c Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC.ĐỀ 10: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: P[r]
(1)BAØI TAÄP CHÖÔNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ và điểm – Sử dụng các công thức toạ độ vectơ và điểm không gian – Sử dụng các phép toán vectơ không gian Bài Viết tọa độ các vectơ sau đây: a 2i j d 3i j 5k b 7i 8k ; c 9k xi yj zk moãi vectô sau ñaây: Bài Viết dạng 1 4 a 0; ;2 c ; 0; d ; ; b (4; 5; 0) ; 3 3 5 a ; ; , b 0; 2; 1 , c 1; 7; Tìm toạ độ các vectơ u với: Baøi Cho: 2 1 u 4a b 3c u 4b c a) b) u a 4b 2c c) 1 4 u a b 2c d) u 3a b 5c e) Bài Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: a 1; 2;1 a 0; 2;1 a x a x a a) với b) với a 5; 4; 1 b 2; 5; c) a x b với , a ( ; ; ) Baøi Cho a) Tìm y và z để b (2; y; z) cùng phương với a b) Tìm toạ độ vectơ c , biết a và c ngược hướng và c 2 a a ; ; , b ; ; , c 3; 2; 1 Tìm: Baøi Cho ba vectô 2 2 2 2 2 2 2 a) a.b c b) a b c c) a b b c c a d) 3a a.b b c b e) 4a.c b 5c Bài Tính góc hai vectơ a và b : a ; ; , b ; ; a ; ; , b 6; 0; 3 a) b) a ( ; ; ), b ( ; ; ) a ( ; ; ), b ( 3; 3; 1) c) d) e) a ( 4; 2; 4), b (2 ; 2; 0) Baøi Tìm vectô u , bieát raèng: a (2; 1; 3), b (1; 3; 2), c (3; 2; 4) a (2; 3; 1), b (1; 2; 3), c (2; 1;1) a.u 5, u b 11, u c 20 u a, u b, u.c a) b) a (2; 3;1), b (1; 2; 1), c ( 2; 4; 3) a (5; 3; 2), b (1; 4; 3), c ( 3; 2; 4) a.u 3, b u 4, c u 2 a.u 16, b u 9, c u c) d) a Bài Cho hai vectơ , b Tìm m để: (2) a) a (2;1; 2), b (0; ; ) u 2a 3mb vaø v ma b vuoâng goùc b) a (3; 2;1), b (2;1; 1) u ma 3b vaø v 3a 2mb vuoâng goùc a (3; 2;1), b (2;1; 1) u ma 3b vaø v 3a 2mb cuøng phöông c) ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Bài Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M: Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz M( ; ; ) M( ; ; ) M( ; ; ) a) b) c) d) M(1; 2; 1) Bài Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M: Qua gốc toạ độ Qua mp(Oxy) Qua truïc Oy a) M(1; 2; 3) b) M(3; 1; 2) c) M( 1;1; 3) d) M(1; 2; 1) Baøi Xeùt tính thaúng haøng cuûa caùc boä ba ñieåm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C(0; 0;1) b) A(1;1;1), B( 4; 3;1), C ( 9; 5;1) c) A(10; 9;12), B( 20; 3; 4), C( 50; 3; 4) d) A( 1; 5; 10), B(5; 7; 8), C (2; 2; 7) Baøi Cho ba ñieåm A, B, C Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác Tìm toạ độ trọng tâm G ABC Xaùc ñònh ñieåm D cho ABCD laø hình bình haønh Tính soá ño caùc goùc ABC a) A(1; 2; 3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) b) A(0;13; 21), B(11; 23;17), C(1; 0;19) Bài Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm: a) A(3;1; 0) , B( 2; 4;1) b) A(1; 2;1), B(11; 0; 7) c) A(4;1; 4), B(0; 7; 4) d) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1) Bài Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: a) A(1;1;1), B( 1;1; 0), C (3;1; 1) b) A( 3; 2; 4), B(0; 0; 7), C( 5; 3; 3) c) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C( 1;1; 3) Baøi Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D' Tìm toạ độ các đỉnh còn lại a) A 1; 0;1 , B 2;1; , D 1; 1;1 , C ' 4; 5; b) A(2; 5; 3), B(1; 0; 0), C (3; 0; 2), A '( 3; 1; 2) c) A(0; 2;1), B(1; 1;1), D(0; 0; 0;), A '( 1;1; 0) Baøi Cho boán ñieåm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA (SBC), SB (SAC), SC (SAB) b) Chứng minh S.ABC là hình chóp c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH Baøi Cho boán ñieåm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4) a) Chứng minh SA (SBC), SB (SAC), SC (SAB) b) Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP là tứ diện c) Vẽ SH (ABC) Gọi S là điểm đối xứng H qua S Chứng minh SABC là tứ diện ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R mặt cầu (3) (S) coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R: 2 2 (S): ( x a) ( y b) (z c) R Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x y z2 2ax 2by 2cz d 0 thì (S) coù taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = Baøi 2 với a b c d a2 b2 c d Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu sau: 2 a) x y z x y 0 2 b) x y z x 8y 2z 0 2 c) x y z x y 4z 0 2 d) x y z x y z 86 0 2 2 2 e) 3x 3y 3z x 3y 15z 0 k) x y z x y z 10 0 Bài Xác định m, t, , … để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm và bán kính các mặt cầu đó: 2 2 a) x y z 2(m 2) x 4my 2mz 5m 0 2 2 b) x y z 2(3 m) x 2(m 1) y 2mz 2m 0 2 c) x y z ln t.x y z ln t 0 2 2 f) x y z 2(2 ln t ) x ln t.y 2(ln t 1)z ln t 0 Baøi Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø baùn kính R: a) I (1; 3; 5), R b) I (5; 3; 7), R 2 c) I (1; 3; 2), R 5 d) I (2; 4; 3), R 3 Baøi Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø ñi qua ñieåm A: a) I (2; 4; 1), A(5; 2; 3) b) I (0; 3; 2), A(0; 0; 0) c) I (3; 2;1), A(2;1; 3) d) I (4; 4; 2), A(0; 0; 0) e) I (4; 1; 2), A(1; 2; 4) Baøi Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: A a) (2; 4; 1), B(5; 2; 3) b) A(0; 3; 2), B(2; 4; 1) d) A(4; 3; 3), B(2;1; 5) e) A(2; 3; 5), B(4;1; 3) Baøi c) A(3; 2;1), B(2;1; 3) f) A(6; 2; 5), B( 4; 0; 7) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) A 1;1; , B 0; 2;1 , C 1; 0; , D 1;1;1 b) A 2; 0; , B 0; 4; , C 0; 0; , D 2; 4; c) A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3; 7), D( 5; 4; 8) d) A(6; 2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; 1), D(4;1; 0) Baøi Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm maët phaúng (P) cho trước, với: A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0) A(1; 2; 0), B( 1;1; 3), C (2; 0; 1) a) ( P ) (Oxz) b) (P ) (Oxy) II PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng Vectơ n 0 là VTPT () giá n vuông góc với () Hai vectô a , b khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa () neáu caùc giaù cuûa chuùng song song (4) nằm trên () Chuù yù: Neáu n laø moät VTPT cuûa () thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa () n a , b Neáu laø moät caëp VTCP cuûa () thì a , b laø moät VTPT cuûa () Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng Ax By Cz D 0 với A B C Neáu () coù phöông trình Ax By Cz D 0 thì n ( A; B; C ) laø moät VTPT cuûa () M (x ; y ; z ) Phöông trình maët phaúng ñi qua 0 0 vaø coù moät VTPT n ( A; B; C ) laø: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Chuù yù: Nếu phương trình () không chứa ẩn nào thì () song song chứa trục tương ứng x y z 1 a b c Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: () cắt các trục toạ độ các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: (): (): A1 x B1y C1z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0 A : B : C A2 : B2 : C2 (), () caét 1 A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 () // () () () A A B B C C 0 () () 2 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Ax By0 Cz0 D d M0 ,( ) A2 B2 C ĐỀ 4: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác định điểm thuộc () và VTPT nó Bài 10 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và có VTPT n cho trước: M 3;1;1 , n 1;1;2 M 2;7;0 , n 3;0;1 M 4; 1; , n 0;1;3 a) b) c) d) M 2;1; , n 1;0;0 e) M 3;4;5 , n 1; 3; f) M 10;1;9 , n 7;10;1 Bài 11 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với : a) A(2;1;1), B(2; 1; 1) b) A(1; 1; 4), B(2; 0; 5) c) A(2; 3; 4), B(4; 1; 0) 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 d) 1 A 1; ; , B 3; ;1 f) A(2; 5; 6), B( 1; 3; 2) e) a Bài 12 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và có cặp VTCP , b cho trước, với: a) M (1; 2; 3), a (2;1; 2), b (3; 2; 1) b) M (1; 2; 3), a 3; 1; 2), b (0; 3; 4) M ( ; ; ), a ( ; ; ), b ( ; ; ) M ( ; ; ), a ( ; ; ); b (3; 2;1) c) d) Bài 13 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và song song với mặt phẳng trước, với: cho (5) a) M 2;1; , Oxy b) M 1; 2;1 , : x y 0 c) M 1;1; , : x y z 10 0 d) M 3; 6; , : x z 0 e) M (2; 3; 5), ( ) : x y z 0 f) M (1;1;1), ( ) : 10 x 10 y 20 z 40 0 Bài 14 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và song song với các mặt phẳng toạ độ, với: a) M 2;1; b) M 1; 2;1 c) M 1;1; d) M 3; 6; Bài 15 Viết phương trình mặt phẳng () qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) A(1; 2; 4), B(3; 2; 1), C ( 2;1; 3) b) A(0; 0; 0), B( 2; 1; 3), C (4; 2;1) c) A( 1; 2; 3), B(2; 4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; 5; 2), B(1; 2; 0), C (0; 3; 7) e) A(2; 4; 0), B(5;1; 7), C ( 1; 1; 1) f) A(3; 0; 0), B(0; 5; 0), C(0; 0; 7) Bài 16 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm A và vuông góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với: a) A(1; 2; 4), B(3; 2; 1), C ( 2;1; 3) b) A(0; 0; 0), B( 2; 1; 3), C (4; 2;1) c) A( 1; 2; 3), B(2; 4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; 5; 2), B(1; 2; 0), C (0; 3; 7) e) A(2; 4; 0), B(5;1; 7), C ( 1; 1; 1) f) A(3; 0; 0), B(0; 5; 0), C(0; 0; 7) Bài 17 Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng () cho trước, với: A(3;1; 1), B(2; 1; 4) A( 2; 1; 3), B(4; 2;1) : x y 3z 0 : x 3y 2z 0 a) b) A(2; 1; 3), B( 4; 7; 9) A(3; 1; 2), B( 3;1; 2) : 3x y 8z 0 : x y 2z 0 c) d) Bài 18 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (), () cho trước, với: M ( 1; 2; 5), : x y 3z 0, : x 3y z 0 a) M (1; 0; 2), : x y z 0, : x y z 0 b) M (2; 4; 0), : x 3y z 0, : x y 8z 0 c) M (5;1; 7), : 3x y 3z 0, : x y 5z 0 d) ĐỀ 5: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài Xét vị trí tương đối các cặp mặt phẳng sau: 2 x 3y z 0 3 x y 3z 0 x y z a) b) 3 x y z 0 5 x 5y 5z 0 x y z 0 c) 3x 3y 3z 0 d) 12 x 8y 12z 0 Bài Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: song song cắt 3x my 2z 0 5 x y mz 11 0 a) nx y 6z 0 b) x ny z 0 2 x my 3z 0 3x y mz 0 c) nx y 6z 0 d) 2 x ny z 0 truøng (6) Bài Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với 2 x y mz 0 (2m 1) x 3my z 0 a) x y z 15 0 b) mx (m 1) y 4z 0 mx y mz 12 0 x my z 0 c) x 3y 3z 0 mx y z 0 e) 3 x (m 3) y 2z 0 d) (m 2) x y mz 10 0 3x 5y mz 0 f) x 3y z 0 ĐỀ 6: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm trên mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Ax By0 Cz0 D d M0 ,( ) A2 B2 C Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách chúng MH , n cuøng phöông Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân (P) H (P ) Điểm M đối xứng với điểm M qua (P) MM 2 MH Baøi Cho maët phaúng (P) vaø ñieåm M Tính khoảng cách từ M đến (P) Tìm toạ độ hình chiếu H M trên (P) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua (P) M (2; 3; 5) b) (P) : x y 5z 14 0, M (1; 4; 2) a) (P ) : x y 2z 0, M (3;1; 2) c) (P ) : x y 3z 12 0, Bài Tìm khoảng cách hai mặt phẳng: x y 3z 0 6 x y z 0 a) 2 x y 3z 0 b) 6 x y z 0 d) (P ) : x y 4z 0, M (2; 3; 4) 2 x y 4z 0 x y 8z 0 c) 3x 5y z 0 d) x y 8z 0 Bài Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng khoảng k cho trước: a) x 3y 2z 0, k 3 b) 3x y 6z 0, k 4 c) x y 3z 12 0, k 2 d) x y z 14 0, k 3 Bài Tìm tập hợp các điểm cách hai mặt phẳng: x y 3z 0 6 x y z 0 x y 4z 0 x y z x y z a) b) c) 3 x y z 0 d) 4 x y 8z 0 4 x y 8z 0 Bài Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng k cho trước: (7) x y z 10 0 6 x y z 0 2 x y z 0 6 x y z 0 k k a) b) Bài Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách điểm N và mặt phẳng (P): a) (P ) : x y z 0, N (1; 2; 2) b) (P) : x y 5z 14 0, N (1; 4; 2) c) (P ) : x y 3z 12 0, N (3;1; 2) d) (P ) : x y z 0, N (2; 3; 4) Bài Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách hai mặt phẳng: x y z 0 x y z 0 2 x y 4z 0 a) x y z 0 b) 2 x y z 0 c) 4 x y z 0 Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) và (Q): a) A 1; 2; –3 , (Q) : x y z 0 b) A 3; 1; –2 , (Q) : x y 3z 12 0 Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A khoảng k cho trước: a) (Q) : x y 2z 0, A(2; 1; 4), k 4 b) (Q) : x 4y 4z 0, A(2; 3; 4), k 3 (8) ĐỀ 7: Góc hai mặt phẳng A x B1y C1z D1 0 Cho hai maët phaúng (), () coù phöông trình: (): A x B2 y C2 z D2 0 (): n ,n Góc (), () bù với góc hai VTPT n1.n2 A1 A2 B1B2 C1C2 cos ( ),( ) n1 n2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chuù yù: ( ),( ) 90 Bài Tính góc hai mặt phẳng: x y z 0 x y z 0 a) x y z 0 b) 2 x y z 0 ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 0 2 x y 4z 0 c) 4 x y z 0 x 3y 3z 0 f) 4 x y z 0 x y 2z 0 4 x y z 0 d) 2 x 4z 0 e) y z 12 0 Bài Tìm m để góc hai mặt phẳng sau cho trước: (2m 1) x 3my z 0 mx y mz 12 0 mx (m 1) y z 0 x my z 0 900 a) b) 45 (m 2) x 2my mz 0 mx y mz 0 mx ( m ) y z (2m 1) x (m 1) y (m 1)z 0 0 c) 90 d) 30 Bài Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với đôi Gọi , , là các góc hợp các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn 2 b) cos cos cos 1 ĐỀ 8: Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 2 2 Cho maët phaúng (): Ax By Cz D 0 vaø maët caàu (S): ( x a ) (y b) (z c ) R () vaø (S) khoâng coù ñieåm chung d (I ,( )) R () tiếp xúc với (S) d (I ,( )) R () laø tieáp dieän Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d và () H là tiếp điểm (S) với () () cắt (S) theo đường tròn d (I ,( )) R Để xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao tuyến ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d và () H là tâm đường tròn giao tuyến (S) với () (9) 2 Bán kính r đường tròn giao tuyến: r R IH Bài Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): ( P ) : x y z 0 ( P ) : x 3y 6z 0 2 (S ) : x y z x y z 0 (S ) : ( x 1)2 ( y 3)2 ( z 2)2 16 a) b) ( P ) : x y 2z 11 0 (P) : x y 2z 0 2 (S ) : x y z x y z 0 (S ) : x y z x y 8z 13 0 c) d) (P ) : x y z 0 (S ) : x y z2 x y z 10 0 e) Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) I (3; 5; 2), ( P) : x y 3z 0 b) I (1; 4; 7), ( P ) : x y z 42 0 c) I (1;1; 2), (P) : x y z 0 d) I ( 2;1;1), (P ) : x 2y 2z 0 Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: 2 a) (S ) : ( x 3) ( y 1) ( z 2) 24 taïi M( 1; 3; 0) 2 b) (S ) : x y z x y 4z 0 taïi M(4; 3; 0) 2 c) (S ) : ( x 1) ( y 3) (z 2) 49 taïi M(7; 1; 5) 2 d) (S ) : x y z x y 2z 22 0 và song song với mặt phẳng x y 6z 14 0 2 e) (S ) : x y z x y z 11 0 và song song với mặt phẳng x 3z 17 0 2 f) (S ) : x y z x y z 0 và song song với mặt phẳng x y z 0 2 i) Tiếp xúc với mặt cầu: x y z 10 x y 26 z 113 0 và song song với đường x y z 13 x y 1 z d1 : d1 : 3 , 2 thaúng: III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm a (a1; a2 ; a3 ) : x xo a1t (d ) : y yo a2 t ( t R) z z a t o (d ) : x x0 y y0 z z0 M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP a a a 0 a1 a2 a3 Neáu thì ñgl phöông trình chính taéc cuûa d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số là: (10) x x0 ta1 d : y y0 ta2 z z ta vaø a , a cuøng phöông M (x ; y ; z ) d d // d 0 0 a , a cuøng phöông M (x ; y ; z ) d d d 0 0 x x0 ta1 d : y y0 ta2 z z ta a , a, M0 M0 ñoâi moät cuøng phöông x0 ta1 x0 ta1 y0 ta2 y0 ta2 z ta z ta 3 (ẩn t, t) có đúng nghiệm d, d caét heä a , a khoâng cuøng phöông x ta x ta 1 heä y ta y ta (aån t, t ) voâ nghieäm 2 z0 ta3 z0 ta3 d, d cheùo d d a a a.a 0 Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng x x0 ta1 y y0 ta2 z z ta Cho mặt phẳng (): Ax By Cz D 0 và đường thẳng d: A( x0 ta1) B( y0 ta2 ) C ( z0 ta3 ) D 0 Xeùt phöông trình: (aån t) (*) d // () (*) voâ nghieäm d cắt () (*) có đúng nghiệm d () (*) coù voâ soá nghieäm Góc hai đường thẳng a ,a Cho hai đường thẳng d1, d2 có các VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a a cos a1, a2 2 a1 a2 Góc đường thẳng và mặt phẳng a (a1; a2 ; a3 ) Cho đường thẳng d có VTCP vaø maët phaúng () coù VTPT n ( A; B; C ) Góc đường thẳng d và mặt phẳng ( ) góc đường thẳng d với hình chiếu d cuûa noù treân () Aa1 Ba2 Ca3 sin d ,( ) A B C a12 a22 a32 ĐỀ 9: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d và VTCP nó Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M và có VTCP a cho trước: (11) a) M (1;2; 3), a ( 1;3;5) d) M (3; 1; 3), a (1; 2; 0) b) M (0; 2;5), a (0;1; 4) c) M (1;3; 1), a (1;2; 1) e) M (3; 2;5), a ( 2; 0; 4) Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: a) A 2; 3; 1 , B 1; 2; b) A 1; 1; , B 0;1; c) A 3;1; 5 , B 2;1; 1 d) A 2;1; , B 0;1; e) A 1; 2; , B 1; 2; f) A 2;1; 3 , B 4; 2; Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và song song với đường thẳng cho trước: a) A 3; 2; , Ox b) A 2; 5; 3 , ñi qua M (5; 3; 2), N (2;1; 2) x 2 3t A(2; 5; 3), : y 3 4t z 5 2t c) x 3 4t A(1; 3; 2), : y 2 2t z 3t e) d) A(4; 2; 2), : x 2 y z A(5; 2; 3), : x 3 y z 2 f) Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A 2; 4; 3 , (P) : x 3y z 19 0 b) A 1; 1; , (P ) : các mp toạ độ c) A 3; 2;1 , (P ) : x y 0 d) A(2; 3; 6), (P ) : x 3y 6z 19 0 Bài Viết phương trình tham số đường thẳng là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: ( P ) : x y 2z 0 ( P ) : x 3y 3z 0 a) (Q) : x y z 0 b) (Q) : x y z 0 Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x 1 2t x 1 t x 1 t x 1 3t A(1; 0; 5), d1 : y 3 2t , d2 : y 2 t A(2; 1;1), d1 : y t , d2 : y t z 1 t z 1 3t z 3 z 3 t a) b) x 1 t x 1 x 3t x 1 t A(1; 2; 3), d1 : y 2t , d2 : y t A(4;1; 4), d1 : y 4 2t , d2 : y 2t z 3 3t z 3 t z 4 3t z 12 t c) d) Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng cho trước: x t x 2t A(1; 2; 2), : y 1 t A( 4; 2; 4), d : y 1 t z 2t z 4t a) b) x 1 3t A(2; 1; 3), : y 1 t z 2t c) x 1 t A(1; 2; 3), : y 2t z 3 3t e) x t A(3;1; 4), : y 1 t z 2t d) x 1 t A(2; 1;1), : y t z 3 f) (12) Bài Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x 1 2t x 1 t x 1 t x 1 3t A(1; 0; 5), d1 : y 3 2t , d2 : y 2 t A(2; 1;1), d1 : y t , d2 : y t z 1 t z 1 3t z 3 z 3 t a) b) x 3t x 2 2t x 1 3t x t A( 4; 5; 3), d1 : y 2t , d2 : y 3t A(2;1; 1), d1 : y 4t , d2 : y t z 2 t z 1 5t z 5t z 2t c) d) Bài Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: ( P ) : y z 0 ( P ) : x y z 0 x 1 2t x 2 t x 1 t x y z d1 : , d2 : y 4 2t d1 : y 3 2t , d2 : y 2 t z 1 z 1 t z 1 3t a) b) ( P ) : x 3y 3z 0 ( P ) : x 3y 4z 0 x 1 t x 3t x 1 t x 1 d : y t , d : y t d : y t , d : y t 2 z 4 3t z 12 t z 3 3t z 3 t c) d) Baøi 10 Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x y z x y z : : x 1 y z x y2 z d1 : d1 : 1 x y z x y z d : d : a) b) Baøi 11 Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 cho trước: x 3 2t x 2 3t x 1 2t x 3t d1 : y 1 4t , d2 : y 4 t d1 : y t , d2 : y 1 2t z 4t z 1 2t z 2 3t z 4t a) b) x 2 2t x 1 t d1 : y 1 t , d2 : y 3 t z 3 t z 1 2t c) Baøi 12 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước: x x y z A(0;1;1), d1 : , d2 : y t 1 z 1 t a) x 2 x y 1 z A(1;1;1), d1 : , d2 : y 1 2t 1 z t b) (13) c) x 1 y z x y 1 z , d2 : 2 3 5 Cho boán ñieåm S(1; 2; 1), A(3; 4; 1), B(1; 4;1), C(3; 2;1) A( 1; 2; 3), d1 : Baøi 13 a) Chứng minh S.ABC là hình chóp b) Viết phương trình tham số các đường thẳng chứa các cạnh hình chóp c) Viết phương trình đường vuông góc chung SA và BC.ĐỀ 10: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta có thể sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ các VTCP và các điểm thuộc các đường thaúng Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình các đường thẳng Baøi 14 b) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x y 2 z d1 : ; d2 : x t; y t; z 3t 2 a) d1 : x 5 2t; y 1 t; z 5 t ; d2 : x 3 2t '; y t '; z 1 t ' c) d1 : x 2 2t; y t; z 1; d1 : x y z ; d2 : x 1; y 1 t; z 3 t d2 : x y z d) Baøi 15 Chứng tỏ các cặp đường thẳng sau đây chéo Viết phương trình đường vuoâng goùc chung cuûa chuùng: d : x 1 2t; y 3 t; z 3t ; d2 : x 2t '; y 1 t '; z 3 2t ' a) d : x 1 2t; y 2 2t; z t; d2 : x 2t '; y 5 3t '; z 4 b) d : x 3 2t; y 1 4t; z 4t 2; d2 : x 2 3t '; y 4 t '; z 1 2t ' c) x y 1 z x y z 1 d1 : ; d2 : 2 2 d) Baøi 16 a) Tìm giao điểm hai đường thẳng d1 và d2: d1 : x 3t; y 1 2t; z 3 t ; d2 : x 1 t '; y 2t '; z 4 t ' x y z 0 d1 : ; 2 x y 0 b) x y z 0 d1 : ; 2 x y z 0 c) d2 : x 1 t; y t; z 3 t x z 0 d2 : y z 0 ĐỀ 11: Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng (Giải hệ) Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng d và mặt phẳng (P) Tìm giao điểm (nếu có) chuùng: d : x 2t; y 1 t; z 3 t ; (P ) : x y z 10 0 a) d : x 3t 2; y 1 4t; z 4t ; (P ) : x 3y z 0 b) x 12 y z d: ; ( P ) : 3x 5y z 0 c) (14) d) d: x 11 y z ; ( P ) : 3x 3y 2z 0 ĐỀ 12: Góc Bài Tính góc hai đường thẳng: d : x 1 2t, y –1 t, z 3 4t ; d2 : x 2 – t, y –1 3t, z 4 2t a) x y2 z x2 y z4 d1 : ; d2 : 1 2 b) 2 x 3y 3z 0 d1 : ; x y z 0 c) 2 x z 0 d1 : ; x y 3z 17 0 d) d2 : x 9t; y 5t; z –3 t d2 : x 2 3t; y –1; z 4 – t Bài Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1) a) Chứng minh các cặp cạnh đối tứ diện đôi vuông góc với b) Tính góc AD và mặt phẳng (ABC) c) Tính góc AB và trung tuyến AM tam giác ACD d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Bài Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5) a) Vieát phöông trình cuûa caùc maët phaúng (ABC), (SAB), (SAC) b) Tính các khoảng cách từ C đến (SAB) và từ B đến (SAC) ĐỀ 13: Một số vấn đề khác Vieát phöông trình maët phaúng Dạng 1: Mặt phẳng (P) qua điểm A và đường thẳng d: – Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C n – Moät VTPT cuûa (P) laø: AB, AC Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP a d1 (hoặc d2) – Treân d1 laáy ñieåm A, treân d2 laáyñieåm B Suy A, B (P) – Moät VTPT cuûa (P) laø: n a , AB Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt d1, d2: – Lấy điểm A d1 (hoặc A d2) A (P) – Xaùc ñònh VTCP a cuûa d1, b cuûa d2 n – Moät VTPT cuûa (P) laø: a , b Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d (d1, d2 chéo nhau): a – Xác định các VTCP , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa (P) laø: n a , b – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 M (P) Dạng 5: Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 n – Moät VTPT cuûa (P) laø: a , b Xác định hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d (15) Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d – Khi đó: H = d (P) H d MH ad Cách 2: Điểm H xác định bởi: Điểm đối xứng M' điểm M qua đường thẳng d Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân d – Xác định điểm M cho H là trung điểm đoạn MM Cách 2: – Gọi H là trung điểm đoạn MM Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M MM ' a d H d – Khi đó toạ độ điểm M xác định bởi: Xác định hình chieáu H cuûa moät ñieåm M leân maët phaúng (P) Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) – Khi đó: H = d (P) H ( P) MH , nP cuøng phöông Cách 2: Điểm H xác định bởi: Điểm đối xứng M' điểm M qua mặt phẳng (P) Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân (P) – Xác định điểm M cho H là trung điểm đoạn MM Cách 2: – Gọi H là trung điểm đoạn MM Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M H (P) MH , nP cuøng phöông – Khi đó toạ độ điểm M xác định bởi: Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và đường thẳng d: x 4 2t x 2 t A(2; 3;1), d : y 2 3t A(1; 4; 3), d : y 2t z 3 t z 1 3t a) b) A(4; 2; 3), d: x y 2 z A(2; 1; 5), d: x 3 y 2 z c) d) Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d1, d2: x 2 y z3 d1 : x 2 3t; y 4 2t; z t 1; d2 : a) b) c) d1 : x y 3 z , d2 : x 2 y z d1 : x y2 z ; 6 d2 : x y z 1 3 12 d1 : x y z2 ; d2 : x 1 y z d) Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng cắt d1, d2: d : x 3t; y 1 2t; z 3 t ; d2 : x 1 t '; y 2t '; z 4 t ' a) x y z 0 d1 : ; d2 : x 1 t; y t; z 3 t 2 x y 0 b) Bài Cho hai đường thẳng chéo d1, d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2: (16) a) d1 : x 1 2t; y 3 t; z 3t ; d2 : x 2t '; y 1 t '; z 3 2t ' b) d1 : x 1 2t; y 2 2t; z t; d2 : x 2t '; y 5 3t '; z 4 c) d1 : x 3 2t; y 1 4t; z 4t 2; d2 : x 2 3t '; y 4 t '; z 1 2t ' d1 : x y 1 z x y z 1 ; d2 : 2 2 d) Bài Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M trên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d: x 2 2t x 1 4t M (1; 2; 6), d : y 1 t M (2; 3;1), d : y 2 2t z t z 4t a) b) M (2;1; 3), x 2t d : y 1 t z 2t M (1; 2; 1), x 2 t d : y 1 2t z 3t c) d) Bài Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M đối xứng với M qua maët phaúng (P): M (2; 3; 5) b) (P) : x y 5z 14 0, M (1; 4; 2) a) (P ) : x y 2z 0, M (3;1; 2) c) (P ) : x y 3z 12 0, ĐỀ 14 : BAØI TẬP TỰ ÔN CỦA HOCÏ SINH Baøi Trong khoâng gian Oxyz cho ñieåm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3) 1) Chứng minh ABCD là một tứ diệ n MA MB MC MD 2) Tìm ñieåm M cho : 3) Xác định toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD 4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực các đoạn thẳng AB, AC, BC 5) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với trục Oz 6) Viết phương trình mặt phẳng qua A và B và vuông góc với mặt phẳng x 3y – z 0 7) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + 3y – z = 0, x + 2y – 3z = 8) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz các điểm I , J, K cho thể tích tứ diện OIJK nhỏ 9) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz caùc ñieåm I , J, K cho OI + OJ + OK nhoû nhaát 10) Viết phương trình mặt phẳng qua C, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phaúng x + 2y – 3z = 11) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng : (P): x + y + z – =0, (Q):3x – y + z – = x y z 1 2 12) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng : x y 1 z vaø tính 13) Tìøm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d: x y 3z 0 khoảng cách từ A đến đường thẳng d: x y 3z 0 14) Tìm trên trục Oz điểm M cách điểm A và mặt phẳng (P): x + 3y + = (17) 15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P): x – y – z – = và x 1 y z vuông góc với đường thẳng : x y z 16) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng: 17) Tìm ñieåm P thuoäc maët phaúng (P): 2x – 3y – z +2 = cho PA+PB nhoû nhaát x y z cuøng thuoäc moät 18) Chứng minh đường thẳng AB và đường thẳng d : maët phaúng Tìm ñieåm N thuoäc d cho NA + NB nhoû nhaát x y z vaø 19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng: x y z 0 cắt đường thẳng: 2 x y z 0 20) Viết phương trình hình chiếu đường thẳng AB lên mặt phẳng (P): x + 3y – z = 21) Laäp phöông trình maët caàu ñi qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc mp(Oxy) 2 22) Laäp phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu (S): x y z x y 4z 0 taïi B 23) Lập phương trình mặt phẳng qua A và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x y z2 x y z 0 24) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (18)