*C¸ch gi¶i: *Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng ,biến đổi phơng trình đã cho về các dạng phơng trình đã biết cách giải phơng trình bậc nhất ,phơng trình dạng tích để tìm nghiÖm cña ph¬[r]
(1)PhÇn I:Më ®Çu I/ Lí chọn đề tài: To¸n häc lµ m«n khoa häc, lµ nÒn t¶ng cho c¸c m«n khoa häc kh¸c, cã øng dông hÇu hÕt c¸c lÜnh vùc cña cuéc sèng To¸n häc gi÷ vai trß quan träng mäi bậc học Làm nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt mà không phải lúc nào giải đợc cách đễ dàng Với cơng vị là giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ để tìm phơng pháp tốt phù hợp với đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức cách chủ động, nhẹ nhàng cóhiệu Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán bậc trung học sở tôi nhận thấy mảng giải phơng trình bậc cao đợc đa sách giáo khoa lớp 8, là khiêm tốn, nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi Bên cạnh đó là các nội dung bµi tËp øng dông th× rÊt phong phó, ®a d¹ng vµ phøc t¹p C¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ nội dung thờng gặp các kỳ thi Bậc THCS, THPT và đặc biệt các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng XuÊt ph¸t tõ tÇm quan träng cña néi dung, tÝnh phøc t¹p hãa g©y nªn sù trë ng¹i cho häc sinh qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi ph¬ng tr×nh bËc cao Cïng víi sù tÝch luü kinh nghiÖm có đợc thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là hớng dẫn tận tình các thầy cô giáo, tôi xin đề xuất số phơng pháp giải phơng trình bậc cao và các bài tập minh họa ch¬ng tr×nh to¸n THCS Qua đề tài, tôi mong thân mình tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại đợc số dạng toán giải phơng trình bậc cao, nêu lên số phơng pháp giải cho dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng việc giải phơng trình bậc cao Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đợc khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ Từ đó hình thành cho học sinh khả t sáng tạo học tËp Trong đề tài này tôi nêu số cách giải phơng trình bậc cao đa phơng trình quen thuộc và phơng trình đã biết cách giải Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán và nh÷ng häc sinh yªu thÝch m«n to¸n tham kh¶o c¸ch gi¶i vµ c¸ch tr×nh bµy Tuy vËy ,néi dung đề tài còn hạn chế lực thân Vì tôi mong nhận đợc ý kiến đóng góp các thầy cô giáo để đề tài này đợc hoàn thiện T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n quý thÇy c« vµ c¸c em häc sinh trêng THCS ThuËn TiÕn, quý thầy cô trờng đại học s phạm Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ và hớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này II/ MôC §ÝCH – NHIÖM Vô CñA §Ò TµI - Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao cách đa các dạng phơng trình đã biÕt c¸ch gi¶i hoÆc c¸c d¹ng quen thuéc - C¸c vÝ dô minh ho¹ - Rèn kĩ vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao - Cñng cè vµ híng dÉn häc sinh lµm bµi tËp iII/ đối tợng nghiên cứu - Häc sinh líp trêng THCS ThuËn TiÕn - Hßn §Êt - Kiªn Giang Iv/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu - Tham kh¶o tµi liÖu ,thu thËp tµi liÖu - Ph©n tÝch ,tæng kÕt kinh nghiÖm (2) - KiÓm tra kÕt qu¶: Dù giê, kiÓm tra chÊt lîng HS, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, ®iÒu tra trùc tiÕp th«ng qua c¸c giê häc Phần II :Nội dung đề tài I/ C¬ së lÝ luËn: 1.Mục đích, ý nghĩa việc dạy giải phơng trình bậc cao: - Bµi tËp to¸n gióp cho HS cñng cè kh¾c phôc nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng (vÒ to¸n häc nãi chung còng nh vÒ phÇn ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ch¬ng tr×nh d¹y to¸n líp 9)theo ph¬ng ph¸p tinh gi¶m dÔ hiÓu - Bµi tËp vÒ “ ph¬ng ph¸p quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai” nh»m rÌn luyÖn cho HS nh÷ng kÜ n¨ng thùc hµnh gi¶i to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai.RÌn luyÖn cho HS c¸c thao t¸c t ,so s¸nh ,kh¸i qu¸t ho¸ ,trõu tîng ho¸ ,t¬ng tù - Rèn luyện cho HS các lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu dễ dàng các m«n häc kh¸c ë trêng THCS Më réng kh¶ n¨ng ¸p dông kiÕn thøc vµo thùc tÕ - Bµi tËp “Ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai” cßn gãp phÇn rÌn luyÖn cho HS đức tính cẩn thận ,sáng tạo C¸c kÜ n¨ng ,kiÕn thøc häc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao: - Các quy tắc tính toán các kiến thức đại số : - Các đẳng thức đáng nhớ - PhÐp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö II/ Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n gi¶i ph¬ng tr×nh: Các định nghĩa : 1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh : Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa mét biÕn x Khi nãi A(x) = B(x) lµ mét ph¬ng trình, ta hiểu phải tìm giá trị x để các giá trị tơng ứng hai biểu thức này Biến x đợc gọi là ẩn Giá trị tìm đợc ẩn gọi là nghiệm ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh Mçi biÓu thøc gäi lµ mét vÕ cña ph¬ng 1.2 Tập xác định phơng trình : Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc ph¬ng tr×nh cã nghÜa 1.3 Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng : Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng chúng có cùng tập hợp nghiệm 1.4 Các phép biến đổi tơng đơng : Khi giải phơng trình ta phải biến đổi phơng trình đã cho thành phơng trình tơng đơng với nó ( nhng đơn giải hơn) Phép biến đổi nh đợc gọi là phép biến đổi tơng đơng Các định lý biến đổi tơng đơng phơng trình : a) Định lý :Nếu cộng cùng đa thức ẩn vào hai vế phơng trình thì đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho VÝ dô : 2x = <=> 2x + 5x = +5x * Chó ý : NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng trình thì phơng trình có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho Ví dụ : x -2 (1) Không tơng đơng với phơng trình x − 2+ 1 = x − x −2 V× x = lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2) * HÖ qu¶ 1: NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ cña mét ph¬ng tr×nh đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho (3) VÝ dô : 8x -7 = 2x + <=> 8x- 2x = + * Hệ :Nếu xoá hai hạng tử giống hai vế phơng trình thì đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho VÝ dô : -9 - 7x = ( x +3) -7x <=> -9 = x ( x + 3) * Chú ý : Nếu nhân hai vế phơng trình với đa thức ẩn thì đợc phơng trình có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho b) Định lý 2:Nếu nhân số khác vào hai vế phơng trình thì đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho VÝ dô : x - 3x = ⇔ 2x2 - 12x = ( Nh©n hai vÕ víi ) IIi/ nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶I ph¬ng tr×nh: 1.Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn : Phơng trình có dạng ax + b = 0, với a, b là số; a 0 đợc gọi là phơng trình bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù C¸ch gi¶i : - Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t : a x+b=0 (a#0) (1) - Dùng phép bién đổi tơng đơng , Phơng trình (1) trở thành : a x=-b x=-b/a Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm nhÊt : x= −b a (a 0) Ph¬ng tr×nh bËc cao: 2.1 Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn : Phơng trình bậc hai ẩn số là phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0; đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a *C¸ch gi¶i: *Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng ,biến đổi phơng trình đã cho các dạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc ,phơng trình dạng tích ) để tìm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh *Khi nghiªn cøu vÒ nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai a x2 +b x +c=o (a 0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số Δ phơng trình: Δ =b2- 4ac Vì biểu thức Δ = b2- 4ac định nghiệm số phơng trình bậc hai Ta thÊy cã c¸c kh¶ n¨ng sau x¶y : a , Δ <0 ph¬ng tr×nh bËc hai v« nghiÖm b , Δ =0 ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm kÐp (hai nghiÖm trïng nhau): x ❑1 =x ❑2 = − b 2a c , Δ >0 ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x ❑1 = − b+ √ Δ 2a ; x ❑2 = − b+ √ Δ 2a *Chó ý : - NÕu a vµ c tr¸i dÊu , nghÜa lµ a.c<0 th× ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm ph©n biÖt (v× ac<0 =>b2-4ac >0 hay Δ >0 ) - Đối với số phơng trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trờng hợp có nghiÖm ( Δ ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm (4) §Þnh lÝ Vi Ðt : NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai a x + bx +c = (1) lµ : x ❑1 , x th× tæng vµ tÝch hai nghiÖm lµ ( a ) cã hai nghiÖm S =x ❑1 + x = − b a c a P=x ❑1 x = C¸ch nhÈm nghiÖm : c a + NÕu a+b+c =0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã c¸c nghiÖm lµ x ❑1 =1; x 2=¿ + NÕu a-b+c=0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã c¸c nghiÖm lµ x ❑1 =−1 ; x2 = - −c a Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm đợc nghiệm các phơng trình có dạng đặc biệt Ngoài chúng ta có thể làm đợc số bài toán biện luận số nghệm ph¬ng tr×nh bËc hai Sau dạy định lí Vi ét tôi cho HS giải các phơng trình bậc hai qua lợc đồ sau : ax2 + bx + c = ( a0) Xác định các hệ số a,b,c =0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = ; x2 = =0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = -1 ; x2 = TÝnh a + b + c TÝnh a - b + c TÝnh <0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm =0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = >0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = ; x2 = (5) VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau a , 3x2+5x +7 = Δ = 25 – =25 - 84 =- 61 <0 VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b, x2 +2 √ 10 x +2 = Δ = (2 √ 10 )2 -4.5.2 =0 nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x ❑1 =x ❑2 = − b 2a = − √ 10 c , 3x2+5x - = Δ = 52 - (-1) =25+12 =37 >0 VËy PT cã hai nghiÖm lµ : d/ Gi¶i ph¬ng tr×nh x ❑1 = − 5+ √ 37 x -3x +6 = x −3 ; x ❑2 = − − √ 37 (1) x2 -9 -Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö ph¬ng tr×nh trë thµnh x -3x +6 = x −3 (x-3)(x+3) x +3 TX§ : hay x 3vµ x -3 x-3 MTC : (x-3)(x+3) -Khử mẫu ta đợc phơng trình x -3x +6 =x+3 - ChuyÓn vÕ : x -3x +6 -x-3=0 x -4x +3 =0 (2) V× a+b+c= 1+(-4) +3 =0 Nªn x1=1 ; x2=c/a =3 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trung gian (6) - §Ó kÕt luËn nghiÖm cña (1) ta cÇn ph¶i kiÓm tra xem c¸c nghiÖm cña (2) cã thuéc TX§ cña (1) hay kh«ng ? ë ®©y ta nhËn thÊy x1=1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 2=3 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -Do đó ta kết luận nghiệmcủa (1) là x=1 *NhËn xÐt : -Những phơng trình đợc trình bày trên là dạng phơng trình gặp nhiều THCS - Khi giải các phơng trình này ta cần chú ý vấn đề sau : + T×m TX§ cña ph¬ng tr×nh + Sau giải đợc kết cần so sánh kết và kết luận nghiệm ( loại bỏ nghiệm phơng trình trung gian không nằm miền xác định ) * Bµi luyÖn tËp:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a ,3(x2+x) -2(x2+x ) -1= b, 5x2 - 7x = x +5 x −3 − = − x − x +5 2x x − x +8 = d, x +1 ( x +1)( x − 4) 3x 2x e, − =−1 x 2− x+3 x − x +3 c, 2.2 Ph¬ng tr×nh bËc ba a x3 +bx2 +cx =d =0 ( đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0) * C¸ch gi¶i : -Để giải phơng trình bậc ba ta thờng biến đổi phơng trình tích Vế trái là tích các nhị thức bậc và tam thức bậc hai , vế phải Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi HS ph¶i cã kÜ n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö mét c¸ch thµnh th¹o *VÝ dô : gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3 +7x2 +7x + 2=0 Gi¶i Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö ta cã VT = (2x3 + 2) + (7x2 +7 ) = 2(x3 +1) + 7x (x+1) = 2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1) = (x+1)[2(x2-x +1) +7x ] = (x+1) (2x2+5x +2) Vậy phơng trình đã cho (x+1) (2x2+5x +2) =0 x +1 =0 (2) (2x2+5x +2) =0 (3) x1 =-1 x 2=-2 ; x3 = - Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là x1 =-1 ; x 2=-2 ; x3 = - *NhËn xÐt : Khi gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc ba ta kh«ng nghiªn cøu c¸ch gi¶i tæng qu¸t mµ chñ yÕu dïng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình dạng phơng trình tích - Chó ý : tÝnh chÊt cña ph¬ng tr×nh bËc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0) +NÕu a+b+c +d =0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x=1 +NÕu a-b+c-d =0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x= -1 Khi đã nhận biết đợc nghiệmcủa phơng trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử - Ph¬ng tr×nh : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a ) víi c¸c hÖ sè nguyªn NÕu cã nghiÖm nguyªn thì nghiệm nguyên đó phải là ớc hạng tử tự (đ/l tồn nghiệm nguyên phơng tr×nh nghiÖm nguyªn ) (7) - NÕu ph¬ng tr×nh : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a ) cã nghiÖm x1 ; x2 ; x3 Thì nghiệm đó thoả mãn các điều kiện sau: x1+x2+x3 = - b a x1x2+ x2x3 +x1x3 = x1x2x3 = - c a d a * Bµi luyÖn tËp:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, 2x3 - 5x2 - 3x = b, x3 - 7x + = c, x3 - 5x2 + x + = d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = f, 3x3 - 7x2 + 17x - = 2.3 Ph¬ng tr×nh bËc : Ph¬ng tr×nh bËc d¹ng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0) Một phơng trình bậc mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy PT bậc hai 2.3.1 Ph¬ng tr×nh tam thøc bËc (Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ) Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã d¹ng tæng qu¸t : a x4 +bx +c=0 (1) Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0) *C¸ch gi¶i : Khi giải phơng trình này ta dùng phơng pháp đổi biến x =t (t 0) (2) Khi đó phơng trình (1) da đợc dạng phơng trình bậc hai trung gian a t2 +b t +c =0 (3) Giải phơng trình (3) thay giá trị t tìm đợc ( với t 0) vào (2) ta đợc phơng trình bậc với biến x giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm phơng trình trùng phơng ban ®Çu *VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4x - 109x2+ 225 =0 (1) Gi¶i §Æt x =t (t 0) ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh 4t2 – 109t +225=0 (2) Giải phơng trình (2) đợc nghiệm là t1 = ; t2 =25 Cả hai nghiệm phơng trình (2) thoả mãn điều kiện t + Víi t1 = ta cã x 2= => x1=3/2 ; x2= -3/2 + Víi t2=25 ta cã x2= 25 => x3 =5 ; x4=-5 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ : x1=3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4=-5 * NhËn xÐt : - Khi nghiªn cøu sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng (1) ta thÊy : - Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm : + HoÆc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiÖm +HoÆc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian cã cïng hai nghiÖm ©m - Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã hai nghiÖm : + HoÆc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian cã hai nghiÖm kÐp d¬ng + Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm đó có nghiệm âm và mét nghiÖm d¬ng - Phơng trình trùng phơng có nghiệm phơng trình bậc hai có nghiệm đó có nghiÖm d¬ng vµ mét nghiÖm b»ng (8) - Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã nghiÖm ph¬ng tr×nh hai trung gian cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt * Bµi luyÖn tËp:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, 4x4 + x2 - = b, 3x4 + 4x2 + = c, 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2 d, 9x4 - 10x2 + = 2.3 Phơng trình hệ số đối xứng bậc a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0) - Đặc điểm : vế trái các hệ số các số hạng cách số hạng đầu và số hạng cuối th× b»ng * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 10 x4-27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) Ta nhËn thÊy x=0 kh«ng ph¶I lµ nghiÖm cña (1) Do đó chia hai vế (10 cho x2 ta đợc 27 10 + x x2 10x2 -27x – 110 - =0 Nhóm các số hạng cách hai số hạng đầu và cuối thành nhóm ta đợc PT §Æt Èn phô 1 ) (x x) ) -110 =0 10( x2 + x (2) 1 (x+ ¿ =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vµo (2) ta cã x x 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t1=5 + Víi t1=+Víi ; t 2= (x+ 26 5 26 ; t 2= ¿ x =- 2x2 +5x+2=0 cã nghiÖm lµ x1=-2 ; x2=-1/2 (x+ ¿ x = 26 5x2-26x+5 =0 cã nghiÖm lµ x3=5 ; x4=1/5 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiÖm lµ S= {−12 ; −2 ; 15 ;5 } * NhËn xÐt : - VÒ ph¬ng ph¸p gi¶i gåm bíc +NhËn xÐt x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) ta chia c¶ hai vÕ (1) cho x 2råi nhóm các số hạng cách hai số hạng đầu và cuối thành nhóm ta đợc phơng trình (2) +§Æt Èn phô : (x+ ¿ x =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vµo (2) x +Giải phơng trình đó ta đợc t +Thay các giá trị t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1) - VÒ nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh: x0 lµ nghiÖm cña (1) th× x0 còng lµ nghiÖm cña nã (ví dụ trên : -2 là nghiệm và -1/2 là ngịch đảo nó là nghiệm ;5 và 1/5là nghịch đảo nhau) * Bµi luyÖn tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : (9) a, x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + = b, x + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + = c, x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + = d, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + = e, x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + = 2.3 3.Ph¬ng tr×nh håi quy : Ph¬ng tr×nh bËc d¹ng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a vµ d ¿ b ;(c c =¿ a 0) Đối với phơng trình hệ số đối xứng bậc 4chỉ là trờng hợp đặc biệt phơng tr×nh håi quy *Chó ý:Khi c a =1hay a=c thì d= ± b; lúc đó (1) có dạng a x + bx 3+ cx2 ± bx +e =0 *C¸ch gi¶i: -Do x=0 không phảilà nghiệm phơng trình (1) nên chia hai vế cho x2 ta đợc a x2 +bx +c + - Nhãm hîp lÝ - §æi biÕn d c + x x2 =0 (2) c d ¿+ b(x + )+c=0 bx ax d đặt x+ =t bx d d ¿+2 =t => x2 +( (d/b)2 =c/a b bx a (x2 + nªn x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b Khi đó ta có phơng trình a(t2 - d ) bt +c =0 b - Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 - Giải (3) ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu * VÝ dô Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) (3) NhËn xÐt 4/1=( − ¿ ; Nªn ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh håi quy ¿ x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) Do đó chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc x2- -4x -9 + (x2 + * §Æt ( x - ) =t x ¿ x2 + x x2 - 4( x - (3) => ( x2 + Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh ¿ x2 =0 ) -9 =0 x (2) =t2 +4 thay vµo (2) t2-4t -5 =0 cã nghiÖm lµ t1=-1 ; t2=5 +Víi t1=-1 x2+x-2=0 cã nghiÖm lµ x1= 1; x2= -2 (10) + Víi t2=5 x2 -5x -2 =0 cã nghiÖm lµ x3,4 = Vậy tập nghiệm phơng trình đã cho là S= ± √ 33 ± 33 ; −2 ; √ { } *NhËn xÐt : - Cũng tơng tự nh giải phơng trình bậc hệ số đối xứng , khác bớc đặt ẩn phụ §Æt x+ m bx =yb => x2 + 2.3 Ph¬ng tr×nh d¹ng : m2 2m = y2 − 2 b b x (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c) *C¸ch gi¶i : nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) triển khai các tích đó Khi đó phơng trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k cã thÓ lµ ad hoÆc bc ) ta cã ph¬ng tr×nh At2 +Bt+ C =0 (Víi A=1) Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) giải tìm đợc nghiệm x * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) nhËn xÐt 1+7 =3+5 Nhãm hîp lý (x+1) (x+7 ) (x+3) (x+5 ) +15=0 (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta đợc t( t+ 8) + 15=0 y2 +8y +15 =0 cã nghiÖm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc hai phơng trình 1/ x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √ 2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ S = { −2 ; −6 ; − ± √ } * NhËn xÐt : -Đối với phơng trình có dạng đặc biệt nh trên ,nếu ta khai triển vế trái ta đợc phơng trình bậc ( thờng là loại bậc đầy đủ ) Đối với HS THCS việc giải là khó khăn V× vËy tõ viÖc nhËn xÐt tæng hai cÆp hÖ sè cña ph¬ng tr×nh b»ng råi nhãm mét c¸ch hợp lí Khi khai triển nhóm ,ta đổi biến phơng trình và đa phơng trình bậc hai trung gian - Ta thÊy nÕu ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiÖm th× ph¬ng tr×nh ban ®Çu còng v« nghiÖm NÕu ph¬ng tr×nh trung gian cã nghiÖm th× ta tr¶ biÕn l¹i vµ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh bËc hai biến x, nghiệm phơng trình này là nghiệm phơng trình ban đầu * Bµi luyÖn tËp: 1.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680 c, (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810 d, (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 2.Cho ph¬ng tr×nh: (x+3)(x+5)(x+9)(x+7) = m a, Tìm m để phơng trình có nghiệm b, Gi¶i vµ biÖn luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (11) c, Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2.3.5 Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó xlà ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) *C¸ch gi¶i : Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng (x+a) và (x+b) §Æt a+b a− b x+a =t+ a− b x+b=t t =x+ Ta cã Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( a+b )2 t2 + 2( a+b )4 –c =0 Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải *VÝ dô Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (x+3)2 +(x-1)4 =626 §Æt t = x+1 Ta cã ph¬ng tr×nh (t+2)4 + (t – 2)4 =626 9t +8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 cã nghiÖm lµ t=-3 vµ t=3 Từ đó tìm đợc x=2 và x=-4 là nghiệm phơng trình đã cho * Bµi luyÖn tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, (x + 5)4 + (x +3)4 = b, (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 c, (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2.3.6.Ph¬ng tr×nh d¹ng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = (trong đó x là ẩn ;a ; f(x) lµ ®a thøc mét biÕn ) *C¸ch gi¶i: - T×m TX§ cña ph¬ng tr×nh - đổi biến cách đặt f(x) =t ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải +/nÕu (2) cã nghiÖm lµ t=t0 th× ta sÏ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh f(x) =t +/ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(x) =t0 (nÕu tho¶ m·n TX§ cña ph¬ng trình đã cho ) là nghiệm phơng trnhf (1) * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 Vậy ta có phơng trình tơng đơng : (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0 §Æt x + 3x =t (2) Ta cã PT : t2 -4t +3 = cã nghiÖm lµ t1=1 ;t2=3 Víi t1=1 x + 3x = x2 +3x -1=0 cã nghiÖm lµ x1 , = Víi t2=3 x2+ 3x = x2+ 3x – =0 cã nghiÖm x3, = các nghiệm này thoả mãn TXĐ − ± √ 13 − ± √ 21 (12) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 , = − ± √ 13 x3, = − ± √ 21 ; *NhËn xÐt : -Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đa phơng trình a[ f(x)]2 +b f(x) +c = dạng phơng trình bậc hai đã biết cách giải - Tuy nhiên có số phơng trình phải qua số phép biến đổi xuất dạng tổng quát ( ví dụ trên ) Cũng nh số loại phơng phơng trình khác mà tôi đã giới thiệu trên sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ban ®Çu phô thuéc vµo nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian *Chó ý : - Tất các phơng trình đã đề xuất trên thực chất chúng có dạng tổng quát a[ f(x)]2 +b f(x) +c = (1) (sau đã biến đổi ) - Phơng trình trùng phơng kể phơng trình bbậc hai là dạng đặc biệt ph¬ng tr×nh a x2n+ bx n +c = Gäi lµ ph¬ng tr×nh tam thøc (trong đó x là ẩn ;a ;n 1) Và các phơng trình này dạng đặc biệt phơng trình (1) trên Với f(x)=xn * Bµi luyÖn tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, x4 + = 5x(x2 - 2) c, x4+6x3+5x2-12x+3=0 b, x + = 5x(x - 3) *Ngoài các phơg trình bậc cao có dạng đặc biệt nêu trên mà giải đa đợc dạng mét ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian *Sau ®©y ta nghiªn cøu mét sè ph¬ng tr×nh bËc cao kh¸c: 2.4 Ph¬ng tr×nh tam thøc Ph¬ng tr×nh tam thøc d¹ng : a x2n + bxn +c=0 (1) (a, b, c lµ c¸c sè thùc ;n nguyªn d¬ng ;n ; a 0) * Nếu a, b, c đồng thời khác không và n=2 thì phơng trình (1) là phơng trình trùng phơng đã nghiên cứu trên * XÐt trêng hîp n>2 -Ta đặt xn =t - §Ó t×m nghiÖm cña (1) ta gi¶i hÖ sau : xn =t a t2 + bt +c =0 * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x6- 9x3+8=0 (1) C¸ch 1: §Æt x3 = t ta cã ph¬ng tr×nh t2 -9t +8= cã nghiÖm t1 =1 ; t2 =8 -Víi t1 =1 <=> x3 =1 <=> x=1 -Víi t2 =8 <=> x3= <=> x=2 C¸ch : §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch (1) (x6 – x3) –( 8x3-8) =0 ( x3 -1) (x3 -8) =0 <=> (x3 -1) =0 hoÆc (x3 -8) =0 <=> x=1 hoÆc x=2 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x=1 ; x=2 *Bµi luyÖn tËp: gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a, 8x6 - 5x3 + = b, 10x4 - 6x2 - 121 = 2.5 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) phơng trình đối xứng bậc lẻ (bậc 5) có dạng : a x5 +bx4 + cx3 +cx2 +bx+a =0 * VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0 Ph¬ng t×nh nµy cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- Nên biến đổi phơng trình dạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta giải phơng trình (13) 2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 *Nhận xét : Phơng trình đối xứng có các nghiệm là x=-1 đó băng cách chia hai vế phơng trình cho x+1 ta hạ đợc bậc phơng trình thành phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n -Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n x đợc đa phơng trình bậc n t cách đặt t =x+ x - Nếu a là nghiệm phơng trình đối xứng thì 1/a là nghiệm phơng trình chính vì phơng trình đối xứng dù chãn hay lẻ bậc còn đợc gọi là phơng trình thuận nghịch bậc ch½n hay bËc lÎ) * Bµi luyÖn tËp:Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x5 + 5x4 - 13x3 - 13x2 + 5x + = 2.6 Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao đa đợc dạng tích VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) Phơng trình (1) không thuộc các phơng trình đã xét trên Do đó đẻ giải phơng trình này ta đa dạng tích cách phântích vế trái thµnh tÝch cña c¸c ®a thøc bËc nhÊt hoÆc bËc hai (1) <=> x2( x-1)+ 5x(x-1) -24(x-1 ) =0 <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0 x-1 =0 <=> x2 +5x-24=0 *x-1=0 <=> x 1=1 * x2+5x-24=0 cã hai nghiÖm lµ x1= ; x2=-8 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1= ; ; x2=-8 ; x3=3 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+ 4x3+3x2+2x-1=0 (2) <=> (x2+2x)2 –(x-1)2 =0 <=> (x2+x+1 )( x2+3x-1 )=0 (x2+x+1 =0 <=> x2+3x-1 =0 * x +x+1 =0 v« nghiÖm (V× Δ = -3 <0 ) * x2+3x-1 =0 cã nghiÖm lµ x1, = − ± √ 13 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là x1, = − ± √ 13 * NhËn xÐt : - Đối với các phơng trình bậc cao không thuộc dạng đã nêu trên Thì cách giải thích hợp đối HS THCS là tìm cách đa phơng trình dạng tích đối vế trái và vế phải Nh các phơng trình thờng đợc đa tập các phơng trình bậc bậc hai - Sè nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh ®Çu phô thuéc vµo sè nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh tơng đơng * Bµi luyÖn tËp:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, 4x3 - 12x2 + 7x + = b, x8 + = c, (2x2 + x-4)2 - (2x-1)2 = PhÇn iii: kết đạt đợc: Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn HS lớp và truyền thụ cho häc sinh hÖ thèng c¸c d¹ng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i nªu trªn t«i nhËn thÊy ®a sè häc sinh n¾m v÷ng dîc kiÕn thøc vµ gi¶i thµnh th¹o d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao Víi hÖ (14) thống kiến thức, các dạng toán và phơng pháp giải đợc xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì đã hình thành cho học sinh niềm thích thú gặp các dạng toán này Đơng nhiên hệ thống kiến thức trên dừng lại đối tợng học sinh có học lực trung bình và khá, còn học sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu h¬n vµ bæ sung c¸c d¹ng to¸n phong phó h¬n PhÇn Iv:KÕt luËn Phơng pháp dạy học ngời thầy để học sinh nắm bắt đợc nội dung cần thiết là quá trình nghệ thuật Để giúp các em học sinh nắm đợc bài, hiểu bài và yêu môn học, cã høng thó c¸c giê häc, nhÊt lµ say mª víi nh÷ng bµi tËp khã Th× ®©y lµ c¶ mét qu¸ trình tích luỹ phơng pháp giảng ngời thầy, không sớm chiều có đợc mà phải là quá trình rèn giũa, tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm, nghiên cứu đối tợng thì làm cho học sinh yêu quý môn học và khao khát đợc học D¹y cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp cã ý nghÜa v« cïng quan träng §ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i say mª víi nghÒ nghiÖp, kiªn tr×, tËn tuþ víi häc sinh, t¹o cho häc sinh cã thãi quen t vµ kh¶ n¨ng lËp luËn Phơng pháp giảng môn Toán bậc THCS môn đại số phần chơng trình,bản thân tôi đã đúc rút đợc quá trình giảng dạy chừng mực nào đó vấn đề dạy và học Phơng pháp tìm lời giải cho các bài tập thực có tác dụng giúp học sinh làm quen với phơng pháp t duy, phơng pháp làm bài Tìm cách giải đó xác định rõ các bớc cần tiến hành theo trình tự lôgíc để hoàn thành bài giải Một số cách giải phơng trình bậc cao đa phơng trình bậc và bậc hai chơng trình lớp 8, mà thân tôi đã đúc rút quá trình giảng dạy Trong chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phơng pháp tìm lời giải các bài tập thực có tác dông cho c¸c d¹ng bµi tËp gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p suy nghÜ, t×m tßi Gi¸o viên cần có yêu cầu cụ thể đối tợng học sinh, tăng cờng công tác kiểm tra bài cũ, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng c¸ch gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n häc, Ø n¹i vµ chê gi¸o viªn ch÷a bµi tËp Bản thân tôi lần đầu tiên nghiên cứu đề tài này, tôi đã trao đổi tham khảo, bàn bạc, xin ý kiến các thầy cô trớc và các thầy cô giáo dạy môn Toán nhà trờng Song đây là vấn đề mà bài toán có vô vàn cách giải khác Bản thân tôi kính mong các thầy cô trớc tạo điều kiện giúp đỡ tôi, đóng góp cho tôi nhiều ý kiến hay và bổ ích để tôi tiếp tục giảng dạy cho các em học sinh đạt kết cao suốt qu¸ tr×nh d¹y häc cña t«i Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Kiªn Giang, ngµy 15/08/2010 Ngêi thùc hiÖn Vò ThÞ Thuý H»ng (15) Tµi liÖu tham kh¶o §¹i sè NXB Gi¸o Dôc Ng« H÷uDòng -TrÇn KiÒu Ng« H÷uDòng - TrÇn KiÒu §µoNgäc Nam-T«n Nh©n Bài tập đại số NXB Gi¸o Dôc Vò H÷u B×nh Một số vấn đề phát triển đại số NXB Gi¸o Dôc Hoµng Chóng Để học tốt đại số NXB Gi¸o Dôc Bïi V¨n TuyÓn Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn NXB Gi¸o Dôc đề toán Vò D¬ng Thuþ NguyÔn Ngäc §¹m Toán nâng cao và các chuyên đề đại số T«n Th©n -Vò H÷u B×nh NXB Gi¸o Dôc C¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i NXB Gi¸o Dôc to¸n NguyÔn Vò Thanh - Bïi V¨n TuyÓn (16) Bµi so¹n : Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai I/ Môc tiªu : - HS n¾m v÷ng c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng vµ ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu thøc - HS giải thành thạo số phơng trình có thể đa đợc dạng bậc hai nh: phơng trình trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu vµ mét vµi d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao cã thÓ đa phơng trình tích giải đợc nhờ ẩn phụ - RÌn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö II/ ChuÈn bÞ: GV: bảng phụ giấy ( đền chiếu )để ghi các câu hỏi , bài tập HS :B¶ng nhãm bót viÕt b¶ng ; «n l¹i c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch , vµ ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu thøc III/ TiÕn tr×nh d¹y häc : ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số KiÓm tra bµi cò ? Nêu cách giải phơng trình chứa ẩn mẫu đã học lớp ¸p dông, gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2x-5 =3 X+5 Bµi míi Đặt vấn đề: Nếu tử mẫu phơng trình trên là đa thức bậc thì giải phơng trình đó nh nào? Bài học hôm cho chúng ta câu trả lời Hoạt động GV Gv giíi thiÖu : Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4+bx2+c =0 (a 0) Gv yªu cÇu HS lÊy vÝ dô ? Làm thé nào để giải đợc các phơng trình này ? GV ®a vÝ dô ?muèn ®a ph¬ng tr×nh nµy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ta lµm thÕ nµo ? t ph¶i cã ®iÒu kiÖn g×? V× sao? ? Khi đó ta đợc phơng trình nào ? Ph¬ng tr×nh víi biÕn t lµ ph¬ng tr×nh bËc mÊy -Hãy giải phơng trình bậc hai đó ? ?Sau tìm đợc nghiện phơng tr×nh (2) ta ph¶i lµm g× ? a1 GV:các nghiệm đó thoả mãn đ/k Vậy để tìm đợc nghiệm x ph¬ng tr×nh (1) ta ph¶i lµm g× ? ?H·y kÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) ? GV: Yêu cầu HS hoạt động nhóm lµm ?1 ë (sgk/55) Gv bæ sung thªm hai c©u n÷a Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a ,4x4 +x2-5=0 (1) b ,3x4 +4x2+1=0 (2) GV cho HS lµm phót råi Hoạt động HS Néi dung 1.Ph¬ng tr×nh trïng HS ghi d¹ng TQ cña ph¬ng ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax4+bx2+c =0 (a 0) VD: 2x4-3x2+1= HS :Nªu vÝ dô 5x4-16=0 HS : Biến đổi để đa các phơng 4x4+x2 =0 tr×nh nµy vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh bËc hai VÝ dô :Gi¶i ph¬ng tr×nh x4-13x+36=0 (1) HS :Ta đổi biến cách đặt Giải: x2=t §Æt x2=t (t 0) HS: t v× x (1) t2 -13t +36=0 (2) HS: t2 -13t +36=0 Giải (2) ta đợc: t1=4 ; t2=9 HS lªn b¶ng gi¶I t×m nghiÖm * x2=t1=4<=> x=2 lµ t1=4 ; t2=9 HoÆc x=-2 HS: Ta so s¸nh c¸c gi¸ trÞ t×m đợc t với đ/k trên * x2=t2=9<=> x=3 hoÆc x=-3 HS: * x2=t1=4<=> x=2 VËy ph¬ng trình đã cho HoÆc x=-2 cã nghiÖm lµ x = ; x2=t2=9<=> x=3 hoÆc x=-2; x=3; x=-3 x=-3 Vậy phơng trình đã cho có ?1: 4x4+x2-5=0 (1) 4nghiÖm lµ x=2 ; x=-2 ; x=3 ; a, §Æt t = x2, (t 0) x=-3 (1) 4t2 +t-5=0 HS chia lµm 4nhãm: -nhãm ,2 lµm c©u a t1 = 1=>x1=1;x2=-1 -nhãm ,4 lµm c©u b t2= -5/4 (lo¹i) PT cã nghiÖm x1=1;x2=-1 b, 3x4+4x2+1=0 (2) HS NhËn xÐt (17) yªu cÇu tr×nh bµy b¶ng nhãm GV cho HS nhËn xÐt ,söa bµi lµm cña mçi nhãm ? Qua c¸c vÝ dô trªn em cã nhËn xÐt g× vÒ sè nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng §Æt t = x2, (t 0) (2) 3t2 +4t +1=0 HS:Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng t1 = -1(lo¹i) cã thÓ v« nghiÖm ,1nghiÖm ,2 t2= -1/3 (lo¹i) nghiÖm , 3nghiÖm ,vµ tèi ®a lµ PT v« nghiÖm nghiÖm 2.Ph¬ng tr×nh chøa Èn GV giíi thiÖu pt (1) ë mÉu thøc ?Phơng trình này có gì đặc biệt ? HS: lµ d¹ng ph¬ng tr×nh chøa x −3 x+ (1) = ? Để giải giải phơng trình đó bớc ẩn mẫu thức x −3 x − ®Çu tiªn ta ph¶i lµm g× ? ? H·y t×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh - Bíc 1: T×m §KX§ cña ph§KX§: x Gv yªu cÇu HS tiÕp tôc gi¶i ph¬ng ¬ng tr×nh 2-3x+6=x+3 (1)<=> x tr×nh HS : x <=>x2-4x+3=0 HS gi¶i tiÕp =>x1=1 (TM§K) GV cho HS lµm bµi tËp 35/b,c x2=c/a=3 (lo¹i ) (sgk/56) VËy nghiÖm cña ph¬ng Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : tr×nh lµ x=1 HS1:Llµm c©u b x+ b, +3= BT 35: HS2 Lµm c©u c x −5 2−x b, x ; x ≠ -c¶ líp cïng lµm vµ nhËn xÐt − x − x +2 gi¶irata cã x1=4 (T/M) vµ ch÷a bµi cña b¹n trªn b¶ng c, = x2=-1/4 (T/M) x +1 ( x +1)( x+2) c, x −1 ; x ≠ −2 GV yªu cÇu hai HS lªn b¶ng tr×nh bµy gi¶ira tacã x1=-2(lo¹ i) GV cho HS NhËn xÐt söa bµi x2=-3 (T/M) ? Vậy giải các phơng trình chứa HS Nêu đợc bớc giải Èn ë mÉu thøc ta thùc hiÖn nh thÕ * C¸ch gi¶i: SGK -T×m TX§cña ph¬ng tr×nh nµo ? -Khö mÉu ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng nguyªn -Giải phơng trình đó -So s¸nh kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi nghiÖm 3.Ph¬ng tr×nh tÝch HS :ph¬ng tr×nh cã bËc -ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh tö x5 -9x3 =0 HS: x -9x =0 <=> x3(x2 - 9) =0 <=> x (x - 9) =0 <=> x3(x-3) (x+3 ) =0 <=> x (x-3) (x+3 ) =0 <=> x3=0; x-3=0; x+3=0 ?Nh¾c l¹i c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch <=> x=0; x=3; x=-3 A=0 x3=0 x=0 Pt cã nghiÖm A.B =0 <=> <=> x-3=0 <=> x=3 B=0 x+3=0 x=-3 ?¸p dông gi¶i ph¬ng tr×nh trªn VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ? Em cã nhËn xÐt g× gi¶i c¸c lµ x=o ;x=-3 ;x=3 ph¬ng tr×nh cã bËc lín h¬n bËc HS :§Ó gi¶i c¸c PT cã bËc lín h¬n hai : -§a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch -NÕu lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng d¹ng a x4+bx2+c=0t th× ta ?3: x3 + 3x2 +2x = đặt ẩn phụ t=x2> 0đa bậc <=> x(x2 +3x +2) = Cho hs lµm ?3 HS lµm bµi <=> x = 0; Gäi HS lªn b¶ng lµm x2 +3x +2 = => x=-1; x = -2 ?Ph¬ng tr×nh cã bËc mÊy ? ?Làm nào để đa phơng trình bËc hai? ?h·y ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö (18) pt cã nghiÖm Cñng cè - LuyÖn tËp Cho hs lµm bµi tËp GV yªu cÇu hai HS lªn b¶ng tr×nh bµy Gäi hs nhËn xÐt ? nªu l¹i c¸ch gi¶i PT trïng ph¬ng ? ? Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh cã Èn ë mÉu ta cÇn lu ý bíc nµo ? ? Ta cã thÓ gi¶i mét sè ph¬ng tr×nh bËc cao b»ng c¸ch nµo ? Hai HS lªn b¶ng lµm bµi tËp * LuþÖn tËp : HS nhận xết đánh giá bài làm Giải các phơng trình cña tõng b¹n sau : HS tr¶ lêi : a , 3x4-5x2-2=0 (1) - cÇn lu ý bíc t×m §KX§ -Đa dạng tích đặt ẩn (2) phô b , 2x − =0 x −1 x +1 5.Híng dÉn vÒ nhµ: - Xem lại các ví dụ bài để nắm vững cách giải loại phơng trình - Bµi tËp :34,35,36 (sgk/56); 45,46(sbt/45) - ChuÈn bÞ bµi häc tiÕp theo *X¸c nhËn cña BGH trêng THCS ThuËn TiÕn- Hßn §Êt - Kiªn Giang Môc lôc Trang PhÇn I: Më ®Çu I Lí chọn đề tài II Mục đích-nhiệm vụ đề tài III §èi tîng nghiªn cøu IV Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Phần II: Nội dung đề tài I C¬ së lÝ luËn II Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n gi¶i ph¬ng tr×nh Các định nghĩa Các định lí biến đổi tơng đơng phơng trình III Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn Ph¬ng tr×nh bËc cao 2.1 Ph¬ng tr×nh bËc hai Èn 2.2 Ph¬ng tr×nh bËc 2.3 Ph¬ng tr×nh bËc 2.4 Ph¬ng tr×nh tam thøc 2.5 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) 2.6 C¸c ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ d¹ng tÝch Phần III:Kết đạt đợc PhÇn IV: KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o Bµi so¹n: Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai 2 2 4 14 14 15 16 16 18 19 (19)