b Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với nhau nếu ô trên cùng bên trái của chúng có số sỏi khác nhau và các ô còn lại tương ứng có số sỏi như nhau.. Xét hai cách đặt liên hợp với nhau B[r]
(1)BÀI TẬP TÁCH TỔ HỢP Câu Câu Có 2012 thỏ nhốt 1006 chuồng, chuồng có đúng hai Sau ngày người ta lại thay đổi vị trí thỏ cho không có hai thỏ nào đã nằm chung chuồng ngày trước đó lại nằm chung chuồng thêm lần Hỏi có tối đa bao nhiêu ngày làm vậy? Cho n điểm mặt phẳng, với n > 4, số đó không có ba điểm nào (n 3)( n 4) thẳng hàng chứng minh có ít tứ gác lồi tạo thành có đỉnh nằm số n điểm đã cho Câu n 20 n Cho nhị thức (1 x) , biết C2 n+1 +C 2n+1 +⋯+C 2n+1 =2 −1 , (n nguyên dương) Tìm số hạng có hệ số lớn nhị thức? Câu Tìm hệ số x khai triển đa thức 3x n 1 dương thỏa mãn: C n phần tử) Câu Câu C n 1 n 1 C n 1 n 1 C 1024 2n ( đó n là số nguyên Cnk là số các tổ hợp chập k Từ các số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, các chữ số còn lại có mặt không quá lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Trên bảng ô vuông 3x3, người ta đặt số viên sỏi cho ô vuông có không quá viên sỏi Với cách đặt ta cho tương ứng với số điểm tổng số : các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó Bảng không có sỏi ứng với điểm a) Tồn hay không cách đặt sỏi cho ô chính bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là b) Chứng minh số cách đặt sỏi với điểm số là số chẵn số cách đặt sỏi với điểm số là số lẻ Hướng dẫn giải a) Giả sử ô chính không có sỏi và điểm số cách đặt là Như hàng, cột và hai đường chéo có số lẻ viên sỏi Gọi a, b, c, d là số sỏi các ô hình vẽ, a, b, c, d 0,1 Khi đó các ô đối xứng với a, b, c, d qua tâm có số sỏi tương ứng là a ', b ', c ', d' cho a a ' b b' c c' d d' 1 a b c d a b c a ' b ' c ' 3 Từ đó suy hai tổng a b c a ' b ' c ' là số chẵn Khi đó dòng thứ dòng thứ ba có tổng số sỏi là số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu (2) Vậy không tồn cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện bài toán b) Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với ô trên cùng bên trái chúng có số sỏi khác và các ô còn lại tương ứng có số sỏi a b c a’ b c f e d f d g h i g h i ( B) (B’) Như vậy, các cách đặt sỏi chia thành cặp đôi liên hợp với Xét hai cách đặt liên hợp với (B) và (B’) Tổng số sỏi dòng 1, cột và đường chéo hai bảng đôi khác tính chẵn lẻ Các dòng, cột và đường chéo còn lại hai bảng có số sỏi Do đó điểm số ( B) và (B’) khác đơn vị, suy số điểm ( B) và (B’) có tính chẵn lẻ khác Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt còn lại có điểm số là số lẻ suy điều phải chứng minh Câu Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác từ các chữ số trên Tính tổng các chữ số lập Câu k k 2 k 1 Giải phương trình: C14 C14 2C14 Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập X , X ,., X 64 tập X (mỗi tập chứa nhiều 1008 phần tử) Chứng minh tồn tập A X có số phần tử không vượt quá mà A X i , với i 1, 64 Câu 10 Những ô hình vuông kích thước 7´ tô hai màu Chứng minh tồn ít 21 hình chữ nhật với đỉnh cùng màu và các cạnh song song với các cạnh hình vuông Hướng dẫn giải Ta cho màu tô là trắng và đen Lấy hàng bất kỳ, ta giả sử tồn k ô 2 đen và – k ô trắng Khi đó tồn Ck + C7- k = k - k + 21 ³ Câu Cặp ô cùng màu Vậy tồn ít 7.9 = 63 cặp ô cùng màu trên cùng hàng Tiếp theo tồn C7 = 21 cặp cột Suy tồn 21.2 = 42 tổ hợp màu và cặp cột Với tổ hợp i =1;24 , giả sử tồn ji cặp cùng tổ hợp, thì tồn ít ji – hình chữ nhật cho tổ hợp này Vì tổng ji ít là 63 nên tồn ít 42 å ( ji - 1) ³ 63 - 42 = 21 Vậy tồn ít 21 hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu bài toán i=1 (3) A 1; 2; ; 2013 Cần phải loại khỏi A ít bao nhiêu phần tử để tập hợp còn lại có tính chất: Không phần tử nào tích hai phần tử khác Hướng dẫn giải Loại khỏi A tập hợp {2;3; ; 44} , tập này có 43 phần tử Khi đó tập còn lại là {1;456.203} Rõ ràng tập này thỏa mãn yêu cầu: Không có phần tử nào là tích hai phần tử khác Ta chứng minh cách tách khỏi A tập hợp có nhiều 42 phần tử không thỏa mãn yêu cầu đề bài 0.5 đ Thật xét các ba sau (43 ba): 2, 87, 2.87 3, 86, 3.86 4, 85, 4.85 ………… 44, 45, 44.45 Xét hàm số f ( x) x(89 x) với x 44 Ta có f '( x) 89 x 0, 2 x 44 Vậy f là hàm đồng biến x 44 Suy f (2) f (3) f (44) 2.87 3.86 44.45 Dễ thấy 44 45 46 87 2.87 3.86 44.45 Vì 44.45 1980 2013 nên toàn các phần tử 43 ba là khác và nằm tập hợp A Vì ta tách khỏi A tối đa 42 phần tử, nên phần còn lại A (sau tách) phải có ít ba nói trên Vậy cách tách không thỏa mãn yêu cầu đầu bài 2.0 đ Kết luận: Số phần tử ít cần tách khỏi A là 43 phần tử Câu 12 Cho 51 điểm bất kì phân biệt nằm hình vuông ABCD có cạnh 5, đó không có không có điểm nào thẳng hàng Vẽ các đường tròn có bán kính và có tâm là 51 điểm trên Chứng minh tồn điểm số 51 điểm nói trên cho chúng thuộc phần giao hình tròn có tâm chính là điểm đó Hướng dẫn giải * Chia hình vuông ABCD thành 25 hình vuông đơn vị ( có cạnh 1) Theo nguyên lý Dirichlet, có ít hình vuông đơn vị chứa không ít điểm * Mặt khác, khoảng cách hai điểm bất kì hình vuông đơn vị không vượt quá * Gọi I1, I2, I3 là điểm nằm hình vuông đợ vị nào đó Vẽ đường tròn có tâm là I1, I2, I3 và có bán kính thì điểm I1, I2, I3 thuộc giao hình tròn này ( Đpcm) Câu 13 Cho 2013 điểm trên đường thẳng, tô các điểm màu màu xanh, đỏ, vàng (mỗi viên bi tô màu) Có bao nhiêu cách tô khác cho không có điểm liên tiếp nào cùng màu Câu 11 Cho tập hợp (4) Hướng dẫn giải n 3 ) điểm (bài toán Gọi Sn là số cách tô màu thỏa mãn cho n ( S n 1 theo Sn , xét hai bi cuối cùng S n có ta là n 2013 ) Ta tính hai trường hợp xảy ra: n khác màu bi cuối +Nếu hai bi cuối cùng màu thì bi thứ +Nếu hai bi cuối khác màu thì bi thứ n tô bất kì M n là số cách tô n bi mà hai bi cuối cùng Từ đó sinh hai số đặc trưng màu, Pn là số cách tô màu n bi mà hai bi cuối khác màu và hai cùng thỏa mãn bi liên tiếp khác màu Sn 1 2 M n Pn , Ta có: Pn 1 2S n ; M n1 Pn S n 1 2 Pn 6S n 4S n 6S n Thế thì S n 1 6S n 4S n 0 Vậy ta có hệ thức truy hồi: S3 , S4 thấy S3 27 24 , Bây ta tính S 4! 12 49 Phương trình đặc trưng thức xác định X X 0 có nghiệm là: x1 3 13, x2 3 13 Công Sn ax1n bx2n a, b với thỏa mãn: 24 13 23 a 3 a(3 13) b(3 13) 24 13(3 13)3 4 a(3 13) b(3 13) 49 b 24 13 23 13(3 13)3 Sau đó cho n 2013 ta kết bài toán Câu 14 Đối với giá trị n , tìm số k lớn thỏa mãn tập hợp gồm n phần tử có thể chọn k tập khác cho hai tập có giao khác rỗng Hướng dẫn giải n n Số tập X là Giả sử chọn tập X có giao khác n rỗng Ta chia các tập X thành cặp tạo tập X n n n và phần bù tập đó X Có cặp, chọn tập từ cặp nên theo nguyên lý Dirichlet phải có ít tập thuộc cùng cặp, và đó giao nó rỗng Điều này chứng tỏ không thể chọn lớn n 1 tập cho giao hai tập chúng khác rỗng n Số tập X không chứa phần tử là Số tập X chứa là 2n 2n 2n Do đó có 2n tập X có giao là phần tử nên số k lớn n cần tìm là (5)