Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 5: 3,0 điểm Cho tam giác ABC, đường vuông góc với AB tại A và đường vuông góc với BC tại C cắt nhau tại D.. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THỦY NGUYÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2012 – 2013 Bài 1: (1,0 điểm) Tính nhanh 973 833 97.83 a) A = 180 b) B = (502 + 482 + 462 + + 42 + 22) – (492 + 472 + + 52 + 32 + 12) Bài 2: (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 5x – 14 ; b) x2y + xy2 + xz2 + yz2 +x2z + y2z + 2xyz ; c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 Bài 3: (1,0 điểm) Cho hai đa thức: A = x4 - 3x3 + x2 + ax + b B = x2 – 3x + Xác định các số a, b cho A chia hết cho B Bài 4: (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức sau: x y z yz x y z : 2 x xz y yz x y z A= với x = ; y = và z = x 3x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = x x Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường vuông góc với AB A và đường vuông góc với BC C cắt D Gọi H là trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh DH qua trung điểm M AC b) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để B, H, D thẳng hàng Bài 6: (1,0 điểm) Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 42m, Â = 45 , B = 600 và chiều cao hình thang 18m *Hết* (2) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN Năm học 2012 – 2013 Bài 1: (1,0 điểm) Tính nhanh 973 833 97.83 a) A = 180 (97 83)(97 97.83 832 ) 97.83 180 = = ( 972 – 97.83 + 832 ) – 97.83 (0,25 điểm) 2 = 97 – 2.97.83 + 83 = ( 97 - 83 )2 = 196 (0,25 điểm) 2 2 2 2 b) B = (50 – 49 ) + (48 – 47 ) + (4 – ) + (2 – ) = (50 + 49)(50 – 49) + (48 + 47)(48 – 47) + + (4 + 3)(4 - 3) + (2 + 1)(2 – 1) (0,25 đ) = 50 + 49 + 48 + 47 + + + + + = 1275 (0,25 đ) Bài 2: (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 5x – 14 = x2 – 7x + 2x - 14 = (x2 + 2x ) - (7x + 14 ) = x(x + ) - 7(x + 2) = (x + 2)( x - 7) b) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz = xy( x + y ) + z2(x + y) + z(x + y )2 = ( x + y )( xy + z2 + xz + yz ) = ( x + y )(y + z )(z + x ) c) Có (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24 Đặt y = x2 + 7x + 10, ta có: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = y(y + 2) – = (y + 1)2 – 25 = (y + 6)(y – 4) (0,25 điểm) Thay y = x2 + 7x + 10, ta lại có: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 16)(x2 + 7x + 6) = (x2 + 7x + 16)[x(x + 1) + 6(x + 1)] = (x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6) (0,25 điểm) Bài 3: (1,0 điểm) + Thực phép chia đa thức A cho B dư là (a – 3)x + (b + 2) (0,5 điểm) + Để đa thức A chia hết cho B thì (a – 3)x + (b + 2) = với x (0,25 điểm) a 0 Suy b 0 (0,25 điểm) a 3 b (3) Bài 4: (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức sau: x y z yz x y z : 2 x xz y yz xyz Ta có: A = ( x y z )( x y z ) x y z : = ( x y )( x y z ) x y z (0,5 điểm) x yz Vì x y ; x + y + z ; x + y – z Suy A = x y (0,25 điểm) 1 2 Với x = ; y = và z = , ta có A = (0,25 điểm) b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Giá trị B xác định x2 – 2x + hay (x – 1)2 hay x (0,25 điểm) x 3x ( x 1) ( x 1) 1 1 2 ( x 1) ( x 1) x B = x x 1 (0,25 điểm) 1 1 1 3 x 4 x 2 4 = ( x 1) (0,25 điểm) 1 Vậy giá trị nhỏ B là x suy x = (0,25 điểm) A Bài 5: (3,0 điểm) Vẽ hình chính xác 0,5 điểm a) Chứng minh tứ giác AHCD là hình bình hành H (0,75 điểm) M D Hai đường chéo AC và DH cắt trung điểm đường (0,25 điểm) => đpcm (0,25 điểm) B C b) Để B, H, D thẳng hàng HD AC (0,5 điểm) AHCD là hình thoi (0,25 điểm) HA = HC (0,25 điểm) tam giác ABC cân B (0,25 điểm) Bài 6: (1,0 điểm) A’ Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD Tứ giác ABB’A’ là hình chữ nhật và AA’ = BB’ = 18m (0,25 điểm) Góc A’AB = 900, DAB = 450 => A’AD = 450 Do đó A’AD vuông cân nên A’D = A’A = 18m (0,25 điểm) A B’BC vuông có B’BC = 300 => B’C =1/2BC 18 Từ Pytago, ta có B’C = m 18 Từ đó suy CD = 24 - m (0,25 điểm) D C B’ B (4) 1 18 ( AB CD )AA'= (42 24 ).18 498, 2 Vậy diện tích hình thang ABCD là: m2 (0,25 đ) (5)