tich phan tung phan tSy hay

Khi tính tích phân : , ta không thể sử dụng các phương pháp : Phân tích để sử dụng trực tiếp bảng nghuyên hàm cơ bản , cũng như phương pháp phân tích để tính trực tiếp , thì khi đó ta ph[r]

Bài 5-tiết PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A MỤC ĐÍCH  Công thức tính tích phân phần :I=   u.dv uv   v.du  (*)  I f ( x)dx  Khi tính tích phân : , ta không thể sử dụng các phương pháp : Phân tích để sử dụng trực tiếp bảng nghuyên hàm , phương pháp phân tích để tính trực tiếp , thì đó ta phải sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân I Trong năm thi tuyển sinh đại học gần đây , là từ đề chung , số đề tích phân cho dạng tích phân phần chiếm tới 90% số đề tích phân  Đối với phương pháp tính tích phân phần có dạng :  I f ( x)dx u  x  dv  x     I u.dv  Hay viết tắt : Trong đó : u=u(x),v=v(x) ( là các hàm số theo x ) thì cái khó là chọn hàm số u(x) và vi phân dv(x) cho nguyên hàm v(x) dễ tìm và  v.du phải kết hợp với vi phân du cho tích phân có thể tính trực tiếp các phương pháp đã trình bày trên Về phương pháp tích phân phần thường có số dạng thường gặp sau :  B MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP VÀ GỢI Ý CÁCH GIẢI   ax  I P  x  e dx      I  P  x  sin axdx       I  P x cosaxdx      I Tích phân dạng : Trong đó : P(x) là đa thức, a là số Gọi ý cách giải : - Sử dụng phương pháp tích phân phần cách chọn : U=P(x) suy du = P'(x)dx  e ax dx  dv  sin axdx  cosax   ax ae   v   cosax  a   sin ax  a Sau đó thay vào công thức (*) Một số ví dụ minh họa Ví dụ ( KD-2006) Tính tích phân sau : a I  x   e2 x dx ln b I   x  x  e x dx Giải u  x   du dx ; dv e x dx  v  e x a Đặt : Thay vào công thức (*) ta có : 1 1  3e 1 I   x   e x  e2 x dx    e2    e2 x  20 2 4 b Đặt : u  x  x  x  du  x   dx ; dv e dx  v e x Thay vào công thức (*) ta có : ln Tính : I  x  x  e x ln  ln x  x   e dx ln ln  x   e x  2ln  e  J  1 J   x   e x dx   x   d  e x   x   e x ln  ln e x ln 2dx   x   e x  2e x  ln  ln       e 6 ln  12  2e I  ln  2ln  e    ln  12  2e  ln  8ln  12  e Thay vào (1) ta có : Ví dụ Tính các tích phân sau  a  x   x  3 sin xdx b  x  1 cos xdx Giải  a  x  x  3 sin xdx cos2x u  x  x  3  du  x   dx; dv sin xdx  v  - Đặt : - Thay vào (*) :  2    1 1     I   x  x  3 cos2x+  x   cos2xdx     2     1   J     2     J  1 20         - Tính :       1  J  x   cos2xdx   x   d  sin x     x   sin x  sin xdx  cos x  20 0   0    1     8  I    2             - Thay vào (1) ta có :  cos2x cos x  b Vì : Cho nên :      1 12   cos2x   I  x  1 cos xdx  x  1  dx  x  dx   x  1 cos2xdx     2 2   0 0       2   1  1   x  x    x  1 d  sin x       x  1 sin x  sin x.2dx    20 2   0     2  1 2      cos2x     8    = * Chú ý : Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau : - Bậc P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân phần càng lớn : Nếu bậc P(x) cao là thì ta phải láy hai lần tích phân phần thì kết  - Tổng quát : Nếu gặp phải các tích phân có dạng : phải sử dụng các công thức hạ bậc :  P( x)sin  n axdx  n P  x cos axdx  Ta  cos2x  cos2x 3sin x  sin x 3cos x  cos3x sin x  ; cos x  ;sin x  ; cos x  2 4 Như : Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi ý đã biết Ví dụ Tính các tích phân sau x  a  x  3x  1 e c 2x dx b x2 x e dx x xe  x   dx ( Cao đẳng GTVT-2004 ) Giải x  a  x  3x  1 e2 x - Đặt :  - u  x3  x  3x  1  du  3x  x  3 dx ; dv  dx  v  x 2x e e Thay vào (*) 1  3x  x   x  x  x   2    dx 2   J  1 2x 2x 0 e e e  - Đặt : J  dx u1  x  x  3  du1  x   dx ; dv1  Tương tự : Ta tính J dx  v1  x 2x e e Do đó : 1 6x  4 x  x    x dx 6   K     2x 0 e e e - Ta tính +/ Đặt : 6x  K  x dx e u2 6 x   du2 6dx ; dv2  +/ Do đó : dx  v2  x 2x e e 1 6dx 1 K  x  x    2 x    x    0 e e e e e     1   3 e  - Thay (3) vào (2) : b 4  2( 2) 2  2 e e Lại thay vào (1) ta có : 4 14      6  2 e e  e  I 2  J 6  x2 dt 2 xdx; x 0  t 0, x 1  t 1 t x   t  f ( x) dx te dt Đặt : 1 1 1 t I t.e dt  t.d  et    t.et  et   20 2 x x e dx x e xdx Do đó : x 2e x  x   dx c Cách Ta giải hai cách : - Đặt : u  x 2e x  du  x.e x  x 2e x  dx xe x   x  dx ; dv  I  x 2e x x2 dx  x  2  v  x2 2 x 2e x dx   xe x dx  e2   xe x  e x  1 x2 0   - Vậy : Cách ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân phần sau ) dt dx, x 0  t 2; x 2  t 4  t x    t   et     dt  t    et  dt  f ( x )dx  t t    - Đặt 4 t e I tet  dt   dt  4et  dt J  K  L  1 t 2 - Suy : - Các tích phân J,K,L các em có thể tính * Chú ý : Qua ví dụ ta có số nhân xét quan trọng sau  - Đối với tích phân có dạng : eax I  dx P ( x )  , ta có thể áp dụng cách giải dạng  I P( x)e ax dx  tích phân - Ta có thể kết hợp hai phương pháp : đổi biến số và tích phân phần Nghĩa là trước lấy tích phân phần , ta đổi biến số Ví dụ Tính các tích phân sau  a  x  x  3 sin xdx b  c  x d Giải a  x  x  3 sin xdx xdx  cos x dx  x.sin x cosxdx - Đặt : u  x  x   du  x   dx , dv sin xdx  v  cos2x Thay vào (*)  -  14 I  cos2x  x  x  3   x   cos2xdx   J  1 20 2      1  J  x   cos2xdx   x   d  sin x    sin x  x    2sin xdx  20   0   - Tính :            cos2x    1  5  4  I         2 2 16  Thay vào (1)     2 1   cos2x  x.sin xdx x   dx   xdx   2  0   b       12   11 x.cos2xdx    x  x.d  sin x    2 20              1  8  2 1     x.sin x   sin xdx     cos2x      2   16   0         c     x   dx x.d  t anx  x.t anx  t anxdx   ln  cosx    ln 2  cos x 4 0 0  2 x cosxdx d - Đặt : u x  du 2 xdx , dv cosxdx  v=sinx        2 2     I  x s inx  2 x.s inxdx   x.d  cosx     x.cosx  cosxdx  4   0 0   Do đó :   2  2     s inx        II Tích phân dạng : Gợi ý cách giải : P( x).ln k xdx  u ln k x  du k ln k  x dx , dv P ( x)dx x - Đặt : Một số ví dụ minh họa và chú ý : Ví dụ Tính các tích phân sau e a x ln xdx ( KD-2007) b ln  x  x  dx ( KD-2004 ) c e e ln xdx x d Giải ln xdx ( Tham khảo 2005 ) e a x ln xdx - Đặt : u ln x  du 2 ln x dx , dv x3 dx  v  x x e e e x4 e4 e4 I  x ln x  2 ln x dx   x ln xdx   J  1 41 x 21 - Do đó : e J x ln xdx - Tính +/ Đặt : u1 ln x  du1  +/ Do đó : dx , dv x dx  v  x x e 1e e 4 e 3e 1 J  x ln x  x3 dx   x  41 4 16 16 I Thay vào (1) ta có : e  3e   5e      16  32 b ln  x  x  dx - Đặt : u ln  x  x   du  I x.ln  x  x   2 - Do đó : 2x  dx, dv dx  v  x x2  x x  x  1 dx 3ln  2ln   x  x  1 x  1 dx x  ln 54  2dx  d  x  1 ln 54   ln  x  1 3ln  2 x  e c ln xdx - Đặt : u ln x  du 3ln x - Do đó : +/ Đặt : e e I x ln x  3ln xdx e  J  1 1 u1 ln x  du1  +/ Do : +/ Thay vào (1) : e d ln xdx e .Tính : J ln xdx ln x dx, dv1 dx  v1  x x e e J x ln x  2ln xdx e  1  e e  e  x ln x  dx  e   x ln x  x  e   1   I e   e   6  2e x dx , dv dx  v  x x - Đặt : u ln x  du  dx , dv x dx  v  x3 x e 1e e3 e 2e3  I  x ln x  x dx   x  31 3 9 - Do đó : * Chú ý : Lũy thừa kcủa lnx số lần lấy tích phân phần , số lần lấy tích phân phần không phụ thuộc vào bậc đa thức P(x) Ví dụ Tính các tích phân sau : a  ln x  x 1 2 dx ( KB-2009 ) b ln x x dx ( KD-2008 ) ln  x  1 dx x c ( CĐ khí luyện kim-2006 )  Giải a  ln x  x 1  dx  - Với :  x  1 3  x  1 dx   ln x  x  1 dx  1 3  x 1 dx  27 ln 3 3 ln x ln x ln  1  ln x dx   dx     dx   ln  16   x  1 x  x  1  x x 1  x 1  x  1 - Với : I  Thay vào (1) : ln x dx  b x ln 27 27  ln 16  16 4 - Đặt : u ln x  du  I  - Do : dx dx , dv   v  x x 2x 2 dx ln 2  ln ln x      21 x 2x x2 16 2 ln  x  1 ln  x  1 ln  1  dx   dx  ln      dx    x x x x  x x      1 c ln ln ln  3ln  x 2 ln   ln   ln   ln  2  x 1   * Chú ý : Qua ví dụ ta thấy tích phân dạng :  I P( x) ln xdx  cho tích phân dạng : Ví dụ Tính các tích phân sau ln x P( x) dx  , có thể áp dụng cách giải x ln   x  dx a ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )  3 b x ln  x   dx CĐTCKT-2006 ) c ln  t anx   sin x  dx (CĐTCHải quan -2006 ) Giải a 1  1 2 2 ln  x d  x   x ln  x  d 1  x2              0 20     ln  1  0 2 x ln   x  dx  1   ln    x  2 b x ln  x   dx dt 2 xdx; x 0  t 5, x 3  t 14  t x     f ( x)dx x ln   x  dx  ln tdt - Đặt : 14 14 14 ln14  5ln  11 1 I  ln tdt   t ln t  t   25 2 - Do đó :  ln  t anx  1 dx  ln  t anx  d  ln  t anx     ln  t anx    ln   ln   sin x 2 16  4 c     Cách khác : dx dt  dt= cos x   t  dx  dx 1  t t t anx   2t  x   t 1; x   t  sin x    1 t2 - Đặt : Với : ln t dt  2t  t 2 1 t I  - Khi đó : +/ ln t t dt  J  1 ln t J   dt  ln t.d  ln t   ln t  ln   ln t 1   I  ln 16 +/ Thay vào (1) ta có : * Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước lấy tích phân phần   I eax sin bxdx  J e ax cosbxdx   III Tích phân dạng : Gợi ý cách giải  Gọi hai tích phân trên Sau đó ta tính tích phân I cách : Đặt 1 u eax  du  eax ; dv sin bxdx  v  cosbx a b , ta có kết dạng :  I= A+mJ I-mJ=A (1)  Sau đó để tính tích phân J ta làm tương tự cách : Đặt 1 u eax  du  e ax ; dv cosbxdx  v  sin bx a b , ta có kết dạng :  J=B+nI J-nI = B (2)  Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta tìm I và J Ví dụ minh họa : Ví dụ Tính các tích phân sau :  a e 2x cos3xdx b  c  e 2x I  e 3x sin 5xdx sin xdx d (e x2 ( CĐKTKT-2005) sin x  e x x )dx 1 ( ĐHTN-2000) Giải  a e 2x cos3xdx e x  du 2e x , dv cos3xdx  v= sin x Đặt : u=  I  sin x.e x - Do đó :  e 2x  2x 2  e sin xdx  e  J  I  J  e  1  30 3 3 sin xdx - Tính J = Đặt : u e x  du 2e x dx; dv sin 3xdx  v  cos3x  J  cos3x.e 2x - Do :  2 2x 2  e cos3xdx   I  J  I     30 3 3  3e  - Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình Giải hệ ta có I= 13  b I  e 3x sin 5xdx Đặt : u e3 x  du 3e3 x dx; dv sin xdx  v  cos5x  - Do đó : 3  3x 3x e2 3 32 I  e cos5x  e cos5xdx   J  I  J  e 50 5 5  1 u e3 x  du 3e3 x dx; dv cos5 xdx  v  sin 5x - Ta lại đặt :  - Do đó : 3  3x 3x e2 3 3 I  e sin 5x  e sin 5xdx   I  J  I  e 50 5 5  2 1 32 I  J  e 20 - Từ (1) và (2) ta tính :  c e 2x    2x   2x sin xdx  e   cos2x  dx   e dx  e 2x cos2xdx  20  0  2x   2x 1  e  e cos2xdx  e2   J  1 0 4   e 2x  cos2xdx u e x  du 2e x dx; dv cos2xdx  v= sin x - Tính J= Đặt :  1 1 J  e x sin x  e x sin xdx  K   20 2 - Do đó : Ta tính K u e x  du 2e2 x dx; dv sin 2xdx  v= cos2 x - Lại đặt :   1 K  e x cos2 x  e x cos2 xdx   e 2  1  J  K  J   e 2  1  3 0 2 - Do đó : Từ (2) và (3) ta tính : (e x2 J 1  e 2  I   e  1  2 , sau đó lại thay vào (1) x sin x  e x )dx  (e x2 x 2 sin x  e x )dx  (e x sin x  e x x )dx J  K  1 1 d  - Tính J: Đặt t=-x suy dt=-dx Khi x=0 thì t=0;x=-1 thì t=1 Khi đó : 2 J et sin   t    dt   et sin tdt  e x s inxdx  J  J 0  J 0 0 x x +/ Tính K : Đặt u x  du 2 xdx; dv e dx  v e K  x e x +/ Do :   1 x 1  x.e dx e  x.d  e x  e   x.e x  e x dx  0 0    1 e   e  e x   e   e  1 e  0  - Vậy : I=K= e-2 Ví dụ Tính các tích phân sau a b /4 c /2 x e sin (x)dx   tgx  e sin x  cos x dx (DB-2005) Giải e cos x sin 2xdx ( DB-2004) a e x x  1 sin (x)dx e    cos2x  1 x x dx  e dx  e c os2  xdx      2    1  e 1   ex  J    J  1 2  2 Tính J : u e x  du e x dx; dv cos2 xdx  v= sin 2 x - Đặt : - Do đó : 1 11 1 1 J  e x sin 2 x  e x sin 2 xdx   e.sin 2  sin   e x sin 2 xdx  K  1  20 2 2 2 u e x  du e x dx; dv sin 2 xdx  v  cos2 x +/ Tính K : Đặt 1 x 1 K  e x cos2 x  e cos2 xdx   e  1  I  2  2 2 2 2 +/ Do : Từ (1) và (2) ta có :   e  1 e  1   e  1  e e  4     e  1 I   I  I  I   I  I     2  2  2  2  4 8 8 2  4 1  4  /2  0 1 cos x cosx t t  e sin 2xdx 2 e cosx  sinxdx  2 e t   dt  2 e dt b  2 e t  t  2  e   1 2  e    t 1, x   t 0 Vì :  t cosx  dt=-sinxdx Khi x=0 thì /   tgx  e c sin x    0 cosx dx t anxdx  e sinxcosxdx    ln sinx sinx  ln cosx  e d  sinx   ln e e 4 2 0 2 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính các tích phân sau  a  e x  cosx  cosxdx  x.tan  b 2 x.sin xdx x cosxdx c e xdx d Bài Tính các tích phân sau  e x.ln xdx 0 f x  e 1 2x   x  dx  a  x.s inxcos xdx e ln x  x 1 dx e d Bài Tính các tích phân sau  a e b e 3x sin xdx b xcos x dx  d Bài Tính các tích phân sau x 2e x  x   e dx d Bài Tính các tích phân sau e ln  x  1 dx  x  b f x.sin ln  s inx  dx  cos x  x cos xdx d Bài Tính các tích phân sau e x ln  x 1 dx b sin x s inxcos3 xdx c  x  sin x  cosxdx e 2x  x   e dx x f c  1 x  x.ln   x  dx 2  x  x  ln xdx x ln xdx f ln x dx  s inxln  1+cosx  dx   x   s inx x e dx  1+cosx  sin xdx  c   a e  1 x ln    dx  x  b cos  ln x  dx s inx.ln  cosx  dx 2x  2  e2 a c e   2 a  x.s inx dx  1+cosx ln  t anx  dx e x dx ln xdx f  x  1