PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ

Header Page of 133 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TH PHNG LAN PHN PHI GI TR CA HM NGUYấN V O HM CA Nể LUN VN THC S KHOA HC TON HC THI NGUYấN - 2009 S húa Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page ofbi 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TH PHNG LAN PHN PHI GI TR CA HM NGUYấN V O HM CA Nể Chuyờn ngnh:GII TCH Mó s: 60.46.01 LUN VN THC S KHOA HC TON HC Ngi hng dn khoa hc : GS.TSKH H HUY KHOI S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 THI NGUYấN - 2009 Mc lc trang M U Chng - KIN THC CHUN B .6 1.1 Cụng thc Poisson-Jensen 1.2 Cỏc hm c trng Nevanlinna .7 1.3 ng nht thc Cartan v tớnh li .14 1.4 Quan h s khuyt 14 1.5 Tp xỏc nh nht cỏc hm phõn hỡnh .17 Chng - PHN PHI GI TR CA HM NGUYấN V O HM CA Nể 29 2.1 S xỏc nh ca hm nguyờn v t hp tuyn tớnh ca cỏc o hm ca nú da vo to nh ca hai im 31 2.2 S xỏc nh ca hm nguyờn v o hm ca nú da vo to nh ca mt gm hai im43 KT LUN 55 TI LIU THAM KHO 56 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 Li cm n Lun c hon thnh di s hng dn v ch bo tn tỡnh ca GS TSKH H Huy Khoỏi Em xin by t lũng bit n sõu sc n thy Thy khụng ch hng dn em nghiờn cu khoa hc m thy cũn thụng cm to mi iu kin ng viờn sut quỏ trỡnh lm lun Em xin chõn thnh cm n khoa Toỏn, khoa Sau i hc trng i hc S phm Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc Vit Nam ó giỳp v to iu kin em hon thnh lun ny Cui cựng, em xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu trng CSP Bc Kn, c bit l cỏc ng nghip khoa TN, gia ỡnh v bn bố ó ht sc quan tõm v giỳp em thi gian hc v hon thnh lun Trong quỏ trỡnh vit lun cng nh vic x lý bn chc chn khụng trỏnh nhng hn ch v thiu sút Rt mong nhn c s gúp ý ca Quý thy cụ, cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Thỏi Nguyờn, thỏng 11 nm 2009 TC GI Nguyn Th Phng Lan S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 M U Trong toỏn hc, lý thuyt phõn b giỏ tr l mt phõn ngnh ca phõn tớch toỏn hc Lý thuyt phõn b giỏ tr c nh toỏn hc R Nevanlinna a nm 1926 Chớnh vỡ th lý thuyt ny cũn c gi l lý thuyt Nevanlinna Mc ớch chớnh ca lý thuyt phõn b giỏ tr l thit lp nh lý c bn th nht v nh lý c bn th hai i vi cỏc ỏnh x phõn hỡnh Mt nhng ng dng quan trng bc nht ca lý thuyt Nevanlinna chớnh l nht, tc l tỡm iu kin hai ỏnh x phõn hỡnh f v g l trựng Nh ó cp trờn, nm 1926, Nevanlinna ó chng minh c rng: vi hai hm phõn hỡnh f v g trờn mt phng phc , nu chỳng cú cựng nh ngc (khụng tớnh bi) ca nm im phõn bit thỡ f trựng g Cú th núi vic nghiờn cu nht i vi ỏnh x phõn hỡnh ũi hi c hai phng din: xõy dng Lý thuyt phõn b giỏ tr (m c th l nh lý c bn th hai) v nghiờn cu ng dng ca nú Vn nht i vi ỏnh x phõn hỡnh cũn c nghiờn cu di nhiu sc thỏi na nh a thc nht, nht Cng nghiờn cu v ng dng ca lý thuyt Nevanlinna da theo bi bỏo ca ng tỏc gi ngi Trung Quc l Ping Li v Chung- Chun Yang núi v phõn phi giỏ tr ca hm nguyờn v o hm ca nú [16], lun trỡnh by mt s kt qu c bn ca lý thuyt Nevanlinna v ng dng i vi phõn phi giỏ tr ca hm nguyờn v o hm ca nú trng s phc õy l mt hng nghiờn cu thi s, thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc nhng nm gn õy Ni dung lun gm hai chng Chng 1: Mt s kin thc c bn v lý thuyt Nevanlinna, c trỡnh by vi mc ớch cung cp cỏc kin thc cn thit cho ngi c d theo dừi chng minh cỏc kt qu ca chng sau Trong chng ny, cỏc S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 tớnh cht c bn ca lý thuyt Nevanlinna c nhc li l: cụng thc Poisson-Jensen, cỏc hm c trng Nevanlinna, hai nh lý c bn, ng nht thc Cartan v tớnh li, quan h s khuyt, xỏc nh nht cỏc hm phõn hỡnh Chng 2: Mt s kt qu v phõn phi giỏ tr ca hm nguyờn v o hm ca nú Kt qu chớnh c trỡnh by lun l hai nh lý sau õy núi v s xỏc nh ca hm nguyờn v t hp tuyn tớnh ca cỏc o hm ca nú da vo to nh ca hai im, s xỏc nh ca hm nguyờn v o hm ca nú da vo to nh ca mt gm hai im nh lý.2.1.7 Gi s f l mt hm nguyờn khỏc hng s v n g L( f ) b1 bi f (i ) , i ú, bi (i 1,0,1,, n) l cỏc hm phõn hỡnh nh ca f Gi s a1 v a2 l hai hng s phõn bit Ê Nu f v g L( f ) cựng phõn phi a1 CM v a2 IM thỡ f g hoc f v g cú biu thc nh sau: f a2 (a1 a2 )(1 e )2 , v g 2a2 a1 (a1 a2 )e , ú l mt hm nguyờn nh lý 2.2.3 Gi s f l mt hm nguyờn khỏc hng s v a1 , a2 l hai s phc phõn bit Nu f v f ' cựng phõn phi a1 , a2 CM thỡ mt v ch mt cỏc khng nh sau l ỳng (i) f f ' (ii) f f ' a1 a2 (iii) f c1ecz c2ecz , vi a1 a2 , ú c, c1 v c2 l cỏc hng s khỏc khụng, tho c2 v c1c2 a12 (1 c ) minh kt qu nờu trờn, lun cng a mt vi vớ d c S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 th S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 Chng KIN THC CHUN B 1.1 Cụng thc Poisson-Jensen Gi s f ( z ) l hm phõn hỡnh { z Ê R}, f (0) 0, Ơ Gi s a1 , a2 ,L , aM l cỏc -im ca f ( z ) { z Ê R} (mi -im c k mt s ln bng bi ca nú), b1 , b2 ,L , bN l cỏc cc im (mi cc im c k mt s ln bng bi ca nú) Khi ú: " z = reiq (0 Ê r Ê R ) , ta cú: log f (reiq ) = 2p 2p ij ũ log f (Re ) M + log m= R( z - am ) R - am z R2 - r dj + R - Rr cos(j - q) + r N - log u= R( z - bu ) R - bu z Nhn xột: Hm phõn hỡnh f ( z ) ch cú hu hn -im v cc im { z Ê R} 1.1.1 H qu Vi cỏc gi thit nh cụng thc Poisson-Jensen, ta cú: log f (0) = 2p 2p ij ũ log f (Re ) dj + M log m= am R N - log u= bu R Nu f (0) = hoc Ơ thỡ f ( z ) cú khai trin ti z = dng: f ( z) = cl zl + cl + zl + + L (l > nu f (0) = , l < nu f (0) = Ơ ) Xột hm y ( z) = Rl f ( z) / zl = Rl (cl + cl + 1z + L ), y (0) 0, Ơ 1.1.2 H qu Vi cỏc gi thit nh cụng thc Poisson-Jensen, ta cú: l log R + log cl = 2p 2p ij ũ log f (Re ) dj + S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 M m= log am R N - u= log bu R http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 133 Cỏc hm c trng Nevanlinna 1.2 1.2.1 nh ngha Vi mi s thc a , t log+ a = max {0, log a } ( tc l, nu a Ê thỡ log + a = , nu a thỡ log + a = log a ) Ta cú: log a = log+ a - log+ 1a 1.2.2 nh ngha Gi s f ( z ) l hm phõn hỡnh { z Ê R}, cú cỏc -im l a1 , a2 , L , aM , cỏc cc im b1 , b2 , L , bN ( mi -im, cc im c tớnh mt s ln bng bi ca nú) Hm m ca hm f c nh ngha bi cụng thc sau: N N ( f , R) = log u= R bu ( N ( f , R) 0) 1.2.3 nh ngha Hm xp x m( f , R) m( f , R) = 2p 2p ũ log + f (Reij ) dj T nh ngha hm xp x m( f , R) ,ta cú: 2p 2p ij ũ log f (Re ) dj = 2p 2p + ij ũ log f (Re ) dj 2p 2p ũ log + dj f (Reij ) = m( f , R) - m( , R) f cú cc im ti a1 , a2 ,L , aM f Hm f cú -im ti a1 , a2 ,L , aM suy hm f T nh ngha hm N ( f , R), ta cú N ( , R) = M m= log R am H qu 1.1.1 cú th vit li di dng sau õy: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 133 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 133 1 log f (0) = m( f , R) - m( , R) - N ( , R) + N ( f , R) f f ộ ự = m( f , R) + N ( f , R) - ờm( , R) + N ( , R)ỳ ờở f ỳ f ỷ 1.2.4 nh ngha Hm c trng Nevanlinna T ( f , R) = m( f , R) + N ( f , R) f H qu 1.1.1 c vit li dng: T ( f , R) = T ( , R) + log f (0) T nh ngha ca cỏc hm m( f , R) , N ( f , R), T ( f , R) , ta cú cỏc tớnh cht sau: 1.2.5 nh lý Nu f j , j 1, p l cỏc hm phõn hỡnh, r l mt s thc dng tu ý, a l s phc bt k thỡ ta cú cỏc tớnh cht sau: p p j= j= p p j= j= p p j= j= p p j= j= p p j= j= 1) m( ế f j , r ) Ê m( f j , r ) 2) m( f j , r ) Ê m ( f j , r ) 3) N ( ế f j , r ) Ê N ( f j , r ) 4) N ( f j , r ) Ê N ( f j , r ) 5) T ( ế f j , r ) Ê T ( f j , r ) p p j= j= 6) T ( f j , r ) Ê T ( f j , r ) 7) T ( f - a, r ) - T ( f , r ) Ê log + a + log Chng minh: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 10 of 133 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 45 of 133 2.2 S xỏc nh ca hm nguyờn v o hm ca nú da vo to nh ca mt gm hai im Trc ht, ta chng minh hai b sau cn cho chng minh ca nh lý 2.2.1 B Gi s f l mt hm nguyờn khỏc hng s v a1 , a2 l hai giỏ tr hu hn phõn bit khỏc khụng Nu f v f ' cựng phõn phi a1 , a2 IM v T (r, h) S (r, f ) , ú h ( f ' a1 )( f ' a2 ) , ( f a1 )( f a2 ) (16) thỡ cỏc kt lun di õy l ỳng: (i) T (r, ) S (r, f ) , ú ( f ' h f '')( f ' h f '') ( f ' a1 )( f ' a2 ) (ii) T (r , f ') N (r , (iii) m(r, (17) ) S (r , f ), i 1, f ' ) S (r , f ) , ú c a1 , a2 l mt hng s f c (iv) T (r , h) m(r , 1 ) m(r , ) S (r , f ) m(r, ) S (r, f ) f a1 f a2 f' h (v) 2T (r, f ) 2T (r, f ') m(r, ) S (r, f ) Chng minh: (i) Do f , f ' cựng phõn phi (i 1, 2) , mi - im ca f l n v vỡ vy h l mt hm nguyờn T gi thit T (r, h) S (r, f ) , suy (16) c vit li l: ( f ' a1 )( f ' a2 ) ( f a1 )( f a2 )h , (18) o hm hai v ca (18), ta cú: (2 f ' a1 a2 ) f '' [(2 f a1 a2 ) f ' h ( f a1 )( f a2 )h '] S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 45 of 133 45 (19) http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 133 Khi z z0 , ( f '( z 0) a1)( f '( z 0) a 2) , v nh vy ( f ( z0 ) a1 )( f ( z0 ) a2 ) , ta cú: f '( z0 ) a1 a2 f ( z0 ) a1 a2 Suy ( f '( z0 )h( z0 ) f ''( z0 ))( f '( z0 )h( z0 ) f ''( z0 )) Nh vy, ta thy rng cỏc - im n ca f ' khụng l cc im ca Nu z0 l mt - im ca f ' vi s bi m , vỡ vy l mt - im ca f '' vi s bi m , thỡ t (16), z0 cng l mt - im ca h vi s bi m Nh vy, z0 khụng l cc im ca Ta kt lun rng l mt hm nguyờn Ngoi ra, ( f ')2 a2 f ' f ' h f '' f '' , f ' a1 ( f a1 )( f a2 ) f ' a1 Theo b 2.1.1, ta cú m(r , m(r , (20) f ' h f '' ) S (r , f ) Tng t, ta cú f ' a1 f ' h f '' ) S (r , f ) T õy m(r, ) S (r, f ) , v vỡ vy T (r, ) S (r, f ) f ' a2 (ii) (17) c vit li l : f ' h f '' f' f '' , ( f a1 )( f a2 ) ( f ' a1 )( f ' a2 ) v theo b 2.1.1, ta suy m(r , m(r , ) S (r , f ) Tng t, ta cú f ' h f '' 1 ) S (r , f ) Do ú, theo (17) cú m(r , ) S (r , f ) Suy ( f ' a1 )( f ' a2 ) f ' h f '' T (r , f ') N (r , ) S (r , f ), i 1, f ' (iii) T (17) v (20), ta cú: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 46 of 133 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 133 f ' h f '' ( f ')2 a2 f ' f' f '' f c ( f c)( f a1 )( f a2 ) f c f '( f ' a1 ) f ' a2 Theo b 2.1.1, ta cú m(r, ) S (r , f ) vi c a1 , a2 f c (iv) Do hm h (16) l nguyờn v h (a1 a2 ) f ' a1a2 f' f' , f a1 f a2 ( f a1 )( f a2 ) ( f a1 )( f a2 ) s dng b 2.1.1, d dng nhn c: T (r , h) m(r , ) S (r , f ) ( f a1 )( f a2 ) m( r , 1 ) m( r , ) S (r , f ) f a1 f a2 m(r , ) S (r , f ) f' Mt khỏc, t (16) v (17) kh b h , ta cú: f' ( f ')3 (a1 a2 )( f ')2 a1a2 f ' ( f '')2 , 2 ( f a1 ) ( f a2 ) f '( f ' a1 )( f ' a2 ) ( f a1 )( f a2 ) ( f a1 )( f a2 ) vỡ vy, theo b 2.1.1, ta cú: m(r , 1 ) m(r , ) m(r , ) S (r , f ) f' f a1 f a2 Nh vy, ta thu c: T (r , h) m(r , 1 ) m(r , ) S (r , f ) m(r, ) S (r, f ) f a1 f a2 f' (v) S dng kt lun (ii), ta cú: 2T (r , f ') N r , S (r , f ) ( f ' a1 )( f ' a2 ) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 47 of 133 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 133 T (18) v kt lun (iv), ta cú: 2T (r , f ') N r , S (r , f ) ( f a1 )( f a2 )h 1 N r, N (r , ) S (r , f ) h ( f a1 )( f a2 ) 2T (r , f ) m(r , 1 ) m(r , ) N (r , ) S (r , f ) f a1 f a2 h 2T (r , f ) T (r , h) N (r , ) S (r , f ) h h Ta cú 2T (r, f ) 2T (r, f ') m(r, ) S (r, f ) B 2.2.1 c chng minh W 2.2.2 B Gi s f l mt hm nguyờn khỏc hng s v a1 , a2 l hai giỏ tr hu hn phõn bit Nu f v f ' cựng phõn phi a1 , a2 CM thỡ T (r, h) S (r, f ) , ú h nh b 2.2.1 Chng minh: tin li, ta vit f1 f ', f f '' , v f3 f ''' Vỡ f v f1 cựng phõn phi a1 , a2 CM , nờn tn ti mt hm nguyờn h e Nu a1a2 thỡ t (16) h f12 (a1 a2 ) f1 ( f a1 )( f a2 ) ( f a1 )( f a2 ) T õy, theo b 2.1.1, ta cú T (r, h) S (r, f ) Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi thit rng a1a2 Gi s T (r, h) S (r, f ) T (17), (18) v (19), bng cỏch kh b h , ta cú: ( f a1 ) ( f a2 ) f1 (2 f a1 a2 ) f1 (2 f1 a1 a2 ) f , ( f a1 )( f a2 ) ( f a1 )( f a2 ) ( f1 a1 )( f1 a2 ) (21) ú, v on tip ' , v S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 48 of 133 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 49 of 133 f12 f 22 2 2 ( f a1 ) ( f a2 ) ( f1 a1 ) ( f1 a2 ) ( f1 a1 )( f1 a2 ) (22) Bỡnh phng hai v ca (21), ta cú: f12 f12 f12 ( f a1 )2 ( f a1 )( f a2 ) ( f a2 ) (2 f1 a1 a2 )2 f 22 (2 f1 a1 a2 ) f ( f1 a1 )2 ( f1 a2 )2 ( f1 a1 )( f1 a2 ) (23) Bõy gi (22) cú th c vit: [ f12 f12 f12 ] ( f a1 )2 ( f a1 )( f a2 ) ( f a2 )2 (a1 a2 )2 ( f1 a1 )( f1 a2 ) (a1 a2 ) f 22 ( f1 a1 )2 ( f1 a2 )2 (24) Ly hiu s ca (23) v (24), ta cú: f12 f (2 f1 a1 a2 ) f ( f1 a1 )( f1 a2 ) (a1 a2 ) ( f a1 )( f a2 ) ( f1 a1 )( f1 a2 ) ( f1 a1 )( f1 a2 ) (25) Kh b f t (22) v (25), ta cú: 16 f 22 f 22 (2 f1 a1 a2 ) f 16 [ H ]2 , 2 ( f1 a1 )( f1 a2 ) ( f1 a1 ) ( f1 a2 ) f1 ( f1 a1 )( f1 a2 ) (26) ú, H T b 2.2.1, m(r , ( f1 a1 )( f1 a2 ) (a1 a2 ) f1 ( f1 a1 )( f1 a2 ) 1 ) m(r , ) S (r , f ) Nh vy, t (26) v s f1 a1 f1 a dng b 2.1.1, ta cú: m(r, H ) S (r, f ) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 49 of 133 49 (27) http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 50 of 133 Xột hai trng hp: a1a2 (a1 a2 )2 v a1a2 (a1 a2 )2 Nu a1a2 (a1 a2 )2 thỡ t (27) v b 2.1.2, ta cú th suy rng 3T (r , f1 ) N (r , 1 ) N (r , ) N (r , ) S (r , f ) f1 f1 a1 f1 a2 Theo (ii) ca b 2.2.1 v cụng thc trờn, ta cú: m(r , ) S (r , f ) f1 (28) Do ú, theo (iv) ca b 2.2.1, ta cú T (r, h) S (r, f ) Bõy gi, ta xột trng hp: a1a2 (a1 a2 )2 , (29) v vit li (17) l: ( f1 a1 )( f1 a2 ) f12e2 f 22 (30) Ly o hm hai v ca (30), ta cú: '( f1 a1 )( f1 a2 ) (2 f1 a1 a2 ) f ' f12e2 f1 f 2e2 f f3 (31) Gi s z0 l mt - im ca f1 T (17), (18), (19) v (31), ta cú th thy rng ( z0 ) (a a ) f ( z ) f 22 ( z0 ) (a a ) f ( z ) , ( z0 ) 2 , ( z0 ) 2 2 a1a2 a1a2 a1 a2 v a1a2 '( z0 ) (a1 a2 ) ( z0 ) f ( z0 ) f ( z0 ) f ( z0 ) Vỡ vy, s dng (29), ta cú: '( z0 ) ( z0 ) f ( z0 ) f3 ( z0 ) ( z0 ) Li t (17), ta thy rng mi - im ca f1 v f phi l - im ca , vỡ vy, hu nh cỏc - im ca f1 l n Gi s S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 50 of 133 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 51 of 133 ' f2 f3 f1 f1 (32) Khi ú, ta cú T (r, ) S (r, f ) Nú cng ỳng f1 khỏc khụng Nu thỡ ta cú th suy rng f2 ' ' ' , v vỡ th, ly tớch phõn, ta f2 cú: f c exp , v ú f1 c exp( ) d , ú c v d l cỏc hng s T ú suy m(r , 1 ) m(r , ) T ( r , h) S ( r , f ) , f1 exp( ) d a n kt qu T (r, h) S (r, f ) , theo b 2.2.1 Sau õy, ta gi thit rng T (30), (31), kh b e2 ,ta cú: ( ' ' ) f1 ( f1 a1 )( f1 a2 ) (2 f1 a1 a2 ) f1 f ' f1 f 22 ( f1 a1 )( f1 a2 ) f f 23 f1 f f3 (33) Nu ' ' thỡ ta cú e2 c , ú c l mt hng s T õy T (r , h) T (r , e ) S (r , f ) Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi thit rng ' ' Do mi a1 - im v mi a2 - im ca f1 l n, t (33) mi - im ca f nhng khụng l - im ca f1 phi cng l mt - im ca ' ' Nh vy, ta cú th kt lun rng T (r , ' f3 ) S (r , f ) T (32), ta cú: f2 f3 f f f1 Vỡ vy T (r , f2 ) S (r , f ) f1 (34) Bõy gi, (29) ỳng, (26) cú th c vit li l: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 51 of 133 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 133 b0 f12 b1 f1 b2 (35) Trong ú, b0 16( f2 f f f ) 32( )3 (16 24 )( ) ( ) 16 , f1 f1 f1 f1 b1 16(a1 a2 ) ( f2 f f ) 24(a1 a2 ) ( ) 12(a1 a2 ) ( ) f1 f1 f1 2(a1 a2 ) 16(a1 a2 ) , b2 4(a1 a2 )2 ( f2 f ) 4(a1 a2 ) ( ) 16 a1a2 (a1 a2 ) f1 f1 Hin nhiờn l T (r , bi ) S (r , f ), i 0,1, Do T (r , f ) N (r , N (r , 1 ) N (r , ) S (r, f ) f a1 f a2 1 ) N (r , ) S (r , f ) f1 a1 f1 a2 2T (r , f1 ) S (r , f ) , Ta cú T (r , bi ) S (r , f1 ), i 0,1, Vỡ vy, theo b 2.1.3, ta cú: bi 0, i 0,1, (36) T õy, (29) v (36), d dng thy rng f / f1 l mt hng s Do ú f ' c1 ( f c2 ) , (37) ú, c1 , v c2 a1 , a2 l cỏc hng s T (30) v (37), ta cú: N (r , ) S (r, f ) Mt khỏc, t (21), b 2.2.1 v b 2.1.1, ta cú th kt f c2 lun rng m(r , f c2 ) S (r , f ) Vỡ vy, m(r , ) S (r , f ) Do ú, f c2 T (r, f ) S (r, f ) , mõu thun S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 52 of 133 W 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 133 2.2.3 nh lý Gi s f l mt hm nguyờn khỏc hng s v a1 , a2 l hai s phc phõn bit Nu f v f ' cựng phõn phi a1 , a2 CM thỡ mt v ch mt cỏc khng nh sau l ỳng (i) f f ' (ii) f f ' a1 a2 (iii) f c1ecz c2ecz , vi a1 a2 , ú c, c1 v c2 l cỏc hng s khỏc khụng, tho c2 v c1c2 a12 (1 c ) Chng minh: Theo gi thit ca nh lý 2.2.3, tn ti mt hm nguyờn tho T (r , e ) S (r , f ) ( f ' a1 )( f ' a2 ) ( f a1 )( f a2 )e , iu ny cú th c biu th l: (e f ( a1 a2 a a a a a a e f ' )(e f e f ' ) 2 2 a1 a2 ) (e 1) (38) t G e2 f a1 a2 a a e f ' , 2 (39) a1 a2 a a e f ' 2 (40) v H e2 f Khi ú, G v H l cỏc hm nguyờn, v nu G.H , 1 N (r , ) N (r , ) S (r , f ) G H S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 53 of 133 53 (41) http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 133 Vỡ vy, T (r , G' H' ) T (r , ) S (r , f ) G H (42) T (38), (39) v (40), ta cú: G H e (2 f a1 a2 ) , (43) G H f ' a1 a2 , (44) G.H ( a1 a2 ) (e 1) (45) T ba phng trỡnh trờn, ta d dng suy G' ' H ' ( e )G ( e ) H (a1 a2 )e G H ' (46) Nhõn G vo hai v ca (46), ta cú: 1G2 2G , (47) ú, ' e2 G' , G (a1 a2 )e , ( a1 a2 ' H' ) (e 1)( e ) 2 H T (42), ta thy T (r , i ) S (r , f ), i 1, 2,3 (48) Khi e h 1, t (16), ta d dng thy rng: hoc f f ' hoc f f ' a1 a2 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 54 of 133 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 133 Bõy gi, ta gi thit rng e Nu T (r, G) S (r, f ) , thỡ t (45) ta cú T (r, H ) S (r, f ) Vỡ vy, t (43) suy T (r, f ) S (r, f ) iu ny khụng th c Do ú, T (r, G) S (r, f ) Nu thỡ t (47) v (48), ta cú: 2T (r , G ) T (r , G ) T (r , G ) S (r , f ) , V vỡ vy, T (r, G) S (r, f ) , mõu thun Do ú, Tng t, ta cú i 0, i 2,3 , tc l: ' ' e2 e2 G' 0, G (49) H' 0, H (50) a1 a2 Cụng thc (49) v (50) dn ti (51) G' H ' ' Do ú, G H GH c0e , (52) ú, c0 l mt hng s khỏc khụng Kt hp (45), (51) v (52) ta thy rng e v vỡ vy l mt hng s Nh vy, (49) v (50) tng ng tr thnh G ' e G v H ' e H T õy v (45) suy n kt qu G c1ecz , H c2ecz , (53) ú, c e , vi c1 , c2 l cỏc hng s tho c1c2 ( a1 a2 a a ) (e 1) ( )2 (c 1) 2 (54) Do ú, t (43), (53) v (54), ta cú: c1 cz c2 cz f e e e e 2 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 55 of 133 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 133 Biu thc trờn cng cú th c vit li l: f c1ecz c 2ecz , c c ú, c1 e , v c e tho 2 a a c1 c ( )2 (1 c ) nh lý 2.2.3 c chng minh W Chỳ ý 3: chỳng ta nghi ng rng iu kin f v f ' cựng phõn phi a1 , a2 CM nh lý 2.2.3 cú th c thay th bng f v f ' cựng phõn phi a1 , a2 IM Nhng ta cú th chng t rng i vi mt hm phõn hỡnh f , t CM nh lý 2.2.3 khụng th c thay th bi IM Vớ d, nu f = e2 z - thỡ f v f ' cựng lỳc phõn phi 0,1 IM Di õy l mt vớ d phc e2 z + hn Vớ d 3: Ly mt hng s a, a 0, - 27 32 Th thỡ phng trỡnh z3 - az - a z + a + a = khụng cú nghim bi Gi s f l hm elliptic tho món: ( f ') = f - af - a f + a + a Khi ú ( f '- a )( f '+ a) = ( f - a) ( f + a) , v f , f ' cựng lỳc phõn phi a, - a IM S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 56 of 133 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 133 KT LUN Nh vy, lun ó trỡnh by li cỏc khỏi nim, cỏc tớnh cht, cỏc nh lý c bn ca lý thuyt Nevanlinna cho hm phõn hỡnh v ng dng i vi phõn phi giỏ tr ca hm nguyờn v o hm ca nú trng s phc mt cỏch h thng Phõn tớch v chng minh li t m, c th cỏc b v kt qu bi bỏo ca Ping Li v Chung-Chun Yang [16] v phõn phi giỏ tr ca hm nguyờn v o hm ca nú Kt qu chớnh ca lun l hai nh lý: nh lớ 2.1.7 v s xỏc nh ca hm nguyờn v t hp tuyn tớnh ca cỏc o hm ca nú da vo to nh ca hai im v nh lý 2.2.3 núi v s xỏc nh ca hm nguyờn v o hm ca nú da vo to nh ca mt gm hai im S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 57 of 133 57 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 133 Ti liu tham kho Ting Vit [1] H Huy Khoỏi, Lý thuyt Nevanlinna, Bi ging Ting Anh [2] F Gross, On the distribution of values of meromorphic functions, Trans Amer Math Soc 131(1968), 199-214 [3] F Gross, Complex analysis, Lecture Notes in Math., Vol 599, Springer, 1977, 51- 69 [4] Hongxun Yi, Uniqueness of meromorphic functions and a question of Gross, Science in China, (series A),24(1994), 457- 466 [5] Ping Li and C C Yang, On the unique range set of meromorphic functions, Proc Amer Math Soc., Vol.124, No.l, 1996, 177-185 [6] Qing-De Chang A unicity theorem of slowly growing functions, Acta Math Sinica, Vol 36, No 6, Nov., 1993, 826-833 [7] Ping Li and C.C.Yang, Some further results on the unique range set of meromorphic functions, Kodai Math J., 18(1995), 437-450 [8] E Mues and M Reinders, Meromorphic functions sharing one value and unique range sets, Kodai Math J., 18 (1995), 515-522 [9] L A Rubel and C C Yang, Values shared by an entire function and its derivatives, Complex analysis (Proc Conf Univ of Kentucky, Lexington, 1976), Lecture notes in Math., Vol 599, Berlin: Springer 1977, 101-103 [10] G G Gundersen, Meromorphic functions that share finite values with their derivative, J Math Analysis and Appl., 75(1980), 441-446 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 58 of 133 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 133 [11] Yongxing Gu, Uniqueness of an entire function and its differential polynomial, Acta Math.Sinica, Vol.37, No.6, Nov., 1994, 791-798 [12] G Frank and Xinhou Hua, Differential polynomials that share three values with their generated meromorphic function, Michigan Math J 46(1999) N1,175-186 [13] C A Bernstein, D C Chang and B Q Li, On uniqueness of entire functions in Cn and their partial differential polynomials, Math (1996) N3, 379396 [14] W K Hayman, Meromorphic Functions, Oxford University Press, Oxford, 1964 [15] Yu-Zan He and Xiu-Zhi Xiao, Algebroid Functions and Ordinary Differential Equations, Science Press, Beijing, 1988 (Chinese) [16] Ping Li and Chung-Chun Yang, Value Sharing of an Entire Function and Its Derivatives, J Math Soc Japan 51( 1999) N4, 781-799 [17] E Mues and N Steinmetz, Meromorphe Funktionen, die mit ihrer Ableitung Werte teilen, Manuscripta Math 29( 1979), 195-206 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 59 of 133 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn