của lục giác thì phải có một đỉnh là đỉnh A hoặc đỉnh D; Mỗi lần áp dụng quy tắc đổi màu thì chỉ có đỉnh A hoặc đỉnh 0,25 D đổi màu, vì A và D màu đỏ đối xứng nhau qua tâm O đổi thành mà[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút I.Trắc nghiệm (2đ): Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: 3 E x y 1 x y 1 x y Câu 1: Rút gọn biểu thức ta kết là: A) C) D) - B) x y 2 Câu 2: Cho x; y là hai số khác cho x y y x ; Giá trị biểu thức K x xy y 3x y là: A) B) - C) D) - m n 32 x 19 Câu 3: Cho x x x x ; Ta có tích m.n bằng: A) - 300 B) 150 C) 200 D) 255 Câu 4: Tứ giác ABCD có I là giao điểm hai đường chéo Biết AB = cm; IA = cm; IB = cm; ID = cm; Ta có AD bằng: A) 10 cm B) 125 cm C) 166 cm D) 170 cm II Tự luận: Câu (1,5đ): Cho biểu thức a) Rút gọn P; P x x2 x2 y y x xy y : xy y xy x y x xy x 1 y 1 b) Tìm giá trị P với và Câu (2đ): Cho điểm I di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ / AB vẽ các hình vuông AICD; BIEF; gọi O và O là giao điểm các đường chéo hai hình vuông đó Gọi K là giao điểm AC và BE / a) Tứ giác OKO I là hình gì? Vì ? / b) Trung điểm M OO di động trên đường nào? / c) Xác định vị trí điểm I tứ giác OKO I là hình vuông Câu (1,5đ): Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: 2 x x 1 x x 8 y a) x xy y 3 b) Câu (3đ): a) Tìm các số có hai chữ số thỏa mãn điều kiện sau: Nếu lấy bình phương số đó trừ bình phương số có hai chữ số viết các chữ số số đó theo thứ tự ngược lại thì số chính phương x x 1 P x x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: c) Cho hình lục giác ABCDEG Người ta tô màu đỏ hai đỉnh A và D, tô màu xanh đỉnh còn lại Sau đó người ta đổi màu các đỉnh đó theo quy tắc sau: Mỗi lần đổi màu phải chọn đỉnh tam giác cân đổi màu đồng thời đỉnh đó (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ) Hỏi sau số lần đổi màu theo quy tắc đó có thu kết là đỉnh C có màu đỏ còn đỉnh còn lại màu xanh không ? 4 d) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a b c 3 (2) 1 1 Chứng minh rằng: ab bc ca PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán lớp I.Trắc nghiệm: (2 điểm câu đúng cho 0,5 đ) Câu Đáp án D A II Tự luận: (8 điểm) Câu D Phần Nội dung cần trình bày x 0; y 0; x y a ĐKXĐ: (1,5đ) (0,75đ) y x P xy b x 1 (0,75đ) x 1 x 0 y y 1 y C Điểm 0,25 0,5 0,25 Với x = (loại) 0,25 Thay x = 1; y = ta P = 3; P Thay x = 1; y = thì (2đ) D 0,25 C K 0,25 O E F M O' A a (0,5đ) b (0,5đ) c (0,5đ) I B 0,25 Vẽ hình – GT, KL AC ID; BE IF (T/C hai đường chéo hình vuông) 0,5 Ta có góc DIF = 900 (hai tia phân giác hai góc kề bù) Tứ giác OKO’I có góc vuông nên là HCN Trung điểm M OO’ là trung điểm KI (K cố định) suy M di động trên đường trung bình KAB (đường 0,5 trung bình này song song AB) Hình chữ nhật OKO’I là hình vuông và IO = IO’ OAI O / IB AI IB I là trung điểm AB 0,5 (3) (1,5đ) a (0,5đ) y 3y2 x xy y 3 x 3 2 2 y y2 x 0 y 2 y 2; 1;0 Vì 0,25 Lần lượt thay vào PT ta tính các giá trị x Vậy PT có các cặp nghiệm nguyên là: 0,25 1; ; 1; ; 2; 1 ; 2;1 ; 1;1 ; 1; 1 b x x 1 x x 8 y x x x 8x y (1) (1đ) 2 Đặt x x z ( z Z ) (nhân vế PT với 4, thêm 49 vào vế ) 2z y 2z Từ PT (1) ta có PT: y 49 từ đây tính z; y và x Vậy PT có các cặp nghiệm nguyên là: (3đ) a (0,75đ) 0,25 0,25 0,5 x; y 0;0 ; 1;0 ; 1;12 ; 1; 12 ; 9;12 ; 9; 12 ; 8;0 ; 7;0 ; 4;12 a; b 1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9 Gọi số tự nhiên cần tìm là ab ( 2 ab ba 99 a b a b 11 a b a b 11 Ta có suy a b a b không chia hết 11, vì a + b chia hết a b 18 a b 11 11 mà 2 ab ba 32.112 a b 0,25 Khi đó để ab ba là số chính phương thì a – b phải là số chính phương đó a – b = a – b = 0,25 - Nếu a – b = kết hợp với a + b =11 ta số 65; 0,25 - Nếu a – b = 4; kết hợp với a + b = 11 ta có a = 5,5 (loại) Vậy số cần tìm là 65 b (0,75đ) - Ta có x x 0; 2 x 1 0 x x 0 x x 1 x x x2 x 1 x2 x 1 0,25 (dấu = xẩy và x = 1) Mặt khác 2 x 1 0 x x 0 x x 1 x x x2 x 1 3 x2 x 1 (dấu = xẩy x = - 1) Vậy GTLN P = x = -1; GTNN P = x = c (0,75đ) 0,25 0,25 Ta thấy hai đỉnh đối qua tâm lục giác không thể cùng là đỉnh tam giác cân nào (ví dụ đỉnh A và đỉnh D) Ngoài đỉnh B, C, E, G không thể có đỉnh nào 0,25 là đỉnh tam giác cân (vì B, C, E, G là đỉnh hình chữ nhật); Vậy có tam giác là tam giác cân mà đỉnh là đỉnh (4) lục giác thì phải có đỉnh là đỉnh A đỉnh D; Mỗi lần áp dụng quy tắc đổi màu thì có đỉnh A đỉnh 0,25 D đổi màu, vì A và D màu đỏ (đối xứng qua tâm O) đổi thành màu xanh thì số lần áp dụng quy tắc đổi màu phải là chẵn; Để đỉnh C màu xanh đổi thành màu đỏ thì số lần áp dụng quy tắc đổi màu phải là lẻ; Vậy để có kết đỉnh C màu đỏ và đỉnh còn lại màu xanh 0,25 thì số lần áp dụng quy tắc đổi màu vừa phải chẵn vừa phải lẻ (vô lý) Vậy không thể thực d (0,75đ) Ta có ab ab 2 ab a 2b2 1 1 1 ab ab 2ab a 2b2 ab ab 0,25 Và a b c a b4 a b2 2a 2b2 2a 2b 2 2ab a 2b 9 ab 1 9 a 2b a 2b a b 2 9 9 18 Do đó a b và ab b4 c4 c4 a4 ; 18 ca 18 Tương tự bc 1 1 15 a b c 1 ab bc ca 9 Bởi Đẳng thức xẩy a = b = c = 0,25 0,25 (5)