Luận văn: PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ pot

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== ĐINH THỊ NGỌC MINH PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương 1: Hai định lý cơ bản của Nevanlinna 3 1.1. Công thức Poison – Jensen 3 1.1.1. Định lý 3 1.1.2. Hệ quả 6 1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất 7 1.2.1. Định nghĩa 7 1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng 9 1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất 9 1.3. Định lý cơ bản thứ hai 10 1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) 10 1.3.2. Bổ đề 1 11 1.3.3. Bổ đề 2 12 1.3.4. Định lý 16 1.3.5. Định nghĩa 17 1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết) 18 1.3.7. Định lý 20 Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. 24 2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình. 24 2.1.1. Định nghĩa 24 2.1.2. Định lý (Milloux) 24 2.1.3. Định lý 26 2.1.4. Định lý 28 2.1.5. Bổ đề: 28 2.2. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó 32 2.2.8. Định lý 34 2.2.9. Định lý 36 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (lý thuyết Nevanlinna ) là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới. Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết phân phối giá trị. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó là vấn đề không những được quan tâm trong giải tích phức mà còn có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu các vấn đề khác, chẳng hạn như phương trình vi phân. Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó”. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục tài liệu tham khảo. Chương1: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản của Nevanlinna, Chương2: Trình bày định nghĩa, định lý, một số kết quả của Milloux và vấn đề chính của luận văn: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà Huy Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy! Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình. Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa sau đại học của Đại học Sư phạm, Khoa toán cùng các thầy cô giáo đã tạo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn của mình. Xin cảm ơn các anh, chị , các bạn học viên lớp cao học Toán_K16 Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt thời gian viết luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình làm luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Hai định lý cơ bản của Nevanlinna 1.1. Công thức Poison – Jensen 1.1.1. Định lý Giả sử   fz là hàm phân hình trong hình tròn   zR , 0 R   , có các không điểm   1,2, ,aM    ; các cực điểm   1,2, ,bN    trong hình tròn đó( mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó). Khi đó, nếu     ; 0 , 0, i z re r R f z       ; ta có:           2 22 22 0 22 11 1 log log 2 2 cos log log . i MN Rr f z f Re d R Rr r R z a R z b R a z R b z                       Chứng minh. + Bước 1: Trước tiên, giả sử rằng hàm   fz không có không điểm và cực điểm trong   zR . Ta chứng minh công thức cho trường hợp 0z  . Theo giả thiết   fz chỉnh hình và khác 0 trong   zR nên   log fz là hàm chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:       2 0 11 log 0 log log Re 22 i zR dz f f z f d iz        . Lấy phần thực hai vế ta được:     2 0 1 log 0 log Re 2 i f f d       . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 + Bước 2: Xét trường hợp , 0. i z re r   Theo công thức Cauchy ta có:     1 log log . 2 R d f z f iz         Mặt khác, do điểm 2 R z có môđun 22 RR R zr  nên điểm đó nằm ngoài hình tròn, do đó:   2 1 log 0. 2 R d f R i z          Từ đó ta có:             2 2 2 2 1 1 1 log log 2 1 log . 2 R R f z f d R iz z Rz fd i z R z                         Thay Re , iRe , ii dd              2 2 2 Re 2 cos . i R z z R Rr r            Ta được:       2 22 22 0 1 log log Re . 2 2 cos i Rr f z f d R Rr r             Lấy phần thực hai vế ta được công thức cần chứng minh đối với trường hợp hàm   fz chỉnh hình và khác không. + Bước 3: Giả sử   fz không có không điểm và cực điểm trong   R   nhưng có thể có không điểm và cực điểm trên biên R   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 (*) Nhận xét:   fz chỉ có hữu hạn không điểm, cực điểm trên biên. Chứng minh. Giả sử   fz có vô hạn không điểm, cực điểm trên R   . Do R   compact, tồn tại 0  là điểm giới hạn của tập hợp các không điểm suy ra 0f  . (+) Giả sử   fz có vô hạn cực điểm trên   n   0   : 0 lim k n k    . Do các k n  là các cực điểm. Suy ra 0  là bất thường cốt yếu    f  không phân hình. Giả sử 0  là một không điểm hoặc cực điểm cấp k trong lân cận 0  ;   f  có khai triển:         0 ;f g g       chỉnh hình khác 0 trong lân cận 0  ;   0 log logf     trong lân cận 0  . Với mỗi 0  là không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm 0  bán kính 0   đủ nhỏ. Xét C  : Hợp các cung tròn bán kính  nằm bên trong   R   thay tích phân trên C, R   tại lân cận 0  bởi cung C  . Suy ra trên chu tuyến mới   fz không có không điểm, cực điểm. Áp dụng được bước 2. Tích phân trên chu tuyến mới khác tích phân trên   CR   một đại lượng là:     11 log 2 0 log 22 r           , log 0   khi 0   . Vậy cho 0   ta được công thức cần chứng minh. + Bước 4: Trường hợp tổng quát. Với các giả thiết như trong định lý ta đặt: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6         2 1 2 1 , N M Rb Rb f Ra Ra                       dễ thấy   0,   bên trong hình tròn R   , nên ta áp dụng được công thức đã chứng minh trong bước 3. Mặt khác, các hàm trong hai dấu tích chính là các hàm thực hiện ánh xạ hình tròn R   lên hình tròn đơn vị, nên môđun của chúng bằng 1 khi R   . Từ đó, nếu Re i    thì     f     . Ta có:       2 22 22 0 1 log log Re . 2 2 cos i Rr z f d R Rr r             Từ công thức của hàm    ta được công thức Poisson-Jensen cho trường hợp tổng quát. 1.1.2. Hệ quả Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu   0 0,f  , ta có:     2 11 0 1 log 0 log Re log log . 2 MN i a b f f d RR              Khi   00f  hoặc  công thức trên thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu   00f  hoặc   0f  hàm   fz có khai triển tại lân cận 0z  dạng:     f z C z       . Xét hàm     R f z z z     . Ta thấy   0 0,   , đồng thời khi     Re , i f       . Từ đó ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7   2 11 0 1 log log Re log log log 2 MN i a b C f d R RR                . (*) Nhận xét: Giả sử   fz là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của hàm   fz tại điểm 0 zG , ký hiệu 0 z ord f , là số nguyên m sao cho hàm       0 m fz gz zz   chỉnh hình và khác không tại 0 z . (*) Ví dụ: (1) 0 z là 0 điểm cấp k của   fz    0 z ord 0f k k . (2) 0 z là cực điểm cấp k của   fz  0 z ord fk . (3) Tại 0 z hàm   fz chỉnh hình, khác 0  0 z ord 0f  . Công thức Poisson – Jensen có thể viết dưới dạng:         2 2 2 2 2 0 1 log log Re ord log 2 Re i i Rz Rz f z f f Rz z               , trong đó tổng lấy theo mọi  trong hình tròn   R   . 1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất 1.2.1. Định nghĩa Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa:   log ax 0;logxxm   Ta có: 1 log log logxx x   , vì: 1:log 0 log logx x x x      11 log 0 log 0 xx     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 0 1:log 0 log 0 1 1 1 log 0 log log log . x x x x x x x             Như vậy, ta có:       2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 log Re log Re log 2 2 2 Re ii i f d f d d f                 . Đặt     2 0 1 , log Re 2 i m R f f d        . Giả sử f có các cực điểm   1, v b v n (mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bậc của nó), và các không điểm   1,aM    trong     ;,z R n t f là số cực điểm của f trong   zt . Đặt     1 0 , log , R N v v R dt N R f n t f bt     . Như vậy, 1 0 11 , log , R M R dt N R n t f f t a                   . Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:       11 log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R ff                       11 , , , , log 0m R f N R f m R N R f ff                  . Đặt       , , ,T R f m R f N R f , (1.1) thì     1 , , log 0T R f T R f f     . (1.2) [...]... Chương 2 Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó 2.1 Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình 2.1.1 Định nghĩa Giả sử f  z  là hàm phân hình khác hằng số trên C Ta định nghĩa S  r, f  là một đại lượng xác định thỏa mãn S  r , f    T  r , f   khi r   ; có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn Giả sử, a  z  , a0  z  , a1  z  , là các hàm nhỏ của f, tức là các hàm. .. là hàm hữu tỉ, mâu thuẫn giả thiết Suy ra, định lý được chứng minh 2.2 Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó 2.2.1 Định lý (xem [ 5 ], Hayman) Nếu n (  3 ) là một số nguyên thì   f n f ' có tất cả các giá trị khác không (*) Tuy nhiên vấn đề đặt ra là giá trị phân phối của ff ' a khi a  a  z  là một hằng số khác không thỏa mãn điều kiện: T  r, a   S  r , f  Ta gọi hàm phân. .. hình tròn z  R  1  1 Hàm xấp xỉ m  R,  f  a  2   2  log 0  1 f  Rei  a  d Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là f  Rei  a  nhỏ) thì hàm m càng lớn Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm ‘‘đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình f  z   a ’’ và ‘‘độ lớn tập hợp tại đó f  z  nhận giá trị gần bằng a’’ Trong khi đó vế phải của. .. thể xem là không phụ thuộc a Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình f  z  nhận mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau 1.3 Định lý cơ bản thứ hai 1.3.1 Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) Giả sử f  z  là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn  z  r ; a1, , aq ; q  2 , là các số phức phân biệt Khi đó ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên...  T  r, f  N  r, a   N  r, a  T  r, f    a  được gọi là số khuyết của giá trị a   a  được gọi là chỉ số bội của giá trị a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3.6 Định lý (Quan hệ số khuyết) Giả sử f  z  là hàm phân hình trên  , khi đó tập hợp các giá trị a mà   a   0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có:    a     a  ... f  z  là hàm phân hình khác hằng số trên  và   z  (khác hằng số) là hàm cho bởi ở định lý (2.1.2) Khi đó:  1   1  1  T  r, f   N  r, f   N  r,   N  r,   N 0  r , '   S  r , f  ,   1    f   1  trong đó N 0  r ,  là hàm đếm các không điểm của  '  z  mà không phải là   ' các không điểm của   z   1 Chứng minh Theo định lý cơ bản thứ hai cho hàm   z... r, a   S  r , f  Ta gọi hàm phân hình a  a  z  là một hàm nhỏ của f nếu T  r, a   S  r , f  2.2.2 Định lý ( xem {[ 12 ] và [ 11 ]}, Zhang ) Nếu   ; f   7 thì ff ' a là vô cùng khi a   0,   là hàm nhỏ của f 9 2.2.3 Định lý ( xem {[ 12 ] và [ 11 ]}, Zhang ) Nếu 2  0; f     ; f   1 thì ff ' a là vô cùng khi a   0,   là hàm nhỏ của f (*) Nhận xét: Tuy vậy, trong định...  T  r , f k   log l  k 1  k 1 (6)  l  l T  r ,  f k   T  r , f k   k 1  k 1 Đặc biệt, với mọi hàm phân hình f  z  và mọi a  C ta có: T  r , f   T  r , f  a   log  a  log 2 (1.3) 1.2.3 Định lý cơ bản thứ nhất Giả sử f  z  là hàm phân hình trong hình tròn  z  R, R  0, a phức tùy ý Khi đó ta có:   1  1  m  R,  N  R,    T  R, f   log f  0   a ... với N 0  r ,  là hàm đếm các không điểm của g ' mà không phải là các  g' không điểm của g Từ các kết quả trên ta có :  1  1  g' lN1  r , f   N0  r ,   N  r ,   N  r , g   m  r ,   O 1 (1.9)  g'  g  g Các không điểm và cực điểm của g  z  chỉ có thể xuất hiện tại các cực điểm bội của f  z  , hoặc các không điểm của   z   1 , hoặc các không điểm của  '  z  khác...  r , a; f  , và N  r , a; f     N  r , a; f  2.2.7 Bổ đề  Nếu N r ,0; f  k  f  0 là các hàm đếm các không điểm của f   , mà k không phải là các không điểm của f, trong đó mỗi không điểm của f   được k tính theo số bội của nó thì:  N r ,0; f  k  f  0  k N  r , ; f   N  r ,0; f  k   k N  r ,0; f  k   S  r , f  Chứng minh Từ định lý cơ bản thứ nhất và định lý Milloux . số khuyết) 18 1.3.7. Định lý 20 Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. 24 2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình. 24 2.1.1. Định nghĩa 24 2.1.2. Định lý. Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết phân phối giá trị. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó là vấn. vi phân. Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó . Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết và