Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB vaø dieän tích tam giaùc IAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M treân (C). b) Tìm treân ñoà thò haøm soá ñaõ cho caùc ñieåm sao ch[r]
(1)TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC
(2)1 Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)
2 Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm khoảng I
a) Nếu f đồng biến khoảng I f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f¢(x) £ 0, "x Ỵ I
3.Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm khoảng I
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I f khơng đổi I
Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số
Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số
– Tính y¢ Tìm điểm mà y¢ = y¢ khơng tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số
Bài 1. Xét chiều biến thiên hàm số sau:
a) y = -2x2+4x+5 b)
4
x
y= + -x c) y x= 2-4x+3
d) y x= 3-2x2+ -x e) y=(4-x x)( -1)2 f) y x= 3-3x2+4x-1
g) 2
4
y = x - x - h) y= -x4-2x2+3 i) 2
10 10
y= x + x
-k)
5
x y
x -=
+ l)
1
x y
x -=
- m)
1
1
y
x =
-n) 2 26
2
x x
y
x + + =
+ o)
1
1
y x
x = +
p)
2
4 15
3
x x
y
x
- +
=
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ
(3)Bài 2. Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y= -6x4+8x3-3x2-1 b) 22
4
x y
x -=
- c)
2
1
x x
y
x x
- + =
+ +
d) y 2x21 x
-= e) 2
3
x y
x x
=
- + f) y = + +x 2-x
g) y = 2x- -1 3-x h) y x= 2-x2 i) y= 2x x-
k) sin
2
y= x ổỗ- < <x ửữ
è ø
p p l) sin 2
2
y= x x- ổỗ- < <x ửữ
è ø
p p
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến trên tập xác định (hoặc khoảng xác định)
Cho haựm soõ y f x m= ( , ), m laự tham soõ, coỳ taồp xaỳc ũúnh D · Haựm sõ f ũoỏng biẽn trn D í yđỂ 0, "x ẽ D · Haựm sõ f nghúch biẽn trn D í yđê 0, "x ẽ D Tữự ũoỳ suy ũieỏu kieồn cuỹa m
Chú ý:
1) y¢ = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y'=ax2+bx x+ thì:
·
0 ' 0,
0
a b c
y x R
a éì = =
ớ ờợ " ẻ ê
ì > êí êỵ £ ë D
·
0 ' 0,
0
a b c
y x R
a éì = =
í êỵ £ £ " Ỵ Û ê
ì < êí êỵ £ ë D 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ :
· Nếu D < g(x) ln dấu với a
· Nếu D = g(x) ln dấu với a (trừ x =
2
b a
- )
· Nếu D > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a
4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:
· 1 2 00
0
x x P
S ì > ï < < Ûí >
ï < ỵ
D
· 1 2 00
0
x x P
S ì > ï < < Ûí >
ï > ỵ
D
· x1< <0 x2 Û <P
5) Để hàm số y ax= 3+bx2+cx d+ có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau:
· Tính y¢
· Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến:
0
a ì ¹ í >
(4)· Biến đổi x1-x2 =d thành (x1+x2)2-4x x1 2=d2 (2) · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm
Bài 1. Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó:
a) y x= 3+5x+13 b) 3
x
y= - x + x+ c)
2
x y
x -=
+
d) 2
1
x x
y
x
+
-=
+ e) y=3x-sin(3x+1) f)
2 2 1
x mx
y
x m
-
-=
-Bài 2. Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó:
a) y= - +5x cot(x-1) b) y=cosx x- c) y=sinx-cosx-2 2x
Bài 3. Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó:
a) y x= 3-3mx2+(m+2)x m- b) 2
3
x mx
y= - - x+ c) y x m
x m + =
-
d) y mx x m
+ =
+ e)
2 2 1
x mx
y
x m
-
-=
- f)
2 2 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-Bài 4. Tìm m để hàm số:
a) y x= 3+3x2+mx m+ nghịch biến khoảng có độ dài
b) 2
3
y= x - mx + mx- m+ nghịch biến khoảng có độ dài
c) ( 1) ( 3)
3
y= - x + m- x + m+ x- đồng biến khoảng có độ dài
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a) ( 1) ( 1)
3
x
y= + m+ x - m+ x+ đồng biến khoảng (1; +¥) b) y x= 3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến khoảng (2; +¥) c) y x (m 2)
x m +
= ¹ ±
+ đồng biến khoảng (1; +¥)
d) y x m x m
+ =
- đồng biến khoảng (–1; +¥)
e) 2
2
x mx m
y
x m
- +
=
- đồng biến khoảng (1; +¥)
f) 2
2
x x m
y
x
- - +
=
+ nghịch biến khoảng ;2
ỉ
- +¥
ỗ ữ
(5)VN 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:
· Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc <, ³, £ ) Xét hàm số y = f(x) tập xác định đề định
· Xét dấu f¢ (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến · Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f¢ (x) ta đặt h(x) = f¢ (x) quay lại tiếp tục xét dấu h¢ (x) … xét dấu thơi
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) < f(b) Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a; b)
Bài 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) sin ,
6
x
x- < x x với x< > b) 2sin 1tan ,
3 x+3 x x với> < <x
p
c) tan ,
2
x< x với < <x p d) sin tan ,
2
x+ x> x với < <x p
Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) tan ,
tana a với a bb b< < < <
p b) sin sin , 0
2
a- a b< - b với < < <a b p
c) tan tan ,
2
a- a b< - b với < < <a b p
Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) sin ,
2
x
x> với < <x p
p b)
3
sin ,
6 120
x x x
x- < x x< - + với x>
Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) ex > +1 x với x, >0 b) ln(1+x)<x với x, >0
c) ln(1 ) ln ,
1
x x với x
x
+ - > >
+ d) ( )
2
1+xln x+ 1+x ³ 1+x
Bài 5. Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan 550 >1,4 b) sin 200
3< <20 c) log log 42 >
HD: a) tan 550 =tan(450+10 )0 Xét hàm số ( ) 1
x f x
x + =
- b) Xét hàm số f x( ) 3= x-4x3
f(x) đồng biến khoảng 1; 2
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ vaứ
0 1,sin 20 ,
3 20Ỵ
1 1; 2
ổ
-ỗ ữ
è ø
(6)VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: · Chọn nghiệm x0 phương trình
· Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*)
Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận
Bài 1. Giải phương trình sau:
a) x + x- =5 b) x5+x3- 3- x+ =4
c) x+ x- +5 x+ +7 x+16 14= d) x2+15 3= x- +2 x2+8
Baøi 2. Giải phương trình sau:
a) 5x+ +1 x+ +2 5x+ =3 b) ln(x-4) 5= -x
c) 3x +4x =5x d) 2x+3x +5x =38
Bài 3. Giải bất phương trình sau:
a) x+ +1 35x- +7 47x- +5 513x- <7 b) 2x+ x+ x+ +7 x2+7x <35
Baøi 4. Giải hệ phương trình sau: a)
3
3
3
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
ì + = + +
ï
í + = + +
ï + = + + î
b)
3
3
3
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
ì = + + -ï
í = + +
ï = + + -ỵ
c) 2tan 3 tan5
x y y x
x y
ì - =
-ï
í + =
ïỵ p d)
3
3
3
6 12
6 12
6 12
y x x
z y y
x z z
ì = - +
ï
í = - +
ï = - +
ỵ
(7)I.Khái niệm cực trị hàm số
Giả sử hàm số f xác định tập D (D Ì R) x0 Ỵ D
a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) Ì D x0 Ỵ (a; b) cho f(x) < f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}
Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f
b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) Ì D x0 Ỵ (a; b) cho f(x) > f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}
Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f
c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f
II Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f¢ (x0) =
Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm.
III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0}
a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0
Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0
a) Nếu f¢¢ (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f¢¢ (x0) > f đạt cực tiểu x0
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí · Tìm f¢ (x)
· Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm · Xét dấu f¢ (x) Nếu f¢ (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí
· Tính f¢ (x)
· Giải phương trình f¢ (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) · Tính f¢¢ (x) f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …)
Nếu f¢¢ (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f¢¢ (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi
(8)Bài 1. Tìm cực trị hàm số sau:
a) y=3x2-2x3 b) y = x3-2x2+2x-1 c) 15
y= - x + x - x
d)
2
x
y= -x + e) y x= 4-4x2+5 f)
2
x
y= - +x +
g)
2
x x
y
x
- + +
=
+ h)
2
3
1
x x
y
x
+ +
=
+ i)
2 2 15
3
x x
y
x
-
-=
-Bài 2. Tìm cực trị hàm số sau:
a) y=(x-2) (3 x+1)4 b) 22
2
x x
y
x x
+
-=
+ - c)
2
3 4
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
d) y x x= 2-4 e) y= x2-2x+5 f) y x= + 2x x-
Bài 3. Tìm cực trị hàm số sau:
a) y=3 2x +1 b)
2
x y
x =
+ c)
x x
y e= + e
-d) y x= 2-5x+ +5 lnx e) y x= -4sin2x f) y x= -ln(1+x2)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f¢ (x0) = x0 khơng có đạo hàm 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f¢ (x) đổi dấu x qua x0
Chú ý:
· Hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d+ có cực trị Û Phương trình y¢ = có hai nghiệm phân biệt
Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y x( )0 =ax03+bx02+cx0+d
+ y x( )0 =Ax0+B, Ax + B phần dư phép chia y cho y¢
· Hàm số
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+ =
( ) ( )
P x
Q x (aaÂạ 0) cú cc tr Phng trỡnh y = có hai nghiệm phân biệt khác '
'
b a -
Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách:
0
0 ( ) ( )
( )
P x y x
Q x
= hoặc 0
0 '( ) ( )
'( )
P x y x
Q x =
· Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai
(9)Bài 1. Chứng minh hàm số sau có cực đại, cực tiểu:
a) y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- b) y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 c) y x2 m m( 1)x m4
x m
+ - - +
=
- d)
2 2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
Bài 2. Tìm m để hàm số:
a) y=(m+2)x3+3x2+mx-5 có cực đại, cực tiểu
b) y = x3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x m m- ( -1) có cực đại, cực tiểu c) y x= 3-3mx2+(m2-1)x+2 đạt cực đại x =
d) y= -mx4+2(m-2)x2+ -m có cực đại
x=
e) y x2 2mx x m
- +
=
- đạt cực tiểu x =
f) ( 1)
1
x m x m m
y
x
- + - +
-=
- có cực đại, cực tiểu
g)
1
x x m
y x - + =
- có giá trị cực đại
Bài 3. Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị:
a) y x= 3-3x2+3mx+3m+4 b) y mx= 3+3mx2-(m-1)x-1
c)
3
x mx
y
x
- + +
=
- d)
2 ( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - +
-=
-Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a) y ax= 3+bx2+cx d+ đạt cực tiểu x = đạt cực đại
27 x = 13 b) y ax= 4+bx2+c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x =
c)
1
x bx c
y
x
+ +
=
- đạt cực trị –6 x = –1
d) y ax2 bx ab bx a
+ +
=
+ đạt cực trị x = x =
e) 22
1
ax x b
y
x
+ +
=
+ đạt cực đại x =
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a) y x= 3+2(m-1)x2+(m2-4m+1)x-2(m2+1) đạt cực trị hai điểm x1, x2
cho: 1 2
1
1 1 ( )
2 x x
x +x = +
b)
3
y= x -mx +mx- đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1-x2 ³8
c) ( 1) 3( 2)
3
y= mx - m- x + m- x+ đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho:
1 2
(10)Bài 6. Tìm m để hàm số :
a) 2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- + có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu
b) ( 1)
1
x m x m m
y
x
- + - +
-=
- có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực
tiểu đạt giá trị nhỏ
c)
4
x x m
y
x
- + +
=
- có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M m- =4
d) 2
2
x x m
y
x
+ +
-=
+ có yCĐ-yCT <12
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y= - +x3 mx2-4 có hai điểm cực trị A, B 900 729
m
AB =
b) y x= 4-mx2+4x m+ có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm
c) y x2 mx m x m
+ +
-=
- có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh
hai điểm cực trị ln nằm phía trục hồnh
d)
1
x mx
y
x + =
- có khoảng cách hai điểm cực trị 10
e) 2
1
x mx
y
x
- + +
=
- có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường
thaúng y = 2x
f) y x2 2x m x m
+ + +
=
- có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ
Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y=2x3+mx2-12x-13 có hai điểm cực trị cách trục tung
b) y x= 3-3mx2+4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ
c) y x= 3-3mx2+4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): 3x-2y+ =8
d) (2 1)
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+ có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng
(d): 2x-3y- =1
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số : a) y x2 (m 1)x 2m
x m
- + +
-=
- có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt
phẳng toạ độ
b) 2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+ có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ
(11)c) y mx2 (m2 1)x 4m2 m x m
- + + +
=
- có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ
và điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ
d) (2 1)
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+ có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh (tung)
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+
· Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B · Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì:
1
2 2
( ) ( )
y f x Ax B
y f x Ax B
ì = = +
í = = +
ỵ
Þ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B
2) Hàm số phân thức ( ) ( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
· Giả sử (x0; y0) điểm cực trị 0
0 '( ) '( )
P x y
Q x
=
· Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: '( )
'( )
P x ax b
y
Q x d
+
= =
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y x= 3-2x2- +x b) y=3x2-2x3 c) y x= 3-3x2-6x+8
d) 2
3
x x
y x
- + =
+ e
2 1
2
x x
y x
-=
-Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số:
a) y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- b) y x2 mx x m
+
-=
-
c) y x= 3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x m m- ( -1) d) 2
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
Bài 3. Tìm m để hàm số:
a) y=2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x-1 có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x +
b) y=2x3+3(m-1)x2+6 (1 )m - m x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x
c) y x= 3+mx2+7x+3 có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x –
d) y x= 3-3x2+m x m2 + có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (D):
2
(12)1 Định nghóa:
Giả sử hàm số f xác định miền D (D Ì R) a)
0
( ) ,
max ( ) : ( )
D
f x M x D
M = f x Û í$ Ỵì x ÊD f x" ẻ=M ợ
b)
0
( ) ,
min ( ) : ( )
D
f x m x D
m= f x Û í$ Ỵì x ³D f x" Ỵ =m ỵ
2 Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b]
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), ( ) ( )
a b f x = f b a b f x = f a
b) Nếu hàm số f nghịch biến [a; b]
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), ( ) ( )
a b f x = f a a b f x = f b
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng
· Tính f¢ (x)
· Xét dấu f¢ (x) lập bảng biến thiên · Dựa vào bảng biến thiên để kết luận
Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] · Tính f¢ (x)
· Giải phương trình f¢ (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có) · Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)
· So sánh giá trị vừa tính kết luận
{ 1 2 }
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n a b
M= f x = f a f b f x f x f x
{ 1 2 }
[ ; ]
min ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n a b
m= f x = f a f b f x f x f x
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:
a) y x= 2+4x+3 b) y=4x3-3x4 c) y x= 4+2x2-2
d) y= x2+ -x e) 2
2
x y
x x
-=
- + f)
2
2
1
x x
y
x
+ +
=
+
g) y x2 ( 0)x x
= + > h) 22
1
x x
y
x x
- + =
+ + i)
4
3 ( 0)
x x
y x
x x
+ +
= >
+
Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:
a) y=2x3+3x2-12x+1 treân [–1; 5] b) y=3x x- treân [–2; 3] c) y x= 4-2x2+3 treân [–3; 2] d) y x= 4-2x2+5 treân [–2; 2]
e)
3
x y
x -=
- treân [0; 2] f)
1
x y
x -=
+ treân [0; 4]
III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
(13)g) 7
x x
y
x
+ +
=
+ treân [0; 2] h)
2
1
x x y
x x - + =
+ - treân [0; 1]
i) y= 100-x2 treân [–6; 8] k) y= 2+ +x 4-x
Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:
a) 2sin
sin
x y
x -=
+ b)
1
cos cos
y
x x
=
+ + c)
2
2sin cos
y= x- x+
d) y=cos2x-2sinx-1 e) y=sin3x+cos3x f) 4 21
x y
x x
-=
- +
g) y=4 x2-2x+ +5 x2-2x+3 h) y= -x2+4x+ x2-4x+3
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức
Cách dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số · Chứng minh bất đẳng thức
· Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức
Bài 1. Giả sử D={( ; ; ) /x y z x>0,y>0,z>0,x y z+ + =1} Tìm giá trị lớn biểu thức:
1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
HD: 1
1 1
P
x y z
ỉ
= -ỗ + + ữ
+ + +
è ø
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [( 1) ( 1) ( 1)] 1
1 1
x y z
x y z
ỉ
+ + + + = ỗ + + ữ
+ + +
è ø
Þ P £
4 Dấu “=” xảy Û x = y = z = 3 Vaäy
3
4
D P=
Baøi 2. Cho D = ( ; ) / 0, 0,
x y x y x y
ì ü
> > + =
í ý
ỵ þ Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
4
S
x y
= +
HD: ( ) 1 1 25
4
x x x x y
x x x x y
ổ
+ + + + ỗ + + + + ÷³
è ø Û
4
4( ) 25
4
x y
x y
ổ
+ ỗ + ữ
è ø
Þ S ³ Dấu “=” xaûy Û x = 1, y = 1
4 Vaäy minS =
Bài 3. Cho D = {( ; ) /x y x >0,y>0,x y+ <1} Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
1
x y
P x y
x y x y
= + + + +
- - +
HD: (1 ) (1 ) 2
1
x y
P x y
x y x y
= + + + + + +
- + =
1 1 2
1-x+1-y x y+ + -
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [(1 ) (1 ) ( )] 1
1
x y x y
x y x y
ỉ
- + - + + ỗ + + ữ
- - +
(14)Û 1
1-x+1-y x y+ + ³2
Þ P ³
2 Dấu “=” xảy Û x = y =
3 Vaäy minP =
Bài 4. Cho D = {( ; ) /x y x>0,y>0,x y+ ³4} Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
4
x y
P
x y
+ +
= +
HD: 12
4 8
x y y x y
P
x y
ỉ +
= + + ỗ + + ữ+
ố ứ (1)
Theo bất đẳng thức Cô–si: 1
4
x x
x x
+ ³ = (2)
2
1 3 .
8 8
y y y y
y + + ³ y = (3)
Þ P ³
2 Dấu “=” xảy Û x = y = Vaäy minP = 2
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị
Xét tốn tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) miền D cho trước
Gọi y0 giá trị tuỳ ý f(x) D, hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
( ) (1)
(2)
f x y
x D
ỡ =
ớ ẻ ợ
Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện ấy (sau biến đổi) có dạng: m £ y0£ M (3)
Vì y0 giá trị f(x) nên từ (3) ta suy được:
( ) ; max ( )
D f x =m D f x =M
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau:
a) 22
1
x x
y
x x
+ + =
- + b)
2
2 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ + c)
2sin cos
sin cos
x x
y
x x
+ +
=
- +
d) 2sin cos
2 cos sin
x x
y
x x
+ +
=
- +
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D có min ( ) ; max ( )
D f x =m D f x =M Khi đó:
1) Hệ phương trình f x( ) x D
ỡ =
ớ ẻ ợ
a có nghiệm Û m £a£ M 2) Hệ bất phương trình f x( )
x D
ỡ
ớ ẻ ợ
a coự nghieọm Û M ³a 3) Hệ bất phương trình f x( )
x D
ì £
ớ ẻ ợ
(15)4) Bt phng trình f(x) ³a với x Û m ³a 5) Bất phương trình f(x) £b với x Û M £b
Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 4x- +2 44- =x b) 3x +5x =6x+2 c) (1 )5 16
x + -x =
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) x+ 2x2+ =1 m b) 2- +x 2+ -x (2-x)(2+x)=m
c) 3+ +x 6- -x (3+x)(6-x)=m d) 7- +x 2+ -x (7-x)(2+x)=m
Bài 3. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x Ỵ R:
a) x+ 2x2+ >1 m b) m 2x2+ < +9 x m c) mx4-4x m+ ³0
Bài 4. Cho bất phương trình: x3-2x2+ - + <x m a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2]
Bài 5. Tìm m để bất phương trình sau:
(16)1 Định nghóa:
Điểm U x f x( 0; ( )0 ) đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a; x0) (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị cịn khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị
2 Tính chất:
· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f¢¢(x0) = f¢¢(x) đổi dấu x qua x0 U x f x( 0; ( )0 ) điểm uốn đồ thị hàm số
· Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d+ (a ¹ 0) ln có điểm uốn tâm đối xứng đồ thị
Bài 1. Tìm điểm uốn đồ thị hàm số sau:
a) y x= 3-6x2+3x+2 b) y x= 3-3x2-9x+9 c) y x= 4-6x2+3
d) 2
4
x
y= - x + e) y x= 4-12x3+48x2+10 f) y=3x5-5x4+3x-2
Bài 2. Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra:
a) y x= 3-3x2+3mx+3m+4; I(1; 2) b) ( 1) ( 3)
3
x
y= - + m- x + m+ x- ; I(1; 3) c) y mx= 3+nx2+1; I(1; 4) d) y x= 3-mx2+nx-2; ;
3
Iổỗ - ö÷
è ø
e) y x3 3mx2
m
= - + - ; I(1; 0) f) y mx= 3+3mx2+4; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số sau có điểm uốn:
a) 4 (4 3)
5
x
y= - x + m+ x + x- b) 2
1
x mx
y x
+
-=
+
Bài 4. Chứng minh đồ thị hàm số sau có điểm uốn thẳng hàng:
a) 22
1
x y
x x
+ =
+ + b)
1
x y
x + =
+ c)
2
2
1
x x
y x
-=
+
d) 22 1
x y
x + =
+ e)
x y
x =
+ f)
2
2
1
x x
y
x x
+ +
=
- +
g) 22
3
x x
y
x x
-=
- + h)
2
3
x x
y x
+ =
+ i)
3
2 4 5
x y
x x
=
- +
Bài 5. Tìm m, n để đồ thị hàm số:
a) y x= 4-2x3-6x2+mx+2m-1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2)
b) 2
3
x
y= - -x +mx+ có điểm uốn đường thẳng y x= +2
c)
4
y= - x +mx +n có điểm uốn Ox
(17)1 Định nghóa:
· Đường thẳng x x= 0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x= ( ) điều kiện sau thoả mãn:
0
lim ( )
x x® + f x = +¥;
0
lim ( )
x xđ + f x = -Ơ;
0
lim ( )
x x® - f x = +¥;
0
lim ( ) x xđ - f x = -Ơ Ã ng thng y y= 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x= ( ) điều kiện sau thoả mãn:
lim ( ) 0
xđ+Ơf x =y ; xlim ( )đ-Ơf x =y0
à ng thng y ax b a= + , ¹0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x= ( ) điều kiện sau thoả mãn:
lim [ ( ) ( )]
xđ+Ơ f x - ax b+ = ; xđ-Ơlim [f x( ) (- ax b+ )]=0
2 Chú ý:
a) Nếu ( ) ( )
( )
P x y f x
Q x
= = hàm số phân thức hữu tỷ
· Nếu Q(x) = có nghiệm x0 đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0
· Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) đồ thị có tiệm cận ngang
· Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + đồ thị có tiệm cận xiên
b) Để xác định hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau:
lim ( ); lim [ ( ) ]
x x
f x
a b f x ax
x
đ+Ơ đ+Ơ
= =
-hoc lim ( ); lim [ ( ) ]
x x
f x
a b f x ax
x
đ-Ơ đ-Ơ
= =
-Bi 1. Tỡm tiệm cận đồ thị hàm số sau:
a)
1 x y x -= - b) 10 x y x + =
- c)
2 x y x + =
-d)
1 x x y x - + = + e) ( 2) x y x -= - f)
7
2 x x y x + + =
-Bài 2. Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau:
a) 2
4
x y
x x
=
- + b)
2 x y x + =
- c)
2 x x y x + + =
-d) 22 3 x x y x x + + =
+ + e)
3 1 x x y x + + = + f) 4 x x y x - + =
-Bài 3. Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y= x2-4x b)
2 x y x + =
- c)
1 y x x = - +
(18)d) 1 x y x x -=
+ e)
33
y= x -x f)
2 x x y x - + =
-Bài 4. Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau:
a)
2
x x
y= +
- b) ln
x x
e e
y= - - c) y=ln(x2-5x+6)
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số sau có hai tiệm cận đứng:
a) 2
2
y
x mx m
=
+ + - b)
2
2
3 2( 1)
x y
x m x
+ =
+ + + c)
3
x y
x x m
+ =
+ +
-Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận xiên:
a) (3 2)
5
x m x m
y
x
+ + +
-=
+ b)
2 (2 1) 3
2
mx m x m
y
x
+ + + +
=
+
Bài 7. Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau chắn hai trục toạ độ:
a)
1 x x y x + + = - b) x x y x - + -=
+ c)
2 7 x x y x + -=
-Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S ra:
a)
1 x mx y x + -=
- ; S = b)
2 (2 1) 2 3
1
x m x m
y
x
+ - - +
=
+ ; S =
c) 2 2(2 1)
1
x m x m
y
x
+ + +
-=
+ ; S = 16 d)
2 2 x mx y x + -=
- ; S =
Bài 9. Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến hai tiệm cận số:
a)
1 x x y x - + =
- b)
2
2
3 x x y x + -=
+ c)
(19)-1 Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
· Tìm tập xác định hàm số
· Xét biến thiên hàm số: + Tính y¢
+ Tìm điểm đạo hàm y¢ khơng xác định
+ Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số
· Vẽ đồ thị hàm số:
+ Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y¢¢
– Tìm điểm y¢¢ = xét dấu y¢¢ + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thị
+ Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị
2 Hàm số bậc ba yy ax= 3+bx2+cx d a+ ( ¹0):
· Tập xác định R = R
· Đồ thị ln có điểm uốn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
· Các dạng đồ thị:
a > a <
y’ = có nghiệm phân biệt
ÛD’ = b2 – 3ac >
y’ = có nghiệm kép
ÛD’ = b2 – 3ac =
y’ = vô nghiệm
ÛD’ = b2 – 3ac < 0 y
x 0
I y
x 0
I
y
x 0 I
y
x 0
I y
x 0
I
VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ
y
x 0
(20)3 Hàm số trùng phương y ax= 4+bx2+c a( ¹0):
· Tập xác định D = R
· Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
· Các dạng đồ thị:
4 Hàm số bieán y ax b (c 0,ad bc 0)
cx d +
= ¹ - ¹
+ :
· Tập xác định D = \R d c
ì ü
-í ý
ỵ þ
· Đồ thị có tiệm cận đứng x d c
= - tiệm cận ngang y a c
= Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số
· Các dạng đồ thị:
5 Hàm số hữu tỷ ( ' 0, )
' '
ax bx c
y a a tử không chia hết cho mẫu
a x b
+ +
= ¹
+ :
· Tập xác định D = \ ' '
b R
a ì- ỹ
ớ ý
ợ ỵ
à thị có tiệm cận đứng ' '
b x
a
= - tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số
a > a <
y’ = có nghiệm phân biệt
Û ab <
y’ = có nghiệm
Û ab >
y
x 0
y
x 0
y
x 0
y
x 0
0
ad – bc > x y
0
(21)· Các dạng đồ thị:
a.a¢ > a.a¢ <
y¢ = có nghiệm phân biệt
y¢ = vô nghiệm
Bài 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
a) y x= 3-3x2-9x+1 b) y x= 3+3x2+3x+5 c) y= - +x3 3x2-2 d) y=(x-1) (42 -x) e)
3
x
y= -x + f) y= - -x3 3x2-4x+2
Bài 2. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
a) y x= 4-2x2-1 b) y x= 4-4x2+1 c)
2
x
y= - x +
d) y=(x-1) (2 x+1)2 e) y= -x4+2x2+2 f) y= -2x4+4x2+8
Bài 3. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
a)
2 x y x + = + b) 1 x y x + =
- c)
3 x y x -=
-d)
1 x y x -= + e) 3 x y x -=
- f)
2 x y x -= +
Bài 4. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
a)
1 x x y x + + =
+ b)
2 2 x x y x + + =
- c)
2 2 x x y x + -= +
d) 1
1 y x x = - + + - e) x y x =
- f)
2 2 x x y x -= +
Bài 5. Vẽ đồ thị hàm số:
a) y x= 3-3 x +2 b) y= - +x3 3x2-2 c) y x= 4-2x2-3
d)
1 x y x + = - e) 2 x x y x - + = - f)
2 3 3
2 x x y x + + = +
0 x
y
0 x
y
y
0 x 0 x
(22)1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị
2. Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d a+ ( ¹0) cắt trục hồnh điểm phân biệt
Û Phương trình ax3+bx2+cx d+ =0 có nghiệm phân biệt
Û Hàm số y ax= 3+bx2+cx d+ có cực đại, cực tiểu yCĐ CT.y <0
Bài 1. Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số sau: a) 3 2 2 x y x x y ì = - + -ïï í ï = + ïỵ b) 2 4 x y x
y x x
ì =
-ï
í
-ï = - + + ỵ
c) 3
2
y x x
y x
ì =
-í = - +
ỵ
d) 42
4
y x x
y x ìï = - + í = -ïỵ e)
2 1 10
y x x x
y x x
ìï = - +
-í
= - +
ïỵ f)
2 x y x y x ì ï = í -ï = - + ỵ
Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm đồ thị hàm số sau:
a) 3
( 2)
y x x
y m x ì = - +
í =
-ỵ b)
3 2 13 12 x x y x
y m x ì = + -ïï ổ ử ù = ỗ + ữ+ ù ố ø ỵ c) 3 ( 3) x y x
y m x ì ï = - + í ï = -ỵ
d) 21
2
x y
x
y x m
ì +
ï =
í +
ï = +
ỵ
e) 11
2
x y
x
y x m
ì + ï = í -ï = - + ỵ f)
2 6 3
2
x x
y x y x m
ì - +
ï =
í +
ï = -ỵ
g) 11
3 y x x y mx ìï = - + + í -ï = + î h)
2 3 3
2
4
x x
y x
y mx m
ì - +
ï =
í
-ï = -
-ỵ
i) 32
( 1)
y x x
y m x
ìï = + +
í
=
-ïỵ
Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số:
a) ( 2)2 1;
2
x
y y mx
x
+
-= = +
+ cắt hai điểm phân biệt
b) 2 ;
1
x x m
y y x m
x
- +
= = +
- cắt hai điểm phân biệt
c) ;
1
mx x m
y y mx
x + +
= = +
- cắt hai điểm có hồnh độ trái dấu
d) ;
2
x x
y y mx
x
+ +
= = +
+ cắt hai điểm có hồnh độ trái dấu
e) ( 2) ;2
1
x
y y mx
x
-= = +
- caét hai điểm thuộc hai nhánh khác
(23)f)
mx x m
y
x + + =
- cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ dương
Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số:
a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= - +x cắt ba điểm phân biệt b) y mx= 3+3mx2- -(1 )m x-1 cắt trục hoành ba điểm phân biệt c) y=(x-1)(x2-mx m+ 2-3) cắt trục hoành ba điểm phân biệt
d) y x= 3+2x2-2x+2m-1; y=2x2- +x cắt ba điểm phân biệt e) y x= 3+2x2-m x2 +3 ;m y=2x2+1 cắt ba điểm phân biệt
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số:
a) y x= 4-2x2-1; y m= cắt bốn điểm phân biệt
b) y x= 4-m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt c) y x= 4-(2m-3)x2+m2-3m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số:
a) 1;
4
x
y y x m
x +
= = +
- cắt hai điểm phân biệt A, B Khi tìm m để đoạn
AB ngắn
b) 1;
2
x
y y x m
x
-= = - +
- cắt hai điểm phân biệt A, B Khi tìm m để đoạn
AB ngắn
c) 2 ; 2
2
x x
y y mx m
x
- +
= = +
cắt hai điểm phân biệt A, B Khi tính
AB theo m
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số:
a) y x= 3-3mx2+6mx-8 cắt trục hồnh ba điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng
b) y x= 3-3x2-9x+1; y=4x m+ cắt ba điểm A, B, C với B trung điểm đoạn AC
c) y x= 4-(2m+4)x2+m2 cắt trục hồnh bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng
d) y x= 3-(m+1)x2-(m-1)x+2m-1 cắt trục hồnh ba điểm có hoành độ lập thành cấp số nhân
(24)2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
· Cơ sở phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm phương trình (1) = Số giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) Nghiệm phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) · Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) đồ thị ta biến đổi (*)
một daïng sau:
Dạng 1: F(x, m) = Û f(x) = m (1) Khi (1) xem phương trình hồnh độ giao điểm hai đường:
(C): y = f(x) d: y = m
· d đường thẳng phương với trục hoành
· Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm (C) d Từ suy số nghiệm (1)
Dạng 2: F(x, m) = Û f(x) = g(m) (2)
Thực tương tự trên, đặt g(m) = k Biện luận theo k, sau biện luận theo m
Daïng 3: F(x, m) = Û f(x) = kx + m (3)
(k: khơng đổi)
Khi (3) xem phương trình hồnh độ giao điểm hai đường:
(C): y = f(x) d: y = kx + m
· Vì d có hệ số góc k không đổi nên d phương với đường thẳng y = kx cắt trục tung điểm A(0; m)
· Viết phương trình tiếp tuyến d1, d2, … (C) có hệ số góc k
· Dựa vào tung độ gốc b, b1, b2, … d, d1, d2, … để biện luận
Dạng 4: F(x, m) = Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4) Khi (4) xem phương trình
hồnh độ giao điểm hai đường: (C): y = f(x)
d: y = m(x – x0) + y0
· d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)
· Viết phương trình tiếp tuyến d1, d2, … (C) ñi qua M0
· Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận
Chú ý:
· Nếu F(x, m) = có nghiệm thoả điều kiện: a£ x £b ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) với a£ x £b
· Nếu có đặt ẩn số phụ ta tìm điều kiện ẩn số phụ, sau biện luận theo m
y
x
m A
(C)
c.(d) : y = m
c
yCÑ
yCT
xA
y
x A
y = kx
c
m (C)
M1
M2
b1
b2
d1
d d2
O
y
x0
d3
d1 y0
0
(C)
c
M1
M2
d2
m = –¥
m = +¥
m > 0 m = 0 m < 0 d
I
IV
(–) (+)
M
(25)VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị
Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) ta biến đổi (*) dạng trên, lưu ý y = f(x) hàm số khảo sát vẽ đồ thị
Bài 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) y x= 3-3x+1; x3-3x+ - =1 m b) y= - +x3 3x-1; x3-3x m+ + =1 c) y x= 3-3x+1; x3-3x m- 2-2m- =2 d) y= - +x3 3x-1; x3-3x m+ + =4
e) 2 2; 4
2
x
y= - + x + x - x - + m= f) y x= 4-2x2+2; x4-2x2- + =m
Bài 2. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) ; ( 5)
3
x x
y x m x m
x
- +
= - + + + =
-b) 2 ; 2 2( 2)
2
x x
y x m x m
x
- +
= - + - + =
+
c) y x2 1; (m 1)x2 2x
x +
= - + - =
d) 2 ; 2( 1) 4( 1)
2
x x
y x m x m
x
- +
= - + + + =
-Bài 3. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) 2 ; 2sin2 cos (0 )
2
x
y m m
x
= + - - = £ £
- a a a p
b) 2 ; cos2 ( 3)cos (0 )
2
x x
y m m
x
-= - + + + = £ £
- a a a p
c) 3; cos2 (3 )cos (0 )
2
x x
y m m
x
+ +
= + - + - = £ £
+ a a a p
d) y x= 3-3x2+6; cos3x-3cos2x+ - =6 m
Bài 4. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) ; (3 7)2
3
t t
x x
y m m
x
+
= + + = +
-b) 1; ( 1)2
1 t t
x x
y m m
x
+
-= + - =
-c) 2 ; 2 (5 )
1
t t
x x
y e m e m
x
- +
= - + + + =
-d) y x2 5x ; e2t (5 m e) t
x
- +
= - + + =
Bài 5. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Từ đồ thị (C) suy đồ thị (T) Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
a) ( ) : 6; ( ) : ;
1 1
x x x x x x
C y T y m
x x x
- + - + - +
= = - =
(26)-b) ( ) :C y x2 5x 4; ( ) :T y x2 5x ; x2 5x m
x x x
- + - + - +
= = - + =
c) ( ) :C y x= 3-3x2+6; ( ) :T y x= 3-3x2+6 ; x3-3x2+ - + =6 m
d) ( ) :C y=2x3-9x2+12x-4; ( ) :T y=2 x3-9x2+12 x -4; 2x3-9x2+12 x m+ =0 e) ( ) :C y=(x+1) (22 -x T y); ( ) : =(x+1) 22 -x x;( +1) 22 - =x (m+1) (22 -m)
f) ( ) :C y x2 1; ( ) :T y x2 1; (m 1)x2 x
x x
+ +
= = - + - =
Bài 6. Cho hàm số ( )
x y f x
x +
= =
-
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng x-3y=0 c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình:
3x2-(m+2)x m+ + =2
Bài 7. Cho hàm số ( ) 1
x y f x
x +
= =
-
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng x-2y=0 c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình:
2x2-(m+1)x m+ + =1
Baøi 8. Cho hàm số ( )
x y f x
x
= =
-
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(0; 1) c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: (1-m x) 2- -(1 m x) + =1
VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm phương trình bậc ba đồ thị
Cơ sở phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx d+ =0(a ¹ 0) (1) Gọi (C) đồ thị hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+
Số nghiệm (1) = Số giao điểm (C) với trục hoành Dạng 1: Biện luận số nghiệm phương trình bậc 3
·Trường hợp 1: (1) có nghiệm Û (C) Ox có điểm chung Û ( )( )
CÑ CT
f khơng có cực trị h a
f có cực trị h b
y y
é êì
êí <
êỵ ë (C)
A
x0 O x
y
(h.1a)
(C)
A
x0 x
y
(h.1b) x1 o x2
yCT
(27)·Trường hợp 2: (1) có nghiệm Û (C) tiếp xúc với Ox
Û . 0 ( 2)
CĐ CT
f có cực trị h
y y
ì
í =
ỵ
·Trường hợp 3: (1) có nghiệm phân biệt Û (C) cắt Ox điểm phân biệt
Û . 0 ( 3)
CĐ CT
f có cực trị h
y y
ì
í <
ỵ
Dạng 2: Phương trình bậc ba có nghiệm dấu ·Trường hợp 1: (1) có nghiệm dương phân biệt
Û (C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương
Û
2
0,
(0) ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trị
y y
x x
a f hay ad
ì
ï <
ï
í > >
ï
< <
ïỵ
·Trường hợp 2: (1) có nghiệm có âm phân biệt
Û (C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ âm
Û
2
0,
(0) ( 0)
CÑ CT
CĐ CT
f có cực trị
y y
x x
a f hay ad
ì
ï <
ï
í < <
ï
> >
ïỵ x1
xA xB xC
C (C) yCÑ
y
A
o x2 x
a >
yCT
B
f(0)
x1
xA xB xC
C
(C) yCÑ
y
A
o x2 x
a <
yCT
B f(0)
x"0
C x1
(C) yCÑ
y
A
o x2 x
(H.3) yCÑ
x0 x'0
B (C)
yCÑ
y
A x0 o x1
B x'0
(yCT = f(x0) = 0)
x (H.2)
x1
xA xB xC
C (C) yCÑ
y
A
o x2
x a >
yCT
B
f(0)
xC
x2
x1
xA xB
C (C)
yCÑ
y
A
o x
a <
yCT
B
(28)Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) 2x3-3(m+1)x2+6mx- =2 b) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m=0 c) 2x3-3mx2+6(m-1)x-3m+12 0= d) x3-6x2-3(m-4)x+4m- =8 e) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - =2 m f) x3-3mx+2m=0
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2 (2m m- =1) b) x3-3mx+2m=0 c) x3-(2m+1)x2+(3m+1)x m-( + =1) d) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m=0
Bài 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
a) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- =1) b) x3-6x2-3(m-4)x+4m- =8 c) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - =2 m d)
3x - + =x m
Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương phân biệt:
a) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- =1) b) x3-6x2-3(m-4)x+4m- =8
c)
3x -2x + x m+ + =6 d)
3 (2 1) 2 0
x -mx + m+ x m- - =
Bài 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm phân biệt:
(29)3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
1. Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M x f x0( 0; ( )0 )
Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M x f x0( 0; ( )0 ) là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
2. Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:
ìíf xf x'( )( )=g xg x( )'( )
=
ỵ (*)
Nghiệm hệ (*) hoành độ tiếp điểm hai đường
3. Nếu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c
(C1) (C2) tiếp xúc Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x)
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y =f(x) điểm M x y : 0( 0 0; )
· Nếu cho x0 tìm y0 = f(x0)
Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f(x) = y0 · Tính y¢ = f¢ (x0) Suy y¢(x0) = f¢ (x0)
· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
· Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Tính f¢ (x0) ·D có hệ số góc k ị f (x0) = k (1)
à Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 = f(x0) Từ viết phương trình D Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m
·D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: ìíf xf x( )'( )=kx mk +
=
ỵ (*)
· Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình D
Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến D cho gián tiếp sau: + D tạo với chiều dương trục hồnh góc a k = tana
+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b k = a
+ D vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) k = a -+ D tạo với đường thẳng d: y = ax + b góc a tan
1
k a ka
- =
+ a
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D (C): y = f(x), biết Dđi qua điểm A x y ( ; )A A
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm
· Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0) · Phương trình tiếp tuyến D M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
(30)Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
· Phương trình đường thẳng D qua A x y có hệ số góc k: y – y( ; )A A A = k(x – xA) ·D tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) A A
f x k x x y
f x k
ì = - +
í =
ỵ (*)
· Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến D
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra:
a) (C):y=3x3-x2-7x+1 taïi A(0; 1) b) (C):y x= 4-2x2+1 taïi B(1; 0)
c) (C):
2
x y
x + =
- taïi C(1; –7) d) (C):
2
2
y x
x = +
taïi D(0; 3)
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm ra:
a) (C): 3
2
x x
y x
- +
=
- điểm A có xA =
b) (C): 3( 2)
x y
x -=
- điểm B coù yB =
c) (C):
2
x y
x + =
- giao điểm (C) với trục hoành, trục tung
d) (C):y=2x- 2x2+1 giao điểm (C) với trục hoành, trục tung e) (C): y x= 3-3x+1 điểm uốn (C)
f) (C): 2
4
y= x - x - giao điểm (C) với trục hồnh
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường ra:
a) (C):y=2x3-3x2+9x-4 vaø d: y=7x+4
b) (C):y=2x3-3x2+9x-4 vaø (P): y= -x2+8x-3 c) (C):y=2x3-3x2+9x-4 vaø (C’): y x= 3-4x2+6x-7
Bài 9. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ tiếp tuyến đồ thị (C) điểm ra:
a) (C): 11
2
x y
x + =
- điểm A có xA =
b) (C):y= x2-7x+26 điểm B có xB =
Bài 10.Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C) điểm chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước:
a) (C):
x m y
x + =
- điểm A có xA = S = 12
b) (C):
2
x m
y x
-=
+ điểm B có xB = –1 S = 92 c) (C):y x= 3+ -1 m x( +1) điểm C có xC = S =
Bài 11.Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D có hệ số góc k ra: a) (C):y=2x3-2x2+5; k = 12 b) (C):
2
x y
x -=
(31)c) (C): x x y x - + =
- ; k = –1 d) (C):
2 4 3
y= x - x+ ; k =
Bài 12.Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C): 2
3
x
y= - x + x+ ; d: y = 3x + b) (C): 2 x y x -=
- ; d:
3 2
4
y= - x+
c) (C): 2
4 x x y x - -=
+ ; d: 2x y+ - =5 d) (C):
4
1 3
2
y= x - x + ; d: y = –4x +
Bài 13.Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D vng góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C): 2
3
x
y= - x + x+ ; d:
8
x
y= - + b) (C):
2 x y x -=
- ; d: y x=
c) (C):
1 x y x + =
+ ; d: y = –3x d) (C):
2 1 x x y x + -=
+ ; d: x –
Bài 14.Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:
a) (C): 2 4; 600
3
x
y= - x + -x a = b) (C): 2 4; 750
3
x
y= - x + -x a =
c) ( ) : 2; 450 x C y x -= = - a
Bài 15.Viết phương trình tiếp tuyến D (C), biết D tạo với đường thẳng d góc a:
a) (C): 2 4; : 7; 450
3
x
y= - x + -x d y= x+ a =
b) (C): 2 4; : 3; 300
3
x
y= - x + -x d y= - x+ a =
c) ( ) : 3; : ; 450
x
C y d y x
x
-= = =
- a
d) ( ) : ; : ; 600
2
x
C y d y x
x
-= = - =
- + a
e) ( ) : 3; : 1; 600
2
x x
C y d y x
x - +
= = - + =
- a
Bài 16.Tìm m để tiếp tuyến D (C) điểm vng góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C): (2 1)
1
x m x m
y
x
+ + - +
=
+ điểm A có xA = d tiệm cận xiên (C)
b) (C): 2
3 x mx y x + -=
- ; điểm B có xB = d: x – 12y + =
Bài 17.Tìm m để tiếp tuyến D (C) điểm song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C):y (3m 1)x m2 m (m 0)
x m
+ - +
= ¹
+ điểm A có yA = vaø d: y x= -10
(32)c) (C):y=(2-x2)2; C(0; 4) d) (C): 3
2
y= x - x + ; 0;3
2
Dổỗ ửữ
ố ứ
e) (C):
2
x y
x + =
- ; E(–6; 5) f) (C):
3
1
x y
x + =
- ; F(2; 3)
g) (C): 3
2
x x
y
x
- +
=
- ; G(1; 0) h)
2 2
1
x x
y x
- + =
- ; H(2; 2)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1. Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:
ìíf xf x'( )( )=g xg x( )'( ) =
ỵ (*)
Nghiệm hệ (*) hoành độ tiếp điểm hai đường 2. Nếu (C1): y = px + q (C2): y = ax2 + bx + c
(C1) (C2) tiếp xúc Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép
Bài 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) ( ) :C1 y x= 3+ +(3 m x) 2+mx+2; ( ) :C2 trục hoành b) ( ) :C1 y x= 3-2x2-(m-1)x m C+ ; ( ) :2 trục hoành
c) ( ) :C1 y x= 3+m x( + +1) 1; ( ) :C2 y x= +1 d) ( ) :C1 y x= 3+2x2+2x-1; ( ) :C2 y x m= +
Bài 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) ( ) :C1 y x= 4+2x2+1; ( ) :C2 y=2mx2+m
b) ( ) :C1 y= -x4+x2-1; ( ) :C2 y= -x2+m
c) ( ) :1 2 9; ( ) :2
4
C y= - x + x + C y= -x +m
d) ( ) :C1 y=(x+1) (2 x-1) ; ( ) :2 C2 y=2x2+m
e) ( ) :1 (2 1) 2; ( ) :2
m x m
C y C y x
x
-
-= =
-f) ( ) :1 1; ( ) :2
x x
C y C y x m
x - +
= = +
-VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1): y = f(x) C2): y = g(x)
1 Goïi D: y = ax + b tiếp tuyến chung (C1) (C2)
u hoành độ tiếp điểm D (C1), v hoành độ tiếp điểm D (C2) ·D tiếp xúc với (C=1) (C2) hệ sau có nghiệm:
( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)
f u au b
f u a
g v av b
g v a
ì = +
ïï =
í = +
(33)· T (2) v (4) ị f (u) = g (v) Þ u = h(v) (5) · Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6)
· Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b Từ viết phương trình D
2. Nếu (C1) (C2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến chung (C1) và (C2) tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị: a) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2+5x-11
b) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2- -x 14 c) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y x= 3+3x-10
VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) cho tiếp tuyến (C) song song vng góc với đường thẳng d cho trước
· Gọi M(x0; y0) Ỵ (C) D tiếp tuyến (C) M Tính f¢ (x0)
· Vì D // d nên f¢ (x0) = kd (1)
D^ d nên f¢ (x0) =
d
k
- (2)
· Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từ tìm M(x0; y0) Ỵ (C)
Bài 1. Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
1
x x
y
x
+ +
=
+ ; d:
1
y= x
b) (C):
1
x x
y x
+ + =
+ ; d tiệm cận xiên (C)
c) (C):
1
x x
y x
+ -=
- ; d đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C)
d) (C):y x2 x x - +
= ; d: y = x
Bài 2. Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C):y x= 3+x2+ +x 10; d: y=2x b) (C):y x2 x x - +
= ; d: y = –x
VẤN ĐỀ 5: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = M(xM; yM) Ỵ d
· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM ·D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) M M (2)
f x k x x y
f x k
ì = - +
í =
ỵ
(34)Bài 1. Tìm điểm đồ thị (C) mà từ vẽ đúng một tiếp tuyến với (C): a) ( ) :C y= - +x3 3x2-2 b) ( ) :C y x= 3-3x+1
Bài 2. Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ đúng một tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :
1
x C y
x + =
- ; d trục tung b)
2 2
( ) :
1
x x
C y x
+ + =
- ; d trục hoành
c) ( ) : 2
x x
C y x
+ =
+ ; d: y = d)
2 3 3
( ) :
2
x x
C y x
+ +
=
+ ; d: x =
e) ( ) :
1
x C y
x + =
- ; d: y = 2x +
Bài 3. Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ ít một tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :
2
x x
C y
x
- +
=
- + ; d laø truïc tung b)
2 3 3
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+ ; d trục tung
c) ( ) : 2
x C y
x + =
- ; d: x = d)
3
( ) :
4
x C y
x + =
- ; d: y =
Bài 4. Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (C):
a) ( ) : 2
2
x x
C y x
+ -=
+ ; d trục hoành b)
2 1
( ) :
1
x x
C y x
-=
+ ; d trục tung
c) ( ) : 3
x x
C y x
+ +
=
+ ; d: y = –5
Bài 5. Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ ba tiếp tuyến với (C): a) ( ) :C y= - +x3 3x2-2; d: y = b) ( ) :C y x= 3-3x; d: x =
c) ( ) :C y= - +x3 3x+2; d trục hoành d) ( ) :C y x= 3-12x+12; d: y = –4 e) ( ) :C y x= 4-x2-2; d trục tung e) ( ) :C y= -x4+2x2-1; d trục tung
Bài 6. Từ điểm A kẻ tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :C y x= 3-9x2+17x+2; A(–2; 5) b) ( ) : 2 4; 4;
3
C y= x - x + x+ Aổỗ ửữ
ố ứ
c) ( ) :C y=2x3+3x2-5; (1; 4)A
-Bài 7. Từ điểm đường thẳng d kẻ tiếp tuyến với (C): a) ( ) :C y x= 3-6x2+9x-1; d: x = b) ( ) :C y x= 3-3x; d: x =
VẤN ĐỀ 6: Tìm điểm mà từ vẽ
2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tiếp tuyến vng góc với
Gọi M(xM; yM)
· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM ·D tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) M M (2)
f x k x x y
f x k
ì = - +
í =
ỵ
· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3)
· Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) Û (3) có nghiệm phân biệt x1, x2 · Hai tiếp tuyến vng góc với Û f¢ (x1).f¢ (x2) = –1
(35)Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh
1
(3)
( ) ( ) 0có nghiệm phân biệt
f x f x ì
í <
ỵ
Bài 1. Chứng minh từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến với (C) vng góc với Viết phương trình tiếp tuyến đó:
a)( ) : 2 1; 0;
4
C y= x - x+ Aổỗ - ửữ
ố ø b)
2 1
( ) : ; (1; 1)
1
x x
C y A
x + +
=
-+
c) ( ) : 2 2; (1;0)
x x
C y A
x
+ +
=
+ d)
Bài 2. Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (C) vng góc với nhau:
a) ( ) :C y x= 3-3x2+2; d: y = –2 b) ( ) :C y x= 3+3x2; d trục hoành c) ( ) : 2
1
x x
C y
x + + =
+ ; d trục tung d)
2 2 1
( ) :
1
x x
C y
x
- +
=
- ; d trục tung
e) ( ) :C y x2 3x x
- +
= ; d: x =
Bài 3. Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến với (C) vng góc với nhau:
a) ( ) : 2
x x m
C y
x m
- +
-=
+ ; d: y = –1 b)
2 8
( ) :C y x mx x m
+
-=
- ; d trục hoành
c) ( ) :C y x2 2mx m x m
- +
=
+ ; d trục hồnh
Bài 4. Tìm m để từ điểm A kẻ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh;
a) ( ) : 2; (0; )
x
C y A m
x + =
- b)
VẤN ĐỀ 7: Các toán khác tiếp tuyến
Bài 1. Cho hypebol (H) điểm M thuộc (H) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A vaø B
1) Chứng minh M trung điểm đoạn AB 2) Chứng minh diện tích DIAB số 3) Tìm điểm M để chu vi DIAB nhỏ
a) ( ) : 1
x H y
x -=
- b)
1 ( ) :
1
x H y
x + =
- c)
4
( ) :
2
x H y
x -=
- +
Baøi 2. Cho hypebol (H) điểm M thuộc (H) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B
1) Chứng minh M trung điểm đoạn AB
2) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận không đổi 2) Chứng minh diện tích DIAB số
(36)a) ( ) :
2
x x
H y
x
- +
=
- b)
2 3 3
( ) :
1
x x
H y
x
- +
=
- c)
2 2 2
( ) :
1
x x
H y
x
+ +
=
+
Bài 3. Tìm m để tiếp tuyến điểm M thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích S:
a) ( ) :H y 2mx 3; S
x m +
= =
-Bài 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tiếp tuyến cắt trục toạ độ điểm A, B cho DOAB vuông cân:
a) ( ) :
1
x x
H y x
+ + =
- b)
2
2
( ) :
2
x x
H y x
+ =
+ c)
2 3 3
( ) :
2
x x
H y
x
+ +
= +
Baøi 5. Cho (C): 2 1
x x
y
x - + =
- Chứng minh đường thẳng d: y = có điểm
cho từ điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với góc 450
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S cho trước:
a) ( ) :C y x 1;S
x
= + = b) ( ) : 1;
2
x
C y S
x +
(37)4 HỌ ĐỒ THỊ
Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m tham số)
M(x0; y0) Ỵ (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1)
Xem (1) phương trình theo aån m
Tuỳ theo số nghiệm (1) ta suy số đồ thị họ (Cm) qua M
· Nếu (1) nghiệm với m đồ thị họ (Cm) qua M Khi đó, M gọi điểm cố định họ (Cm)
· Nếu (1) có n nghiệm phân biệt có n đồ thị họ (Cm) qua M
· Nếu (1) vô nghiệm khơng có đồ thị họ (Cm) qua M
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) Cách 1:
· Gọi M(x0; y0) điểm cố định (nếu có) họ (Cm)
M(x0; y0) Ỵ (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Biến đổi (1) dạng sau:
· Daïng 1: (1) Û Am + B = 0, "m · Daïng 2: (1) Û Am2+Bm C+ =0, "m Û ì =í =AB 00
ỵ (2a) Û
0 0
A B C ì = ï
= í ï = ỵ
(2b) · Giải hệ (2a) (2b) ta tìm toạ độ (x0; y0) điểm cố định
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) hệ phương trình có ẩn x0, y0 Cách 2:
· Gọi M(x0; y0) điểm cố định (nếu có) họ (Cm)
M(x0; y0) Ỵ (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Đặt F(m) = f(x0, m) F(m) = y0 khụng i
ị FÂ (m) = (3)
· Giải (3) tìm x0 Thay x0 vào (1) tìm y0 Từ đósuy điểm cố định
Bài 1. Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:
a) y=(m-1)x-2m+1 b) y mx= 2+2(m-2)x-3m+1 c) y=(m+1)x3-2mx2-(m-2)x+2m+1 d) y= -(1 )m x2-(3m-1)x+5m-2 d) y x= 3+mx2-9x-9m e) y=(m-2)x3-mx+2
f) y=2mx4-x2-4m+1 g) y x= 4+mx2- -m h) y (m 1)x (m 1,m 2)
x m
-
-= ¹ - ¹
i)
3
( 2)
x m
y
m x m
+
-=
+ +
i)
2 3
x mx
y m
mx
ỉ
- +
= ỗ ữ
- ố ø k)
2
2 ( 2) ( 0)
2
x m x m
y m
x m
- + + +
= ¹
-l) 22 ( 1)
2
x m x m
y
x mx m
+ - +
=
+ + + m)
2
2
2 (5 2)
x x m
y
x m x
+ +
=
+ + +
Bài 2. Chứng minh họ đồ thị (Cm) có điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua điểm cố định đó:
(38)b) y=(m+2)x3-3(m+2)x2-4x+2m-1 c) y=(m-4)x3-(6m-24)x2-12mx+7m-18 d) y=(m+1)x3-(2m+1)x m- +1
VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà khơng có đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua · Gọi M(x0; y0) điểm mà khơng có đồ thị họ (Cm) qua
M(x0; y0) Ï (Cm), "m Û y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1) · Biến đổi (1) dạng sau:
· Daïng 1: (1) Û Am + B = voõ nghieọm m ỡ =ớ ạAB 00
ợ (2a)
· Daïng 2: (1) Û Am2+Bm C+ =0vô nghiệm m Û
2 0
4
A B C
A
B AC
ộỡ = =
ờợ ạ
ỡ ờớ
ờợ - <
ë
(2b) Chú ý:· Kết tập hợp điểm
· Những điểm nằm tiệm cận đứng cố định hàm hữu tỷ điểm đồ thị không qua
Bài 1. Tìm điểm mặt phẳng mà khơng có đồ thị họ (Cm) qua:
a) y=(m+2)x m+ 2+2m b) 2 2
1
m m
y x
m m m m
+
= +
+ + + +
c) y mx= 2+2(1-m x) + +1 m m( ¹0) d) y x= 2-m x m3 + 2-2
d) y=2x3+3mx2-m3-5m2-4 e) y mx= 3-m x2 2-4mx+4m2-6 f) y (m 2)x m2 2m
x m
- - +
-=
- g)
2 (3m 1)x m m y
x m
+ - +
=
+
h)
1
x mx m
y
x
+ +
-=
- i)
2 2 2
x mx m
y
x m
- + +
=
-k) 2
2
x mx m
y
x x
+ - +
=
+ + l)
2
(3 1) 10
3
x m x
y
x x
+ -
-=
- +
Bài 2. Tìm điểm thuộc (L) mà khơng có đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y mx= 3-m x2 2-4mx+4m2-6; (L) trục hoành
b) (Cm): y=2x3-3(m+3)x2+18mx+6; (L): y x= 2+14
c) (Cm): 2
1
x mx m m
y
mx m m
- + - +
=
+ + + ; (L) trục tung
d) (Cm): y (m 1)x2 m x2 x m
+ + +
=
+ ; (L): x =
e) (Cm): y m x2 x
+
(39)VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua · Ta có: M(x0; y0) Ỵ (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1)
· Biến đổi (1) dạng sau:
Am + B = (2a) hoặc Am2+Bm C+ =0 (2b)
· Số nghiệm (2a) (2b) theo m = Số (Cm) qua M
Bài 1. Tìm điểm mặt phẳng cho có k đồ thị họ (Cm) qua:
a) (Cm): 2
2( )
mx m m
y
x m
+ +
=
+ ; k = b) (Cm):
2
x mx m
y
x m
- +
-=
- ; k =
c) (Cm): xy-2my-2mx m x+ -4m=0; k =
Bài 2. Tìm điểm thuộc (L) cho có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y x= 3+(m2+1)x2-4m; (L): x = 2; k =
b) (Cm): y x= 3+(m2+1)x2-4m; (L): x = 2; k = c) (Cm): y x= 3+(m2+1)x2-4m; (L): x = 2; k =
Bài 3. Chứng minh điểm thuộc (L) có k đồ thị họ (Cm) qua: a) (Cm): y mx2 (m2 m 1)x m2 m
x m
- + - + - +
=
- ; (L): x > 1; k =
b) (Cm): y (m 1)x2 m2 x m
+
-=
- ; (L): x > 0; k =
c) (Cm): y x= 4-2mx2+m2+1; (L): y = 1; k =
(40)5 TẬP HỢP ĐIỂM
Bài tốn: Tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả tính chất a
· Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ tìm phương trình tập hợp điểm
Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M
1) Tìm điều kiện (nếu có) tham số m để tồn điểm M 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m
Có trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Mì =í =y g mx f m( )( )
ỵ
Khử tham số m x y, ta có hệ thức x, y độc lập với m có dạng:
F(x, y) = (gọi phương trình q tích)
Trường hợp 2: M ( ) ( )
x a hằng số y g m
ì = í = ỵ
Khi điểm M nằm đường thẳng x = a
Trường hợp 3: Mì =í =y bx f m( )(hằng số)
ỵ
Khi điểm M nằm đường thẳng y = b
3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) m (ở bước 1), ta tìm điều kiện x y để tồn điểm M(x; y) Đó giới hạn quĩ tích
4) Kết luận: Tập hợp điểm M có phương trình F(x, y) = (hoặc x = a, y = b) với điều kiện x y (ở bước 3)
Dạng 2: Trong trường hợp ta khơng thể tính toạ độ điểm M theo tham số m mà thiết lập hệ thức chứa toạ độ M ta tìm cách khử tham số m hệ thức để tìm hệ thức dạng F(x, y) =
Chú ý: Nếu toán hỏi : Điểm M chạy đường ta tìm phương trình F(x, y) = mà khơng cần tìm giới hạn quĩ tích.
Bài 1. Tìm tập hợp điểm đặc biệt họ đồ thị cho
a) (Pm): y=2x2-(m-2)x+2m-4 Tìm tập hợp đỉnh (Pm) b) (Cm): y x= 3-3mx2+2x-3m-1 Tìm tập hợp điểm uốn (Cm)
c) (Cm): y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 Tìm tập hợp điểm cực đại (Cm)
d) (Hm): ( 1)
1
m x
y
mx
- +
=
- Tìm tập hợp tâm đối xứng (Hm)
e) (Hm): 2
2
x mx m
y
x
- +
=
- Tìm tập hợp điểm cực đại (Hm)
Bài 2. Cho (C) (C¢) Tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng 1) Tìm m để (C) (C¢) cắt hai điểm phân biệt A, B 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB
a) (C): y x= 3+3x2+mx+1 vaø (C’): y x= 3+2x2+7 b) (C): y x= 2-mx+3 (C¢): y mx= +2
c) (C):
1
x y
x -=
(41)d) (C): ( 2)2
x y
x -=
- (C¢) đường thẳng qua A(0; 3) có hệ số góc m
e) (C):
2
x x
y
x
+ +
=
+ (C¢): y mx= +1
Bài 3. Cho (C) (C¢).Tìm tập hợp điểm
1) Tìm m để (C) cắt (C¢) điểm phân biệt A, B, C (trong xC khơng đổi) 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB
a) (C): y x= 3-3x2 (C¢): y mx=
b) (C): y x= 3-2(m+1)x2+(m2+1)x m- (C¢): y= -3mx m+ c) (C): y x= 3-6x2+9x vaø (C¢): y mx=
d) (C): y=(x+2)(x-1)2 (C¢) đường thẳng qua C(–2; 0) có hệ số góc m
Bài 4. Cho (C) Tìm tập hợp điểm từ vẽ hai tiếp tuyến (C) vng góc với
a) (C): y x x
= + b) (C):
1
x x
y x
+ + =
+
Baøi 5.
a) Cho (C):
1
x y
x -=
- Tìm tập hợp điểm trục tung mà từ kẻ
tiếp tuyến với (C)
(42)6 HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị
· Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
· Chia miền xác định thành nhiều khoảng, khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối
· Vẽ đồ thị hàm số tương ứng khoảng miền xác định
Cách 2: Thực phép biến đổi đồ thị
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )
Đồ thị (C¢) hàm số y= f x( ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x)
nhö sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trục hồnh
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía trục hồnh qua trục hồnh + Đồ thị (C¢) hợp hai phần
Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y f x= ( )
Đồ thị (C¢) hàm số y f x= ( ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x)
nhö sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung
+ Đồ thị (C¢) hợp hai phần
Bài 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C¢) Dùng đồ thị (C¢) biện luận số nghiệm phương trình (1):
a) (C): y x= 3-3x2-6; (C¢): y x= 3-3x2-6 ; x3-3x2- =6 m (1) b) (C): y x= 4-2x2-3; (C¢): y x= 4-2x2-3 ; x4-2x2- =3 m (1)
c) (C): 2
1
x x
y
x
+
-=
+ ; (C¢):
2
2
1
x x
y
x
+
-=
+ ;
2
2
1
x x m
x
+ - =
(43)d) (C): 2
x x
y x
-=
- ; (C¢):
2 1
2
x x
y x
-=
- ;
2 1
2
x x m
x
- - =
- (1)
e) (C): 2
x y
x -=
- ; (C¢):
2
2
x y
x -=
- ;
2
x m
x
- =
- (1)
Bài 2. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C¢) Dùng đồ thị (C¢) biện luận số nghiệm phương trình (1):
a) (C): y=2x3-9x2+12x-4; (C¢): y=2 x3-9x2+12 x -4; x3-9x2+12 x m=
b) (C):
x y
x =
- ; (C¢):
2
x y
x =
- ; (m-2).x m- =0 (1)
c) (C):
2
x x
y
x
+ +
=
+ ; (C¢):
2 4 5
2
x x
y
x
+ +
=
+ ;
2 4 5
2
x x m
x
+ + =
+ (1)
Bài 3. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Từ suy đồ thị C¢) Dùng đồ thị (C¢), tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:
a) (C): y x= 4-2x2-1; (C¢): y x= 4-2x2-1; x4-2x2- =1 log2m; k =
b) (C): y x= 3-6x2+9x; (C¢): y x= 3-6x2+9 x ; x3-6x2+9 x - + =3 m 0; k =
c) (C): 2
1
x x
y
x
+
-=
+ ; (C¢):
2
2
1
x x
y
x
+
-=
+ ;
2
2
1
x x m
x
+
-=
+ ; k =
d) (C):
2
x
y= - x + ; (C¢):
2
x
y= - x + ; 2
2
(44)7 ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
Tìm điểm đồ thị hàm số hữu tỉ ( )
( )
P x y
Q x
= có toạ độ số nguyên: · Phân tích ( )
( )
P x y
Q x
= thành dạng ( )
( )
a y A x
Q x
= + , với A(x) đa thức, a số nguyên · Khi xì Ỵí Ỵy
ỵ ¢¢ Û Q(x) ước số a Từ ta tìm giá trị x nguyên để Q(x) ước số a
· Thử lại giá trị tìm kết luận.
Bài 1. Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có toạ độ nguyên:
a)
1
x y
x + =
+ b)
10
x y
x -=
+ c)
2
x y
x + =
-d)
2
x x
y x
+ + =
+ e)
2 2
1
x x
y x
+ =
+ f)
4
1
y x x = + +
-Bài 2. Tìm điểm đồ thị (C) hàm số có toạ độ nguyên:
a) y x= + y2+2(x+1)y+4x b) y=2x+ y2+4(x-1)y+6x
VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua d Û d trung trực đoạn AB · Phương trình đường thẳng D vng góc với d: y = ax = b có dạng:
D: y 1x m
a
= - +
· Phương trình hồnh độ giao điểm D (C):
f(x) = 1x m
a
- + (1)
· Tìm điều kiện m để D cắt (C) điểm
phân biệt A, B Khi xA, xB nghiệm (1) · Tìm toạ độ trung điểm I AB
· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d Û I Ỵ d, ta tìm m Þ xA, xBÞ yA, yBÞ A, B
Chú ý:· A, B đối xứng qua trục hoành Û A B
A B
x x
y y
ì =
í =
-ỵ
· A, B đối xứng qua trục tung Û A B
A B
x x
y y
ì =
-í =
ỵ
· A, B đối xứng qua đường thẳng y = b Û A B 2
A B
x x
y y b
ì =
í + =
ỵ
· A, B đối xứng qua đường thẳng x = a Û A B
A B
x x a
y y
ì + =
í =
ỵ
(d) (C) (D) B
(45)Bài 1. Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng d:
a) ( ) :C y x= 3+x; d x: +2y=0 b)( ) : 4; :
x
C y d x y
x +
= - - =
-c) ( ) : ; :
1
x
C y d y x
x
= =
d)
2 1
( ) : ; :
1
x x
C y d y x
x +
-= =
-Bài 2. Cho đồ thị (C) đường thẳng d Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua đường thẳng d:
a)( ) :C y=3x3-5x2+10x-2; d x: = -2 b)( ) : 2 7; :
x x
C y d x
x
- +
= =
-c) ( ) : 2; :
2
x x
C y d y
x +
-= =
- d)
2
2
( ) : ; :
1
x x
C y d y
x
+
-= =
-Bài 3. Tìm m để đồ thị (C) có cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d: a)( ) :C y mx= 3+3x2+2x m d Ox+ 2; :
VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở phương pháp: A, B đối xứng qua I Û I trung điểm AB · Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: y k x a b= ( - +)
· Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: f(x) = k x a b( - +) (1)
· Tìm điệu kiện để d cắt (C) điểm phân biệt A, B xA, xB nghiệm (1)
· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I Û I trung điểm AB, ta tìm k Þ xA, xB
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O Û A B
A B x x y y ì = -í = -ỵ
Bài 1. Tìm đồ thị (C) hàm số hai điểm đối xứng qua điểm I:
a) ( ) :C y x= 3-4x2+ +x 2; I(2;4) b) ( ) : 2; 0;5
1
x x
C y I
x
ổ
+ +
= ỗ ữ
- è ø
c) ( ) :C y x= 3-3x2-2x+1; I Oº (0;0) d) ( ) : 4; (0;0)
x
C y I O
x +
= º
+
e) ( ) : 4; (1;1)
2
x
C y I
x + =
- e) ( )
2
2
( ) : ; 2;
1
x x
C y I
x
- +
=
-+
Bài 2. Cho đồ thị (C) điểm I Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua điểm I: a)( ) :C y=2x3+3x2+5x+1; I(1;2) b)( ) : ( 1)2; (1;1)
2
x
C y I
x -=
-c) ( ) : 1; (2;1)
1
x x
C y I
x - + =
- d)
3 2 5 1
( ) : ; (2;1)
2
x x x
C y I
x
- - +
=
-Bài 3. Tìm m để đồ thị (C) có cặp điểm đối xứng qua điểm: a)( ) :C y x= 3-3mx2+3(m2-1)x+ -1 m2; I Oº (0;0)
b) ( ) :C y x= 3+mx2+7x+3; I Oº (0;0)
c) ( ) :C y x= 3+mx2+9x+4; I Oº (0;0) d) ( ) : 2 2; (0;0)
x m x m
C y I O
x
+ +
= º
+
(46)VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách
Kiến thức bản:
1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = (xB -xA)2+(yB -yA)2
2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng D: ax + by + c = 0:
d(M, D) = 0
2
ax by c
a b
+ +
+ 3) Diện tích tam giaùc ABC:
S = 1 sin 2 ( )2
2AB AC A=2 AB AC - AB AC
uuur uuur
Bài 1. Cho đồ thị (C) điểm A Tìm điểm M (C) cho AM nhỏ Chứng minh AM nhỏ đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến (C) M a) ( ) :C y x= 2-1; A Oº (0;0) b) ( ) :C y x= 2; A(3;0)
c) ( ) :C y=2x2+1; A(9;1)
Bài 2. Cho đồ thị (C) đường thẳng d Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ
a) ( ) :C y=2x4-3x2+2x+1; d y: =2x-1 b) ( ) : 5; :
x x
C y d y x
x
+ +
= =
-+
c) ( ) :C y x x= - 2; d y: =2(x+1) d) ( ) : 1; :
x
C y d y x
x +
= = - +
-Bài 3. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước
a) ( ) : 2;
2
x
C y k
x +
= =
- b)
2 1
( ) : ;
1
x x
C y k
x +
-= =
-c) ( ) : 1;
1
x x
C y k
x +
-= =
- d)
2 2 2
( ) : ;
1
x x
C y k
x
+ +
= =
+
Bài 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận nhỏ
a) ( ) :
2 x H y x + =
- b)
2 ( ) : x H y x -= + c) ( ) : x H y x -= -
d) ( ) : 2
3 x x H y x + -=
- e)
2 1 ( ) : x x H y x - + =
- f)
2 3 3
( ) : x x H y x + + = +
Bài 5. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai trục toạ độ nhỏ
a) ( ) :
1 x H y x -=
+ b)
2 ( ) : x H y x + =
- c)
4 ( ) : x H y x -=
-d) ( ) : 11
1 x x H y x + -=
- e)
2 3 ( ) : x H y x -=
- f)
2 6 ( ) : x x H y x + -=
-Bài 6. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho khoảng cách từ đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ
a) ( ) : 2
1 x x H y x + + =
- b)
2 1
( ) : ;
1
x x
H y x
x - +
= >
-
(47)a) ( ) : 1
x H y
x -=
+ b)
2
( ) :
x H y
x + =
- c)
4
( ) :
3
x H y
x -=
-
d) ( ) :H y 2x 1
x
= + + e) ( ) : 3
1
x x
H y
x
- +
=
- f)
2 2 5
( ) :
1
x x
H y
x
- +
=
-Bài 8. Cho (C) đường thẳng d Tìm m để d cắt (C) điểm A, B cho độ dài AB nhỏ
a) ( ) : 4; :
1
x x
H y d y k
x
+
-= =
+ b)
1
( ) : ; :
1
x
H y d x y m
x +
= - + =
(48)
Bài 1. Cho hàm số: y = x3+ax2-4, a tham số a) Khảo sát vẽ đồ thị với a =
b) Tìm giá trị tham số a để phương trình sau có nghiệm nhất:
x3+ax2- =4
ÑS: b) a <
Bài 2. a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x3-6x2+9x-1
b) Từ điểm đường thẳng x = ta kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số?
ĐS: b) tiếp tuyến
Bài 3. Cho hàm soá: y = x3-3 (1)x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng d cho phương trình:
( 1)
y m x= + + cắt đồ thị hàm số (1) điểm A cố định Hãy xác định giá trị m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm A, B, C khác cho tiếp tuyến với đồ thị B C vng góc với
ÑS: b) ( 1; 2); 2
3
A - m= - +
Bài 4. a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x4-2x2-1 (1)
b) Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt
4
4
2 log (2)
x - x - = m
ÑS: b) < m < 16
Bài 5. Cho hàm số: y = x4-5x2+4 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) hàm số điểm phân biệt
c) Tìm m cho đồ thị (C) hàm số chắn đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có độ dài
ÑS: b)
4 m
- < < c)
4
m=
Bài 6. Cho hàm số:
2
y = x -mx + (1)
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = b) Viết phương trình tiếp tuyn i qua 0;
2
Aổỗ ửữ
è ø tiếp xúc với (C)
c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại
ĐS: b) 3; 2
2
y= y= ± x+ c) m £
(49)Baøi 7. Cho hàm số: ( )
x
y H
x + =
-a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Với giá trị a, đường thẳng y = ax + không cắt đồ thị (H)? c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H)
ÑS: b) –28 < a £ c) y = –28x + 59
Bài 8. a) Khảo sát vẽ đồ thị ( )
x
y C
x -=
-
b) Tìm tất điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(0; 0) B(2; 2)
ÑS: b) (2 ; 0), (0 ; 2)
Bài 9. Cho hàm số: y x ( )C x = - +
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C)
b) Tìm (C) điểm cách hai trục tọa độ
c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) hai điểm mà hai tiếp tuyến với (C) vng góc với
ĐS: b) 1;
2
Mổỗ ửữ
ố ứ c) k = - ±2
Baøi 10. Cho haøm soá: ( 1) 4
( 1)
x m x m m
y
x m
- + + -
-=
-
-a) Khảo sát vẽ đồ thị với m =
b) Tìm giá trị m để hàm số xác định đồng biến khoảng (0 ; +¥)
ĐS: b) 3
7 m
- £ £
Bài 11. a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: 2
x x
y
x
+ +
=
+
b) Gọi I tâm đối xứng đồ thị (C) M điểm (C) Tiếp tuyến M với (C) cắt hai đường tiệm cận A B Chứng minh M trung điểm đoạn AB diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M (C)
ÑS: b) SIAB =2
Bài 12. Cho hàm số: 2 1 ( )
1
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C)
b) Tìm đồ thị hàm số cho điểm cho tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên
ĐS: b) 1 2; ; 2 2;
2 2
M ổỗ- + ửữ M ổỗ- - - ư÷
è ø è ø
Bài 13. Cho hàm số: y x2 (m 1)x mx (Cm)
x m
+ + - +
=
-a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m =
(50)c) Với giá trị m hàm số cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu
ÑS: b)
2 c) m < - -3 hay m> - +3
Bài 14. a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:
x x
y
x
+ +
=
+
b) Tìm điểm đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + = nhỏ
ÑS: b) 1 5; ; 2 5;
2 2
M ổỗ- ửữ M ổỗ- - ư÷
è ø è ø
Bài 15. Cho hàm số: 2
x mx
y
x
+
-=
- với m tham số
a) Xác định m để tam giác tạo hai trục tọa độ đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số có diện tích
b) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = –3
ÑS: a) m = –6 hay m =
Bài 16. Cho hàm số: y x2 x x + +
=
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Xác định m cho phương trình sau có nghiệm:
4 ( 1)3 3 ( 1) 0
t - m- t + t - m- t+ =
ÑS: b)
2
m £ - hay m³
Bài 17. Cho hàm số: y = -x3+3mx2+3(1-m2)+m2-m2 (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm k để phương trình - +x3 3x2+k3-3k2=0 có nghiệm phân biệt c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)
ĐS: b) 1- < <k 3; k¹0; k¹2; c) y =2x m- 2+m
Bài 18. Cho hàm số: y mx= 4+(m2-9)x2+10 (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị
ÑS: b) m < -3hay < m <3
Bài 19. Cho hàm số: (2 1) (1)
m x m
y
x
-
-=
- (m tham số)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = –1 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) hai trục tọa độ c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x
ÑS: b) ln4
(51)Baøi 20. Cho haøm soá:
mx x m
y
x + + =
- (1) (m laø tham soá)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = –1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương
ĐS: b)
2 m
- < <
Baøi 21. Cho hàm số: y = x3-3x2+m (1) (m tham số)
a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
ÑS: a) m >
Bài 22. a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2 (1)
x x
y
x
- +
=
-b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + – 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt
ÑS: b) m >
Bài 23. Cho hàm số: 3 2( 1)
x x
y
x
- +
-=
- (1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị điểm A, B cho AB =
ÑS: b)
2
m= ±
Baøi 24. Cho hàm số: 2 (1)
y = x - x + x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến D (C) điểm uốn chứng minh D tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ
ĐS: b) : 8;
3
y = - +x k= -D
Bài 25. Cho hàm số: y = x3-3mx2+9x+1 (1) (với m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x +