Bài tập Tách tổ hợp – Toán 11 (Phần 3)

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau.. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.[r]

(1)

Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/

BÀI TẬP TÁCH TỔ HỢP

Câu Với số tự nhiên k 0, số  

2

2 5 k viết dạng ak bk 5 với a bk, k

là số nguyên dương

a) Tìm hệ thức xác định dãy    ak , bk

b) Chứng minh: 20b bk k116 số phương

c) Chứng minh: ak221 chia hết cho Hướng dẫn giải

2 52k1 2 5 2k 2 5 2  2 5 2k 94 5

9ak 20bk 4ak 9bk 5 ak1 bk1 5

Suy 1

9 20

4 9

k k k

a a b

b a b



 

 

 



 

2 1 1

1 1

9 20 9 20 4 9 9 20.4 20.9

9 20.4 9 9 18

k k k k k k k k k

k k k k k k

a a b a a b a a b

a a a a a a

    

  

       

     

Vậy dãy  ak xác định:

2

9, 161

18 , *

k k k

a a

a  a  a k

 

 

   



Tương tự ta dãy  

2

4, 72

:

18 , *

k

k k k

b b

b

b  b  b k

 

 

   



b) bk21bk2bk bk2118bk1b bk k bk2 bk118bk bk1bk2 bk1bk1

2

b b b 16

   

Mặt khác: 16bk21b bk k2 bk21bk bk 18bk1bk21bk2 18b bk k1

Suy 20bk1bk 16bk21bk2 2bk1bk bk1bk2

(2)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Suy ak2 9ak12 9ak1ak2 hay ak2218ak2ak1ak218ak1ak

Thay k = 1, 2, 3,…ta được:

2

3 2

2

4 3

2

1 1

2

2 1

18 18

k k k k k k

k k k k k k

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

   

   

  

Cộng vế theo vế, ta có:

2 2

2 18 1 18 2 80

k k k k

a  a   a  a  a  a a a  

Khi đó:  

2

9 1

80

k k

k

a a

a      

Do ak  nên 9ak2 ak12 chia hết cho 804 52 nên 9ak2 ak1 chia hết cho 20 Từ đó, ta được: 9ak2 ak1 20 ,m m hay  

2

20

1 5

80 k

m

a     m

Vậy ak22 1 chia hết cho

Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho 9

Hướng dẫn giải

Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho 9

(3)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ +) Giả sử B0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 9 nên số có chín chữ số đơi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác tập B\ 0; ; \ 1; ; \ 2; ; \ 3; ; \ 4; 5  B   B   B   B  

Nên số số loại A884.7.A77

Vậy xác suất cần tìm

8 7 4.7 9 A A A  

Câu a) Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng

1

a a a a a a Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1  a2  a3 a4  a5 a6

Tính tổng:  

  

1

2

2.3 3.4 4.5

n n n

n n n nC

C C C

S n n         

Hướng dẫn giải Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi …

Ta có: n M 9.A95 (số có sáu chữ số đơi khác a1 có chín cách chọn, a a a a a 2 6

là chỉnh hợp chập phần tử nên có

A )

+) Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn

1

a  a a a a a ” TH1: a6 0thì a a a a a có 1 5

9

C cách chọn TH2: a6 2thì a a a a a có 1 5

7

C cách chọn TH3: a6 4thì a a a a a có 1 5

5

C cách chọn   5

9 148

n A C C C 

Do    

 

9 148 37 34020 n A P A n A    

Tính tổng:  

  

1 1

2

2.3 3.4 4.5

n n n

n n n nC

C C C

(4)

Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/            1 ! !

1 ! ! 1 ! 1 !

k k

n n n

C n C

k k k n k n k n k n

  

  

           (3)

Áp dụng lần công thức (3) ta được:  

        2 1

1 2

k k k k

n n

kC kC

k k n n

 

 



   

Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có

    

2 2

1 n n n n nn

n n S  C   C   C     nC 

       

 

2 3 4

1 1 1 1

2

1 1

2

n n

n n n n n n n

n n

n n n n

C C C C C C nC

C C C C

                                     

0 1

1 1 1 1 1

1

1 1

n n

n n n n n n n n n

n

C C C C C C C C C

n n                               Vậy

 1 2

n S n n    

Câu Trong hộp có bi đỏ, bi vàng, bi xanh chất, kích thước.Một người lấy ngẫu nhiên lúc viên bi Tính xác suất để số bi đỏ mà người lấy không lớn

Lấy ngẫu nhiên, lúc viên bi hộp có bi đỏ, bi vàng bi xanh nên có số phần tử khơng gian mẫu là: n( ) C124

Gọi A: “Biến cố bi lẫy ngẫu nhiên có bi màu đỏ”

3

( )

n A C C

Xác suất biến cố A là:

3 12 ( ) 55

C C 

P A C

Vậy xác suất để số bi đỏ mà người lấy khơng lớn ( ) 1 54

55 55

P A   

(5)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ số thuộc X Đặt ( )

| |

m X m

T

 (ở tổng lấy theo tất tập hợp X T ) Hãy tính giá trị m

Cho tập S gồm tất số nguyên đoạn [1;2014] Gọi T tập hợp gồm tất tập không rỗng S Với tập hợp X T , ký hiệu m X( ) trung bình cộng tất

cả số thuộc X Đặt ( )

| |

m X m

T

 (ở tổng lấy theo tất tập hợp X T ) Hãy tính giá trị m

Với x[1,2, , 2014], đặt mk m(X) tổng lấy theo tất tập hợp X T

mà |X|k

Xét số a thuộc S, suy a có mặt 2013

k

C  tậpX T mà |X|k

Suy kmk (1 2014)   C2013k1 1007.2015.C2013k1

Do

1

2014 2014 2014 2014

2013

2014 2014

1 1

2015 2015

(X) 1007.2015

2

k

k k

k

k k k k

C

m m C C

k



   

 

    

 

    

2014 2015

(2 1)

2

 

Mà 2015 2015

| | (2 1)

2

T   m

Cách Xây dựng song ánh từ T vào T sau

( ) {2015- / } ( ) ( ( )) 2015

X T f X x x X m X m f X

       

Suy 2m(X)m(X)m(f(X)) | T |.2015

Suy (X) 2015 | T |

m

m 

Câu Ở các vi ̣ trı́ khác của mô ̣t đường đua ô tô vòng tròn cùng mô ̣t thời gian có 25 ô tô xuất

(6)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ ban đầu cùng mô ̣t lúc Chứng minh rằng suốt cuô ̣c đua có mô ̣t số chẵn lần vươ ̣t của các ô tô

Ở Ta sơn 25 ô tô thành màu vàng, còn các oto khác đánh số từ đến 24 theo thứ tự mà chúng ở thời điểm ban đầu sau ô tô màu vàng ( theo chiều chuyển đô ̣ng của các ô tô) Ở tâm của đường đua ta đă ̣t mô ̣t bảng để ghi số thứ tự của các ô tô sắp xếp sau ô tô vàng sau mỗi lần các ô tô vươ ̣t nhau, tức là ta đươ ̣c mô ̣t hoán vi ̣ của {1,2,…,24}

Trường hơ ̣p 1:

Mỗi lần ô tô các ô tô từ đến 24 vươ ̣t thı̀ bảng

có số liền đổi chỗ cho

Nếu trước có lần vươ ̣t của mô ̣t ô tô nào với ô tô vàng, các

số bảng lâ ̣p thành mô ̣t hoán vi ̣ a1, a2,…,a24 thı̀ sau lần vươ ̣t đó sẽ có hoán vi ̣ a2,a3,…,a24,a1

Từ hoán vi ̣ có thể chuyển xuống hoán vi ̣ dưới bằng 23 phép chuyển vi ̣, tức là phép đổi chỗ số liền

Nếu ô tô vàng vươ ̣t mô ̣t ô tô nào đó thı̀ từ hoán vi ̣ a1,a2,…,a24 ta có hoán vi ̣ a24,a1,a2,…a23 Lần

di chuyển này cũng có thể thay bằng 23 phép chuyển vi ̣ trường hơ ̣p

Như vâ ̣y mỗi lần các ô tô vươ ̣t đều dẫn đến viê ̣c thực hiê ̣n mô ̣t số lẻ lần phép chuyển vi ̣ Ta sẽ chứng minh nếu số lần vươ ̣t là số lẻ thı̀ về đı́ch các ô tô không đươ ̣c sắp xếp cũ Thâ ̣t vâ ̣y gs a1,a2…,a24 là mô ̣t cách sắp xếp tùy ý của các số1,2,…24 Ta sẽ nói rằng

các số ai,aj lâ ̣p thành mô ̣t nghi ̣ch thế nếu i<j mà ai>aj Khi đổi vi ̣ trı́ số đứng liền nhau, tức là

thực hiê ̣n mô ̣t phép chuyển vi ̣ thı̀ sẽ tăng hay giảm số nghi ̣ch thế Do đó nếu các oto vươ ̣t mô ̣t số lẻ lần thı̀ từ cách sắp xếp thứ tự của các oto ban đầu, đến cuối cùng ta đã thực hiê ̣n mô ̣t số lẻ các phép chuyển vi ̣, tức là số nghich thế của lần sắp xếp cuối cùng là số lẻ, nghı̃a là các ô tô không thể sắp xếp cũ Mâu thuẫn

Vâ ̣y các ô tô vươ ̣t mô ̣t số chẵn lần

(7)

Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đơng Hotline: 0902196677

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Ví dụ tập tốt 1, 4,5,6 , 3, 4,7  , tập  Tập 2,3, 4,7không tập tốt bắt đầu số chẵn

Tính số tập tốt tập 1, 2,3, , n

Hướng dẫn giải Gọi fn số tập tốt 1, 2,3, , n Ta lập hệ thức truy hồi fn

+ Nếu tập tốt 1, 2,3, , n khơng lấy n fn  fn1

+ Nếu tập tốt 1, 2,3, , n lấy n fn  fn2 Vậy ta có fn  fn1  fn2

Hơn f1 2, f2 3

Phương trình đặc trưng 1 0 1 5 2 x    x x  

Suy 1 5 1 5

2 2

n n

n

f  A   B  

   

Thay giá trị đầu ta

 

2

1 5 1 5 2 1

2

2 2

5 5

1 5 1 5 2

3

2 2 5 5

A B A

A B B

    

 

  

  



 

     

   



   

  

   



Suy

  1

2 1 5 2 1 5 2 1 5 1 1 5

2 2 2 2

5 5 5 5 5 5

n n n n

n

f

 

             

           

         

Câu Với hoán vị pa a1, 2, ,a9 chữ số 1, 2, …, 9, kí hiệu s p tổng ba số  

có chữ số a a a , 1 3 a a a , 4 6 a a a Trong 7 9 s p có hàng đơn vị 0, gọi m giá trị  

(8)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Hướng dẫn giải

Với hoán vị pa a1, 2, ,a9 chữ số 1, 2, …, 9, kí hiệu s p tổng ba số  

có chữ số a a a , 1 a a a , 4 a a a Trong 7 s p có hàng đơn vị 0, gọi m giá trị   nhỏ n số hốn vị p thỏa mãn s p m Tính m n

Với hoán vị pa a1, 2, ,a9 chữ số 1, 2, …, 9, kí hiệu s p tổng ba số  

có chữ số a a a , 1 a a a , 4 a a a Trong 7 s p có hàng đơn vị 0, gọi m giá trị   nhỏ n số hoán vị p thỏa mãn s p m Tính m n

Để s p đạt giá trị nhỏ chữ số hàng trăm 1, 2, 3,   s p có chữ số tận  

0

thì chữ số hàng đơn vị có tổng bội 10 Và từ chữ số 4, 5, 6, 7, 8, khơng có ba số có tổng 10 9  2430 nên chữ số hàng đơn vị phải có tổng 20, ta thấy 9  4 7 9   5 20, có ba số xếp vào chữ số hàng đơn vị, tương ứng chữ số lại hàng chục Do giá trị nhỏ s p  

là m1 3  100 19 10 20 810   

Như có trường hợp, trường hợp có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy số hoán vị p thỏa mãn yêu cầu toán n    3 6 648

Vậy m n 162

Câu Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm K  {1;2;…;n} cho số tập gồm K phần tử A lớn nhất?

Hướng dẫn giải ( Khơng có giải)

Câu 10 Một số điện thoại di động dãy số gồm 10 chữ số chọn từ

(9)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ chọn số điện thoại có tính chất Hỏi bà ta có cách chọn (sự lựa chọn)?

Hướng dẫn giải ( Không có giải)

Câu 11 Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho 9

Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho 9

+) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đơi khác chữ số có cách chọn có A97 cho vị trí cịn lại Vậy n A 9A97

+) Giả sử B0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 9 nên số có chín chữ số đôi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác

các tập B\ 0; ; \ 1; ; \ 2; ; \ 3; ; \ 4; 5  B   B   B   B   nên số số loại

8 4.7

A  A

Vậy xác suất cần tìm

8

7

4.7

9

A A

A





Câu 12 Có học sinh ( ≥ 2) đứng thành hàng dọc, lần thầy giáo thổi còi có học sinh đổi chỗ cho Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi cịi, ta thấy tất học sinh đứng trở lại vị trí ban đầu hay khơng ?

Đánh số từ đến n cho bạn học sinh hàng dọc lúc đầu Ký hiệu tập hoán vị {1,2, … , }

Gọi = ( (1), (2), … , ( )) hoán vị {1,2, … , } Cặp ( ( ), ( )) gọi nghịch < ( ) > ( )

Xét ánh xạ : → mà ( ) thu từ cách đổi chỗ hai vị trí kề

( ( ), ( + 1)) giữ ngun vị trí cịn lại

Cho , ∈ ℕ∗, < ≤ Xét ánh xạ : →

(10)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Là hợp thành 2( − ) − ánh xạ Dễ thấy ( ) thu từ cách đổi vị

trí

( ( ), ( )) giữ ngun vị trí cịn lại Gọi ( ) số nghịch hoán vị

Ta có ( ) = ( ) − ế ( ( ); ( + 1)) ℎị ℎ ℎế ( ) + ế ( ); ( + 1) ℎô ℎị ℎ ℎế

Do ( ) ≡ ( ) + ( 2) (2)

Từ (1) (2) suy ( ) ≡ ( ) + (mod2) (3)

Giả sử thứ tự học sinh sau lần thổi cịi thứ k thầy giáo Ta có ∈ = ( ) với ≤ < ≤

Theo (3) ta có ( ) ≡ ( ) + (mod2)

Do ( ) ≡ ( ) + ≡ ( 2)(vì ( ) = 0)

Nếu k lẻ ( ) ≢ 0( 2) ≠ Vậy sau 2015 lần thổi cịi, tất

cả học sinh khơng thể đứng trở lại vị trí ban đầu

Câu 13 Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác Tìm xác xuất để có số chẵn

Số stn có chữ số khác là: 9A96 544320 số Trong có số số lẻ là:

8

5.8.A 268800 số, có 275520 số chẵn KGM có số phần tử là: C5443207

Số cách lấy stn có số chẵn C2755204 C2688003 =74059776000 0.27668828

P

 

Câu 14 Lấy ngẫu nhiên 498 số nguyên dương không vượt 1000 Chứng minh có số có tổng chia hết cho 111

(11)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Và chia tập T=S\(AUB) thành tập có phần tử mà tổng 999 sau:

T1={1;998}, T2={2;997}, T3={3;996},…, T495={499;500}

Như S chia thành 497 tập con, 498 số chọn ngẫu nhiên phải có số rơi vào tập hợp

Hai số chia hết cho 111 có tổng 999 nên tổng chúng chia hết cho 111

Câu 15 Chứng minh : Cn02Cn122Cn2 2 nCnn 3n n *

2 Một bình chứa viên bi khác màu gồm bi xanh , bi đỏ , bi vàng Lấy ngẫu

nhiên bi Tính xác suất để bi khác màu Hướng dẫn giải 1xn Cn0C x C x1n  n2 2C xn3 3 C xnn n

* Cho x = : Cn02Cn122Cn2 2 nCnn 3n n *

2 Không gian mẫu :

9 36

C 

* Kết thuận lợi biến cố lấy bi khác màu : 1 1 1

4 3 26

C C C C C C 

* Xác suất để chọn bi khác màu : 26 0, 72 36

P  ( 72% )

Câu 16 Có cách chọn k người từ n người xếp hàng dọc cho khơng có người liên tiếp chọn

Giả sử k người chọn là: a ; a ; ; a1 2 k

Gọi x1 số người đứng trước a1

Gọi x2 số người đứng a1 a2

Gọi xk số người đứng ak 1 ak

Và xk 1 số người đứng bên phải ak

(12)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ +)

k i i

x n k





 



+) x1 0; xk 1 0

+) xj 0  i 2;3; ; k

Hàm sinh cho cách chọn x1 xk 1 giống là:

2

1 t t

1 t

   



Hàm sinh cho số cách chon xi i2; k giống là: t

t t t

1 t

   



Hàm sinh cho số cách chọn x ; x ; ; x ; x1 2 k k 1  là:  

 

k k 1

k

1 t t

f t

1 t t t k

 



 

   

     

Số cách chọn số: a ;a ; ;a1 2 k số cách chọn số x ; x ; ; x ; x1 2 k k 1  là:

 

   

n k

f

n k ! 



Câu 17 Các số nguyên viết vào 441 ô bảng vuông 21 21´ Mỗi hàng cột có nhiều giá trị khác Chứng minh tồn số nguyên có mặt cột hàng

Giả sử giá trị ghi vào bảng 1,2, ,n Gọi ai số cột khác mà i(iỴ 1,n)

có mặt bi số hàng khác mà i có mặt Gọi Ti số ô đánh số i, ta có Ti

441 .

i i i i i i

T £ a b Þ = å T = å a b

Mỗi cột hàng có khơng q giá trị khác nhau, nên

6.21, 6.21.

i i

a £ b £

å å

Giả sử với i, ta có ai £ 2,bi £ 2 Khi đó:

(ai- 2)(bi- 2)£ 1Þ å a bi i£ 2å ai+ 2å bi- 3n£ 21.24- 3n

Vậy n£ 21.

(13)

Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ thuộc A nên xuất nhiều hai cột Do có tất 21 cột nên số giá trị không

21 1

11 11.

2 A

é + - ù

ê ú= Þ ³

ê ú

ë û

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	260,92 KB