Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Chuyên đề Toán 9

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cos in góc kề. b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc kề. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các[r]

(1)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Hệ thức cạnh đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, ta có:

1) a2 b2 c2

2) b2 a b c '; a c '

3) h2 b c' ' 4) a h b c 5) 12 12 12

h b c

6)

2 '

b b

a a

Chú ý: Diện tích tam giác vng: 1

2 S  ab

Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết

: :

AB AC  ABAC 21cm

a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH BH CH, ,

b' c'

h c

b

a

H C

B

(2)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Giải:

a) Theo giả thiết: AB AC: 3 : 4,

suy

3 4

AB AC AB AC

  

 Do AB 3.39 cm ;

 

3.4 12

AC   cm

Tam giác ABC vng A, theo định lý Pythagore ta có:

2 2 2

9 12 225

BC AB AC    , suy BC 15cm

b) Tam giác ABC vuông A, ta có AH BC AB AC , suy

 

. 9.12 7,2 15

AB AC

AH cm

BC

  

2 .

AH BH HC Đặt BH x0 x 9 HC 15x, ta có:

 2   2    

7,2 x 15x x 15x 51, 84 0 x x5, 4 9, 6 x 5, 4 0

x 5, 4x 9, 6 x 5,

      x 9, (loại) Vậy BH 5, 4cm Từ HC BC BH 9, 6 cm

Chú ý: Có thể tính BH sau:

2 .

AB BH BC suy  

2

9

5, 15

AB

BH cm

BC

  

A

(3)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC 2a, cạnh bên

 

b b a

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BK AC Tính tỷ số AK

AC Giải:

a) Gọi H trung điểm BC Theo định lý Pitago ta có:

2 2 2

AH AC HC b a

Suy 1 . 1 2

2 2

ABC

S  BC AH  a b a

2

AH b a

  

b) Ta có 1 . 1 .

2BC AH  2BK AC SABC

Suy BK BC AH. 2a b2 a2

AC b

   Áp dụng định lý Pitago tam

giác vng AKB ta có:

   

2

2 2 2

2

4a b a

AK AB BK b b a

b b



      Suy

2 2

b a

AK

b 



2

2 2

b a

AK

AC b





K

H C

B

(4)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A B C, , cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a b c, ,

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh: a2 b2 c2 4 3S

Giải:

a) Ta giả sử góc A góc lớn tam giác

,

ABC B C góc nhọn Suy chân

đường cao hạ từ A lên BC điểm

H thuộc cạnh BC

Ta có: BC BH HC Áp dụng định lý

Pi ta go cho tam giác vuông

,

AHB AHC ta có:AB2 AH2 HB AC2, AH2 HC2

Trừ hai đẳng thức ta có:

    

2 2 .

c b HB HC  HBHC HBHC a HBHC

2

c b

HB HC

a



   ta có:

2 2

2

a c b

HB HC a BH

a

 

    Áp dụng định lý Pitago cho tam

giác vuông

2

2 2 2 2 2

2

2 2

a c b a c b a c b

AHB AH c c c

a a a

          

    

        

  

    

H

C B

(5)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

 2 2 2  2     

2

a c b b a c a b c a c b b a c b c a

a a a

               

   

    

   

   

Đặt 2p   a b c

       

2

2 16

2 4

p p a p b p c p p a p b p c

AH AH

a a

  

  

Từ tính 1 .    

2

S  BC AH  p pa pb pc

b) Từ câu a) ta có: S  p p a p b p c Áp dụng bất đẳng thức

Cơ si ta có:    

3 3

3 27

p a p b p c p

pa pb pc        

  Suy

ra

3

27 3 3

p p

S  p  Hay  

2 12 3

a b c

S    Mặt khác ta dễ chứng minh

được: a  b c2 3a2 b2 c2 suy  2 2

2 2

3

4 3 12 3

a b c

S    a b c  S

Dấu xảy hki tam giác ABC

Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho AMB 900 S S S, ,1 2 theo thứ tự diện tích tam giác AMB ABC, ABH Chứng minh

(6)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Giải:

Tam giác AMB vng M có

MK AB nên MK2 AK BK (1)

AHK CBK

  có

  900

AKH CKB  ; KAH KCB

(cùng phụ với ABC) Suy AK HK

CK  BK , AK KB CK KH (2)

Từ (1) (2) suy MK2 CK HK nên MK  CK HK ;

1

1 1

2 2

AMB

S  AB MK  AB CK HK  AB CK AB HK  S S

Vậy S  S S1. 2

Ví dụ Cho hình thang ABCD có

  90 ,0  60 ,0 30 ,

AD B  CD  cm CACB Tính diện tích hình

thang

Giải:

Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB), tam giác

vng ACD ta có AC 2AD

Theo định lý Pythagore thì: AC2 AD2 DC2 hay

 2 2 2

2AD AD 30

D

K M

H

C B

(7)

hoc360.ne t

Suy 3AD2 900 AD2 300 nên AD 10 3 cm

Kẻ CH AB Tứ giác AHCD hình chữ nhật có A D H 900,

suy AH CD 30cm CH; AD 10 3 cm

Tam giác ACB vuông C , ta có: CH2 HA HB , suy

 2  

2 10 300

10

30 30

CH

HB cm

HA

    ,

 

30 10 40

AB AH HB    cm

     2

1 1

.10 40 30 350 3

2 2

ABCD

S  CH ABCD   cm

Vậy diện tích hình thang ABCD 350 3cm2

Tỉ số lượng giác góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Các tỉ số lượng giác góc nhọn  (hình) định nghĩa sau:

sin AB; cos AC ; tan AB; cot AC

BC BC AC AB

   

+ Nếu  góc nhọn

0sin1; 0cos1;

tan0; cot0

2 Với hai góc  , mà   900,

α Cạnh đối Cạnh huyền

Cạnh kề C B

(8)

hoc360.ne t

ta có: sincos ; cos sin ; tan cot ; cot  tan Nếu hai góc nhọn   có sin sin cos cos



3 sin2cos21;tg.cotg1 Với số góc đặc biệt ta có:

0 1 0 2

sin 30 cos 60 ; sin 45 cos 45

2 2

   

0 0

cos 30 sin 60 ; cot 60 tan 30

2 3

   

0 0

tan 45 cot 45 1; cot 30 tan 60  3

Ví dụ Biết sin 5

13

 Tính cos , tan  cot

Giải:

Cách Xét ABC vuông A

Đặt B  Ta có: sin 5

13 AC BC

 

suy

5 13

AC BC

k

  ,

5 , 13

AC  k BC  k Tam giác ABC vuông A nên:

   2

2 2 13 5 144

AB BC AC  k  k  k , suy AB 12k

α B C

(9)

hoc360.ne t

Vậy cos 12 12

13 13

AB k

BC k

   ;

5 5

tan ;

12 12

AC k

AB k

   cot 12 12

5 5

AB k

AC k

  

Cách Ta có sin 5

13

 suy sin2 25

169

 , mà sin2cos21,

đó cos2 1 sin2 1 25 144

169 169

     , suy cos 12

13



sin 5 12 5 13 5

tan : .

cos 13 13 13 12 12

 



    ;

cos 12 5 12 13 12

cot : .

sin 13 13 13 5 5

 



   

Ở cách giải thứ ta biểu thị độ dài cạnh tam giác ABC theo đại lượng k sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để tính

cos , tan , cot   Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin 5

13

 để tính sin2 tính cos từ sin2cos21 Sau ta tính tan

cot qua sin cos

Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD BE cắt

H Biết HD HA: 1 : Chứng minh tgB tgC 3

Giải:

Ta có: tgB AD;tgC AD

BD CD

 

Suy

2

tan tan

AD

B C

BD CD

 (1)

H E

D C

B

(10)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 10

 

HBD CAD (cùng phụ với ACB); HDB ADC 900

Do BDH ADC (g.g), suy DH BD

DC  AD,

BD DC DH AD (2) Từ (1) (2) suy

2

tan tan

AD AD

B C

DH AD DH

  (3) Theo giả thiết 1

2 HD

AH  suy

1

HD

AH HD   hay

1 3 HD

AD  , suy AD 3HD Thay vào (3) ta

được: tan tanB C 3HD 3

DH

 

Ví dụ Biết sin cos 12

25

  Tính sin , cos 

Giải:

Biết sin cos 12

25

  Để tính sin , cos  ta cần tính sincos giải phương trình với ẩn sin cos

Ta có:

 2 2 2 12 49

sin cos sin cos 2 sin cos 1 2.

25 25

         Suy

ra sin cos 7

5

  nên sin 7 cos

5

   Từ ta có:

2

7 12 7 12

cos cos cos cos

5 25 5 25

     

 

   

2

25 cos  35 cos 12 cos cos cos

        

5 cos cos  3

    Suy cos 4

5

 cos 3

5

(11)

hoc360.ne t

+ Nếu cos 4

5

 sin 12 4: 3

25 5 5

 

+ Nếu cos 3

5

 sin 12 3: 4

25 5 5

 

Vậy sin 3

5

 , cos 4

5

 sin 4, cos 3

5 5

 

Hệ thức cạnh góc tam giác vng KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Trong tam giác vuông, cạnh góc vng bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề

b) Cạnh góc vng nhân với tan góc đối hay nhân với cot góc kề

.sin cos ; sin cos ; cot ;

b a B a C c a C a B b c tgB c gC

.cot

c b tgC b gC

2 Giải tam giác vuông tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng

Ví dụ Cho tam giác ABC có AB 16,AC 14 B 600 a) Tính độ dài cạnh BC

(12)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 12 Giải:

a) Kẻ đường cao AH

Xét tam giác vng ABH, ta có:

0 1

.cos .cos 60 16. 8 2

BH AB B AB  

0 3

.sin .sin 60 16. 8 3 2

AH AB B AB   Áp dụng định lý

Pythagore vào tam giác vng AHC ta có:

 2

2 2 142 8 3 196 192 4

HC AC AH      Suy HC 2

Vậy BC CH HB   2 10

b) Cách 1 . 1.10.8 3 40 3

2 2

ABC

S  BC AH   (đvdt)

Cách 1 . .sin 1.10.16. 3 40 3

2 2 2

ABC

S  BC BA B   (đvdt)

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC  45 ,0 ACB 600 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R

Giải:

Giả thiết có góc có số đo đặc biệt , tam giác ABC tam giác thường nên ta tạo tam giác vuông cách Dựng đường

thẳng qua C B, vng góc với

H

D

600 450

C B

A

B 600 C

(13)

hoc360.ne t

,

AC AB Gọi D giao điểm hai đường

thẳng Khi tam giác ABD ACD tam giác

vuông điểm A B C D, , , nằm đường trịn đường kính

2

AD  R

Ta có: .sin 600 . 3 3

2

AB AD AD R Kẻ đường cao AH suy

H BC Tức là: BC BH CH Tam giác AHB vng góc H nên

0 2 3 2 6

.sin 45 .

2 2 2 2

AB R

AH BH AB  AD  Mặt khác tam

giác ACH vuông H nên 2

2

R

AC AH CH CH 

1 2

2

R

BC 

  Từ tính diện tích  

2 3 3

4 R

S  

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A B C, , cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a b c, , Chứng minh rằng:

a) a2 b2 c2 2 cosbc A

b) Gọi D chân đường phân giác góc A Chứng minh:

2 cos 2 A bc

AD

b c           

(14)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 14 Giải:

a) Dựng đường cao BH tam giác

ABC ta có:

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC

Ta có: AC AH HC

Áp dụng định lý

Pi ta go cho tam giác vng

,

AHB BHC ta có:AB2 AH2 HB BC2, BH2 HC2

Trừ hai đẳng thức ta có:

    

2 2

c a HA HC  HAHC HAHC b HAHC

2

c a

HA HC

b



   ta có:

2 2

2

b c a

HA HC b AH

b

 

    Xét tam giác vng AHB ta có:

2 2

cos cos

2

AH b c a

A a b c bc A

AB bc

 

     

Cách 2: Xét tam giác vng CHB ta có:

 2

2 2 2 2

2 . BC BH HC BH  AC AH BH AH AC  AC AH

Ta có: AH CB.cosA suy

2 2 2 . .cos

BC BH AH AC  AC CB A hay

2 2

2 . .cos

BC BA AC AC CB A

     2

2 cos

a b c bc A

   

b) Để chứng minh toán ta cần kết sau:

c

b a

A

B

(15)

hoc360.ne t

+ sin 22 sin cos 

+ 1 sin

2

S  ab C

*) Thật xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M trung điểm

BC , dựng đường cao AH Đặt ACB AMB 2

Ta có sin sinC AH h

AC b

  

cos cosC AC b

BC a

  



sin sin

2

AH h h

AMH

AM a a

   

Từ ta suy ra: sin 22 sin cos 

*) Xét tam giác ABC Dựng đường cao BE ta có:

1 1

. .

2 2

ABC

S  BE AC  BE b (1) Mặt khác tam giác vng AEB

ta có:sinA BE BE c.sinA

AB

  

thay vào (1)

Ta có: 1 sin

2

S  ab C

2α α h

b

H M C B

A

E

C B

(16)

hoc360.ne t

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 16 Trở lại toán:

Ta có 1 . sin 1 1 .sin

2 2 2

ABD

A S  AD AB A  AD c     

 

1 1

. sin .sin

2 2 2

ACD

A S  AD AC A  AD b     

 

Suy SABC SACD SABD 

1

sin

2 2

A

AD   c b      

  Mặt khác

1 sin 2 ABC

S  bc A

  2 cos sin 2 sin sin 2 sin 2 A bc

A bc A

AD c b bc A AD

c b A b c                                Chú ý rằng: Ta chứng minh kết sau:

2

cos 22 cos   1 sin 

Thật xét tam giác vuông ABC A, 900, gọi M trung điểm

BC , dựng đường cao AH Đặt ACB AMB 2

Ta có : cos cosC AC b

BC a

  

sin sinC AB c

BC a

    ,

 2

cos cos

2

AM MB AB

(17)

hoc360.ne t

2

2 2 2

2 2

2

4 1 2 1 2. 2 1

2 2

a a

c a c c a b b

a a a a a a

       

 

   

           

    Từ

đó suy cos 22 cos2  1 sin2

Áp dụng 2 2 cos 2 2 2 cos2 1

2 A a b c  bc Aa b c  bc  

 

 2 2

2 2

2

2 cos cos

2 2

b c a

A b c a A

bc bc

 

     Thay vào công

thức đường phân giác ta có:

 

  

2 2

2 cos

4

b c a

A bc

bc bc b c a b c a

bc AD

c b b c b c

 

   

  

  

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

  

( )

2

b c a b c a

b c

bc   AD       p pa với

2p   a b c

Áp dụng công thức: a2 b2 c2 2 cosbc A Ta chứng minh hệ thức quan trọng hình học phẳng ( Định lý Stewart) là: ‘’Cho điểm D nằm cạnh BC tam giác ABC ta có:

 

2. 2. .

AB CDAC BD BC AB BD DC ’’ + Thật :Ta giả kẻ AH BC

không tính tổng quát, ta giả sử D nằm đoạn

D H

C B

(18)

hoc360.ne t

HC Khi ta có:



2 2 2 . .cos 2 2 .

AB AD BD  AD BD ADB AD BD  DB DH (1) Tương tự ta có: AC2 AD2 DC2 2DH DC. (2) Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD cộng lại theo vế ta có:

 

2. 2. .

AB CDAC BD BC AB BD DC

Ví dụ Khơng dùng máy tính bảng số chứng minh

0 6 2

sin 75

4 



Giải:

Vẽ tam giác ABC vuông A với BC 2a (a độ dài tùy ý) , C 150, suy B 750

Gọi I trung điểm BC, ta có

IAIB IC a Vì AIB góc ngồi đỉnh I tam giác cân

IAC nên AIB 2C 300 Kẻ AH BC .cos 300 3

2 a

IH AI  ;

0 .cos 30

2 a

AH AI  ;  

2 3 3

2 2

a a

CH CI IH  a  

I

H C

(19)

hoc360.ne t

Tam giác AHC vuông H , theo định lý Pythagore, ta có:

 2  

2

2 2 4 3

4 4

a a a

AC CH AH       

 

2

4 2 3 4

a 

 a22 3

, suy AC a 2 3

0 2 3 2 3 4 2 3

sin 75 sin

2 2 2 2

AC a

B

BC a

  

    

 2  

3 1 3 1 2 3 1 6 2

4 2 2 2 2 2 2

   

   

Vậy sin 750 6 2

4 