2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng... www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số.[r]
(1)www.VNMATH.com TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011 Lop12.net (2) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định nó · Tập xác định: D = R y ¢= (m - 1) x + 2mx + 3m - Câu (1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ mx + (1) x+m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) Câu Cho hàm số y = · Tập xác định: D = R \ {–m} y ¢= m2 - ( x + m )2 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định Û y ¢< Û -2 < m < Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có -m ³ Û m £ -1 Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 (1) (2) Cho hàm số y = x + x - mx - (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥; 0) Câu · m £ -3 Cho hàm số y = x - 3(2 m + 1) x + m ( m + 1) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥) Câu · y ' = x - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2 m + 1)2 - 4(m + m ) = > éx = m y' = Û ê Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m ), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + £ Û m £ Cho hàm số y = x - mx - 3m + (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2) · Ta có y ' = x - 4mx = x( x - m) Câu + m £ , y ¢³ 0, "x Þ m £ thoả mãn + m > , y ¢= có nghiệm phân biệt: - m , 0, Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi m m £ Û < m £ Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +¥ ) Câu Trang Lop12.net Vậy m Î ( -¥;1] (3) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng · Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= x + 2(1 - 2m ) x + (2 - m ) ³ với "x Î (0; +¥) 3x + x + Û f ( x) = ³ m với "x Î (0; +¥) 4x +1 2(6 x + x - 3) -1 ± 73 Ta có: f ¢( x ) = = Û 6x2 + x - = Û x = 12 (4 x + 1) Lập bảng biến thiên hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đến kết luận: æ -1 + 73 ö + 73 fç ³m ÷³mÛ ç 12 ÷ è ø KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = x + x + mx + m – (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục hoành · PT hoành độ giao điểm (C) và trục hoành: é x = -1 x + x + mx + m – = (1) Û ê (2) ë g( x ) = x + x + m - = (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục 0x Û PT (1) có nghiệm phân biệt ì ¢ Û (2) có nghiệm phân biệt khác –1 Û íD = - m > Û m<3 îg(-1) = m - ¹ Câu Cho hàm số y = - x + (2 m + 1) x - (m - 3m + 2) x - (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung Câu · y ¢= -3 x + 2(2 m + 1) x - (m - 3m + 2) (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm hai phía trục tung Û PT y¢ = có nghiệm trái dấu Û 3(m - 3m + 2) < Û < m < Cho hàm số y = x - mx + (2m - 1) x - (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía trục tung · TXĐ: D = R ; y ¢= x – 2mx + m –1 Câu Đồ thị (Cm) có điểm CĐ, CT nằm cùng phía trục tung Û y ¢= có nghiệm phân ìm ¹ ìïD¢ = m - 2m + > ï biệt cùng dấu Û í Ûí ïî2m - > ïîm > Câu 10 Cho hàm số y = x - 3x - mx + (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đường thẳng y = x - Trang Lop12.net (4) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = x - x - m = có nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ö mö æ1 æ 2m ö æ Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç - ÷ 3ø 3ø è3 è ø è mö mö æ 2m ö æ æ 2m ö æ + ÷ x1 + ç - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + ÷ x2 + ç - ÷ Þ y1 = y ( x1 ) = - ç 3ø 3ø è è ø è è ø mö æ 2m ö æ + 2÷ x + ç - ÷ Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là D: y = - ç 3ø è ø è Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x - Û xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x - æ 2m ö Û -ç + ÷ = Û m = - (thỏa mãn) è ø TH2: Trung điểm I AB nằm trên đường thẳng y = x - y + y2 x1 + x2 mö æ 2m ö æ + ÷ ( x1 + x2 ) + ç - ÷ = ( x1 + x2 ) - Û yI = xI - Û = -1 Û - ç 2 3ø è ø è 2m æ 2m ö Ûç + ÷ = Ûm=0 è ø 3ü ì Vậy các giá trị cần tìm m là: m = í0; - ý 2þ î Câu 11 Cho hàm số y = x - 3mx + 4m (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x éx = · Ta có: y¢ = x - mx ; y¢ = Û ê Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ ë x = 2m uur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB = (2m; -4 m3 ) Trung điểm đoạn AB là I(m; 2m3) ïì2 m - m3 = ì AB ^ d A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x Û í Û í Û m=± îI Î d ïî2 m = m Câu 12 Cho hàm số y = - x + 3mx - 3m - 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = · y ¢ = -3 x + mx ; y ¢= Û x = Ú x = m Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= có nghiệm phân biệt Û m ¹ uuur Khi đó điểm cực trị là: A(0; -3m - 1), B(2 m; m3 - 3m - 1) Þ AB(2m; 4m ) Trung điểm I AB có toạ độ: I (m; m3 - 3m - 1) r Đường thẳng d: x + 8y - 74 = có VTCP u = (8; -1) Trang Lop12.net (5) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng ìïm + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = ìI Î d A và B đối xứng với qua d Û í Û íuuur r Û m=2 AB ^ d = AB u î ïî Câu 13 Cho hàm số y = x - x + mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x – y – = · Ta có y = x - x + mx Þ y ' = x - x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= có hai nghiệm phân biệt Û D¢ = - 3m > Û m < æ1 æ2 ö 1ö Ta có: y = ç x - ÷ y ¢+ ç m - ÷ x + m 3ø è3 è3 ø Tại các điểm cực trị thì y ¢= , đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: æ2 ö y = ç m - 2÷ x + m è3 ø æ2 ö Như đường thẳng D qua các điểm cực trị có phương trình y = ç m - ÷ x + m è3 ø nên D có hệ số góc k1 = m - d: x – y – = Û y = x - Þ d có hệ số góc k2 = 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D ö 1æ2 Þ k1k2 = -1 Û ç m - ÷ = -1 Û m = 2è3 ø Với m = thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm chúng là I(1; –2) Ta thấy I Î d, đó hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Câu 14 Cho hàm số y = x - 3(m + 1) x + x + m - (1) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: y = x · y ' = x - 6(m + 1) x + Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > Û m Î (-¥; -1 - 3) È (-1 + 3; +¥) æ1 m +1 ö ¢ Ta có y = ç x ÷ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 3 è ø Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm AB Þ y1 = -2(m + 2m - 2) x1 + m + ; y2 = -2(m + m - 2) x2 + m + ì x + x = 2(m + 1) và: í î x1 x2 = Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m + m - 2) x + m + Trang Lop12.net (6) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng A, B đối xứng qua (d): y = 100 Khảo sát hàm số ì AB ^ d x Ûí Û m = îI Î d Câu 15 Cho hàm số y = x - 3(m + 1) x + x - m , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x cho x1 - x £ · Ta có y ' = 3x - 6(m + 1) x + + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x Û PT y '= có hai nghiệm phân biệt x1 , x Û PT x - 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt là x1 , x ém > -1 + Û D' = (m + 1) - > Û ê (1) m < ëê + Theo định lý Viet ta có x1 + x = 2(m + 1); x1 x = Khi đó: x1 - x £ Û ( x1 + x )2 - x1 x £ Û 4(m + 1)2 - 12 £ Û (m + 1)2 £ Û -3 £ m £ (2) + Từ (1) và (2) suy giá trị m cần tìm là - £ m < -1 - và - + < m £ Câu 16 Cho hàm số y = x + (1 - m) x + (2 - m ) x + m + , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 - x2 > · Ta có: y ' = x + 2(1 - m) x + (2 - m) Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 < x2 ) é (*) Û D ' = (1 - m )2 - 3(2 - m ) = m - m - > Û ê m > ê ë m < -1 ì 2(1 - m) ï x1 + x2 = Hàm số đạt cực trị các điểm x1 , x2 Khi đó ta có: í m ïx x = î 2 1 x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1x2 > + 29 - 29 Û 4(1 - 2m )2 - 4(2 - m) > Û 16m - 12 m - > Û m > Úm< 8 + 29 Kết hợp (*), ta suy m > Ú m < -1 x - (m - 1) x + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 + x2 = Câu 17 Cho hàm số y = · Ta có: y ¢= x - 2(m - 1) x + 3(m - 2) Trang Lop12.net (7) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Û D¢ > Û m - 5m + > (luôn đúng với "m) ì x + x = 2(m - 1) ïì x = - 2m Khi đó ta có: í Ûí ïî x2 (1 - x2 ) = 3(m - 2) î x1 x2 = 3(m - 2) Û 8m + 16 m - = Û m = -4 ± 34 Câu 18 Cho hàm số y = x + mx – x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 = -4 x2 · y ¢= 12 x + 2mx – Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số luôn có cực trị x1 , x2 ì ï x1 = -4 x2 ï m ï Khi đó: í x1 + x2 = ï ï ïî x1 x2 = - Câu hỏi tương tự: Þm=± a) y = x + x + mx + ; x1 + 2x2 = ĐS: m = -105 Câu 19 Cho hàm số y = (m + 2) x + x + mx - , m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương · Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Û PT y ' = 3(m + 2) x + x + m = có nghiệm dương phân biệt ìa = (m + 2) ¹ ïD ' = - 3m(m + 2) > ìD ' = -m - m + > ì -3 < m < ï m ï ï ï Û íP = >0 Û ím < Û ím < Û -3 < m < -2 3(m + 2) ï ïm + < ïîm < -2 î ï S = -3 > ïî m+2 Câu 20 Cho hàm số y = x – x + (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = x - tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) Xét biểu thức g( x , y ) = x - y - ta có: g( x A , y A ) = x A - y A - = -4 < 0; g( x B , yB ) = x B - yB - = > Þ điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y = x - Do đó MA + MB nhỏ Û điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm d và AB Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + Trang Lop12.net (8) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số ì x= ï y = x ì ï æ4 2ö Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: í Þ Mç ; ÷ Ûí è5 5ø î y = -2 x + ïy = ïî Câu 21 Cho hàm số y = x + (1 – m) x + (2 – m ) x + m + (m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ · y ¢= x + 2(1 - m) x + - m = g( x ) YCBT Û phương trình y ¢= có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 < x2 < ìD¢ = 4m - m - > ï Û ïg(1) = -5m + > Û < m < í ï S = 2m - < ïî y = x - 3mx + 3(m - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O · Ta có y ¢ = x - 6mx + 3(m - 1) Câu 22 Cho hàm số Hàm số (1) có cực trị thì PT y ¢ = có nghiệm phân biệt Û x - 2mx + m - = có nhiệm phân biệt Û D = > 0, "m Khi đó: điểm cực đại A(m - 1; - 2m ) và điểm cực tiểu B(m + 1; -2 - 2m ) é m = -3 + 2 Ta có OA = 2OB Û m + 6m + = Û ê êë m = -3 - 2 Câu 23 Cho hàm số y = - x + 3mx + 3(1 - m ) x + m - m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) · y ¢ = -3 x + mx + 3(1 - m ) PT y ¢= có D = > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có điểm cực trị ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y¢ ta được: Khi đó: æ1 mö y = ç x - ÷ y ¢+ x - m2 + m è3 3ø y1 = x1 - m2 + m ; y2 = x2 - m + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là y = x - m + m Câu 24 Cho hàm số y = x - 3x - mx + có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4 x + Trang Lop12.net (9) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = x - x - m = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ö mö æ1 æ 2m ö æ Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç - ÷ 3ø 3ø è3 è ø è mö mö æ 2m ö æ æ 2m ö æ + ÷ x1 + ç - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + ÷ x2 + ç - ÷ Þ y1 = y ( x1 ) = - ç 3ø 3ø è è ø è è ø mö æ 2m ö æ + 2÷ x + ç - ÷ Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là d: y = - ç 3ø è ø è Đường thẳng qua các điểm cực trị song song với d: y = -4 x + ì æ 2m ö ï - ç + ÷ = -4 ï è ø Ûí Û m = (thỏa mãn) ïæ - m ö ¹ ïîçè ÷ø Câu 25 Cho hàm số y = x - 3x - mx + có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + y – = góc 450 · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = x - x - m = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1ö mö æ1 æ 2m ö æ Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç - ÷ 3ø 3ø è3 è ø è mö mö æ 2m ö æ æ 2m ö æ + ÷ x1 + ç - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + ÷ x2 + ç - ÷ Þ y1 = y ( x1 ) = - ç 3ø 3ø è ø è è ø è mö æ 2m ö æ + 2÷ x + ç - ÷ Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là D: y = - ç 3ø è ø è æ 2m ö Đặt k = - ç + ÷ Đường thẳng d: x + y – = có hệ số góc - è ø 1 39 é é é k = k + = k m = k+ ê ê 4 10 Û êê Ta có: tan 45o = Ûê Ûê 1 êk = ê k + = -1 + k êm = - 1- k ê êë êë 4 ë Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm là: m = Câu 26 Cho hàm số y = x + x + m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = -4 · 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho AOB = 120 Trang Lop12.net (10) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số é x = -2 Þ y = m + · Ta có: y ¢= x + x ; y ¢= Û ê ëx = Þ y = m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4) uur uur · OA = (0; m), OB = (-2; m + 4) Để AOB = 120 thì cos AOB = ì-4 < m < m(m + 4) Û = - Û m ( + (m + 4)2 ) = -2m(m + 4) Û í 2 î3m + 24m + 44 = m ( + (m + 4)2 ) ì-4 < m < -12 + ï Ûí -12 ± Û m = ïî m = Câu 27 Cho hàm số y = x – 3mx + 3(m2 –1) x – m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = -2 2) Chứng minh (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định éx = m +1 · y ¢= x - mx + 3(m - 1) ; y ¢= Û ê ë x = m -1 ì x = -1 + t Điểm cực đại M (m –1;2 – 3m) chạy trên đường thẳng cố định: í î y = - 3t ìx = 1+ t Điểm cực tiểu N (m + 1; -2 – m) chạy trên đường thẳng cố định: í î y = -2 - 3t x - mx + (1) 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Câu 28 Cho hàm số y = éx = · y ¢= x3 - 2mx = x ( x - m) y ¢ = Û ê ëx = m Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y ¢= có nghiệm Û m £ Câu 29 Cho hàm số y = f ( x) = x + 2(m - 2) x + m - 5m + (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị (Cm ) hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân éx = · Ta có f ¢( x ) = x + 4(m - 2) x = Û ê ëx = - m Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = có nghiệm phân biệt Û m < (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m - 5m + ) , B ( - m ;1 - m ) , C ( - - m ;1 - m ) uur uuur Þ AB = ( - m ; -m + m - ) , AC = ( - - m ; - m + 4m - ) Do DABC luôn cân A, nên bài toán thoả mãn DABC vuông A Û AB.AC = Û (m - ) = -1 Û m = (thoả (*)) Trang Lop12.net (11) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Câu 30 Cho hàm số y = x + 2(m - 2) x + m - 5m + (C m ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành tam giác éx = · Ta có f ¢( x ) = x + 4(m - 2) x = Û ê ëx = - m Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = có nghiệm phân biệt Û m < (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m - 5m + ) , B ( - m ;1 - m ) , C ( - - m ;1 - m ) uur uuur Þ AB = ( - m ; -m + m - ) , AC = ( - - m ; - m + 4m - ) Do DABC luôn cân A, nên bài toán thoả mãn µA = 60 Û cos A = uuur uuur AB AC Û uuur uuur = Û m = - 3 AB AC Câu hỏi tương tự hàm số: y = x - 4(m - 1) x + m - Câu 31 Cho hàm số y = x + mx + m + m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có góc 1200 éx = · Ta có y¢ = x + mx ; y¢ = Û x( x + m) = Û ê êë x = ± - m (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m + m ), B ( - m ; m ) , C ( - - m ; m ) uur uuur µ AB = ( - m ; - m ) ; AC = (- - m ; -m ) DABC cân A nên góc 120o chính là A uur uuur µ AB AC - -m -m + m4 o A = 120 Û cos A = - Û uur uuur = - Û =4 2 m -m AB AC ém = (loại) 4 Û = - Þ m + m = m - m Û 3m + m = Û ê êm = - m4 - m ëê Vậy m = 3 m + m4 Câu 32 Cho hàm số y = x - mx + m - có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp éx = · Ta có y ¢= x - 4mx = x( x - m ) = Û ê ëx = m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û PT y ¢= có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu x qua các nghiệm đó Û m > Khi đó ba điểm cực trị đồ thị (Cm) là: A(0; m - 1), B ( - m ; - m + m - 1) , C ( m ; - m + m - 1) Trang 10 Lop12.net (12) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số y - y A xC - xB = m m ; AB = AC = m + m , BC = m B ém = (m + m)2 m AB AC.BC R= =1Û = Û m - 2m + = Û ê êm = - 4SV ABC 4m m ë Câu hỏi tương tự: SV ABC = a) y = x - 2mx + ĐS: m = 1, m = -1 + Câu 33 Cho hàm số y = x - 2mx + 2m + m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có diện tích éx = · Ta có y ' = x - 4mx = Û ê ë g ( x) = x - m = Hàm số có cực trị Û y ' = có nghiệm phân biệt Û D g = m > Û m > (*) Với điều kiện (*), phương trình y ¢= có nghiệm x1 = - m ; x2 = 0; x3 = m Hàm số đạt cực trị x1 ; x2 ; x3 Gọi A(0; 2m + m ); B ( m ; m - m + 2m ) ; C ( - m ; m - m2 + 2m ) là điểm cực trị (Cm) Ta có: AB = AC = m + m; BC = 4m Þ DABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm BC Þ M (0; m - m + m) Þ AM = m = m Vì D ABC cân A nên AM là đường cao, đó: SD ABC = 1 AM BC = m 4m = Û m = Û m = 16 Û m = 16 2 Vậy m = 16 Câu hỏi tương tự: a) y = x - 2m x + , S = 32 ĐS: m = ±2 KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO Câu 34 Cho hàm số y = x + 3x + mx + (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng d: y = cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho các tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B và C vuông góc với · PT hoành độ giao điểm (1) và d: x + x + mx + = Û x ( x + x + m) = d cắt (1) điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û m < , m ¹ Khi đó: xB , xC là các nghiệm PT: x + x + m = Þ x B + xC = -3; x B xC = m Hệ số góc tiếp tuyến B là k1 = x B2 + xB + m và C là k2 = xC2 + xC + m Tiếp tuyến (C) B và C vuông góc với Û k1.k2 = -1 Û 4m - 9m + = Û m= Trang 11 Lop12.net - 65 + 65 Ú m= 8 (13) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Câu 35 Cho hàm số y = x – x + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để (d) cắt (C) M(–1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với · Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): x – (m + 3) x – m – = é x = -1 ( y = 3) Û ( x + 1)( x – x – m – 2) = Û ê ë g( x ) = x - x - m - = d cắt (1) điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û m > - , m ¹ Khi đó: xN , xP là các nghiệm PT: x - x - m - = Þ x N + x P = 1; x N x P = - m - Hệ số góc tiếp tuyến N là k1 = x N2 - và P là k2 = x P2 - Tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với Û k1.k2 = -1 Û 9m + 18m + = Û m= -3 + 2 -3 - 2 Ú m= 3 Câu 36 Cho hàm số y = x - x + (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) là đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M và N vuông góc với · PT đường thẳng (d): y = k ( x - 2) + PT hoành độ giao điểm (C) và (d): x - x + = k ( x - 2) é x = = xA Û ( x - 2)( x - x - - k ) = Û ê ë g( x ) = x - x - - k = + (d) cắt (C) điểm phân biệt A, M, N Û PT g( x ) = có nghiệm phân biệt, khác ìD > Û í (*) Û- <k¹0 î f (2) ¹ ì x + xN = + Theo định lí Viet ta có: í M î xM xN = - k - + Các tiếp tuyến M và N vuông góc với Û y ¢( x ).y ¢( x ) = -1 M N Û (3 xM2 - xM )(3 xN2 - xN ) = -1 Û 9k + 18k + = Û k = -3 ± 2 (thoả (*)) Câu 37 Cho hàm số y = x - x (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y = m( x + 1) + luôn cắt đồ thị (C) điểm M cố định và xác định các giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc với éx +1 = · PT hoành độ giao điểm ( x + 1)( x - x - - m ) = (1) Û ê ëx - x - - m = (1) luôn có nghiệm x = -1 ( y = ) Þ (d) luôn cắt (C) điểm M(–1; 2) Trang 12 Lop12.net (2) (14) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số ì ïm > (d) cắt (C) điểm phân biệt Û (2) có nghiệm phân biệt, khác –1 Û í (*) ïîm ¹ Tiếp tuyến N, P vuông góc Û y '( xN ) y '( xP ) = -1 Û m = -3 ± 2 (thoả (*)) Câu 38 Cho hàm số y = x - 3mx + 3(m2 - 1) x - (m - 1) ( m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương · Để ĐTHS (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có: ì(1) có cực trị ïï y y < CÑ CT (*) í x > 0, x > CT ï CÑ îïa.y(0) < Trong đó: + y = x - 3mx + 3(m2 - 1) x - (m - 1) Þ y¢ = x - mx + 3(m - 1) + Dy ¢ = m - m + = > 0, "m é x = m - = xCÑ + y ¢= Û ê ë x = m + = xCT ìm - > ïï m + > Suy ra: (*) Û í Û < m < 1+ 2 m m m m ( 1)( 3)( 1) < ï îï-(m - 1) < x - mx - x + m + có đồ thị (Cm ) 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –1 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn 15 · YCBT Û x - mx - x + m + = (*) có nghiệm phân biệt thỏa x12 + x22 + x32 > 15 3 éx = Ta có: (*) Û ( x - 1)( x + (1 - 3m ) x - - 3m ) = Û ê ë g( x ) = x + (1 - 3m) x - - 3m = Câu 39 Cho hàm số y = Do đó: YCBT Û g( x ) = có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác và thỏa x12 + x22 > 14 Û m >1 Câu hỏi tương tự hàm số: y = x3 - 3mx - 3x + 3m + Câu 40 Cho hàm số y = x - x - x + m , đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m = 2) Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng · Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Û Phương trình x - x - x + m = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Trang 13 Lop12.net (15) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Û Phương trình x - x - x = - m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Û Đường thẳng y = - m qua điểm uốn đồ thị (C) Û -m = -11 Û m = 11 Câu 41 Cho hàm số y = x - 3mx + x - có đồ thị (Cm), đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m = 2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng · Hoành độ các giao điểm là nghiệm phương trình: x - 3mx + x - = Gọi hoành độ các giao điểm là x1; x2 ; x3 ta có: x1 + x2 + x3 = 3m (1) Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm phương trình (1) é êm = ê -1 + 15 Þ -2m + 9m - = Û ê m = ê ê -1 - 15 êm = ë -1 - 15 là giá trị cần tìm Thử lại ta có m = Câu 42 Cho hàm số y = x - 3mx - mx có đồ thị (Cm), đó m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho m = 2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = x + điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân · Xét phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d: x - 3mx - mx = x + Û g ( x ) = x3 - 3mx - ( m + 1) x - = Đk cần: Giả sử (C) cắt d điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân Khi đó ta có: g ( x ) = ( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 ) ì x1 + x2 + x3 = 3m ï Suy ra: í x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = - m - ïx x x = î Vì x1 x3 = x22 Þ x23 = Þ x2 = nên ta có: -m - = + 2.3m Û m = Đk đủ: Với m = Vậy m = - +1 , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn +1 +1 Câu 43 Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3) x + có đồ thị là (Cm) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C1) hàm số trên m = 2) Cho đường thẳng (d): y = x + và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị m để (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích · Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d là: x + mx + (m + 3) x + = x + Û x( x + mx + m + 2) = Trang 14 Lop12.net (16) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số é x = ( y = 4) Ûê ë g( x ) = x + mx + m + = (1) (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û (2) có nghiệm phân biệt khác ì / ì m £ -1 Ú m ³ (*) Û íD = m - m - > Û í îm ¹ -2 î g(0) = m + ¹ Khi đó: xB + xC = -2m; xB xC = m + Mặt khác: d (K , d ) = SDKBC = Û 1- + = Do đó: BC.d ( K , d ) = Û BC = 16 Û BC = 256 Û ( x B - xC )2 + ( yB - yC )2 = 256 Û ( x B - xC )2 + (( xB + 4) - ( xC + 4))2 = 256 Û 2( xB - xC )2 = 256 Û ( xB + xC )2 - x B xC = 128 Û m - 4(m + 2) = 128 Û m - m - 34 = Û m = Vậy m = ± 137 (thỏa (*)) ± 137 Câu 44 Cho hàm số y = x - x + có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi dk là đường thẳng qua điểm A(-1; 0) với hệ số góc k (k Î ¡ ) Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C và giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích · Ta có: dk : y = kx + k Û kx - y + k = Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và d là: x - x + = kx + k Û ( x + 1) éë( x - 2)2 - k ùû = Û x = -1 ( x - 2)2 = k ìk > dk cắt (C) điểm phân biệt Û í îk ¹ Khi đó các giao điểm là A(-1; 0), B ( - k ;3k - k k ) , C ( + k ;3k + k k ) BC = k + k , d (O, BC ) = d (O, dk ) = k 1+ k2 k SDOBC = k + k = Û k k = Û k = Û k = 1+ k2 Câu 45 Cho hàm số y = x - x + có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi E là tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB · Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng D qua E có dạng y = k ( x - 1) PT hoành độ giao điểm (C) và D: ( x - 1)( x - x - - k ) = D cắt (C) điểm phân biệt Û PT x - x - - k = có hai nghiệm phân biệt khác Trang 15 Lop12.net (17) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Û k > -3 SDOAB = d (O, D) AB = k Trần Sĩ Tùng k +3 Þ k é k = -1 k +3 = Û ê ë k = -1 ± Vậy có đường thẳng thoả YCBT: y = - x + 1; y = ( -1 ± ) ( x - 1) Câu 46 Cho hàm số y = x + mx + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = –3 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm · Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) với trục hoành: x + mx + = Û m = - x - ( x ¹ 0) x 2 -2 x + Xét hàm số: f ( x ) = - x - Þ f '( x ) = -2 x + = x x2 x2 Ta có bảng biến thiên: -¥ +¥ f ¢( x) +¥ f (x) -¥ -¥ -¥ Đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm Û m > -3 Câu 47 Cho hàm số y = x - 3(m + 1) x + mx - có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm · 1- < m < 1+ Câu 48 Cho hàm số y = x - x + x - có đồ thị là (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Định m để đường thẳng (d ) : y = mx - 2m - cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt · PT hoành độ giao điểm (C) và (d): x - x + x - = mx - 2m - éx = Û ( x - 2)( x - x + - m ) = Û ê ë g( x ) = x - x + - m = (d) cắt (C) ba điểm phân biệt Û PT g( x ) = có nghiệm phân biệt khác Û m > -3 Câu 49 Cho hàm số y = x – x + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (D): y = (2 m - 1) x – m – cắt đồ thị (C) đúng hai điểm phân biệt · Phương trình hoành độ giao (C) và (D): x – x – (2 m –1) x + m + = éx = Û ( x - 2)( x – x – m –1) = Û ê ë f ( x ) = x - x - 2m - = (1) é ¹ x1 = x2 (D) cắt (C) đúng điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: ê ë x1 = ¹ x2 Trang 16 Lop12.net (18) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng é ìD = ê ïí b ê ¹2 Û ê ïî a Û êìD > ê íî f (2) = ë Vậy: m = - ; m = 100 Khảo sát hàm số é ì8m + = é ê ïí êm = - êï ¹ Ûê êî êm = ê ì8m + > ë ê íî-2 m + = ë Câu 50 Cho hàm số y = x3 - 3m x + 2m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành đúng hai điểm phân biệt · Để (Cm) cắt trục hoành đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có điểm cực trị Þ y ¢ = có nghiệm phân biệt Û 3x - 3m = có nghiệm phân biệt Û m ¹ Khi đó y ' = Û x = ± m (Cm) cắt Ox đúng điểm phân biệt Û yCĐ = yCT = Ta có: + y (- m) = Û 2m3 + 2m = Û m = (loại) + y (m) = Û -2m3 + 2m = Û m = Ú m = ±1 Vậy: m = ±1 ( ) Câu 51 Cho hàm số y = x - mx + m - có đồ thị là Cm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục trục hoành bốn điểm phân biệt ìm > · í îm ¹ ( ) Câu 52 Cho hàm số y = x - ( m + 1) x + 2m + có đồ thị là Cm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = 2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng · Xét phương trình hoành độ giao điểm: x - ( m + 1) x + 2m + = (1) Đặt t = x , t ³ thì (1) trở thành: f (t ) = t - ( m + 1) t + 2m + = 2 Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt thì f (t ) = phải có nghiệm dương phân biệt ìD ' = m > ì ï ïm > Û í S = ( m + 1) > Û í (*) ï P = 2m + > ïîm ¹ î Với (*), gọi t1 < t2 là nghiệm f (t ) = , đó hoành độ giao điểm (Cm) với Ox là: x1 = - t2 ; x2 = - t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng Û x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 Û t2 = 9t1 ém = é5m = 4m + Û m + + m = ( m + - m ) Û m = ( m + 1) Û ê Ûê êm = - m = m + 4 ë ë Trang 17 Lop12.net (19) www.VNMATH.com 100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 4ü ì Vậy m = í 4; - ý 9þ î Câu hỏi tương tự hàm số y = - x + 2(m + 2) x - m - ĐS: m = 3, m = - 13 Câu 53 Cho hàm số y = x – (3m + 2) x + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ · Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y = -1 : é x = ±1 x – (3m + 2) x + 3m = -1 Û x – (3m + 2) x + 3m + = Û ê ë x = 3m + (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ ì ìï0 < 3m + < ï- < m < Û í Ûí ïî3m + ¹ ïm ¹ î Câu 54 Cho hàm số y = x - ( m + 1) x + 2m + có đồ thị là (Cm), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ nhỏ · Xét phương trình hoành độ giao điểm: x - ( m + 1) x + 2m + = (1) Đặt t = x , t ³ thì (1) trở thành: f (t ) = t - ( m + 1) t + 2m + = (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ nhỏ é = t1 < t2 < Û f ( t ) có nghiệm phân biệt t1 , t2 cho: ê ë < t1 < £ t2 ìD ' = m > ìD ' = m > ï ï ï f ( 3) = - 4m £ Û í f (0) = 2m + = í Û m = - Ú m ³1 ï S = ( m + 1) < ï S = ( m + 1) > î ï P = 2m + > î Vậy: m = - Ú m ³ Câu 55 Cho hàm số y = x - 2m x + m + 2m (1), với m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt, với m < · Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (1) và trục Ox: x - 2m x + m + 2m = (1) Đặt t = x ( t ³ ) , (1) trở thành : t - 2m 2t + m4 + 2m = (2) Ta có : D ' = -2m > và S = 2m2 > với m > Nên (2) có nghiệm dương Þ (1) có ít nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt Trang 18 Lop12.net (20) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 2x +1 có đồ thị là (C) x+2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ 2x +1 · PT hoành độ giao điểm (C) và d: = -x + m x+2 ì x ¹ -2 Û í î f ( x ) = x + (4 - m ) x + - m = (1) Câu 56 Cho hàm số y = Do (1) có D = m + > và f (-2) = (-2)2 + (4 - m).(-2) + - m = -3 ¹ 0, "m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có: y A = m - x A ; yB = m - xB nên AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 = 2(m + 12) Suy AB ngắn Û AB nhỏ Û m = Khi đó: AB = 24 Câu hỏi tương tự hàm số: x -1 x-2 a) y = ĐS: m = b) y = ĐS: m = x -1 2x x-3 x +1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (-1;1) và cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN · Phương trình đường thẳng d : y = k ( x + 1) + Câu 57 Cho hàm số y = x -3 = kx + k + có nghiệm phân biệt khác -1 x +1 Û f ( x ) = kx + 2kx + k + = có nghiệm phân biệt khác -1 ìk ¹ ï Û íD = -4k > Û k < ï f (-1) = ¹ î d cắt (C) điểm phân biệt M, N Û Mặt khác: xM + xN = -2 = xI Û I là trung điểm MN với "k < Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y = kx + k + với k < 2x + (C) 1- x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm M, N cho MN = 10 · Phương trình đường thẳng (d ) : y = k ( x - 1) + Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt Câu 58 Cho hàm số y = cho ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = 90 ì 2x + = k ( x - 1) + ï í -x +1 ïî y = k ( x - 1) + (a) ìkx - (2k - 3) x + k + = (I) Ta có: ( I ) Û í y = k ( x - 1) + î Trang 19 Lop12.net (21)