- Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên - Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở d[r]
(1)Bài taäp Tính giá trị x từ phương trình sau: a/ 4 4 1 0,5 x 1,25 1,8 : 7 5 2 3 5,2 : 2,5 x = 4 15,2 3,15 : 4 1,5 0,8 { [ b/ : x :1,3+ 8,4 × × − c/ ( 2,3+5 :6 ,25)×7 =1 8× , 0125+6,9 14 ]} [ ( , 152+ ,35 2) : ( x +4,2 ) ] ( 34 + 23 45 ) x= =3 : (1,2+3 , 15 ) 2 12 x= 12 ,5 − : ( 0,5 − 0,3 , 75 ) : 17 2 4 2 x= 1 3 4 x 1 2 2 1 7 5 1 8 d/ 1 1 1 = + x 4+ = + x 4+ 3 2+ 3+ 1+ 2+ 3+ 1+ e/ 5 4+ 5+ 1+ +x = 5+ 1+ 7 6+ 7+ 6+ 7+ 9 x x 5 5 1 x= 5 2 5 3 5 f/ [ ] ( ) ( Bài taäp Cho sè h÷u tØ biÔu diÔn díi d¹ng sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn E = 1,23507507507507507 Hãy biến đổi E thành dạng phân số tối giản Bài taäp Tính : A = B= 333 999 9 2012 chu so 2012 chu so 333 333 3 2012 chu so 2012 chu so Bài taäp Tìm ƯCLN và BCNN 170586104 và 157464096 I TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN a) Khi đề cho số bé 10 chữ số: Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q Ví dụ : Tìm số dư các phép chia sau: ) (2) 1) 9124565217 cho 123456 2) 987896854 cho 698521 b) Khi đề cho số lớn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư A chia cho B ( A là số có nhiều 10 chữ số) - Cắt thành nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B - Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ chữ số) tìm số dư lần hai Nếu còn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567: Được kết số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết số dư cuối cùng là 26 Bài tập: Tìm số dư các phép chia: a) 983637955 cho 9604325 b) 903566896235 cho 37869 c) 1234567890987654321 : 123456 c) Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư * Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b(mod c) + Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a a (mod m) a b(mod m) b a (mod m) a b(mod m); b c (mod m) a c(mod m) a b(mod m); c d (mod m) a c b d (mod m) a b(mod m); c d (mod m) ac bd (mod m) a b(mod m) a n b n (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải: 122 144 11(mod19) 126 122 ( tức là 122 chia 19 có số dư là 11 ) 113 1(mod19) ( tức là 113 chia 19 có số dư là ) Vậy số dư phép chia 12 cho 19 là Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: 20042 841(mod1975) 20044 8412 231(mod1975) 200412 2313 416(mod1975) 200448 4164 536(mod1975) Vậy (3) 200460 416.536 1776(mod1975) 200462 1776.841 516(mod1975) 200462.3 5133 1171(mod1975) 200462.6 11712 591(mod1975) 200462.64 591.231 246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Bài tập : Tìm số dư phép chia : a) 138 cho 27 b) 2514 cho 65 c) 197838 cho 3878 d) 20059 cho 2007 e) 715 cho 2001 KQ : ………………… KQ : ………………… KQ : ………………… KQ : ………………… KQ : ………………… II TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT LUỸ THỪA: Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị số 172002 ( tức là tìm số dư luỹ thừa chia cho 10 ) KQ : ………………… Bài 2: Tìm chữ số hàng chục số 232005.( tức là tìm số dư luỹ thừa chia cho 100 ) KQ : ………………… Bài 3: Tìm chữ số hàng trăm số 232005 ( tức là tìm số dư luỹ thừa chia cho 1000 ) KQ : ………………… III TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY - Ta tìm chu kỳ số thập phân là bao nhiêu - Tìm số dư số thập phân thứ n chia cho số chu kỳ - Số dư chính là vị trí số thập phân n Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 phép chia 17 : 13 Giải: Bước 1: + Thực phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực phép tính làm tròn và hiển thị kết trên màn hình) Ta lấy chữ số đầu tiên hàng thập phân là: 3076923 + Tiếp theo tìm số dư phép chia 17 – 13* 1.3076923= 1.10-7 Bước 2: + lấy : 13 = 0,07692307692 11 chữ số hàng thập phân là: 07692307692 Vậy ta đã tìm 18 chữ số đầu tiên hàng thập phân sau dấu phẩy là: 307692307692307692 Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm chữ số Ta có 105 = 6.17 + ( 105 3(mod 6) ) Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba chu kỳ Đó chính là số Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy phép chia 250000 cho 19 Giải: (4) 250000 17 13157 19 Vậy cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy Ta có 19 phép chia 17 : 19 Bước 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421 Ta chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 + Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 10-9 Bước 2: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 + Lấy – 0,105263157 * 19 = 1,7 10-8 = 17 10-9 Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421 Chín số hàng thập phân là + Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 10-9 Bước 4: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 = 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số 133 1(mod18) 132007 133 669 1669 (mod18) Ta có Kết số dư là 1, suy số cần tìm là sồ đứng vị trí đầu tiên chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân Kết : số Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy chia: a) chia cho 49 KQ : ……………………… b) 10 chia cho 23 KQ : ……………………… IV CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Một số kiến thức cần nhớ: Định lý Bezout Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) Hệ quả: Nếu a là nghiệm f(x) thì f(x) chia hết cho x – a Sơ đồ Hor nơ Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a Ví dụ: Thực phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – cách dùng sơ đồ Hor nơ Bước 1: Đặt các hệ số đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột dòng trên -5 -4 a=2 Bước 2: Trong cột để trống dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư - Số thứ dòng = số tương ứng dòng trên - Kể từ cột thứ hai, số dòng xác định cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước cộng với số cùng cột dòng trên (5) ( Ta lấy 2.1+(-5) = -3 ; lấy 2.(-3)+8 = ; lấy 2.2+(-4) = ) -5 -4 a=2 -3 2 Vậy (x – 5x + 8x – 4) = (x – 2)(x – 3x + 2) + * Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r Theo sơ đồ Hor nơ ta có: a0 a b0 a1 b1 a2 b2 a3 r a0 ab0 + a1 ab1 + a2 ab2 + a3 Một số dạng bài tập thường gặp : 1)Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho (x – a) Cơ sở lý luận : P(x) = Q(x) (x – a ) + r Khi x = a thì r = P(a) Ví dụ: Tìm số dư phép chia sau: f(x) = x3 – 9x2 – 35x + cho x – Cách : Tức là ta tính f(3) , số là nghiệm phương trình x – 3=0 f(3) = 33 – 9.32 – 35.3 + = -152 Vậy số dư phép chia sau: f(x) = x3 – 9x2 – 35x + cho x – là -152 Cách : Sử dụng sơ đồ Hor nơ a=3 -9 -35 -6 -53 -152 Vậy số dư phép chia sau: f(x) = x3 – 9x2 – 35x + cho x – là -152 2) Điều kiện để P(x) chia hết cho (x – a ) P(x) + m ⋮ (x – a ) ⇔ P(a)+ m=0 ⇔m=− P(a) Ví dụ : a) Tìm giá trị m để cho đa thức P(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + +m chia hết cho (x – ) b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + + m chia hết cho (2x – 3) Giải :a) Gọi P1(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + , ta có: P(x) = P1(x) + m Vậy P(x) hay P1(x) + m chia hết cho (x – 2) m = - P1(2) Tính P1(2) : Ấn * 23 – * 22 + * + = P1(2) = 19 Vậy m = - 19 c) Gọi P1(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + , ta có : P(x) = P1(x) + m 3 Vì P(x) chia hết cho (2x +3) nên ta có P( − ¿= p1 (− )+m=0⇒ m=− p1 (− ) 3 3 Ấn * (− )❑ - * (− )❑ − ∗(− )+5=¿ 2 KQ : P1( − ¿ = -2,5 ⇒ m=2,5 Tính P1( − ¿ (6) Ví dụ : Cho hai đa thức 3x2 – 4x +5 + m và x3 + 3x2 – 5x + + n Hỏi với điều kiện nào m và n thì hai đa thức có nghiệm chung a ? Giải : Gọi P(x) = 3x2 – 4x +5 ; Q(x) = x3 + 3x2 – 5x + Đa thức P(x) + m và đa thức Q(x) + n có nghiệm chung là a m = - P(a) và n = - Q(a) Áp dụng vào bài toán trên với nghiệm chung là a = 0,5 KQ : P(0,5) = 3,75 Vậy m = -3,75 Q(0,5) = 5,375 Vậy n = - 5,375 Bài tập Bài 1: Tìm số dư phép chia a) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12 b)x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 x 14 − x − x 5+ x + x2 + x ❑ − 723 ❑ ❑ x −1 , 624 ❑ x −6 , 723 x +1 , 857 x −6 , 458 x +4 , 319 d) x ❑+2 , 318 c) Bài 2: Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 +13x + a chia hết cho x + Bài 3: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 a) Tính P( √ ¿ b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + Bài 4: Chứng tỏ đa thức sau chia hết cho x + P(x) = 3x4 – 5x3 + 7x2 – 8x – 465 Bài 5: Cho hai đa thức P(x) = x4 +5x3 – 6x2 + 3x +m và Q(x) = 5x3 – 4x2 + 3x + 2n a) Tìm giá trị m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – b) Với m và n vừa tìm , hãy giải phương trình P(x) - Q(x) = Bài 6: Tìm các giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 Bài 7: Cho hai ®a thøc P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung x0 Bài 8: Cho phương trình : 2,5x5 – 3,1x4 +2,7x3 +1,7x2 – (5m – 1,7)x + 6,5m – 2,8 có nghiệm là x = 0,6 Tính giá trị m chính xác đến chữ số thập phân 3) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.DÉn: - LËp c«ng thøc P(x) - TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i c¸c ®iÓm: dïng chøc n¨ng CALC - KÕt qu¶: P(1,25) = ; P(4,327) = 4) P(-5,1289) = ; P( = Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 t¹i x = 0,53241 (7) Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 t¹i x = -2,1345 H.DÉn: - Áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: ( x 1)(1 x x x9 ) x10 x x P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = Từ đó tính P(0,53241) = T¬ng tù: x9 x x Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = Từ đó tính Q(-2,1345) = Bµi tập: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a A(x) = x 5x 3x x x = 1,23456 b P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357 x = 2,18567 c Q(x) = + x + x2 + x3 + + x14 + x15 t¹i x = 1,21 d R(x) = x2 + x3 + + x14 + x15 t¹i x = -2,567 4/ Xác định đa thức & tính giá trị số giá trị đa thức biết số giá trị khác cña nã: *Ph¬ng ph¸p: 1) Giải hệ phơng trình từ đó tìm đợc các hệ số 2) T×m ®a thø phô tríc, råi quay l¹i t×m ®a thøc Ví dụ: Cho đa thức P(x)=x3+ax2+bx+c và cho biết P(1)=4, P(-2)=7, P(3)=12 a/ Xác định đa thức P(x) b/ Tính P(12), P(30) Giaûi: Cách : P(1)=4 => 13+a.12+b.1+c =4 P(-2)=7=> (-2)3+a.(-2)2+b.(-2)+ c = P(3)=12=> 33+a.32+b.3 + c = 12 a b c 3 4a 2b c 15 9a 3b c 15 Ta có hệ phương trình : Giải hệ phương trình ẩn : bấm máy MODE EQN bấm Sau đó nhập các hệ số a,b,c,d ( hệ số bên vế phải) vào máy KQ : a = -1; b = -5; c = Vậy P(x)=x3- x2 - 5x + Sau đó Tính P(12), P(30) ? Caùch : Ta thaáy : P(1)=4=11+3 ; P(-2)=7=(-2)2+3; P(3)=12=(3)2+3 Xét đa thức Q(x)=P(x)-(x2+3) = P(x)-x2-3 Deã thaáyQ(1)=Q(-2)=Q(3)=0 Suy x=1, -2, laø nghieäm cuûa Q(x) Q(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=P(x)-x2-3 Vì vaäy P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)+x2+3 Nhân đa thức với đa thức ta tính : P(x)=x3- x2 - 5x + Từ đó tính P(12), P(30)? Baøi taäp : (8) Bài : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 16 , P(5) = 15 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; là nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 Bài 2:Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = , Q(4) = 11 a/ Xác định đa thức Q(x) b/Tính các giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Caùch : Ñöa veà heä phöông trình aån : q 4 m n p m n p q 4 8m 4n p q 8m 4n p (4 m n p) 27 m 9n p q 72 27 m 9n p (4 m n p ) 72 64m 16n p q 245 64m 16n p (4 m n p ) 245 7 m 3n p 13 26m 8n p 76 63m 15n p 249 giải hệ phương trình tìm m = -10; n = 35; p = -48 Thay vaøo tìm q = -m – n - p = – (-10) -35 –(-48) = 27 Q(x) = x4 -10x3 + 35x2 -48x + 27 Caùch : Q(1) = = 2.1 + 3; Q(2) = = 2.2 + 3; Q(3) = = 2.3 + ; Q(4) = 11 = 2.4 + Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) Bài : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) Bài 4: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = a/ Xác định đa thức P(x) b/ Tính P(2002), P(2003) Bài 5:Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 a/ Xác định đa thức P(x) b/ Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài 6:Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 a/ Xác định đa thức P(x) b/Tính P(2007) (9) Bài : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = Tìm m x Bài 8: Cho P(x) = x3 x a) Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – chính xác đến chữ số thập phân Bài 9:Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đa thức thương phép chia trên Bài 10:Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – ta thương là đa thức Q(x) có bậc là Hãy tìm hệ số x2 Q(x) Bài 11:Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a ) , hãy tìm số dư r chia P(x) cho 3x – và phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – d) Với n tìm trên , hãy phân tích Q(x) tích các thừa số bậc Bài 12: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm các giá trị m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – b) Với giá trị m và n tìm , chứng tỏ R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm Bài 13 : Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết : f 89 500 ( 13 ) = 108 ; f (− 12 ) = − ; f ( 15 ) = Tính giá trị đúng và gần đúng f ( 23 ) Bài 14: Xác định các hệ số a, b, c đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là (Kết lấy với hai chữ số hàng thập phân) Bài 15:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 các giá trị x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 Bài 16: Tìm các hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 +cx – 2008 biết chia P(x) cho nhị thức ( x – 25) thì dư 29542 và chia cho tam thức (x2 – 12x + 25) thì có đa thức dư là: 431x – 2933 (10)