1 Trờng THPT chí linh *** Đề Thi học sinh giỏi lớp 12 năm học 2009 - 2010 Môn Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: ( 3,0 điểm) 1) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1 1 x y x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. 2) Cho hàm số 3 2 3 1y mx mx m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 ,x 2 , x 3 thoả mãn : x 1 <1<x 2 <x 3 . Câu 2: (1,5 điểm) Tìm điểm cực trị của hàm số 2 sin 2 cos x y x Câu 3: (1,5 điểm) Giải phơng trình : 4sin3 . os2 3.x c x cosx sinx Câu 4: ( 3,0 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn tâm O đờng kính AC=2R. B là điểm di động trên đờng tròn (O) ( B khác A,C). trên đờng thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm S cố định. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SC cắt SC, SB lần lợt tại M,N. 1) Cho CAB , SA=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a,R, . 2) Khi B di động trên đờng tròn (O). Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng BC tại D. Chứng minh rằng: a) D nằm trên một đờng thẳng cố định. b) 2 2 2 2 SCD SAC SAD ACD S S S S trong đó , , , SCD SAC SAD ACD S S S S là diện tích các SCD, SAC, SAD, ACD. Câu 5: (1,0 điểm) Cho 0 2 x y . Chứng minh rằng sin sinx x y y . Hết 2 Hớng dẫn chấm toán 12 Cõu Ni dung im Cõu1 (3,0) 1,5 1)1,5 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1 1 x y x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. x=0=> y=-1=> đồ thị hàm số cắt oy ti A(0;-1) 0,25 vi 1 0 1 x x 1 3 3 1 1 ( ) 1 1 x x y x x 2 2 3 3 2 1 1 2 1 ' ( ) ( )' ( ) 1 1 ( 1) 1 x x x y x x x x 0,5 y(0)=2 0,25 Phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ti A(0;-1) l y=y(0)(x-0)-1<=> y=2x-1 0,5 2)(1,5) Cho hàm số 3 2 3 1y mx mx m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 ,x 2 , x 3 thoả mãn : x 1 <1<x 2 <x 3 . Honh giao im ca th hm s v truc honh l nghim ca phng trỡnh 3 2 3 2 3 1 0 ( 3 1) 1(1)mx mx m m x x 0,25 m=0 => (1) vụ nghim 3 2 1 0 (1) 3 1m x x m 0,25 Xột f(x)=x 3 -3x 2 +1 , f(x)=3x 2 -6x, f(x)=0 0 2 x x bng bin thiờn x - 0 1 2 + f(x) + 0 - - 0 + f(x) + 1 -1 3 - 0,25 3 Đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 ,x 2 ,x 3 thoả mãn : x 1 <1<x 2 <x 3 <=> (1) có 3 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 ,x 3 thoả mãn : x 1 <1<x 2 <x 3 <=> Đường thẳng (d): 1 y m cắt đồ thị (C): f(x)=x 3 -3x 2 +1 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ độ x 1 ,x 2 ,x 3 thoả mãn : x 1 <1<x 2 <x 3. (d) cùng phương với ox cắt oy tại điểm có tung độ 1 m . 0,25 Từ bảng biến thiên => 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 3 1 ( ;1) 1 1 3 3 1 3 0 0 3 m m m m m m m m m m m KL: 1 ( ;1) 3 m 0,5 Câu 2 (1,5đ) T×m ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè 2 sin 2 cos x y x TXĐ: D=R y’=-sin2x+cosx 0,25 y’=0 <=>cosx(1-2sinx)=0 2 cos 0 2 ( ) 1 6 sinx 2 5 2 6 x k x x k k x k 0,25 y’’=-2cos2x-sinx 0,25 2 x k =>y’’=2-sin( 2 k )>0=> 2 x k là điểm cực tiểu của hàm số 0,25 2 6 x k =>y’’=-3/2 <0=> 2 6 x k là điểm cực đại của hàm số 5 2 6 x k =>y’’=-3/2=> 5 2 6 x k là điểm cực đại của hàm số 0,25 vậy- điểm cực tiểu của hàm số là 2 x k ( )k -điểm cực tiểu của hàm số là 2 6 x k ; 5 2 6 x k ( )k 0,25 4 Câu 3 (1,5đ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4sin3 . os2 3.x c x cosx sinx (1) (1)<=> 2sin5 2sinx 3.x cosx sinx 0,5 2sin5 3.x cosx sinx 0,25 3 1 sin5 cos sinx sin5 sin( ) 2 2 3 x x x x 0,25 5 2 3 18 3 ( ) 2 5 2 3 6 2 x x k x k k x x k x k 0,5 Câu 4 (3,0đ) 1) 1,0đ N A C D S B M O Trong tam giac vuông ABC có BC=AC.sinα=2Rsinα ; AB=AC.cosα 0,25 2 1 . 2 sin os 2 ABC S AB AC R c 0,25 2 2 . 1 1 sin 2 . .2 sin os 3 3 3 S ABC ABC aR V SAS a R c 0,5 2)(2,0đ) 2a)(1,0đ) ( ) ( ) ( ) SC AMN SC AD AD SAC SA ABC SA AD 0,5 Do A cố định, (SAC) cố định nên D nằm trên đường thẳng cố định đi qua A và vuông góc với (SAC) 0,5 5 2b)(1,0đ) ( ) ( ) AB BC BC AN BC SAB BC SB AN SBC SA BC AN SC AN SB 0,25 Trong tam giác vuông SAB có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (1) AN SA AB SA AD AC 0,25 Nhân 2 vế của (1) với 2 . 9 S ACD V 2 2 2 2 . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 9 9 S ACD S ACD S ACD S ACD SCD SAC SAD ACD V V V V AN SA AD AC S S S S 0,5 Câu 5 (1,0đ) Cho 0 2 x y . Chøng minh r»ng sin sinx x y y . Xét 2 sinx cos sinx ( ) (0; ] '( ) 2 x x f x x f x x x 0,25 ( ) cos sinx g'(x)= cos sinx cos sinx 0 [0; ] 2 g x x x x x x x x => g(x) nghịch biến trên [0; ] 2 0,25 2 ( ) (0; ] ( ) (0) 0 '( ) 0 (0; ] 2 2 g x x g x g f x x x =>f(x) nghịch biến trên (0; ] 2 0,25 nên 0 2 x y =>f(x)≥f(y)<=> sin sin sinx y sinx x x y y y 0,25 Người soạn Vũ Chí Cương- THPT Chí Linh . 1 Trờng THPT chí linh *** Đề Thi học sinh giỏi lớp 12 năm học 2009 - 2010 Môn Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: ( 3,0 điểm) 1) Viết phơng trình. 2 1 0 (1) 3 1m x x m 0,25 Xột f(x)=x 3 -3 x 2 +1 , f(x)=3x 2 -6 x, f(x)=0 0 2 x x bng bin thi n x - 0 1 2 + f(x) + 0 - - 0 + f(x) + 1 -1 3 - 0,25 3 Đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân. y =>f(x)≥f(y)<=> sin sin sinx y sinx x x y y y 0,25 Người soạn Vũ Chí Cương- THPT Chí Linh