2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt[r]
(1)Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (m 1) x mx (3m 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m Câu Cho hàm số y 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định nó Tập xác định: D = R y (m 1) x 2mx 3m (1) đồng biến trên R Câu Cho hàm số y 0, x m y x x mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (; 0) m 3 Cho hàm số y x 3(2m 1) x 6m(m 1) x có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) Câu (2m 1)2 4(m m) y ' x 6(2m 1) x 6m(m 1) có x m y' Hàm số đồng biến trên các khoảng (; m), (m 1; ) x m 1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; ) m m Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Câu 2) Tìm m để hàm đồng biến trên 0; Hàm đồng biến trên (0; ) y x 2(1 2m) x (2 m) với x (0; ) f (x) 3x x m với x (0; ) 4x 2(6 x x 3) 1 73 6x2 x x Ta có: f ( x ) 12 (4 x 1) Lập bảng biến thiên hàm f ( x ) trên (0; ) , từ đó ta đến kết luận: 1 73 73 f m m 12 Cho hàm số y x 2mx 3m (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2) Câu Ta có y ' x 4mx x( x m) m , y 0, x m thoả mãn + m , y có nghiệm phân biệt: m , 0, + Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi Câu Cho hàm số y mx xm m m m Vậy m ;1 (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 1 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng m2 Tập xác định: D = R \ {–m} y ( x m)2 Trang Lop12.net (;1) (2) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ y 2 m Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) thì ta phải có m m 1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: 2 m 1 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định (1) KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y x x mx m – (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục hoành PT hoành độ giao điểm (C) và trục hoành: Câu x 1 (1) g( x ) x x m (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục 0x PT (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt khác –1 m m3 g(1) m x x mx m – (2) Cho hàm số y x (2m 1) x (m 3m 2) x (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung Câu 2 y 3 x 2(2m 1) x (m 3m 2) (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm hai phía trục tung PT y có nghiệm trái dấu 3(m 3m 2) m Câu Cho hàm số y x mx (2m 1) x (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía trục tung TXĐ: D = R ; y x – 2mx 2m –1 Đồ thị (Cm) có điểm CĐ, CT nằm cùng phía trục tung y có nghiệm phân biệt cùng dấu m m 2m 2m m Câu 10 Cho hàm số y x x mx (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đường thẳng y x 1 Ta có: y ' x x m y ' x x m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ' 3m m 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 Hàm số có CĐ, CT 1 m 1 2m x y ' 2 x 3 3 3 m m 2m 2m x1 ; y2 y x2 x2 y1 y x1 3 3 m 2m 2 x Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là : y 3 Các điểm cực trị cách đường thẳng y x xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y x Thực phép chia y cho y ta được: y Trang Lop12.net (3) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ 2m m (thỏa mãn)TH2: Trung điểm I AB nằm trên đường thẳng y x y y2 x1 x2 m 2m y I xI 1 x1 x2 x1 x2 2 3 2m 2m m0 3 Vậy các giá trị cần tìm m là: m 0; 2 Câu 11 Cho hàm số y x 3mx 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x x Ta có: y x 6mx ; y x 2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; Trung điểm đoạn AB là I(m; 2m3) 4m3), Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m B(2m; 0) AB (2m; 4m3 ) 2m 4m3 AB d m I d 2m m A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x Câu 12 Cho hàm số y x 3mx 3m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x 8y 74 y 3 x 6mx ; y x x 2m Hàm số có CĐ, CT PT Khi đó điểm cực trị là: y có nghiệm phân biệt m A(0; 3m 1), B(2m; 4m3 3m 1) AB(2m; 4m3 ) I (m;2m3 3m 1) Đường thẳng d: x 8y 74 có VTCP u (8; 1) Trung điểm I AB có toạ độ: m 8(2m3 3m 1) 74 I d A và B đối xứng với qua d m2 AB d AB.u Câu 13 Cho hàm số y x x mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x – y – 2 Ta có y x x mx y ' x x m Hàm số có cực đại, cực tiểu y có hai nghiệm phân biệt 3m m 1 2 1 y x y m x m 3 3 3 Tại các điểm cực trị thì y , đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: Ta có: 2 y m 2 x m 3 Như đường thẳng qua các điểm cực trị có phương trình Trang Lop12.net 2 y m 2 x m 3 (4) Biên soạn: Vũ Trí Hào nên có hệ số góc k1 THPT Vũ Lễ d: x – y – y x d có hệ số góc k2 2 2 m 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d 12 k1k2 1 m 1 m 23 Với m = thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm chúng là I(1; –2) Ta thấy I d, đó hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Câu 14 Cho hàm số y x 3(m 1) x x m (1) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: y x 2 y ' x 6(m 1) x Hàm số có CĐ, CT ' 9(m 1)2 3.9 m (; 1 3) (1 3; ) 1 m 1 y x y 2(m 2m 2) x 4m 3 Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm AB Ta có y1 2(m 2m 2) x1 4m ; y2 2(m 2m 2) x2 4m và: x1 x2 2(m 1) x1.x2 Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là A, B đối xứng qua (d): y y 2(m 2m 2) x 4m 1 AB d x m I d Câu 15 Cho hàm số y x 3(m 1) x x m , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x cho x1 x 2 Ta có y ' x 6(m 1) x + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x PT y ' có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 PT x 2(m 1) x có hai nghiệm phân biệt là x1 , x m 1 ' (m 1) m 1 + Theo định lý Viet ta có x1 x 2( m 1); x1 x Khi đó: (1) x1 x x1 x 2 x1 x 4m 12 12 (m 1)2 3 m + Từ (1) và (2) suy giá trị m cần tìm là (2) m 1 và m Câu 16 Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 Ta có: y ' x 2(1 2m) x (2 m) Trang Lop12.net (5) Biên soạn: Vũ Trí Hào Hàm số có CĐ, CT y ' có nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 x2 ) THPT Vũ Lễ m ' (1 2m) 3(2 m) 4m m m 2 (*) 2(1 2m) x1 x2 Hàm số đạt cực trị các điểm x1 , x2 Khi đó ta có: m x x 2 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4(1 2m)2 4(2 m) 16m 12m m Kết hợp (*), ta suy m 29 29 m 8 29 m 1 x (m 1) x 3(m 2) x , với m là tham số thực 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 Câu 17 Cho hàm số y Ta có: y x 2(m 1) x 3(m 2) Hàm số có cực đại và cực tiểu y có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m 5m Khi đó ta có: (luôn đúng với m) x1 x2 2(m 1) x 2m x2 1 x2 3(m 2) x1 x2 3(m 2) 8m 16m m 4 34 Câu 18 Cho hàm số y x mx –3 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 y 12 x 2mx –3 Ta có: x1 4 x2 m Khi đó: x1 x2 x1 x2 4 x2 m 36 0, m hàm số luôn có cực trị x1 , x2 m Câu hỏi tương tự: a) y x x mx ; x1 2x2 ĐS: m 105 Câu 19 Cho hàm số y (m 2) x x mx , m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương PT y ' 3(m 2) x x m = có nghiệm dương phân biệt Trang Lop12.net (6) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ a (m 2) ' 3m(m 2) ' m 2m 3 m m P m m 3 m 2 0 3( m 2) m m 2 3 S m Câu 20 Cho hàm số y x –3 x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y x tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) g( x , y ) x y ta có: g( x A , y A ) x A y A 4 0; g( xB , yB ) xB yB điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y x Xét biểu thức Do đó MA + MB nhỏ điểm A, M, B thẳng hàng M là giao điểm d và AB Phương trình đường thẳng AB: y 2 x x y 3x 4 2 Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: M ; 5 5 y 2 x y Câu 21 Cho hàm số y x (1– 2m) x (2 – m) x m (m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ y x 2(1 2m) x m g( x ) YCBT phương trình y có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 4m m g(1) 5m m S 2m Câu 22 Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x m3 m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Ta có y x 6mx 3(m 1) y có nghiệm phân biệt x 2mx m có nhiệm phân biệt 0, m Khi đó: điểm cực đại A(m 1;2 2m) và điểm cực tiểu B(m 1; 2 2m) Hàm số (1) có cực trị thì PT Ta có m 3 2 OA 2OB m 6m m 3 2 Câu 23 Cho hàm số y x 3mx 3(1 m ) x m3 m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y 3 x 6mx 3(1 m ) PT y có 0, m Đồ thị hàm số (1) luôn có điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) Trang Lop12.net (7) Biên soạn: Vũ Trí Hào Chia y cho y ta được: Khi đó: THPT Vũ Lễ 1 m y x y x m m 3 3 y1 x1 m m ; y2 x2 m m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là y x m2 m Câu 24 Cho hàm số y x x mx có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y 4 x y ' 3x x m Hàm số có CĐ, CT y ' x x m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ' 3m m 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 Ta có: 1 m 1 2m x y ' 2 x 3 3 3 m m 2m 2m x1 ; y2 y x2 x2 y1 y x1 3 3 m 2m 2 x Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là d: y 3 Đường thẳng qua các điểm cực trị song song với d: y 4 x Thực phép chia y cho y ta được: y 2m 4 m (thỏa mãn) m 2 3 3 Câu 25 Cho hàm số y x x mx có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x y – góc 450 y ' 3x x m Hàm số có CĐ, CT y ' x x m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ' 3m m 3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A x1 ; y1 ; B x2 ; y2 Ta có: 1 m 1 2m x y ' 2 x 3 3 3 m m 2m 2m x1 ; y2 y x2 x2 y1 y x1 3 3 m 2m 2 x Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là : y 3 2m Đường thẳng d: x y – có hệ số góc Đặt k 39 1 k m k 1 k k 10 4 Ta có: tan 45 1 k m k 1 k 1 k 4 Thực phép chia y cho y ta được: y Trang Lop12.net (8) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm là: m Câu 26 Cho hàm số y x x m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 4 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho AOB 120 x 2 y m Ta có: y x x ; y x y m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m + 4) OA (0; m), OB (2; m 4) Để AOB 1200 thì cos AOB m(m 4) m (m 4)2 4 m m (m 4)2 2m(m 4) 2 3m 24m 44 4 m 12 12 m m Câu 27 Cho hàm số y x –3mx 3(m –1) x – m3 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2 2) Chứng minh (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định x m 1 y x 6mx 3(m 1) ; y x m 1 x 1 t M (m –1;2 –3m) chạy trên đường thẳng cố định: y 3t x 1 t Điểm cực tiểu N (m 1; 2 – m) chạy trên đường thẳng cố định: y 2 3t Điểm cực đại Câu 28 Cho hàm số y x mx 2 (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại x x m y x 2mx x ( x m) y Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại PT y có nghiệm m Câu 29 Cho hàm số y f ( x) x 2(m 2) x m 5m (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị (Cm ) hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân x Ta có f x x 4(m 2) x x m Hàm số có CĐ, CT PT f ( x ) có nghiệm phân biệt m AB m ; m 4m , Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A 0; m 5m , B (*) m ;1 m , C m ;1 m AC m ; m 4m Do ABC luôn cân A, nên bài toán thoả mãn ABC vuông A Trang Lop12.net (9) Biên soạn: Vũ Trí Hào AB AC m 1 m THPT Vũ Lễ (thoả (*)) C m Câu 30 Cho hàm số y x 2(m 2) x m 5m 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành tam giác x f x x3 4(m 2) x x m Hàm số có CĐ, CT PT f ( x ) có nghiệm phân biệt m Ta có AB m ; m 4m , Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A 0; m 5m , B AB AC AB AC m ;1 m , C m ;1 m AC m ; m 4m Do ABC luôn cân A, nên bài toán thoả mãn (*) A 600 cos A m 23 Câu hỏi tương tự hàm số: y x 4(m 1) x 2m Câu 31 Cho hàm số y x 2mx m m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có góc 1200 x Ta có y x 4mx ; y x ( x m) Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m m), B x m (m < 0) m ; m , C m ; m AB ( m ; m ) ; AC ( m ; m ) ABC cân A nên góc 120 chính là A AB AC m m m A 120 cos A 2 m4 m AB AC m (loại) m m4 4 2m 2m m m 3m m m m4 m Vậy m 3 Câu 32 Cho hàm số y x 2mx m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp x x m Ta có y x 4mx x ( x m) Hàm số đã cho có ba điểm cực trị PT y có ba nghiệm phân biệt và y đổi dấu x qua các nghiệm đó m Khi đó ba điểm cực trị đồ thị (Cm) là: A(0; m 1), B m ; m m 1 , C m ; m m 1 S ABC y y A xC xB m m ; AB AC m m , BC m B Trang Lop12.net (10) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ m AB AC.BC (m m)2 m R 1 m 2m m 4S ABC 4m m Câu hỏi tương tự: a) y x 2mx ĐS: m 1, m 1 Câu 33 Cho hàm số y x 2mx 2m m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có diện tích x Ta có y ' x 4mx g ( x) x m Hàm số có cực trị y ' có nghiệm phân biệt g m m (*) Với điều kiện (*), phương trình y có nghiệm x1 m ; x2 0; x3 m Hàm số đạt cực trị x1 ; x2 ; x3 Gọi A(0; 2m m ); B m ; m m 2m ; C m ; m m 2m là điểm cực trị (Cm) Ta có: AB AC m m; BC 4m ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm BC M (0; m m 2m) AM m Vì ABC cân A nên AM là đường cao, đó: m2 S ABC 1 AM BC m 4m m m 16 m 16 2 Vậy m 16 Câu hỏi tương tự: a) y x 2m x , S = 32 ĐS: m 2 KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO Câu 34 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng d: y = cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho các tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B và C vuông góc với 2 PT hoành độ giao điểm (1) và d: x x mx x ( x x m) d cắt (1) điểm phân biệt A(0; 1), B, C m Khi đó: , m0 xB , xC là các nghiệm PT: x x m xB xC 3; xB xC m 2 Hệ số góc tiếp tuyến B là k1 x B x B m và C là k2 xC xC m Tiếp tuyến (C) B và C vuông góc với k1.k2 1 4m 9m m 65 65 m 8 Câu 35 Cho hàm số y x –3 x có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y mx m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để (d) cắt (C) M(–1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): x –(m 3) x – m – x 1 ( y 3) g( x ) x x m ( x 1)( x – x – m – 2) Trang 10 Lop12.net (11) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ d cắt (1) điểm phân biệt M(–1; 3), N, P m Khi đó: , m0 x N , xP là các nghiệm PT: x x m x N xP 1; x N xP m 2 Hệ số góc tiếp tuyến N là k1 x N và P là k2 x P Tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với k1.k2 1 9m 18m m 3 2 3 2 m 3 Câu 36 Cho hàm số y x x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) là đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M và N vuông góc với PT đường thẳng (d): y k ( x 2) + PT hoành độ giao điểm (C) và (d): x x k ( x 2) x xA ( x 2)( x x k ) g( x ) x x k + (d) cắt (C) điểm phân biệt A, M, N PT g( x ) có nghiệm phân biệt, khác (*) k 0 f (2) xM xN + Theo định lí Viet ta có: xM xN k + Các tiếp tuyến M và N vuông góc với y ( x ).y ( x ) 1 M N (3 xM xM )(3 xN xN ) 1 9k 18k k 2 3 2 (thoả (*)) Câu 37 Cho hàm số y x x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y m( x 1) luôn cắt đồ thị (C) điểm M cố định và xác định các giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với x 1 x x m PT hoành độ giao điểm ( x 1)( x x m) (1) (1) luôn có nghiệm x 1 ( y ) (d) luôn cắt (C) điểm M(–1; 2) m (d) cắt (C) điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt, khác –1 m Tiếp tuyến N, P vuông góc (2) y '( xN ) y '( xP ) 1 m (*) 3 2 (thoả (*)) Câu 38 Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x (m 1) ( m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Để ĐTHS (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có: Trang 11 Lop12.net (12) Biên soạn: Vũ Trí Hào (1) có cực trị y y CÑ CT xCÑ 0, xCT a.y(0) Trong đó: + THPT Vũ Lễ (*) y x 3mx 3(m 1) x (m 1) y x 6mx 3(m 1) + y m m 0, m x m xCÑ y x m xCT m m Suy ra: (*) m 1 2 (m 1)(m 3)(m 2m 1) (m 1) + Câu 39 Cho hàm số y x mx x m có đồ thị (Cm ) 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –1 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn 15 x mx x m (*) có nghiệm phân biệt thỏa x12 x22 x32 15 3 x Ta có: (*) ( x 1)( x (1 3m) x 3m) g( x ) x (1 3m) x 3m YCBT Do đó: YCBT g( x ) có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác và thỏa x12 x22 14 m 1 Câu hỏi tương tự hàm số: y x3 3mx x 3m Câu 40 Cho hàm số y x x x m , đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m 2) Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Phương trình x3 x x m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình x3 x x m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đường thẳng y m qua điểm uốn đồ thị (C) m 11 m 11 Câu 41 Cho hàm số y x 3mx x có đồ thị (Cm), đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m 2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Hoành độ các giao điểm là nghiệm phương trình: x 3mx x (1) Gọi hoành độ các giao điểm là Để x1; x2 ; x3 ta có: x1 x2 x3 3m x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 m là nghiệm phương trình (1) Trang 12 Lop12.net (13) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ m 1 15 2m3 9m m 1 15 m Thử lại ta có m 1 15 là giá trị cần tìm Câu 42 Cho hàm số y x 3mx mx có đồ thị (Cm), đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m 2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y x điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Xét phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d: x3 3mx mx x g x x3 3mx m 1 x Đk cần: Giả sử (C) cắt d điểm phân biệt có hoành độ g x x x1 x x2 x x3 x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân Khi đó ta có: x1 x2 x3 3m Suy ra: x1 x2 x2 x3 x1 x3 m x x x Vì x1 x3 x22 x23 x2 nên ta có: m 2.3m m Đk đủ: Với m Vậy m 1 , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn 33 1 1 Câu 43 Cho hàm số y x 2mx (m 3) x có đồ thị là (Cm) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C1) hàm số trên m = 2) Cho đường thẳng (d): y x và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị m để (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d là: x 2mx (m 3) x x x ( x 2mx m 2) x ( y 4) g( x ) x 2mx m (1) (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có nghiệm phân biệt khác m 1 m m m m 2 g(0) m Khi đó: x B xC 2m; x B xC m / Mặt khác: d ( K , d ) SKBC 1 (*) Do đó: BC.d ( K , d ) BC 16 BC 256 ( xB xC )2 ( yB yC )2 256 ( xB xC )2 (( xB 4) ( xC 4))2 256 Trang 13 Lop12.net (14) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ 2 2( xB xC ) 256 ( xB xC ) xB xC 128 4m 4(m 2) 128 m m 34 m Vậy m 137 (thỏa (*)) 137 Câu 44 Cho hàm số y x x có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số dk là đường thẳng qua điểm A(1; 0) với hệ số góc k (k ) Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C và giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Ta có: dk : y kx k kx y k 2) Gọi Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d là: x x kx k ( x 1) ( x 2)2 k x 1 ( x 2)2 k k dk cắt (C) điểm phân biệt k Khi đó các giao điểm là A(1; 0), B k ;3k k k , C k ;3k k k BC k k , d (O, BC ) d (O, dk ) k 1 k2 k SOBC k k k k k k 1 k2 Câu 45 Cho hàm số y x x có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi E là tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng qua E có dạng y k ( x 1) PT hoành độ giao điểm (C) và : ( x 1)( x x k ) cắt (C) điểm phân biệt PT x x k có hai nghiệm phân biệt khác k 3 SOAB d (O, ) AB k k 3 k Vậy có đường thẳng thoả YCBT: k 1 k 3 k 1 y x 1; y 1 ( x 1) Câu 46 Cho hàm số y x mx có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –3 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) với trục hoành: x mx m x ( x 0) x 2 2 x Xét hàm số: f ( x ) x f '( x ) 2 x x x2 x2 Ta có bảng biến thiên: Trang 14 Lop12.net (15) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ x + f (x) f (x) + – –3 Đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm m 3 Câu 47 Cho hàm số y x 3(m 1) x 6mx có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm 1 m 1 Câu 48 Cho hàm số y x x x có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Định m để đường thẳng (d ) : y mx 2m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt PT hoành độ giao điểm (C) và (d): x x x mx 2m x 2 g( x ) x x m (d) cắt (C) ba điểm phân biệt PT g( x ) có nghiệm phân biệt khác m 3 ( x 2)( x x m) Câu 49 Cho hàm số y x –3 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (): y (2m 1) x – 4m –1 cắt đồ thị (C) đúng hai điểm phân biệt Phương trình hoành độ giao (C) và (): x –3 x –(2m –1) x 4m x 2 f ( x ) x x 2m (1) ( x 2)( x – x – 2m –1) 2 x1 x2 x2 () cắt (C) đúng điểm phân biệt (1) phải có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x 8m b m 2 2 2 2a m 8m f (2) 2m Vậy: m ; m Câu 50 Cho hàm số y x3 3m x 2m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành đúng hai điểm phân biệt Để (Cm) cắt trục hoành đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có điểm cực trị y có nghiệm phân biệt x 3m có nghiệm phân biệt m 2 Khi đó y ' x m (Cm) cắt Ox đúng điểm phân biệt yCĐ = yCT = Ta có: + y ( m) 2m 2m m (loại) + y ( m) 2m 2m m m 1 Vậy: m 1 Trang 15 Lop12.net (16) Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ Câu 51 Cho hàm số y x mx m có đồ thị là Cm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m cắt trục trục hoành bốn điểm phân biệt 2) Định m để đồ thị Cm m m Câu 52 Cho hàm số y x m 1 x 2m có đồ thị là Cm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng 2) Định m để đồ thị Cm Xét phương trình hoành độ giao điểm: x m 1 x 2m (1) t x , t thì (1) trở thành: f (t ) t m 1 t 2m Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt thì f (t ) phải có nghiệm dương phân biệt Đặt ' m m S m 1 (*) P 2m m Với (*), gọi t1 t2 là nghiệm f (t ) , đó hoành độ giao điểm (Cm) với Ox là: x1 t2 ; x2 t1 ; x3 t1 ; x4 t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng x2 x1 x3 x2 x4 x3 t2 9t1 m 5m m m m m m m m 1 m m m 4 Vậy m 4; 9 13 Câu hỏi tương tự hàm số y x 2(m 2) x 2m ĐS: m 3, m Câu 53 Cho hàm số y x –(3m 2) x 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y 1 : x 1 x –(3m 2) x 3m 1 x –(3m 2) x 3m x 3m (*) Đường thẳng y 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ 0 3m m 3m m Câu 54 Cho hàm số y x m 1 x 2m có đồ thị là (Cm), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Xét phương trình hoành độ giao điểm: x m 1 x 2m Trang 16 Lop12.net (1) (17) Biên soạn: Vũ Trí Hào 2 Đặt t x , t thì (1) trở thành: f (t ) t m 1 t 2m THPT Vũ Lễ (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 0 t1 t2 f t có nghiệm phân biệt t1 , t2 cho: 0 t1 t2 ' m ' m f 4m f (0) 2m m m 1 S m S m 1 P 2m Vậy: m m Câu 55 Cho hàm số y x 2m x m 2m (1), với m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt, với m Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (1) và trục Ox: x 2m x m 2m (1) 2 Đặt t x t , (1) trở thành : t 2m t m 2m (2) Ta có : ' 2m và S 2m với m Nên (2) có nghiệm dương (1) có ít nghiệm phân biệt đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt Câu 56 Cho hàm số y 2x có đồ thị là (C) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y x m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ PT hoành độ giao điểm (C) và d: 2x x m x2 x 2 f ( x ) x (4 m) x 2m (1) 2 Do (1) có m và f (2) (2) (4 m).(2) 2m 3 0, nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có: m y A m x A ; yB m xB nên AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 2(m 12) Suy AB ngắn AB nhỏ m Khi đó: Câu hỏi tương tự hàm số: a) y x2 x 1 Câu 57 Cho hàm số y AB 24 b) y ĐS: m = x 1 ĐS: m 2x x 3 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I ( 1;1) và cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN Phương trình đường thẳng d : y k x 1 x 3 kx k có nghiệm phân biệt khác 1 x 1 f ( x) kx 2kx k có nghiệm phân biệt khác 1 d cắt (C) điểm phân biệt M, N Trang 17 Lop12.net (18) Biên soạn: Vũ Trí Hào k 4k k f (1) Mặt khác: xM xN 2 xI I là trung điểm MN với k Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y kx k với k Câu 58 Cho hàm số y THPT Vũ Lễ 2x (C) 1 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm M, N cho Phương trình đường thẳng (d ) : y k ( x 1) Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm x2 x1 y2 y1 2 90 MN 10 ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt cho (a) 2x kx (2k 3) x k k ( x 1) (I) Ta có: ( I ) x y k ( x 1) y k ( x 1) (I) có hai nghiệm phân biệt PT kx (2k 3) x k (b) có hai nghiệm phân biệt k 0, k 2 2 Ta biến đổi (a) trở thành: (1 k ) x2 x1 90 (1 k ) x2 x1 x2 x1 90 (c) 2k k 3 , x1 x2 , vào (c) ta có phương trình: Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 x2 k k 8k 27 k 8k (k 3)(8k 3k 1) k 3; k 3 41 3 41 ;k 16 16 Kết luận: Vậy có giá trị k thoả mãn trên Câu 59 Cho hàm số y 2x (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB 2x x m x mx m ( x 1) PT hoành độ giao điểm: (1) x 1 d cắt (C) điểm phân biệt A, B (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác –1 2) Tìm m để đường thẳng (d): m 8m 16 (2) m x x Gọi Khi đó ta có: A x1;2 x1 m , B x2 ;2 x2 m m x1 x2 AB2 = ( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4x1 x2 m 8m 20 m 10 m 2 Vậy: (thoả (2)) m 10; m 2 Trang 18 Lop12.net (19) Biên soạn: Vũ Trí Hào Câu 60 Cho hàm số y THPT Vũ Lễ x 1 (1) xm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm các giá trị tham số m cho đường thẳng (d): y x cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A và B cho AB 2 PT hoành độ giao điểm: x m x 1 x2 xm x (m 1) x 2m (*) d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác m (**) m 6m m m x m m 1 m 1 x1 x2 (m 1) x1.x2 2m Các giao điểm d và đồ thị hàm số (1) là A( x1; x1 2), B( x2 ; x2 2) Khi đó gọi x1 , x2 là các nghiệm (*), ta có AB 2( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 x1 x2 2(m 6m 3) m 1 2 Theo giả thiết ta 2(m 6m 3) m 6m m Kết hợp với điều kiện (**) ta m là giá trị cần tìm Suy Câu 61 Cho hàm số y 2x (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d: x (m 3) x m 0, (*) có m 2m 0, m R x 1 (*) và (*) không có nghiệm x = x x m B (*) luôn có nghiệm phân biệt là x A , x B Theo định lí Viét: A x x A B 1 m Khi đó: A x A ; x A m , B x B ; x B m OAB vuông O thì OA.OB x A xB x A m xB m x A x B m x A x B m m 2 Vậy: m = –2 Câu 62 Cho hàm số: y x2 x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm hai nhánh (C) và thỏa x A yA m x B yB m x yA m y xA m Ta có: A A A, B (d ) : y x m x B yB m yB x B m A, B là giao điểm (C) và (d) Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): xm (*) có x2 f ( x ) x (m 3) x (2m 2) ( x 2) x 2 (*) m 2m 17 0, m (d) luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Trang 19 Lop12.net (20) Biên soạn: Vũ Trí Hào Và f (2) 4 x A x B x B x A (đpcm) THPT Vũ Lễ KSHS 04: TIẾP TUYẾN Câu 63 Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m (1) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x cos 26 y góc , biết Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT n1 (k; 1) Đường thẳng d có VTPT n2 (1;1) k 12k 26k 12 Ta có cos n1 n2 26 k 2 k 1 n1.n2 k 1 YCBT thoả mãn ít hai phương trình sau có nghiệm: y 3 x 2(1 2m) x m 3 x 2(1 2m) x m y 1 m ; m 1 m m m ; m / 8m 2m / 2 4m m Câu 64 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = 3 Giả sử A(a; a 3a 1), B(b; b 3b 1) thuộc (C), với a b Vì tiếp tuyến (C) A và B song song với nên: y (a) y (b) 3a2 6a 3b2 6b a2 b2 2(a b) (a b)(a b 2) a b b a Vì a b nên a a a Ta có: AB (b a)2 (b3 3b2 a3 3a2 1)2 (b a)2 (b3 a3 3(b2 a2 ))2 (b a)2 (b a)3 3ab(b a) 3(b a)(b a) (b a)2 (b a)2 (b a)2 3ab 3.2 2 (b a)2 (b a)2 (b a)2 ab (b a)2 (b a)2 (2 ab)2 AB (b a)2 1 (2 ab)2 (2 2a)2 1 (a2 2a 2)2 2 4(a 1)2 1 (a 1)2 3 4(a 1)2 (a 1)4 6(a 1)2 10 Trang 20 Lop12.net (21)