Bài tập Tách tổ hợp – Toán 11 (Phần 1)

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.[r]

(1)

Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/

BÀI TẬP TÁCH TỔ HỢP

Câu Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm K ∈ {1;2;…;n} cho số tập gồm K phần tử A lớn nhất?

Hướng dẫn giải Số tâ ̣p gồm phần tử từ n phần tử của A : C tâ ̣p n4 Số tâ ̣p gồm phần tử từ n phần tử của A :C tâ ̣p n2 Theo đề bài, ta có:

4

20 

n n

C C

! !

20

( 4)!4! ( 2)!2!

( 3)( 2) 240

18( ) 13( )

 

 

   

 

   



n n

n l

Go ̣i K là số phần tử có số tâ ̣p lớn nhất A( 0K 18,K ) Khi đó :

1

18 18

1

18 18

 















K K

C

18! 18!

(18 )! ! (18 1)!( 1)!

18! 18!

(18 )! ! (18 1)!( 1)!

1

(18 ) ( 1)

1

19

17 19

2

9 



    

  

 

    

 



  

  

 

 



  

 

K K K K

K K

K

Câu Cho k số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải Ta có :

5 2011 2016 (1x) (1x) (1x)

Đă ̣t M (1x)5 C50C x C x51  52 2C x53 3C x54 4C x 55

2011 2 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011

(1 )

       k k  

N x C C x C x C x C x

2016 2 2016 2011

2016 2016 2016 2016 2016

(1 )

       k k 

P x C C x C x C x C x

(2)

0 1 5 5

2016 2011 2011 2011

0 1 5

5 2011 2011 2011

   

 

   

k k k k k k k k

k k k k k k

C x C C x C xC x C x C x

C C x C C x C C x

Cho ̣n x=1 ta có điều phải chứng minh

Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đôi khác nhau.Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho

Hướng dẫn giải Go ̣i phần tử của A có da ̣ng : a a a a a a a a a1

10

a nên có cách cho ̣n

Cho ̣n chữ số còn la ̣i và xếp vào vi ̣ trı́ từ a2 a :9

A cách cho ̣n

Vâ ̣y n(A)= 9A 98

Giả sử go ̣i B





\{0}, \ {3}, \{6}, \ {9}

B B B B

TH1: Cho ̣n tâ ̣p B\ {0} để ta ̣o số :

Ta còn chữ số để xếp vào vi ̣ trı́ a1a9: 9! cách TH2: Cho ̣n ba tâ ̣p : B\ {3},B\ {6},B\ {9}: cách

1 0 :

a có cách ( vı̀ đã loa ̣i phần tử là bô ̣i của 3)

Còn chữ số xếp vào vi ̣ trı́ còn la ̣i : 8! cách

 Số cách cho ̣n phần tử thuô ̣c A và chia hết cho là: 9! 3.8.8! Vâ ̣y xác suất cần tı̉m là :

9

9! 3.8.8! 11

9 27





A

Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho

Hướng dẫn giải Go ̣i phần tử của A có da ̣ng : a a a a a a a a1

10

a nên có cách cho ̣n

Cho ̣n chữ số còn la ̣i và xếp vào vi ̣ trı́ từ a2 a :8

A cách cho ̣n

Vâ ̣y n(A)= 9 A 97

Giả sử go ̣i B





9 chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loa ̣i phần tử có tổng là bô ̣i của Như vâ ̣y, ta sẽ có các tâ ̣p : B\{0;9},B\ {1;8},B\ {2; 7},B\ {3;6},B\{4;5}

TH1: Cho ̣n tâ ̣p B\ {0;3} để ta ̣o số :

Ta còn chữ số để xếp vào vi ̣ trı́ a1 a8: 8! cách

TH2: Cho ̣n bốn tâ ̣p : B\ {1;8},B\ {2;7},B\{3; 6},B\{4;5}: cách 0 :

a có cách ( vı̀ đã loa ̣i phần tử có tổng là bô ̣i của 9)

(3)

 Số cách cho ̣n phần tử thuô ̣c A và chia hết cho là: 8! 4.7.7! Vâ ̣y xác suất cần tı̉m là :

9

8! 4.7.7!

9





A

Câu Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Lý sách Hóa (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho học sinh

A,B,C,D,E,F,G,H,I, học sinh nhận sách khác thể loại (khơng tính thứ tự sách) Tính xác suất để hai học sinh A B nhận phần thưởng giống

Hướng dẫn giải

Để mô ̣t ho ̣c sinh nhâ ̣n đươ ̣c quyển sách thể loa ̣i khác nhau, ta chia phần thưởng thảnh ba loa ̣i : ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa)

Go ̣i x,y,z ( , ,x y z ) lần lươ ̣t là số ho ̣c sinh nhâ ̣n đươ ̣c bô ̣ giải thưởng ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa) Khi đó, ta có ̣ sau :

7

6

5

  

 

 

   

 

    

 

x y x

x z y

y z z

Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho ho ̣c sinh :

Cho ̣n ba ̣n bất kı̀ ba ̣n để nhâ ̣n bô ̣ ( Toán-Lý) : C cách 94

Cho ̣n ba ̣n bất kı̀ ba ̣n còn la ̣i để nhâ ̣n bô ̣ (Toán-Hóa) : C cách 53 ba ̣n còn la ̣i chı̉ có cách phát thưởng là bô ̣ ( Lý-Hóa)

Vâ ̣y n( ) C C 94 53

Go ̣i S là biến cố “ hai ho ̣c sinh A và B có phần thưởng giống nhau” TH1 : A và B cùng nhâ ̣n bô ̣ ( Toán-Lý)

Vı̀ A và B đã nhâ ̣n quà nên bô ̣ ( Toán-Lý) còn la ̣i phần Ta cho ̣n ba ̣n ba ̣n để nhâ ̣n : C cách 72

Cho ̣n ba ̣n ba ̣n còn la ̣i để nhâ ̣n bô ̣ ( Toán-Hóa) : C cách 53 ba ̣n còn la ̣i chı̉ có cách phát thưởng là bô ̣ ( Lý-Hóa)

Vâ ̣y có C C cách để A và B củng nhâ ̣n bô ̣ ( Toán-Lý) 72 53 TH2: A và B cùng nhâ ̣n bô ̣ ( Toán-Hóa)

Lâ ̣p luâ ̣n tươ ̣ng tự, ta đươ ̣c : C C cách 17 64

TH3 : A và B cùng nhâ ̣n bô ̣ ( Lý-Hóa) có C cách 74 Vâ ̣y có C C + 72 53

1

C C + C 74

2 4 7

4

5 ( )

18

 

C C C C C 

P S

C C

Câu Cho tâ ̣p hơ ̣p A={1,2,3,4,.,20} Tı́nh xác suất để ba số đươ ̣c cho ̣n không có số tự nhiên liên tiếp

Hướng dẫn giải Số cách cho ̣n ba số đôi mô ̣t khác từ A : n( ) C203 TH1 : Ta cho ̣n số có chữ số tự nhiên liên tiếp :

Cho ̣n phần tử bất kı̀ \{19;20}A : 18 cách cho ̣n

(4)

TH2 : Cho ̣n ba số có đúng hai chữ số liên tiếp : Cho ̣n hai phần tử {1;19}: cách

Với mỗi cách cho ̣n phần tử trên, ta có cách cho ̣n phần tử liền sau đó

Cho ̣n phần tử thứ ba không liên tiếp với phần tử đã cho ̣n : 17 cách ( vı̀ phải bỏ phần tử liển sau phần tử thứ )

Cho ̣n phần tử tâ ̣p {2;3;4;.;18} : 17 cách

Với mỗi cách cho ̣n trên, ta có cách cho ̣n phần tử thứ hai liền sau nó

Để cho ̣n phần tử thứ không liên tiếp, ta cần bỏ phần tử liền trước phần tử và liền sau phần tử : 16 cách

 Vâ ̣y có 17.2+17.6 cách cho ̣n phần tử có đúng hai chữ số liên tiếp

20

3 20

18 17.2 17.16 68 95

C P

C

  

 

Câu Có 1650 học sinh xếp thành 22 hàng 75 cột Biết với hai cột bất kì, số cặp học sinh hàng giới tính khơng vượt 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 920 người

Go ̣i a là số ho ̣c sinh nam hàng thứ i Vı̀ có 75 cô ̣t nên số ho ̣c sinh nữ của hàng thứ i là i 75ai

Số că ̣p ho ̣c sinh cùng hàng và củng giới tı́nh : Cho ̣n nam số nam cùng hàng :

C

a

i

Cho ̣n nữ số nữ cùng hàng :

C

ai

Cho ̣n ba ̣n ho ̣c sinh bất kı̀ của mô ̣t hàng :

C

Theo đề bài, ta có :





22

2 2

75 75

1

11 i i

a a

i

C C  C



 











22

2 22

1

75 30525

2 75 1650

i i

i i i

a a

a



   

  



Theo Cauchy-Swatch :

22 22

2

1

22

(2 75) 22 (2 75) 36300

191 1650 921

i i

a a

a

 



 

   

 

 



  



Câu Trong mô ̣t giải cờ vua gồm nam và nữ vâ ̣n đô ̣ng viên Mỗi vâ ̣n đô ̣ng viên phải chơi hai ván với mỗi đô ̣ng viên còn la ̣i Cho biết có vâ ̣n đô ̣ng viên nữ và cho biết số ván các vâ ̣n đô ̣ng viên chơi với số ván ho ̣ chơi với hai vâ ̣n đô ̣ng viên nữ là 66 Hỏi có vâ ̣n đô ̣ng viên tham gia giải và số ván tất cả các vâ ̣n đô ̣ng viên đã chơi?

Hướng dẫn giải Go ̣i n là số vâ ̣n đô ̣ng viên nam tham gia (n2,n )

Cho ̣n số n VĐV nam để đấu ván với :2C cách n2

(5)

2

2 66

2 !

4 66

( 2)!2!

( 1) 66

11( ) 6( )

n

C n

n

n n

n n n

n n

n l

 

  



   

 

   



Vâ ̣y số VĐV tham gia giải là : 11+2=13 người

Số ván các vâ ̣n đô ̣ng viên chơi với là : 2C112 4.11 156  ván

Câu Cho tâ ̣p hơ ̣p A có 20 phần tử Hỏi có tâ ̣p hơ ̣p của A mà số phần tử là số chẵn ?

Hướng dẫn giải Go ̣i S là số tâ ̣p hơ ̣p có số phần tử là số chẵn

S=

C



C



C

 

C

20 2 3 20 20 20 20 20 20 20 2 3 20 20 20 20 20 20

(1 )

x C C x C x C x C

     

     

Cho ̣n x=1, ta đươ ̣c :

20 20

20 20 20 20 20

0 20

20 20 20 20 20

2

0

C C C C C

    

    

20 20

20 20 20

19 20

20 20 20

2 2

2

C C C

    

    

Câu 10 Cho n điểm P P P1, 2, 3, ,P nn( 4)cùng nằm đường trịn Tìm số cách tơ màu n điểm màu cho điểm kề tô màu khác

Go ̣i a là số cách tô màu n điểm thỏa mãn Giả sử có mô ̣t vòng tròn n+1 điểm đươ ̣c tô màu n theo yêu cầu

TH1 : Điểm và điểm n khác màu  Bỏ điểm n+1, ta có a cách n

Ngươ ̣c la ̣i, nếu thêm điểm n+1, ta có lựa cho ̣n màu cho nó Vâ ̣y có 3.a cách tô màu vòng tròn n+1 điểm theo TH1 n TH2: điểm và điểm n cùng màu :

Bỏ điểm n+1 và hơ ̣p nhất hai điểm và n : an1 cách

Ngươ ̣c la ̣i, nếu có vòng tròn n-1 điểm đã đươ ̣c tô màu Ta tách điểm làm hai, và thêm điểm n+1 vào Khi đó nó có lựa cho ̣n màu, vı̀ vâ ̣y : 4an1 cách

Từ hai TH nêu trên, ta có :

a

n



3

a

n



4

a

n

a

Câu 11 Một bảng vng kích thước 3x3 gọi bảng “ 2015- hồn thiện” tất điền số ngun khơng âm ( không thiết phân biệt ) cho tổng số hàng cột 2015

Hỏi có tất bảng “ 2015- hoàn thiện” cho số nhỏ số đường chéo nằm vị trí tâm bảng ?

(6)

Gọi số học sinh ban đầu 2n Un số cách chọn số bạn xếp thành hàng ngang

thỏa mãn yêu cầu tóan

Ta bỏ bạn học sinh đầu hàng, 2n-1 người Gọi Vn số cách chọn

một số bạn từ 2n-1 người thỏa mãn yêu cầu tóan Xét số cách chọn từ 2n người

1 n

2 n

TH1: Bạn vị trí chọn.Khi bạn vị trí 2,3 khơng chọn Vâ ̣y có Vn -1+ cách chọn ( Thêm cách không chọn từ 2n-1 bạn)

TH2: Bạn vị trí chọn Tương tự có Vn -1+ cách chọn

TH3:Cả bạn vị trí khơng chọn Khi có Un-1 cách

Vậy ta có Un= Un-1+2 Vn -1+ (1)

Xét số cách chọn từ 2n-1 bạn

1 n

× n

TH1: Bạn vị trí chọn.khi bạn vị trí khơng chọn Vậy có Vn-1 +1 cách

TH2: Bạn vị trí khơng chọn Có Un-1 cách

Vậy ta có Vn = Vn-1 +1 + Un-1 (2)

Từ (1) (2) ta tìm Un+1 = Un+Un-1+2



Với n=50 ta có số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 12 Cho tập X= {1,2,3,.2015}, xét tất tập X, tập hợp có phần tử Trong tập hợp ta chọn số bé Tính trung bình cộng số chọn

Xét X= {1,2,3.n} tập gồm r phần tử X Các tập hợp X có phần tử chọn 1,2.n– r + 1.Cách cấu tạo tập hợp sau:

Lấy A X {1}, A có r – phần tử ( vı̀ đã bỏ ), {1}A tập hợp có r phần tử số phần tử bé Vậy có:

C

nr

+ Cnr12 tập có r phần tử có phần tử bé

+ Cnr1(n r 1) tập có r phần tử có phần tử bé n – r +

Trung bı̀nh cô ̣ng các số đươ ̣c cho ̣n :





1 ( 1)

1

r

2

r

(

1)

r

r n n n n r

n

P

C

n r

C

  

    





 

 

Ta chứng minh:





1 ( 1)

1

r

2

r

(

1)

r

r n n n n r

n

n r

C

n r

C

  

    

 



 

 





1

1 1

1 ( 1)

1

2

(

1)

r

n

r r r

n n n n r

n

C C

r

C

n r

C



  

    



  



(7)

mà 1

r r r

n n n

C  C C  ta được:













1 1 1

1 Cnr Cnr 2 Cnr Cnr  ( n r C ) rr Crr Cnr Cnr Cnr  Crr Crr Cnr

Vậy trung bình cộng số chọn : 2015 2016

3

 



Câu 13 Có số tự nhiên chữ số khác tửng đôi mô ̣t, đó chữ số đứng liền giữa hai số và ?

Hướng dẫn giải Go ̣i số cần tı̀m có da ̣ng :a a a a a a a1

Vı̀ số cần tı̀m có số {1;2;3} nên ta chı̉ cần cho ̣n số nữa để điền vào vi ̣ trı́: C74 cách Hoán đổi vi ̣ trı́ số đươ ̣c cho ̣n cùng với cu ̣m { 1;2;3} : 5! cách

Hoán đổi vi ̣ trı́ số và cu ̣m {1;2;3} : 2! cách

Trong các số ta ̣o thành có TH số đứng đầu :

a  có cách

Cho ̣n số nữa để điền vào vi ̣ trı́ : C63cách

Hoán đổi vi ̣ trı́ của cu ̣m{1;2;3} và số vừa cho ̣n : 4! cách Hoán đổi vi ̣ trı́ của số và số cu ̣m {1;2;3}: 2! cách