Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: Hai định lý cơ bản của Nevanlinna 3

1.1 Công thức Poison – Jensen 3

Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó 24

2.1 Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình 24

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (lý thuyết Nevanlinna ) là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết phân phối giá trị

Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó là vấn đề không những được quan tâm trong giải tích phức mà còn có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu các vấn đề khác, chẳng hạn như phương trình vi phân

Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “Phân

phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó” Luận văn gồm phần mở

đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục tài liệu tham khảo

Chương1: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản của Nevanlinna,

Chương2: Trình bày định nghĩa, định lý, một số kết quả của Milloux và vấn đề chính của luận văn: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm

của nó

Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH Hà Huy Khoái Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Nhân dịp này em xin gửi

lời cảm ơn sâu sắc tới thầy!

Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình

Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa sau đại học của Đại học Sư phạm, Khoa toán cùng các thầy cô giáo đã tạo

điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn của mình

Xin cảm ơn các anh, chị , các bạn học viên lớp cao học Toán_K16 Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt thời gian viết luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình làm luận văn

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Chương 1 Hai định lý cơ bản của Nevanlinna

1.1 Công thức Poison – Jensen 1.1.1 Định lý

Giả sử f z  là hàm phân hình trong hình tròn z  R, 0  R, có các không điểm a 1, 2, ,M; các cực điểm b 1,2, ,N trong hình tròn đó( mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó)

Theo giả thiết f z  chỉnh hình và khác 0 trong z R nên log f z  là hàm chỉnh hình trong hình tròn đó Theo định lý Cauchy ta có:

+ Bước 2: Xét trường hợp z rei,r 0.Theo công thức Cauchy ta có:

Lấy phần thực hai vế ta được công thức cần chứng minh đối với trường hợp

(*) Nhận xét: f z  chỉ có hữu hạn không điểm, cực điểm trên biên

khai triển:

   0    ;

Với mỗi 0 là không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm 0 bán kính

+ Bước 4: Trường hợp tổng quát

  

dễ thấy    0, bên trong hình tròn  R, nên ta áp dụng được công thức đã chứng minh trong bước 3

Mặt khác, các hàm trong hai dấu tích chính là các hàm thực hiện ánh xạ hình

Từ đó, nếu  Rei thì     f   Ta có:

hoặc f  0   hàm f z  có khai triển tại lân cận z 0 dạng:

Ta thấy  0  0, , đồng thời khi  Re ,i     f   Từ đó ta có:

 

cấp của hàm f z  tại điểm z0G, ký hiệu

Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa:

  

RN

 , 

1.2.2 Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng

Giả sử f z1 , , fn z là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây:



Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ

RN R

m càng lớn Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm ‘‘đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình f z a’’ và ‘‘độ lớn

thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a

mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau

( Để đơn giản ta giả thiết: f ' 0  0, )

Để chứng minh bất đẳng thức cơ bản trên ta chứng minh một số bổ đề sau



  0

 



 

  

              

của hàm f z  trong đĩa z  r

Khi đó đại lượng log r

cực điểm cấp k1 của đạo hàm f ' z Do đó, đại lượng log r

k1 lần trong tổng N r f , ' Từ đó suy ra: 2N r f , N r f , '0

Từ bất đẳng thức cơ bản ta có Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna

Từ Định lý cơ bản thứ nhất, ta thấy với mọi v1, 2, ,q;

mỗi cực điểm chỉ được tính một lần

  ,  1 lim  , ,

Từ Định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập hợp gồm q số phức phân biệt 1, 2, , q

 n, ' n,  n, 

N r f N r   N r 

Mặt khác, giả sử b là nghiệm bội k của phương trình: f z av với v nào đó

1 v q

   



Mà , 1 log

rN r

Theo giả thiết: f z  ag z aj

 

  

 

    

rN r

  

trong đó N0 f ' là tổng tính theo các nghiệm của f '0 mà không là



b được tính trong Nj r thì f b aj với j nào đó

N r

   )

Chương 2

Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó 2.1 Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình

2.1.1 Định nghĩa

Khi đó:  ,   ,    ,  ,  , 

m r fm rm r fm r fS r ff

 

      

Vậy (1.4) được chứng minh Hơn nữa ta có:

trong đó 0 , 1'

  

  là hàm đếm các không điểm của ' z  mà không phải là các không điểm của  z 1

Ta có: S r , T r , T r f , , trừ ra một tập hợp E của r có độ đo hữu hạn

     

       

   

    

           

  

       

cùng với (1.8) suy ra:

Vì vậy, g z 0  0, Nhưng g z'  có không điểm tại z0 cấp ít nhất là l

không điểm của g

Thế bất đẳng thức này vào định lý 2.1.3 ta được bất đẳng thức của định lý 2.1.4

Bây giờ, ta giả sử w , w1 2 là các số phức, thỏa mãn w2 0

ww

       

2.2 Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó 2.2.1 Định lý (xem [ 5 ], Hayman)

Nếu n ( 3) là một số nguyên thì   f fn ' có tất cả các giá trị khác không

(*) Tuy nhiên vấn đề đặt ra là giá trị phân phối của ff 'a khi aa z  là một hằng số khác không thỏa mãn điều kiện:T r a , S r f ,

Ta gọi hàm phân hình aa z  là một hàm nhỏ của f nếu T r a , S r f ,

2.2.4 Định lý (xem [ 2 ], Bergweiler)

Nếu f là đa thức và f hạn chế bậc thì ff 'a là vô cùng

2.2.5 Định lý (xem [ 11 ], Yu)

Nếu a 0,  là một hàm nhỏ của f thì ít nhất một ff 'a và ff 'alà vô cùng

2.2.7 Bổ đề

Nếu N r ,0;f kf 0 là các hàm đếm các không điểm của f k, mà không phải là các không điểm của f, trong đó mỗi không điểm của f k được tính theo số bội của nó thì:

 

p.47 6 ta có :

 ,  ,0,  , ,  , ,  , 

T r N r  N r  N r a S r , khi N r a , ; N r ,0; a

Bây giờ, từ bổ đề ta có :

k nk

k nk

Điều đó cho thấy:

KẾT LUẬN

*******

Nội dung của luận văn là nghiên cứu‘‘ Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó ’’

Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:

- Trình bày một cách hệ thống hai định lý cơ bản của R.Nevanlinna - Trình bày một số kết quả của Milloux

- Trình bày hệ thống với chứng minh chi tiết một số kết quả gần đây trong lĩnh vực nghiên cứu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] W Bergweiler and A Eremenko, On the singularities of the inverse to a

meromorphic function of finite order, Rev Iberoamericana, 11 (1995),

355-373

[2] W.Bergweiler, On the product of a meromorphic function and its

derivative, Bull Hong Kong Math Soc., 1 (1997), 97-101

[3] Hà Huy Khoái Bài giảng lý thuyết Nevanlinna

A, 38 (1995), 789-798

[5] W Doeringer, Exceptional values of differential polynomials, Pacific J

Math., 98 (1982), 55-62

[6] W K Hayman, Picard values of meromorphic functions and their

derivatives, Ann of Math (2), 70 (1959), 9-42

[7] W K Hayman, Meromorphic Functions, Oxford Math Monogr., Clarendon Press, Oxford, 1964

[8] W K Hayman, Research Problems in Function Theory, The Athlone Press University of London, London, 1967

[9] I Lahiri and S Dewan, Value distribution of the product of a meromorphic function and its derivative, Kodai Math J 26 (2003), 95 – 100 [10] I Lahiri, Value distribution of certain differential polynomials, Int J

Math Math Sci., 28 (2001), 83-91

[11] E Mues, Uber ein Problem von Hayman, Math Z., 164 (1979), 239-259

[12] A P Singh, On order of homogeneous differential polynomials, Indian

J Pure Appl Math., 16 (1985),791-795