PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ... Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ A 2 11 2012 1 B 1 2011 2012 b/ Bài (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1 2 (2n) b/ Chứng minh : 2n 3n 4n A n n n Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A là phân số tối giản Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab ba là số chính phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o và với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o và góc BOy 48o c/ Gọi OE là tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao 2012 2011 2010 2009 Bài (3.0 điểm) : Cho A 10 10 10 10 a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A không phải là số chính phương Hết (2) GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A 11 2012 a/ 2.0 A (2 2012) (2012 2) : : 675697 1 B 1 2011 2012 b/ Câu B 2011 2012 2 3 4 2011 2011 2012 2012 2010 2011 B 2011 2012 B 2012 Câu a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 2.0 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x 1 55 y (1) 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 Để x nguyên thì 3y – Ư(-55) = +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y = (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) 2.0 +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 53 +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1 2n b/ Chứng minh : Ta có 1 1 (2n) 1 1 A 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1 1 1 1 1 1 A 4 n 1.2 2.3 3.4 (n 1)n A 1 1 1 1 1 A 41 2 3 ( n 1) n 2.0 (3) 1 1 A 1 n (ĐPCM) 2n 3n 4n A n n n Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên Ta có : 2n 3n 4n (2n 1) (3n 5) (4n 5) 2n 3n 4n n n n n n n n n 34 A 1 n n (2) A 1; 2; 4; 1; 2; 4 A nguyên n – Ư(4) = Câu b/ Tìm n để A là phân số tối giản => n 1.0 4;5; 7; 2;1; 1 n 1 n (Theo câu a) Ta có : Xét n = ta có phân số A = là phân số tối giản A Xét n ; Gọi d là ước chung (n + 1) và (n – 3) => (n + 1) d và (n – 3) d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4 => d lớn => A không phải là phân số tối giản Kết luận : Với n = thì A là phân số tối giản Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab ba là số chính phương 1.0 Ta có : ab ba (10a b) (10b a) 10a b 10b a 9a 9b 9(a b) 3 (a b) 1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 => a- b Vì => a,b Để ab ba là số chính phương thì a – b = 1; Câu +) a – b = (mà a > b) ta có các số ab là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab là số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có các số ab là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab là số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73 Câu Hình vẽ 3.0 2.0 (4) D C y (a+20)o (a+10)o x ao 22o 48o A B O E Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o và với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao Do OC, OD nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB và COD COA ( a 10 a) Nên tia OC nằm hai tia OA v à OD AOC COD DOB AOB => => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o và góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v à OB o o o o o Ta có : AOy 180 BOy 180 48 132 AOx 22 Nên tia Ox nằm hai tia OA và Oy o o o 1.0 o o => AOx xOy AOy 22 xOy 132 xOy 132 22 110 c/ Gọi OE là tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA và OD nên o AOC COD AOD AOD a o a 10 2a o 10o 2.50o 10o 110o AOx AOD (22o 110o ) 1.0 Vì nên tia Ox nằm hai tia OA và OD AOx xOD AOD 22o xOD 110o xOD 110o 22o 88o => Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o Câu Cho A 102012 102011 102010 102009 a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có : 1.5 A 103 102009 102008 102007 102006 8.125 102009 102008 102007 102006 A 8 125 102009 102008 102007 102006 1 8 (1) Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư là dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) (5) Vậy A chia hết cho Vì và là hai số nguyên tố cùng nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A không phải là số chính phương Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận cùng là 2012 2011 2010 2009 Nên A 10 10 10 10 có chữ số tận cùng là Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là số có chữ số tận cùng là ; 4; ; ; GV : Nguyễn Đức Tính – số 08 - Bào Ngoại - Đông Hương – TP Thanh Hoá 1.5 (6)