Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĨNH LINH Năm học :2011-2012 Mơn :Tốn -Lớp 8
Thời gian :120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Cho a,b bình phương hai số nghuyên lẽ liên tiếp Chứng minh rằng:ab-a-b+1 chia hết cho 48
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức :
2
2 2
6 36
6 12 12
x x x
A
x x x x x
a.Tìm TX Đ A b.Rút gọn A
Bài 3: (1,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức :x2y2 xy x y 1 Bài 4: (1,0 điểm)
Chứng tỏ giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau
4
5
2
x x
Bài (3,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD,điểm P thuộc đường chéo BD (P khác B D),Gọi M điểm đối xứng C qua P
a.Chứng minh AM song song với BD
b.Gọi E,F hình chiếu M AD AB.Chứng minh ba điểm E;F,P thẳng hàng
c.Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA khơng phụ thuộc vào vị trí P
Bài (1,0 điểm)
Giải phương trình:
5 15 2002 2012
2012 2002 15
x x x x
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu
(2)Đáp án
Bài 1:
Ta có ab-a-b+1 =(a-1)(b-1)
Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a(2n1) ;2 b(2n3)2 với nZ
2
2
2
ab-a-b +1 =(a-1)(b-1)= (2 1) (2 3)
(4 )(4 12 8)
16 ( 1) ( 2)
n n
n n n n
n n n
Vì 16 (n n1) (2 n2) 16 n n( 1)(n2) 3 16 (n n1) (2 n2) 3 mà ƯCLN (3;16)=1 Suy 16 (n n1) (2 n2) 48 hay ab a b 1 48
Bài 2:
a ĐKX Đ: x0;x6;x6 b Rút gọn
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
6 36
6 12 12
(6 1)( 6) (6 1)( 6) 36
( 36) 12( 1)
6 37 6 37 36
( 36) 12( 1)
12( 1) 36
( 36) 12( 1)
x x x
A
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
x x x x
Vậy A=
x Với x0;x6;x6 Bài 3:
2 2
2
2 2
2 2
1 2( ) 2( 1)
2 2 2
( ) ( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
x y xy x y x y xy x y
x y xy x y
x xy y x x y y
x y x y
Ta có : (x y )2(x1)2(y1)2 0 ln Dấu " =" xảy x=y=1
Bài 4:
Ta có 2
4
5
2 ( 1)
x x x
2 4
( 1) 1 0
( 1) ( 1)
x
x x
Vậy khơng có giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau
(3)
a.Ta có O trung điểm AC ( ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM ( M đối xứng với C qua P)
Nên OP đường trung bình tam giác ACM nên OP//AM Suy AM//BD
b Vì OP đường trung bình tam giác ACM nên OP//AM OP=1/2 AM Do OP//AI OP=AI nên tứ giác AIPOlà hình bình hành
Suy : PI//AC (1)
Kẻ ME//AB cắt AC K Ta có KAE=EAM( Vì KDA) Nên AE phân giác KAM ,mặt khác AE KM
Suy : Tam giác AKM cân nên E trung điểm KM EI đường trung bình tam giác AMK
EI//OA nên EI//AC (2) Ta lại có E,I,F thẳng hàng (3)
Từ (1),(2),(3) suy E,F,P thẳng hàng c.Ta xét hai tam giác vng ABD FAM có
BAD=AFM=1v
BDA=AFM ( Cùng EAM) ABDFAM
Suy
MF AD
FA AB (không đổi) Vậy tỉ số độ dài hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào vị trí P
Bài 6:
Ta có :
5 15 2002 2012
2012 2002 15
x x x x
2017 2017 2017 2017
2012 2002 15
1 1
( 2017)( )
2012 15 2002
x x x x
x
Vì :
1 1
0 ;
2012 15 2002 5 nên
1 1
( )
(4)