Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp.[r]
(1)Vấn đề1: Sai lầm tính tích phân 1 Đổi biến số nhng không đổi cận.
VD1: tÝnh tÝch ph©n
2
0
1
I x dx
Gi¶i:
Lời giải sai: đặt xsint suy dx=costdt
4 4
2
0 0
1 cos
1 sin cos cos
2
t
I t t dt t dt dt
Lời giải đúng:
ĐỈt x = sint suy dx=costdt
0
sin
4
x t
x t arc
arcsin arcsin arcsin
4 4
2
0 0
1 cos
1 sin cos cos
2
1
arcsin sin 2arcsin
2 4
t
I t t dt t dt dt
2 Khi đổi biến khơng tính vi phân
VD2: tÝnh
5 0(2 1)
dx I
x
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
đặt t = 2x +
1
0
x t
x t
3
5
1
3 1 20
1
4 81
dt t
I t
Lời giải đúng:
đặt t= 2x+1 suy dt= 2dx
1
0
x t
x t
3
5
1
3 1 10
1
2 8 81
dt t
I t
(2)VD1: TÝnh
0
x
I x e dx
Gi¶i: * lêi gi¶i sai:
đặt
'
' x x
u x u
v e v e
2
0
2
1
x x
I xe e dx e
*Lời giải đúng: đặt
x x
u x du dx
dv e v e
2
0
2
1
x x
I xe e dx e
Vấn đề 2: sai lầm chứng minh đẳng thức tích phân
vÝ dơ 1:cho n N ; CMR
2
0
sin sin
I x nx dx
* Lêi giải sai:
xét f(x)=sin(sinx+nx) 0; 2 ta có: f(x) hàm liên tục 0; 2 f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x) f(x) hàm lẻ I=0
*Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý “ Nếu hàm số f(x) hàm lẻ,liên tục [-a;a]
a
a
f x dx
=0”
* Lời giải đúng: Đặt x y
2
0
sin sin sin sin
I x nx dx y ny n dx
=
1n sinny siny dx
Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định , hàm liên tục va g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) g(y) hàm lẻ
VËy th× I=0
Ví dụ 2:cho hàm số f liên tục 0, H·y so s¸nh
0
sin
I xf x dx
vµ
0
sin
J f x dx
*Lời giải sai:
Tích phân phần: sin cos
u x du dx
dv f x dx v f x
0
cos cos
0
I xf x f x dx
(3)Do f liªn tơc /[0;]
0
cos 0 cos
f f I f x dx
(1) Mµ
0
sin
J f x dx
(2) Tõ (1) (2) ta có I J * Nguyên nhân sai lÇm:
Học sinh khơng hiểu hàm liên tục, tích phân vi phân * Lời giải đúng:
Đặt x t ta có:
0
0
sin sin
I xf x dx t f t dt
0
sin sin
f x dx xf x dx
0
2 sin sin
2
I f x dx I f x dx
VËy ta cã I=J
ví dụ 3:Cho hàm số f liên tục [a,b] CMR tồn điểm Ca b, cho:
c b
a c
f x f c dx f c f x dx
* Lêi gi¶i sai.
Do f liªn tơc trªn [a,b] f(x)-f(c)/ [a,c] b»ng f(x)-f(c) trªn [b,c] vËy ta cã:
c c b
a b c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx
* Nguyên nhân sai lầm:
Khơng hiểu hàm liên tục lên tính tích phân sai * Lời giải đúng:
áp dụng định lí giá trị trung bình tích phân ít điểm Ca b, cho:
b b
a a
f x dxf c b a f c dx
b c b
a a c
f x f c dx f x f c dx f x f c dx
Hay ta cã:
c b
a c
f x f c dx f c f x dx
(§PCM)
Vấn đề: Sai lầm tính diện tích hình phẳng tích phân
I KiÕn thøc chung
- Cho hàm số yf x khả tích a b; Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, y = f(x) , x = a, x = b :
b
a
S f x dx
(4)VD1: tÝnh diện tích hình phẳng giới hạn
2
9
0; 1;
y x
y x x
Lêi gi¶i sai:
DiƯn tÝch hình phẳng là:
4
2
1
4
(9 )
1
S x dx x x
Sai lầm: áp dụng sai cơng thứctính diện tích y Lời gii ỳng:
Diện tích hình phẳng là:
2
1
9
S x dx
3
2
1
3
(9 )
3
1 65 38
9 9
1
3 3
x dx x dx
x x x x
o x
2 Xác định không xác hình cần tính giới hạn
VD: tÝnh diện tích hình giới hạn bởi:
0;
1;
y y
y x x
Lêi gi¶i sai:
2 1 1
y x y x
0
1
y x
y x
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
3
2
2
1
1
3
S x dx x
Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích khơng vẽ đờng giới hạn Lời giải ỳng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là: S S 1S2 với :
2
1 1
S
2
3 2
1
2
2
1 1
1
3
4
S x dx x x
S
3 Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: T×m diƯn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:
1
2
2
6
3
;
2
y x x C
y x x C
x x
(5)Lêi gi¶i sai:
1 2;1
C C
1 x
VËy diÖn tích hình giới hạn là:
5
2
2
3
2
3
1
2
1 2
1 3
3 2 2
1 1
3 24 24 12
S x dx x dx
x x
Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)2 y=(x-3)2
Lời giải đúng:
1 2;1
C C
DiƯn tÝch h×nh giới hạn là: S S1S2
1 x
2
2
1
2
2
2
3
2 1
4 8 3
2
S x x dx
x dx x x
5
2
2
2
2
2
1
5 1
2
4 (2 )
2
S x x dx
x dx x x
VËy S =
1 1
2 2
Vấn đề: Dự kiến sai lầm tính thể tích khối trịn xoay tích phân.
I, công thức:
Cho hình phẳng giới hạn
0
0
0
2
b
b
y f x
Vox f x dx
y x a
Voy xf x dx
x b
1
2 2
1
d
c
x f y x
x g y x
Voy x x dx
c y d f y g y
(6)II, Một số sai lầm thờng gặp:
1 S dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
vÝ dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây hình trßn
2 0
x y b a a b
quay quanh trơc 0x
* Lêi gi¶i sai: y
Phơng trình đờng trịn (C):
2
x y b a
cã thÓ viÕt
2
2 2 2
2
2
y b a x C
y b a x x a
y b a x C
VËy thĨ tÝch cđa h×nh xuyÕn lµ: x
2 2 22
a
a
Vox b a x b a x dx
2 a b2
* Sai lầm: kết nhng sai cơng thức thể tích: 2
1
b
a
Voxy y dx
mµ
2
1
b
a
Voxy y dx
* Lời giải đúng:
2
2 2 2
a
a
Vox b a x b a x dx a b
2 Sư dơng nhÇm Voy
vÝ dơ: TÝnh Voy cđa h×nh
2
1
y x x x
* Lêi gi¶i sai:
2
4
1
2 31
5
x
Voyx dx
* Sai lầm: ĐÃ sư dơng c«ng thøc
2 b
a
Voyy dx
công thức tính diện tích Vox Vởy lời giải bị sai
* Li giải
1
2
1
15
2
2