De thi HSG toan 8 PGD Vinh Linh 20112012

[r]

PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĨNH LINH Năm học :2011-2012 Mơn :Tốn -Lớp 8

Thời gian :120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho a,b bình phương hai số nghuyên lẽ liên tiếp Chứng minh rằng:ab-a-b+1 chia hết cho 48

Bài 2: (1,5 điểm)

Cho biểu thức :

2

2 2

6 36

6 12 12

x x x

A

x x x x x

  

 

  

  

 

a.Tìm TX Đ A b.Rút gọn A

Bài 3: (1,0 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức :x2y2 xy x y  1 Bài 4: (1,0 điểm)

Chứng tỏ giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau

4

5

2

x x



   

Bài (3,5 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD,điểm P thuộc đường chéo BD (P khác B D),Gọi M điểm đối xứng C qua P

a.Chứng minh AM song song với BD

b.Gọi E,F hình chiếu M AD AB.Chứng minh ba điểm E;F,P thẳng hàng

c.Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA khơng phụ thuộc vào vị trí P

Bài (1,0 điểm)

Giải phương trình:

5 15 2002 2012

2012 2002 15

x x x x

  

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu

Đáp án

Bài 1:

Ta có ab-a-b+1 =(a-1)(b-1)

Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a(2n1) ;2 b(2n3)2 với nZ

2

2

2

ab-a-b +1 =(a-1)(b-1)= (2 1) (2 3)

(4 )(4 12 8)

16 ( 1) ( 2)

n n

n n n n

n n n

       

   

   

  

Vì 16 (n n1) (2 n2) 16 n n( 1)(n2) 3  16 (n n1) (2 n2) 3 mà ƯCLN (3;16)=1 Suy 16 (n n1) (2 n2) 48 hay ab a b  1 48

Bài 2:

a ĐKX Đ: x0;x6;x6 b Rút gọn

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2

6 36

6 12 12

(6 1)( 6) (6 1)( 6) 36

( 36) 12( 1)

6 37 6 37 36

( 36) 12( 1)

12( 1) 36

( 36) 12( 1)

x x x

A

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x

x x x x

                                     Vậy A=

x Với x0;x6;x6 Bài 3:

2 2

2

2 2

2 2

1 2( ) 2( 1)

2 2 2

( ) ( 1) ( 1)

( ) ( 1) ( 1)

x y xy x y x y xy x y

x y xy x y

x xy y x x y y

x y x y

          

     

         

      

Ta có : (x y )2(x1)2(y1)2 0 ln Dấu " =" xảy x=y=1

Bài 4:

Ta có 2

4

5

2 ( 1)

x x x

         2 4

( 1) 1 0

( 1) ( 1)

x

x x

 

        

   

Vậy khơng có giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau

a.Ta có O trung điểm AC ( ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM ( M đối xứng với C qua P)

Nên OP đường trung bình tam giác ACM nên OP//AM Suy AM//BD

b Vì OP đường trung bình tam giác ACM nên OP//AM OP=1/2 AM Do OP//AI OP=AI nên tứ giác AIPOlà hình bình hành

Suy : PI//AC (1)

Kẻ ME//AB cắt AC K Ta có KAE=EAM( Vì KDA) Nên AE phân giác KAM ,mặt khác AE KM

 Suy : Tam giác AKM cân nên E trung điểm KM EI đường trung bình tam giác AMK

 EI//OA nên EI//AC (2) Ta lại có E,I,F thẳng hàng (3)

Từ (1),(2),(3) suy E,F,P thẳng hàng c.Ta xét hai tam giác vng ABD FAM có

BAD=AFM=1v

BDA=AFM ( Cùng EAM)  ABDFAM

Suy

MF AD

FA AB (không đổi) Vậy tỉ số độ dài hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào vị trí P

Bài 6:

Ta có :

5 15 2002 2012

2012 2002 15

x x x x

  

2017 2017 2017 2017

2012 2002 15

1 1

( 2017)( )

2012 15 2002

x x x x

x

   

   

     

Vì :

1 1

0 ;

2012 15  2002 5  nên

1 1

( )