SKKN một số cách vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học lớp 7

PHÒNG GD&ĐT QUẢNG XƯƠNG TRƯỜNG PHẦN THỨ THCS NHẤT: QUẢNG PHẦN MỞLƯU ĐẦU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ CÁCH VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP Người thực hiện: Bùi Cơng Thắng Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THCS Quảng Lưu SKKN thuộc mơn: Tốn QUẢNG XƯƠNG, NĂM 2021 NỘI DUNG Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Những giải pháp 2.3.1.Các phép dựng hình 1.3.2 Một số phương pháp vẽ đường phụ để chứng minh hình học Kết luận, kiến nghị - Kết luận - Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục SKKN hội đồng SKKN đánh giá, xếp loại cấp phòng GD - ĐT trở lên Trang 01 01 02 03 03 03 03 03 06 06 07 18 18 19 20 21 Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài Đảng ta xác định giáo dục quốc sách hàng đầu Nhà nước đầu tư trí tuệ, tiền của, nhân lực để phát triển ngành giáo dục nước nhà nhằm đáp ứng yêu cầu mà xã hội cần, theo kịp phát triển xã hội đại Mục tiêu giáo dục phổ thơng giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc Năm học 2020 - 2021 tiếp tục năm học đổi phương pháp dạy học, đẩy mạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin, năm học thực chương trình sách giáo khoa 2018 lớp 1, năm học chuẩn bị thực chương trình sách giáo khoa 2018 lớp Thực nghị 29 Đảng đổi bản, toàn diện giáo dục Ngành giáo dục thực tốt thị Đảng, đạo phủ định hướng phát triển ngành giáo dục nước nhà.Trong năm gần ngành giáo dục thực hàng loạt biện pháp, chương trình hành động nhằm phát triển ngành giáo dục nước nhà đem lại hiệu rõ rệt là: áp dụng khoa học kỹ thuật đại, cải tạo sở vật chất, chuẩn hoá, bồi dưỡng đội ngũ giáo viên Tuy nhiên điệu kiện để làm điều gặp khơng khó khăn là: Học sinh học tập chương trình cịn tính lý thuyết, khả thực hành, sáng tạo, trải nghiệm chưa cao Đa số trường vùng sâu, vùng xa, vùng biên giới hải đảo, vùng nơng thơn, miền núi có sở vật chất không đáp ứng yêu cầu mà chương trình đề ra, Số đơng giáo viên chưa tiếp cận với chương trình dạy học phát triển lực theo tinh thần nghị số 29-NQ/TW đổi toàn diện giáo dục Để giải vấn đề cách đầu tư đồng sở vật chất, trang thiết bị dạy học, đội ngũ giáo viên, đội ngũ quản lí mà kết hợp trang thiết bị phương pháp dạy học với phương pháp dạy học truyền thống sáng kiến trình dạy học mà đạt kết tốt trình dạy học Hình học số học khoa học có từ lâu đời gắn bó mật thiết với Ở chương trình THCS hình học chiếm lượng Các toán chứng minh hình học thuộc loại tốn khó, làm cho học sinh phổ thông, trung học sở, kể học sinh giỏi lúng túng gặp dạng toán Thực phần quan trọng hình học Việc dạy học mơn tốn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục học sinh, nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kĩ tốn học phổ thơng bản, đại sát với thực tiễn Việt Nam có khả vận dụng tri thức vào tình cụ thể khác vào đời sống, vào lao động sản xuất vào việc học tập mơn khác… Trong q trình dạy học tốn nói chung trình dạy học giải hình học nói riêng, người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: sau tìm lời giải tốn dù đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục nghiên cứu tìm hơn, tìm mối liên hệ vấn đề … tìm kết bất ngờ thú vị Năm học 2020-2021, thân Ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn giao nhiệm vụ giảng dạy môn tự chọn toán lớp hỗ trợ đồng nghiệp Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp Đây khối lớp mà em học sinh bước đầu làm quen với việc chứng minh hình học Trong trình giảng dạy, tơi đồng nghiệp ln trọng tới việc giúp em giải tốn hình học tạo cho em hứng thú bắt đầu học tập môn Qua việc giảng dạy đại trà bồi dường HSG, đứng trước nhiều tốn hình học khó tơi tìm cách giải mà nhiều em học sinh hỏi: “Tại thầy lại nghĩ cách vẽ thêm yếu tố phụ vậy, ngồi cách vẽ cịn có cách khác khơng ? ” hay “tại vẽ thêm giải tốn ? ”Gặp phải tình vậy, thật người giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu không cao, học sinh không nghĩ cách làm gặp tốn tương em chưa biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho tốn, hiệu cao Đã có nhiều tài liệu, chuyên đề, sáng kiến viết việc vẻ thêm yếu tố phụ chứng minh hình học, tác giả nêu số cách nêu chưa đầy đủ không rõ vẽ thêm yếu tố phụ Vì vậy, viết sáng kiến “Một số cách vẽ đường phụ tốn chứng minh hình học lớp 7” nhằm giải vấn đề đặt 1.2 Mục đích đề tài Bài tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ dạng tốn khó học sinh, hấp dẫn kích thích lực sáng tạo em Việc gợi mở cho học sinh nội dung kiến thức giải tốn có kẻ thêm đường phụ cần thiết, sở giáo viên cung cấp đầy đủ kiến thức cho học sinh Với việc phân dạng tốn hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời sâu vào hướng dẫn số toán cụ thể tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho trình độ kiến thức, góp phần gợi phương pháp giải toán cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp việc kẻ thêm đường phụ Vì tơi nghiên cứu vấn đề “Một cố cách vẽ đường phụ tốn chứng minh hình học lớp 7” với mục đích áp dụng vào giảng dạy giúp học sinh trang bị kiến thức kỹ cần thiết để giải toán dạng này, qua tăng cường khả tư duy, rèn kỹ giải tốn hình học cho học sinh, đồng thời phát triển tư duy, tính sáng tạo cho học sinh, làm cho học sinh thêm u thích mơn học tốn, phần thấy giảm bớt khó khăn với dạng tốn khó 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các tốn chứng minh hình học tốn có liên quan Học sinh khá, giỏi Trường THCS, Quảng Lưu nói riêng học sinh THCS nói chung 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tự nghiên cứu thông qua tài liệu, thông qua lớp học bồi dưỡng, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Phòng GD& ĐT tổ chức Kết hợp nghiên cứu lí thuyết thực tiễn giảng dạy Trường THCS, Quảng Lưu Thảo luận, học hỏi kinh nghiệm giáo viên nhà trường đơn vị bạn 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Những vấn đề sở lý luận Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ dạng toán quan chương trình hình học bậc THCS nói chung hình học nói riêng, đáp ứng u cầu này, tảng, làm sở để học sinh có tầm nhìn cao việc phát tìm lời giải tốn Các tốn hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ tốn khó với học sinh THCS Bởi để giải tốn dạng khơng yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kỹ giải tốn định, có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) địi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hố, đặc biệt hố Hay nói cách khác giải toán phải kẻ thêm đường phụ sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đường phụ để giải tốn hình mặt phương pháp biểu mức độ cao kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý hay cịn gọi quy lạ quen Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt tốn hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên ngược lại, giải điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức môn học 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.2.1: Những vấn đề sở lí luận có liên quan Mục tiêu giáo dục bậc THCS đào tạo hệ học sinh phát triển toàn diện, giáo dục học sinh mặt: Đạo đức, trí tuệ, văn thể mỹ giáo dục ý thức lao động Năm học 2020 - 2021 tiếp tục năm học đổi phương pháp dạy học, đẩy mạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” Giáo viên người tố chức, hướng dẫn học sinh, học sinh người chủ động hoạt động hoạt động học tập từ em tự khai thác vấn đề đặt ra, chủ động hồn thành cơng việc giao hướng dẫn giáo viên Từ em tiếp thu kiến thức cách chủ động, sáng tạo, tự học, có kĩ vận dụng vào thực tiễn.Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú cho học sinh trình học tập Hiện học sinh trường THCS yếu kỹ vận dụng lí thuyết vào giải tốn nói chung Đối với học sinh học sinh THCS em có tư chưa cao, khả suy luận lơ gíc cịn hạn chế Bồi dưỡng học sinh giỏi hoạt động thiếu trường THCS nói riêng Đánh giá chất lượng ngành học ngồi việc nhìn vào chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn góp phần khơng nhỏ Làm để vừa trì chất lượng Giáo Dục tồn diện vừa làm tốt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Đòi hỏi người thầy phải đổi phương pháp dạy trò phải đổi phương pháp học phù hợp với xu phát triển chung Giáo Dục giới Nếu trang bị cho học sinh kiến thức đơn sách giáo khoa tầm nhìn học sinh bị hạn chế Nếu tảng kiến thức từ cấp THCS học sinh không vững, khơng sâu, khả tư phát triển hệ trẻ Việt Nam khó bắt nhịp với tốc độ phát triển đến chóng mặt khu vực giới Vì việc giáo dục toàn diện bồi dưỡng HSG trường THCS việc làm thiếu, điều kiện giúp em thực lời dặn Bác Hồ “ Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng dân tộc Việt nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng nhờ phần lớn công học tập em ” Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, mà sáng tạo trong giải toán, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn cách ngắn gọn khơng phải cơng việc tuỳ tiện Trong q trình giảng dạy, giáo viên học sinh cịn có tính ỉ lại, bỏ qua hay “ngại” với toán hình học có liên quan đến yếu tố phụ Hoặc có làm qua loa, vẽ hình tùy tiện dẫn đến rối hình, khơng đưa lời giải 2.2.2 Thực trạng giáo viên Chưa tìm cách dạy phù hợp, chưa nhận thấy tầm quan trọng định lí, tính chất, tốn hay khó mà việc chứng minh phải vẽ thêm đường phụ Do trang thiết bị dạy học cịn thiếu, giáo viên ứng dụng cơng nghệ thơng tin giảng dạy cịn mang tính hình thức (chỉ sử dụng CNTT với tiết thao giảng) Việc vẽ thêm đường phụ dạy học chứng minh hình học thường thực theo số cách sau đây: - Giáo viên áp đặt việc vẽ thêm yếu tố phụ, chưa hướng dẫn học sinh suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ, chưa hướng dẫn học sinh suy luận tìm cách vẽ đường phụ hợp lí phục vụ cho chứng minh - Yêu cầu học sinh tự đọc SGK tìm hiểu đường phụ vẽ thêm sau trình bày lại cách vẽ đường phụ - Giáo viên vẽ yếu tố phụ cố gắng lí giải tác dụng đường phụ vẽ thêm việc chứng minh toán 2.2.3 Thực trạng học sinh Trong trình dạy học sinh giải tốn Hình học lớp 7, thấy học sinh thường gặp số khó khăn sau đây: - Khó khăn việc giải tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ - Chưa biết suy luận, tư logic, trí tưởng tượng hình học để thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ - Vẽ đường phụ tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải toán - Học sinh thường thụ động tiếp nhận cách chứng minh giáo viên sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo Sau vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu xem người ta lại kẻ thêm đường phụ - Học sinh khơng có thói quen tìm hiểu: sao? nào? Sao lại vẽ đường phụ này? vẽ đường phụ khác có khơng? 2.2.4 Về chương trình Sách giáo khoa , sách tập đề cập đến tốn liên quan đến vẽ đường phụ tốn chứng minh hình học lớp 7 2.5 Phương tiện dạy học Đồ dùng dạy học, “Dụng cụ thí nghiệm, đo đạc thiếu, chưa xác khơng có mỹ quan Phương tiện nghe, nhìn số phương tiện đại đảm bảo cho việc dạy học 2.2.5 Cơ sở vật chất Cơ sở vật chất đầy đủ để trì việc dạy học khố học bồi dưỡng có đủ phịng chức năng, phịng thí nghiệm, thư viện tiến tiến đại Từ thực trạng thúc tìm tịi phương pháp giúp học sinh hứng thú với mơn Tốn học từ em có kết học tập cao Một phương pháp theo đem lại hiệu sõ rệt là: Hướng dẫn cho học sinh tiếp cận với vấn đề chủ đề cách nhẹ nhàng, đơn giản vận dụng vào thực tiễn Trong trình giảng dạy, xây dựng nghiên cứu đề tài thân nhận thấy đa số học sinh tiếp cận với ““Một số cách vẽ đường phụ tốn chứng minh hình học lớp 7” bỡ ngỡ khơng hiểu cách làm đặc biệt vận dụng kiến thức tính tổng vào giải tốn có liên quan.Vì việc “Rèn luyện kỹ giải tốn hình học cần “ vẽ đường phụ toán chứng minh hình học lớp 7” cần thiết 2.3 Những giải pháp 2.3.1 Các phép dựng hình Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình sau: Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Dựng góc góc cho trước Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Dựng tia phân giác góc cho trước Qua điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước Qua điểm nằm đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh góc xen giữa, cạnh hai góc kề … Qua tốn mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải kết tốn hình thức: Kiểm tra kết quả, xem lại cách lập luận Nghiên cứu, tìm tịi, …tìm cách giải khác tốn, thay đổi kiện tốn để có tốn mới, tốn cho có liên quan đến tốn giải trước khơng ? Trong đề tài việc hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm đường phụ, tơi cịn minh họa cách khai thác, phát triển kết toán quen thuộc Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị giải tốn hình học 2.3.2 Một số phương pháp vẽ đường phụ để chứng minh hình học Phương pháp 1: Nối hai điểm có sẵn hình vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng a Mục đích: Vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng nhằm làm xuất tam giác có mối liên hệ góc cạnh với tam giác có hình vẽ b Trường hợp sử dụng: Ta thường dùng cách vẽ hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác …) thường chưa có có mối B A liên hệ độ dài, góc Bài tốn 1: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC = BD (Bài 38/ 124 SGK Toán tập 1) C D (Bài tốn cịn phát biểu dạng: Chứng minh định lí “Hai đoạn thẳng song song bị chắn hai đường thẳng song song nhau”) Phân tích: Để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo tam giác chứa cặp cạnh trên hình vẽ lại khơng có hai tam giác nhau, cần tạo hai tam giác chứa cặp cạnh Yếu tố phụ cần vẽ nối B với C nối A với D B A Lời giải: GT AB // CD; AC // BD KL AB = CD; AC = BD C D · · Xét ∆ ABD ∆ DCA có: BDA ( so le AB // CD) = CDA AD cạnh chung · · ( so le AC // BD) ADB = DAC ⇒ ∆ ABD = ∆ DCA ( g – c – g) ⇒ AB = CD; AC = BD ( cạnh tương ứng) Nhận xét khai thác toán: Việc nối AD làm xuất hình vẽ hai tam giác có cạnh chung AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta cần chứng minh ∆ ABD = ∆ DCA Do hai tam giác có cạnh (cạnh chung) nên cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh vận dụng trường hợp g.c.g Điều thực nhờ vận dụng tính chất hai đường thẳng song song Sau tập giáo viên đặt vấn đề hình vẽ có AB = CD; AC = BD kết luận AB//CD AC//BD hay không cho HS tự chứng minh Bài toán 2: Cho O trung điểm đoạn thẳng AB; nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax, đường vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh CD = AC + BD Phân tích : Để chứng minh CD = AC + BD ta cần tạo đoạn thẳng trung gian để so sánh, từ thấy có hai hướng: - Một lấy điểm I CD cho CA = CI chứng minh cho BD = ID, chứng minh điều không đơn giản - Hai kéo dài CO cắt BD E, dễ dàng chứng minh CA = BE CD = DE Lời giải: Gọi E giao điểm CO BD · · · · Xét ∆ACO ∆BEO có : OAC (đ đ) = OBE = 900 ; AO = BO (gt); AOC = BOE =>∆ACO = ∆BEO (g.c.g) => AC = BE OC = OE (1) · · Xét ∆COD ∆EOD có : COD = EOD = 900 ; DO chung; OC = OE ( theo (1) =>∆COD = ∆EOD (g.c.g) => CD = DE mà DE = BD +BE = BD + AC nên ta có CD = AC +BD ( đpcm) Nhận xét: Nhờ việc vẽ giao điểm làm xuất tam giác nhau, đoạn thẳng làm xuất đoạn thẳng trung gian DE làm cho việc chứng minh toán trở nên đơn giản Phương pháp 2: Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước a Mục đích: Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác b Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng - Lấy trung điểm đoạn thẳng; - Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng có hình vẽ Bài tốn 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền (Bài 25/ 67- SGK toán tập 2) 10 Phân tích: Ta cần tạo đoạn thẳng 2AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Như dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD Lời giải: ˆ =900 ∆ABC A GT AM trung tuyến; M thuộc BC AM = BC KL Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA ˆ =M ˆ (đối Xét ∆ MAC ∆ MDB ta có:MA = MD ( theo cách lấy điểm D); M đỉnh); MB = MC (gt) ⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c.g.c) ˆ =D ˆ (2 góc tương ứng) ⇒AB = CD(2 cạnh tương ứng) (1) => A Suy ra: AB // CD (vì có cặp góc so le nhau) Mặt khác: AC ⊥ AB ( gt) ⇒AC ⊥CD (Quan hệ tính song song vng góc) ˆ =C ˆ = 900 (2) hay A ˆ =C ˆ = 900 ( Theo 2); AC Xét ∆ ABC ∆ CDA có:AB = CD ( Theo 1); A cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c.g c) ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) 2 Mà AM = AD ⇒ AM = BC Nhận xét: Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM = AD Như phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh · · CAM ? (Bài 7/ 24 SBT tốn tập 2) BAM Phân tích: Bài tốn cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC Yêu · · · · cầu : So sánh BAM CAM ? Hai BAM CAM không thuộc tam giác · · Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM CAM liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải toán A Lời giải: B M cC 11 Đ GT ∆ABC; AB < AC M trung điểm BC KL · · So sánh BAM CAM ? Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA ˆ =M ˆ ( Xét ∆ MAB ∆ MDC ta có: MA = MD ( theo cách lấy điểm D); M đối đỉnh); MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c.g.c) ⇒AB=CD (2 cạnh ˆ =D ˆ (2 góc tương ứng) (2) tươn gứng) (1) A Ta có: AB = CD ( Theo 1), mà AB < AC (gt) ⇒ CD < AC (3) ˆ A ˆ =D ˆ ( theo 2) diện tam giác) mà A ˆ ∆ ABK = ∆ACK (c.g.c) Vậy: AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh sử dụng thêm toán phụ là: Trong tam giác đường thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ hai song song với cạnh thứ ba, kiến thức đường trung bình học sinh nghiên cứu chương trình tốn phạm vi kiến thức lớp chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết tốn mà khơng chứng minh lại muốn nhấn mạnh việc vẽ thêm yếu tố phụ Bài toán 6: Cho tam giác ABC có Bˆ = Cˆ Chứng minh rằng: AB = AC (Giải cách vận dụng trường hợp góc - cạnh - góc hai tam giác) Phân tích: Để chứng minh AB = AC, ta phải chứng minh hai tam giác chứa hai cặp cạnh Nhưng hình vẽ khơng có hai tam giác Như vậy, ta nghĩ đến việc tạo hai tam giác có chứa hai cạnh AB AC Đường phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC (I ∈ BC) A Lời giải: ˆ ˆ = ∆ABC; B GT C KL AB = AC · Vẽ tia phân giác AI BAC (I∈ BC) ˆ =A ˆ = ⇒A · BAC (1) 2 C ˆ ( gt) ⇒ ˆ ˆ = ˆ B Mà B C I1 = I (2) I ˆ =A ˆ (theo 1) ˆ Xét ∆ ABI ∆ ACI ta có: ˆ I1 = I ( theo 2); Cạnh AI chung; A ⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g c.g) ⇒AB = AC (2 cạnh tương ứng) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm đoạn thẳng AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác Bài tốn7: Cho ∆ABC có A 600 , tia phân giác BE CD Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh :ID = IE · · Phân tích: Dễ dàng tính góc BIC =1200; BIE = 600 13 · CID = 600 Từ thấy có hướng: Thứ nhất: Lấy điểm M BC cho BM = BE chứng minh CD = CM, từ đến kết luận toán · Thứ hai: Nếu gọi M giao điểm tia phân giác góc BIC với BC ta dễ · · dàng tính góc BIM CIM =60 , dẫn đến tìm tam giác đến kết luận tốn (Ở trình bày cách giải thứ hai) · · · Lời giải: Dễ dàng tính góc BIC =1200; BIE = 600 CID = 600 · · Gọi M giao điểm tia phân giác góc BIC với BC ta có BIM = CIM =600 · · · · Xét ∆BEI ∆BMI có: EBI (gt); BI chung ; BIE = BIM =600 = MBI =>∆BEI = ∆BMI => EI =IM (1) Tương tự: ∆CDI = ∆CMI => ID =IM (2) Từ (1) (2) ta có IE = ID · · · Nhận xét: Nhờ tính góc BIC =1200; BIE = 600 CID = 600 nên · dẫn đến ý tưởng kẻ tia phân giác góc BIC để có góc 600 Giáo viên cho học sinh phát biểu kết luận tốn dạng khác, ví dụ chứng minh BE + CD = BC Phương pháp 4: Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho trước a Mục đích: Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc so le nhau, hai góc đồng vị nhau, hai góc phía bù đặc biệt hai tam giác b Trường hợp áp dụng: Ta thường dùng cách có đường thẳng song song hình vẽ Bài tốn 8: Cho tam giác ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB D AC E Chứng minh rằng: BD = CE Phân tích: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo đoạn thẳng thứ ba, chứng minh chúng đoạn thẳng thứ ba Đường phụ cần vẽ thêm đường thẳng qua B song song với AC cắt DE F, BF đoạn thẳng thứ ba A Lời giải: ∆ABC; AB ∆ BDF cân B =>BF=BD (2) = BFD Từ (1) (2) suy ra: BD = CE Nhận xét: - Cách vẽ đường phụ toán nhằm tạo đoạn thẳng thứ ba hai đoạn thẳng cần chứng minh nhau, cách hay sử dụng nhiều toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng Cách giải áp dụng để giải số toán hay chương trình - Có cho học sinh khai thác thêm kết khác toán như: a ) AE = AB + AC b)CE = AC − AB ˆ ˆ ˆ = ABC − ACB c)CME - Cách vẽ thêm yếu tố phụ nằm nhóm phương pháp chung gọi phương pháp “ Tam giác ” Phương pháp 5: Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng a Mục đích: Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vuông tạo hai tam giác vuông b Trường hợp áp dụng: Ta thường vẽ đường vuông góc hình vẽ có góc với số đo cụ thể Dạng 1: Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo nửa tam giác Cách sử dụng tốn cho góc có số đo 300, 600, 1200, 1500 Nếu cho góc 300 (hoặc 600), ta kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng có góc 300 600 Nếu cho góc 1200 (hoặc góc 1500), ta thường tính góc kề bù với góc kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng có chứa góc kề bù Bài tốn 9: Tìm độ dài AC hình vẽ sau: · Phân tích: Nhận thấy góc BAC =1200 , · góc kề bù BAC 600 nên ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường vng góc với BC để tạo nửa tam giác · · Lời giải: Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) ta có ABH = 1800 − ABC = 600 · Ta có ABH tam giác vng có ABH = 600 nên 1 HB = AB = = 3,5 2 Tam giác ABH vuông H nên theo định lý Pitago: AH2 + HB2 = AB2 Thay số ta có AH2 + 3,52 = 72 => AH2 = 36,75 15 Tam giác AHC vuông H nên theo định lý Pitago : AH2 + HC2 = AC2 Thay số ta có : 36,75 + (3,5 + 8)2 = AC2 => AC2 = 169 => AC = 13 Dạng 2: Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo tam giác vuông cân Ta thường dùng cách tốn cho góc có số đo 450, 1350 Bài tốn 10: Cho tam giác ABC có AB = 16 ; BC =20 Bˆ = 450 Tính AC Phân tích: Dễ nhận thấy AB = 16 Bˆ = 450 nên nghĩ đến việc tạo tam giác vuông cân có cạnh huyền AB Từ kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Lời giải: AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) ta có AHB tam giác vuông cân Theo định lý Pitago: AH2+BH2=AB2 =>2BH2 = 2.162 => BH =16; AH =16 Do BH HC = BC-BH =20-16 =4 Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng AHC: AH2+HC2=AC2 Thay số ta có AC2 = 162+42 =272 ⇒ AC = 272 Dạng 3: Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo tam giác vng Bài tốn 11: Cho hình vẽ Biết góc A, góc D vng AB=5cm, AD=8cm, CD=11cm Tính BC Phân tích: Với hình vẽ trên, ta khơng thể tính BC khơng vẽ thêm đường phụ Vấn đề đặt vẽ đường phụ đường phụ xuất phát µ =D ˆ = 900 việc vẽ đường phụ xuất phát từ B (hoặc C từ đâu? Với giả thiết góc A hợp lí) Từ B vẽ BH vng góc với CD (H thuộc CD) Lời giải: Kẻ BH vng góc với CD (H thuộc CD) Vì ABvà HD vng góc với AD nên AB//HD · ˆ = BHD Xét ∆ ABD ∆ HAD có : A  900, BD chung, · · (so le trong, AB // DH) ABD = BDH nên∆ABD =∆HAD (cạnh huyền – góc nhọn) Suy AB = DH = cm, AD = BH = cm Vì H nằm C D nên CH = CD – DH = 11 – = cm Áp dụng định lí Pitago cho ∆BHC (vng H), ta có : BC2 = BH2 + CH2 Thay số ta tính BC = 10cm Nhận xét: Việc kẻ BH vuông góc với CD giúp việc tính BC dễ dàng Dạng 4: Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo hai tam giác vng Bài tốn 12: Tam giác ABC có đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Chứng minh ∆ ABC tam giác vuông ∆ ABM tam giác ? Phân tích: Muốn chứng minh tam giác ABC vuông A ta cần kẻ thêm đường thẳng vng góc với AC chứng minh đường thẳng song song với AB, từ suy suy AB ⊥ AC suy góc A = 900 Lời giải: 16 ∆ ABC; AH ⊥BC GT trung tuyến AM A ˆ =A ˆ =A ˆ A ∆ ABC vuông KL ∆ ABM I B Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC) M H Xét ∆ MAI ∆ MAH có: ˆ = ˆI = 900 ( gt) H AM cạnh chung) ⇒ ∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền – góc nhọn) ˆ =A ˆ (gt) A ⇒ MI = MH ( cạnh tương ứng) (1) Xét ∆ ABH ∆ AMH có: ˆ =H ˆ = 90 ( gt) H AH cạnh chung ⇒ ∆ ABHI = ∆ AMH ( g – c - g) ˆ ˆ A =A ( gt) ⇒ BH = MH( cạnh tương ứng) (2) 2 C Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) (2) ⇒ BH = MH = BM = CM ⇒ MI = CM · Xét ∆ vuông MIC có: MI = CM nên Cˆ = 300 từ suy ra: HAC = 600 3· · = HAC = 600 =900 Vậy ∆ ABC vuông A ⇒ BAC ˆ Vì C = 30 ⇒ Bˆ = 600 Lại có AM = MB = BC ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông) ∆ ABM cân có góc 600 nên tam giác Nhận xét: Trong toán có yếu tố tưởng chừng khó giải, nhiên, đường vẽ thêm (MI ⊥ AC) tốn lại trở lên dễ dàng, qua thấy rõ vai trị việc vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học Phương pháp 6: Phương pháp “Tam giác đều” a Mục đích: Đây phương pháp đặc biệt, tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải toán thuận lợi Để tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc ta vẽ tam giác cân, đặc biệt tam giác b Trường hợp áp dụng: Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác hình vẽ có tam giác cân với góc có số đo cho trước Đối với 17 tập tính số đo góc, trước tiên ta cần ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định : - Tam giác cân có góc xác định - Tam giác - Tam giác vuông cân - Tam giác vng có góc nhọn biết hay cạnh góc vng nửa cạnh huyền Sau ta nghĩ đến việc tính số đo góc cần tìm thơng qua mối liên hệ với góc hình chứa góc có số đo hồn tồn xác định nêu (thường với mối liên hệ tam giác rút góc tương ứng chúng nhau) Đây phương pháp đặc biệt, nội dung tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải tốn thuận lợi Ta xét tốn điển hình sau: Bài toán 13: Cho tam giác ABC cân A, Aˆ = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D A · cho AD = BC Chứng minh DCA = Aˆ Phân tích: đề cho tam giác cân ABC có góc đỉnh 200, suy góc đáy 800 Ta thấy 800 – 200 = 600 số đo góc tam giác ⇒ Vẽ tam giác BMC µ = 200 ( gt) Lời giải: Xét ∆ABC có: AB = AC; A D 1800 − 200 = 800 Suy ra: Bˆ = Cˆ = M Vẽ tam giác BCM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) ta được: AD = BC = CM · · ∆ MAB = ∆ MAC ( c.c.c) ⇒ MAB 200 : = 100 = MAC · · = 800 – 600 = 200 MAB = MAC B C Xét ∆CAD ∆ACM có: AD = CM ( cmt) · · ( = 200) CAD = ACM AC cạnh chung ⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c.g.c ) 1· · · · ⇒ DCA = 100, DCA = BAC = MAC Nhận xét: Đề cho tam giác cân ABC có góc đỉnh 200, suy góc đáy 800 Ta thấy 800 – 200 = 600 số đo góc tam giác Chính liên hệ gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM vào tam giác ABC Với giả thiết AD = BC vẽ tam giác giúp ta có mối quan hệ AD với cạnh tam giác giúp cho việc chứng minh tam giác dễ dàng 18 Ta giải toán cách vẽ tam giác kiểu khác: - Vẽ tam giác ABM (M C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) - Vẽ tam giác ACM (M B thuộc nửa mặt phẳng bờ AC) - Vẽ tam giác ABM (M C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Ngồi cịn cách vẽ tam giác khác giúp ta tính góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh III Bài tập áp dụng Dạng 1: Kẻ thêm đoạn thẳng Bài 1: Cho∆ABC, vẽ đoạn thẳng AD vng góc AB (D C nằm khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc AC (E B nằm khác phía AC) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: AM vng góc với DE Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, tia phân giác góc B C cắt I, kẻ ID ⊥ AB; IE ⊥ AC Chứng minh ID = IE Dạng 2: Kẻ thêm đường song song Bài 1: Trên cạnh BC của ∆ABC lấy điểm E F cho BE = CF Qua E F, vẽ đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự G H Chứng minh EG + FH = AB Bài 2: Cho góc xOy khác góc bẹt, tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA=AB=BC Từ A;B;C vẽ ba đường thẳng song song với cắt Oy D;E;F Chứng tỏ OD = DE =EF Dạng 3: Kẻ thêm đường vng góc Bài 1: Cho∆ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm, Bˆ = 600 Tính BC Bài 2: Tam giác ABC có đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Chứng minh rằng∆ABC tam giác vuông Bài 3: Cho∆ABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tian AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh rằng: · a) BA = BH ; b) DBK = 450 Dạng 4: Kẻ thêm đường phân giác Bài 1: Cho∆ABC có Aˆ = 600 , tia phân giác BE CD Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh : a) BD + CE = BC ; b) ID = IE 0 ˆ ˆ Bài 2: Cho ∆ABC có góc B =60 , C =30 Lấy điểm D E thuộc cạnh AC, · · AB cho góc ABD =200, góc ACE =100 Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE Dạng 5: Dựng tam giác Bài 1: Cho∆ABC cân A, góc Aˆ = 1000 Trên tia AC lấy điểm D cho · AD=BC Tính góc CBD · Bài 2: Cho ∆ABC vuông cân A, điểm O nằm tam giác cho góc OBC 19 · =300 góc OCB =150 Chứng minh tam giác AOC AOB cân Bài 3:Cho∆ABC có góc nhỏ 120 Vẽ phía ngồi∆ABC tam ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh : · · a) BMC = 1200 ; b) AMB = 1200 Bài 4: Cho điểm M nằm tam giác ABC cho MA:MB:MC=3:4:5 Tính · góc AMB IV Kiểm nghiệm: Trong trình dạy học hình học, áp dụng đề không đề dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi mà linh hoạt dạy cho học sinh đại trà Đặc biệt học sinh lớp 7, bắt đầu làm quen với chứng minh hình học Tuy lúc đầu em cịn ngại học hình nói chung sợ toán chứng minh Hầu học sinh có ý thức làm tìm lời giải dừng lại không suy nghĩ thêm sau có kết tốn, thỏa mãn với Các em chưa thấy tác dụng mạnh việc nhìn tốn nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác, rèn cho minh thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư sáng tạo, tính kiên trì, độc lập (những đức tính tốt cần thiết người học toán) Song, qua thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết em tham gia, hưởng ứng cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức thành thạo làm số dạng có liên quan từ dễ đến khó Quan trọng hơn, em khơng cịn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ Do đó, học tốn nói chung hình học nói riêng em nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát thể tìm tịi, sáng tạo bước đầu tích cực Thực tế, tơi sử dụng vào giảng dạy cho khối nhiều năm học liền gần kết cho thấy học sinh có ý thức thi đua học tập, hào hứng phát biểu suy nghĩ, tìm tịi, phát cách giải khác, tốn mới, … Tôi thấy tinh thần học tập em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả tự nghiên cứu toán học em phát huy cách tích cực; kết học tập mơn tốn, hình học có nhiều tiến Các em khơng nắm vững kiến thức SGK, em có cố gắng việc tìm hiểu giải tốn nâng cao, tốn khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tịi khai thác, phát triển toán cho trước Cụ thể: kết chất lượng mơn tốn khối năm áp dụng đề tài sau: Nội dung Giỏi Khá TB Yếu Kém Chưa áp dụng 20% 30% 45% 5% 0% Năm thứ 30% 40% 28% 2% 0% PHẦN THỨ 3: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I Kết luận Đề tài số toán minh hoạ số dạng thường gặp vẽ thêm 20 yếu tố phụ, chưa phong phú ví dụ tiêu biểu thể cách dẫn dắt hướng dẫn học sinh vẽ hình phụ chứng minh hình học lớp Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập vẽ thêm yếu tố phụ hình học Tuy nhiên, trình bày sáng kiến kinh nghiệm khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm hoàn chỉnh đạt hiệu cao Phạm vi đề tài rộng, đa dạng phong phú Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ chứng minh hình học lớp phần nhỏ cách chứng minh hình học có sử dụng phương pháp vẽ đường phụ Để sáng kiến kinh nghiệm thêm phong phú để phục vụ tốt công tác giảng dạy sau này, mong đóng góp ý kiến thầy, cô, đồng nghiệp II Đề xuất Để sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào thực tiễn giảng dạy đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Với lượng thời gian hạn chế nên việc áp dụng đề tài vào thực tiễn có kết chưa mong muốn Vì tơi xin có vài đề xuất sau: PGD&ĐT tạo điều kiện thời gian, không gian, tổ chức chuyên đề cấp cụm, phòng để giáo viên giao lưu học hỏi lẫn cơng tác viết áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Quảng Xương, ngày 15 tháng năm 2020 Tôi xin cam kết SKKN tự viết, không chép nội dung người khác NGƯỜI THỰC HIỆN Trần Thị Huê Bùi Công Thắng 21 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách SGK, SGV, SBT Toán7 - Phan Đức Chính – Tơn Thân -Nxb GD 2012 Nâng cao phát triển Tốn - Vũ Hữu Bình – Nxb GD 2010 Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên – Nxb GD 2011 Những vấn đề chung đổi giáo dục THCS mơn Tốn – Nhà xuất GD 2012 Định lí hình học phương phápchứng minh - Hứa Thuần Phỏng 2005 Giáo trình thực hành giải Tốn tập II – Đặng Đình Lăng – Nguyễn Hữu Túc Nhà xuất ĐHSP 2004 Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học - Nguyễn Đức Tấn – NXB Giáo dục 2002 Hình học sơ cấp thực hành giải toán – Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất ĐHSP 2000 22 Mẫu (2) DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Công Thắng Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Quảng Lưu TT Tên đề tài SKKN Sử dụng diện tích chứng minh hình học Giúp học sinh giỏi ôn luyện , chứng minh bất đẳng thức Hướng dẫn học sinh cách giải tốn cực trị hình học Hướng dẫn học sinh cách giải toán chia hết tập số nguyên Hướng dẫn học sinh giỏi lớp6,7 giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật Hướng dẫn học sinh giỏi lớp6,7 giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật Sử dụng bất đẳng thức cauchy chứng minh hình học Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại C 2005 C 2011 C 2013 B 2015 B 2017 C 2017 C 2020 * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm 23 ... không rõ vẽ thêm yếu tố phụ Vì vậy, viết sáng kiến ? ?Một số cách vẽ đường phụ tốn chứng minh hình học lớp 7? ?? nhằm giải vấn đề đặt 1.2 Mục đích đề tài Bài tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ dạng... dẫn học sinh suy luận tìm cách vẽ đường phụ hợp lí phục vụ cho chứng minh - Yêu cầu học sinh tự đọc SGK tìm hiểu đường phụ vẽ thêm sau trình bày lại cách vẽ đường phụ - Giáo viên vẽ yếu tố phụ. .. nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ chứng minh hình học lớp phần nhỏ cách chứng minh hình học có sử dụng phương pháp vẽ đường phụ Để sáng kiến kinh nghiệm thêm phong phú để phục vụ tốt công