Sai lầm khi tính tích phân

Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp.[r]

Vấn đề1: Sai lầm tính tích phân 1 Đổi biến số nhng không đổi cận.

VD1: tÝnh tÝch ph©n

2

0

1

I x dx



 

Gi¶i:

Lời giải sai: đặt xsint suy dx=costdt

4 4

2

0 0

1 cos

1 sin cos cos

2

t

I t t dt t dt dt

  

 

     

Lời giải đúng:

ĐỈt x = sint suy dx=costdt

0

sin

4

x t

x  t arc 

  

  

  

 

arcsin arcsin arcsin

4 4

2

0 0

1 cos

1 sin cos cos

2

1

arcsin sin 2arcsin

2 4

t

I t t dt t dt dt

  

 



   

 

   

 

  

2 Khi đổi biến khơng tính vi phân

VD2: tÝnh

5 0(2 1)

dx I

x

 



Gi¶i:

Lêi gi¶i sai:

đặt t = 2x +

1

0

x t

x t

  

  

  



3

5

1

3 1 20

1

4 81

dt t

I t



 

     

 



Lời giải đúng:

đặt t= 2x+1 suy dt= 2dx

1

0

x t

x t

  

  

  



3

5

1

3 1 10

1

2 8 81

dt t

I t



 

     

 

VD1: TÝnh

0

x

I x e dx

Gi¶i: * lêi gi¶i sai:

đặt

'

' x x

u x u

v e v e

 

 



 

 

 

 

2

0

2

1

x x

I xe e dx e

     

*Lời giải đúng: đặt

x x

u x du dx

dv e v e

 

 



 

 

 

 

2

0

2

1

x x

I xe e dx e

     

Vấn đề 2: sai lầm chứng minh đẳng thức tích phân

vÝ dơ 1:cho n N ; CMR

 

2

0

sin sin

I x nx dx



  

* Lêi giải sai:

xét f(x)=sin(sinx+nx) 0; 2 ta có: f(x) hàm liên tục 0; 2 f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x) f(x) hàm lẻ  I=0

*Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý “ Nếu hàm số f(x) hàm lẻ,liên tục [-a;a]

  a

a

f x dx

 =0”

* Lời giải đúng: Đặt x  y

   

2

0

sin sin sin sin

I x nx dx y ny n dx

 







     

=

 1n sinny siny dx 

 

  

Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định  ,  hàm liên tục va g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)  g(y) hàm lẻ

VËy th× I=0

Ví dụ 2:cho hàm số f liên tục 0, H·y so s¸nh

 

0

sin

I xf x dx





vµ

 

0

sin

J f x dx





*Lời giải sai:

Tích phân phần: sin  cos 

u x du dx

dv f x dx v f x

 

 

 



 

 

 

 

   

0

cos cos

0

I xf x f x dx





Do f liªn tơc /[0;] 

     

0

cos 0 cos

f f I f x dx



    

(1) Mµ

 

0

sin

J f x dx





 

(2) Tõ (1) (2) ta có I J * Nguyên nhân sai lÇm:

Học sinh khơng hiểu hàm liên tục, tích phân vi phân * Lời giải đúng:

Đặt x t ta có:

   

0

0

sin sin

I xf x dx t f t dt





 

       

0

sin sin

f x dx xf x dx

 



   

   

0

2 sin sin

2

I f x dx I f x dx

 

 

     

VËy ta cã I=J

ví dụ 3:Cho hàm số f liên tục [a,b] CMR tồn điểm Ca b,  cho:

       

c b

a c

f x  f c dx f c  f x dx

   

   

 

* Lêi gi¶i sai.

Do f liªn tơc trªn [a,b] f(x)-f(c)/ [a,c] b»ng f(x)-f(c) trªn [b,c] vËy ta cã:

           

c c b

a b c

f x  f c dx f x  f c dx f c  f x dx

     

     

* Nguyên nhân sai lầm:

Khơng hiểu hàm liên tục lên tính tích phân sai * Lời giải đúng:

áp dụng định lí giá trị trung bình tích phân  ít điểm Ca b,  cho:

       

b b

a a

f x dxf c b a  f c dx

 

           

b c b

a a c

f x f c dx f x f c dx f x f c dx

          

Hay ta cã:

       

c b

a c

f x  f c dx f c  f x dx

   

   

 

(§PCM)

Vấn đề: Sai lầm tính diện tích hình phẳng tích phân

I KiÕn thøc chung

- Cho hàm số yf x  khả tích a b;  Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, y = f(x) , x = a, x = b :

  b

a

S f x dx

VD1: tÝnh diện tích hình phẳng giới hạn

2

9

0; 1;

y x

y x x

   

  



Lêi gi¶i sai:

DiƯn tÝch hình phẳng là:

4

2

1

4

(9 )

1

S   x dx x x  

 



Sai lầm: áp dụng sai cơng thứctính diện tích y Lời gii ỳng:

Diện tích hình phẳng là:

2

1

9

S  x dx

 

3

2

1

3

(9 )

3

1 65 38

9 9

1

3 3

x dx x dx

x x x x

   

   

        

   

 

o x

2 Xác định không xác hình cần tính giới hạn

VD: tÝnh diện tích hình giới hạn bởi:

0;

1;

y y

y x x

 

 

  



Lêi gi¶i sai:

2 1 1

y  x  y x

0

1

y x

y x

  

 

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

 

2

3

2

2

1

1

3

S  x dx x 

Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích khơng vẽ đờng giới hạn Lời giải ỳng:

Vẽ hình giới hạn:

Vậy diện tích hình giới hạn là: S S 1S2 với :

2

1 1

S  

   

2

3 2

1

2

2

1 1

1

3

4

S x dx x x

S

 

       

 

 



3 Xác định sai hình cần tính giới hạn.

VD: T×m diƯn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:

   

1

2

2

6

3

;

2

y x x C

y x x C

x x



  

 

  

 

  

Lêi gi¶i sai:

 

1 2;1

C C 

1 x

VËy diÖn tích hình giới hạn là:

   

   

5

2

2

3

2

3

1

2

1 2

1 3

3 2 2

1 1

3 24 24 12

S x dx x dx

x x

   

   

   

      

   

 

Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)2 y=(x-3)2

Lời giải đúng:

 

1 2;1

C C 

DiƯn tÝch h×nh giới hạn là: S S1S2

1 x

   

   

2

2

1

2

2

2

3

2 1

4 8 3

2

S x x dx

x dx x x

 

   

 

      

 

   

 

5

2

2

2

2

2

1

5 1

2

4 (2 )

2

S x x dx

x dx x x

 

   

 

    

 

VËy S =

1 1

2 2 

Vấn đề: Dự kiến sai lầm tính thể tích khối trịn xoay tích phân.

I, công thức:

Cho hình phẳng giới hạn

 

   

0

0

0

2

b

b

y f x

Vox f x dx

y x a

Voy xf x dx

x b



 

 

  



 



 



  

  

 

 

       

1

2 2

1

d

c

x f y x

x g y x

Voy x x dx

c y d f y g y



 

 

 



  



  

 



II, Một số sai lầm thờng gặp:

1 S dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:

vÝ dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây hình trßn    

2 0

x  y b a a b

quay quanh trơc 0x

* Lêi gi¶i sai: y

Phơng trình đờng trịn (C):  

2

x  y b a

cã thÓ viÕt

   

   

2

2 2 2

2

2

y b a x C

y b a x x a

y b a x C

   



    

   



VËy thĨ tÝch cđa h×nh xuyÕn lµ: x

 2 2 22

a

a

Vox  b a x b a x dx



 

       

 

 2 a b2

 

* Sai lầm: kết nhng sai cơng thức thể tích:  2

1

b

a

Voxy  y dx

mµ

2

1

b

a

Voxy  y dx

* Lời giải đúng:    

2

2 2 2

a

a

Vox  b a x b a x dx a b



       

2 Sư dơng nhÇm Voy

vÝ dơ: TÝnh Voy cđa h×nh

2

1

y x x x

  

    

* Lêi gi¶i sai:

2

4

1

2 31

5

x

Voyx dx

* Sai lầm: ĐÃ sư dơng c«ng thøc

2 b

a

Voyy dx

công thức tính diện tích Vox Vởy lời giải bị sai

* Li giải

1

2

1

15

2

2