ ¿ ¿
=
-−2¿k.C2012k+1
1 2012 ¿
=
=
-−2¿k+1.C2012k+1
1 4024 ¿
-Với k = 0, 1, 2, …… , 2011 ta có:
A = -
4024
−2¿2012C20122012 −2¿2C20122 + .+¿
−2¿1C2021 +¿
¿ ¿
=
= - 40241
−2¿0C20120
−2¿2012C20122012−¿
−2¿2C20122 + .+¿
−2¿1C2021 +¿
−2¿0C20120 +¿ ¿ ¿
=
= - 40241
−2¿0C20120
−2+1¿2012−¿ ¿ ¿
= - 40241 [1−1] =
Vậy A =
0,5 đ
0,5 đ
Mời các bạn ghé thăm diễn đàn ôn thi và trao đổi “Cà chua 95” nơi chúng mình có thể trao đổi với những kinh nghiệm học tập, cùng bàn luận những bài tập còn vướng mắc.
http://luyenthidaihoc.name.vn/forum