a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.. b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.[r]
(1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LẦN 1( GỒM 16 ĐỀ) ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 3 x x x b) d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7 3x 4 (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) x y x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0) b) Tính giá trị biểu thức P = x y Biết x – y = c) Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 8 2015 cho đa thức x 10 x 21 A 4xy y x2 : 2 y xy x y x Bài (1,25 điểm): Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất các giá trị nguyên dương A? Bài : (2 điểm) Giải các phương trình sau: + = + a) x3 - 2x2 - 5x + = c) x +5 x+ x +10 x +24 x +3 x −18 b) |5 −3 x|=3 x − d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương Bài : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với cắt BC P và R, cắt CD Q và S a) Chứng minh Δ AQR và Δ APS là các tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N là trung điểm QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật c) Chứng minh P là trực tâm Δ SQR d) Chứng minh MN là đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Bài : (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG Bài a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 3 (2 điểm) 1 1 1 1 3 x x x x 3. x 3. x .1 x 1 2 2 b) = 2 = 2 c) x2 + 6x + = x2 + x + 5x + = x(x + 1) + 5(x + 1) = x 1 x 5 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) THANG ĐIỂM 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (2) Bài (1,5 điểm) 7 3x = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – a) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 77 3x + = b) x2 – 2y2 = xy x2 – xy – 2y2 = (x + y)(x – 2y) = 2y y y Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y Khi đó A = y y y 0,5 điểm c) P( x) x x x x 2015 x 10 x 16 x 10 x 24 2015 0,5 điểm 0,5 điểm Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) viết lại: P ( x) t t 3 2015 t 2t 2000 Bài (1,25 điểm) Do đó chia t 2t 2000 cho t ta có số dư là 2000 a) Điều kiện: x y; y 0 b) A = 2x (x+y) c) Cần giá trị lớn A, từ đó tìm tất các giá trị nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với x ; y) A x y 0 x 2x x y 2 y x y;y 0 + A = (x y 1)2 1 2x x y 1 x y;y 0 + A = Từ đó, cần cặp giá trị x 21 x y và y, chẳng hạn: + Vậy A có thể có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài a) x3 - 2x2 - 5x + = x3 - x2 - x2 + x - 6x + = (x - 1)(x2 - x - 6) = (2 điểm) x 1 x x 3 (x - 1)(x + 2)(x - 3) = 5 x 3 x x 3 x x 0 x b) c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (3) x 1 x x x x 3 x 0,25 điểm 1 1 x 1 x x x x x x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x x 1 x 3 x 1 x 3 Bài (2,75 điểm Bài (0,5 điểm x x 0 x x 0 x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – = (x+1)2 - (y+2)2 = (x – y - 1)(x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương Nên x + y + > x – y – > x + y + = và x – y – = x = 3; y = Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) Vẽ đúng hình, cân đối đẹp a) a) Δ ADQ = Δ ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên Δ AQR là tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có: Δ ABP = Δ ADS đó AP =AS và Δ APS là tam giác cân A b) AM và AN là đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR và APS nên AN SP và AM RQ Mặt khác : PAN PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao Δ SQR Vậy P là trực tâm Δ SQR d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = QR ⇒ MA = MC, nghĩa là M cách A và C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách A và C Hay MN là trung trực AC e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cách A và C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực AC, nghĩa là chúng thẳng hàng a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy và (x = ; y = ) Vậy A = 2010 (x = ; y = ) 1 b) Ta có a3+ b3 + ab (1) a3+b3+ab - 0 (a+b)(a2+ b2-ab) + ab- 0 a2+b2- 0 (vì a + b =1) 2a2+2b2-1 0 2a2+2(1-a)2-1 0 (vì b = 1- a) 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (4) 2a2+2 - 4a + 2a2 - 0 4(a2- a + ) 0 đpcm 1 4 a a (2) ĐỀ SỐ Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a2 – 7a + 12 b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz d/ (x2 - 8)2 + 36 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: x 12 : x a/ ; b/ 4 ; x x x x 1 x 4 c/ ; d/ 2011 2012 2013 2014 Bài 3: (2,0 điểm) a 4a a/ Cho A = a 2a 4a Tìm a Z để A là số nguyên b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + chia hết cho n3 + Bài 4: (2,0 điểm) a b 3 c a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 và b/ Tìm số hữu tỉ a và b biết: a + b = ab = a : b (b 0) Bài 5: (2,0 điểm) 1 2 a/ Cho a + b + c = và a b c = Tính a b c 1 1 b/ Cho a + b + c = 2014 và a b a c b c 2014 a b c Tính: S = b c a c a b Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 90 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC Gọi D là trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI = DA Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm AB, CD a/ Chứng minh các đường thẳng AC, BD, EF cắt trung điểm đường b/ Gọi giao điểm AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh EMFN là hình bình hành A x 1 x 3 x x 10 Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: x HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm) a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x + 2015x + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x4– x + 2015) (5) c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) d/ (x2 - 8)2 + 36 = (x2+ 6x+10)(x2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) 2 x 12 x 16 x 24 a/ Vậy x = -24 1 15 15 1 : x : x x : x 4 4 15 Vậy x = 15 b/ 4 x 4 c/ Xét trường hợp: * Nếu x 5/3 ta có: 3x - = 3x = x = (t/m ĐK trên) * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 3x = x = 1/3 (t/m ĐK xét) Vậy x = ; x = 1/3 x x x x 1 x x x x 1 1 1 1 1 2011 2012 2013 2014 d/ 2011 2012 2013 2014 x 2015 x 2015 x 1015 x 2015 2011 2012 2013 2014 1 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 x 2015 0 x 2015 vì 0 2011 2012 2013 2014 Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = a a = 1; a = a nguyên Để A nguyên 3 b/ n + n + n (n + 1) - (n - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 – n + 1) (n - 1) (n2 – n + 1) (vì n + 0) + Nếu n = thì 1 + Nếu n > thì (n - 1) < n(n - 1) + < n2 – n + nên không thể xảy n - n2 – n + Vậy giá trị n tìm là n = Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: a b c 46 52 2 26 26 Suy a - = - a = -3; b + = - b = -11; c - = -12 c = - Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - b/ Ta có a + b = ab a = ab - b = b(a-1) Do đó: a : b = b(a - 1) = a - nên a + b = a - b = -1 và a = -1(a - 1) (6) a = -a + 2a = a = 0,5 Vậy a = 0,5 ; b = -1 Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích giả thiết để suy đfcm 1 Phân tích a b c Phần nào có a+b+c thì thay = 1 1 b/ Ta có: a b a c b c 2011 a + b + c = 2014 a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 2014 b c 2014 a c 2014 a b S b c a c a b 2014 2014 2014 1 1 1 b c a c a b 1 2014 b c a c a b 2014 1 2014 = Vậy S = - Câu 6: (3,0 điểm) H K A F B D C a/ - Xét BDI và CDA có: DB = DC (gt), I BDI CDA (đối đỉnh), DA = DI (gt) BDI = CDA (c.g.c) BI = CA (2 cạnh tương ứng), BID CAD (2 góc tương ứng) Mặt khác góc này vị trí so le nên suy BI//AC - Xét ABI và FAH có: AB=AF (gt), ABI FAH (cùng bù với BAC ), BI = AH (cùng = AC) ABI = EAH (c.g.c) AI = FH (2 cạnh tương ứng) b/ Gọi K là giao điểm DA và FH ta có: BAI FAK 900 , mà AFH BAI hay AFK BAI nên AFH FAK 90 - Xét AFK có AFH FAK 90 FKA 900 AK FK AI FH E A (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ - Hình vẽ: // B // M O N D // F // C (7) - Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm BD - Chứng minh BEDF là hình bình hành - Có O là trung điểm BD nên O là trung điểm EF - Vậy EF, BD, AC đồng quy O OM OA b/ Xét ABD có M là trọng tâm, nên ON OC - Xét BCD có N là trọng tâm, nên - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành Bài 8: (1 điểm) A x x x x x 12 10 Đặt x x = t A t t t 10 t 6t t 3 1 A t Min 1 đạt t = -3 A x Min 1 đạt x x = -3 13 13 x - 7x + = x = 2 ;x= ĐỀ SỐ Bài (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử: x 1) 18x3 - 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + Bài (2,5 điểm) x 1 x 3 : Cho biểu thức: A = x x 2 x x 1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = 2 a b b c c a a b2 c Tính giá trị biểu thức: A = x y a b x y a b 2) (1,5 điểm) Cho Chứng minh với số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài (3,0 điểm) 1) Tìm x: x x x 4 x a) b) (x2 – 5x + 6) x = 2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 - 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 (8) Bài (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O và các đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB Bài Câu Nội dung x 9x 25 18x3 - 25 = 2x 2 2 2 x x x 5 5 3 a(a + 2b) - b(2a + b) = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b) + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b) + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] = (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) = (a + b)(a - b)3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + = (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + = (x2 – 7x + 11)2 – + = (x2 – 7x + 11)2 Biểu điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 7 49 11 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x 2 7 5 x = = 7 7 x x 2 2 7 7 x x Vậy A = a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện: x 0 x 1 x 0 x 1 x 1 x 0 x x 0 Với x 1 , ta có: x 1 x x2 ( x 1)( x 1) 2( x 1) 2( x 1) A= 0,5 0,5 1,0 ( x 1) ( x 3)( x 1) 4( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1) = (9) (6 x x x x 3).2 = =4 Vậy giá trị biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị biến Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) Tương tự: + b2 = (b + a)(b + c) và + c2 = (c + a)(c + b) n 0,5 0,5 (b c) (c a) 1 Do đó: A = ( a b)( a c)(b a )(b c)(c a)(c b) Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 – a2) + (y2 – b2) = (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = Bởi vì: x + y = a + b x – a = b – y, vào ta có: (b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = (b – y)[(x + a) – (y + b)] = b y 0 x a y b a b 0,5 n n Nếu b – y = y b x a y a b x y b a x b x y a b y a Nếu x + a = y + b n Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn Vậy trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x 4 x 1.a) 1.b) (1) Vế trái luôn luôn không âm với x nên 4x x 0 x nên x + > 0, x + > 0, x + > x x 1, x x 3, x x Do đó: (1) x + + x + + x + = 4x x = Vậy x = (x2 – 5x + 6) x = (1) Điều kiện: – x ⇔ x ≤1 (*) (1) ⇒ x2 – 5x + = √ 1− x = ⇒ (x – 2)(x – 3) = – x = ⇒ x = x = x = Các giá trị x = 2, x = không thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x = 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = y x 0 x 0 (vì (y + 2x – 3)2 và 3(x – 2)2 0) x 2 y Vậy x = 2; y = -1 Đặt f(x) = x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 – Gọi thương chia f(x) cho x2 – là Q(x), dư là ax + b Ta có: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax + b Đẳng thức trên đúng với x nên: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 (10) - Với x = ta được: f(1) = a + b a + b = (1) - Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b -a + b = (2) Từ (1) và (2) suy ra: a = 1, b = Dư phải tìm là x + 3 +4− Ta có: A = x2 + 3x + = x2 + 2x + = x+ + 2 4 2 3 7 Với x, ta có: x + ≥ ⇒ x+ + ≥ >0 2 4 49 ⇒ A≥ = =12, 25 3 Dấu “=” xảy x+ =0 ⇔ x=− 2 Vậy minA = 12,25 x = ( ) () ( ) ( ) () 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 1 Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt O là trung điểm đường Ta có: AO, BE là trung tuyến ABD Mà: AO cắt BE P nên P là trọng tâm ABD 2 1 AP AO AC AC 3 Theo câu 1) P là là trọng tâm ABD CQ AC Tương tự, ta có: AC Do đó: PQ = AC – AP – CQ = Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM AMDI là hình bình hành AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) Từ (1), (2) và (3) suy I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB KMI có E, F là trung điểm MI, MK EF là đường trung bình KMI EF= KI KI = 2.EF Suy AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE và AF = AE Tứ giác ABFE là hình bình hành EF = AB (5) Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi M di động trên cạnh CD 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ SỐ (11) Câu (3,0 điểm) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) 12x3 + 16x2 - 5x - b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx thì x = y = z a b2 c a c b 2 c a c b a b) Cho ba số a, b, c khác thoả mãn: b Chứng minh a = b = c Câu (4,0 điểm) Giải các phương trình: 2x 2x a) = (1) 2 x 3 x x 9 0 6 x2 x2 b) x Câu (4,0 điểm) 2 1 1 x y 8 x y a) Cho x, y > thoả mãn x + y = Chứng minh rằng: 2015 x3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = , với x là số nguyên Câu (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E và cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F và cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF (12) Câu Nội dung a) 12x3 + 16x2 - 5x - = 12x3- 6x2 + 22x2 - 11x + 6x - = 6x2(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(6x2 + 11x + 3) = (2x - 1)(6x2 + 9x + 2x + 3) = (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)] = (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1) b) A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 §Æt x2 - x + = y, ta cã A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y) = (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1) = (x - 1)2(x2 - 5x + 1) 21 21 x x = (x - 1) a) Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (1) 0 Ta có : (x – y) 0, (y – z) , (z – x)2 0 x y 0 y z 0 z x 0 Do đó: (1) x y z Điểm 1,5 0,25 0,5 0,25 0,5 1,5 0,5 0,25 0,25 0,5 1,0 0,5 0,25 0,25 (13) ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm) x y z 3xyz 2 Rút gọn biểu thức: B = ( x y ) ( y z ) ( x z ) Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x2 + 8x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x3 - 2x2 + 7x - chia hết cho x2 + Câu (4,0 điểm) Giải các phương trình: 3 1 3 x x x 0 4 a) 3 x 3 x x x 2 x x b) Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ các biểu thức 3x 1 x x a) A = 14x 8x b) B = 3x 6x Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M, D tương ứng là trung điểm BC, AM H là hình chiếu M trên CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E là trực tâm tam giác ABN Câu (2,0 điểm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD vµ N lµ mét ®iÓm trªn đờng chéo AC cho BNM 90 Gọi F là điểm đối xứng A qua N Chứng minh FB AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI (14) Câu Nội dung Điểm 2,0 Ta có: x3 - y3 - z3 - 3xyz = (x - y)3 + 3xy(x - y) - z3 - 3xyz = (x - y - z)3 + 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z) = (x - y - z)[(x - y - z)2 + 3xz - 3yz + 3xy)] = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 -2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy) = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) (x + y)2 + (y - z)2 + (x + z)2 = x2 + 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + x2 + 2xz + z2 = 2(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) x y z x y2 z xy yz xz Vậy B = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 x y2 z xy yz xz x y z = a) HS có thể làm các cách sau: Cách 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + Ta có: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - Cách f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + = x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + = x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 Thực phép chia đa thức x + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 cho x2 + 8x + 12 thương là x2 + 8x + 10 và số dư là - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - Cách Bậc đa thức thương là nên đa thức dư có dạng ax + b Gọi đa thức thương là Q(x), ta có: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + = - 2a + b - 2a + b = -6 Cho x = - 6, ta có: - 5.(- 3)(-1) + = - 6a + b - 6a + b = - Ta có (-2a + b) – (- 6a + b) = a = Do đó b = - Đa thức dư là - Cách f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = [(x2 + 8x + 12)- 5][(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 15 + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - b) Thực phép chia đa thức B = x3 - 2x2 + 7x - cho 3, ta được: Đa thức thương: x – 2; đa thức dư: 4x – Suy ra: x3 - 2x2 + 7x - = (x2 + 3)(x - 2) + 4x - Do đó: B (x2 + 3) (4 x 1) (3x 3) (1) Vì x 1 và 4x nên C = x2 + 0,5 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 2,0 0, 0,25 (15) ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A c Tìm giá trị x để A < 10 x x A : x x 2 x 2 x x 2 b Tính giá trị A , Biết |x| = d Tìm các giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên 1 1 + + = Bài : (2 điểm) a) Giải phương trình : 18 x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 b) Cho a , b , c là cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + ≥3 A= b+c − a a+c −b a+b − c Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM x y z x y3 z3 Bài 1: (2 điểm) a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = y z x y z x y z x x y z y yz z = y z 3x 3xy 3yz 3zx = =3 y z x x y z x y x y y z z x =3 (1 điểm) 4 b)x + 2015x + 2014x + 2015 = (x - x) + (2015x +2015x+2015) = x(x3- 1) + 2015 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2015 (x2+x+1) = (x2+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x2+x+1) (x2 –x + 2015) (1 điểm) 10 x x A : x x x x x2 Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức: 1 A x a) Rút gọn kết qủa: (0,75 điểm) (16) b) x 1 1 x x 2 (0,25 điểm) 2 A= (0,75 điểm) c) A < ⇔ x - >0 ⇔ x >2 (0,25 điểm) −1 ∈Z ⇔ x-2 d) A Z ⇔ Ư(-1) ⇔ x-2 { -1; 1} ⇔ x {1; 3} (0,5 x −2 điểm) Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm) ĐKXĐ : x ≠ − ; x ≠ −5 ; x ≠ − ; x ≠ −7 (0,25 điểm) ¿ 1 1 + + = Phương trình trở thành : ( x+ 4)(x +5) (x+5)(x +6) (x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 − + − + − = x + x +5 x +5 x +6 x+ x +7 18 1 − = (0,25 điểm) x + x +7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm x=-13; x=2; (0,25 điểm) b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm) y+z x+ z x+ y ; b= ; c= Từ đó suy a= ; (0,25 điểm) 2 y+z x+z x+ y y x x z y z + + = ( + )+( + )+( + ) Thay vào ta A= (0,25 điểm) 2x y 2z x y z x z y Từ đó suy A (2+2+2) hay A (0,25 điểm) Bài 4: (3,5 điểm) a)Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) ⇒ BE // DF (0,25 điểm) BEO DFO ( g c g ) ⇒ BE = DF Chứng minh : (0,5 điểm) Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm) ∠ HBC= ∠ KDC b) Chứng minh: ∠ ABC= ∠ ADC ⇒ (0,25 điểm) CH CB = ⇒CH CD=CK CB ⇒ Δ CHB ∽ Δ CKD(g-g) ⇒ (1 điểm) CK CD c)Chứng minh : Δ AFD ∽ Δ AKC(g-g) (0,25 điểm) AF AD (0,25 điểm) = ⇒ AD AK=AF AC ⇒ AK AC CF CD = Chứng minh : Δ CFD ∽ Δ AHC(g-g) ⇒ (0,25 điểm) AH AC CF AB = ⇒ AB AH=CF AC Mà : CD = AB ⇒ (0,25 điểm) AH AC Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm) ⇒ A= [ ] (17) H C B F O A E D K ĐỀ SỐ Bài 1: a) Thực phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - a b c Bài 2: a) Tính S = (c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) 1 1 b) Chứng minh (3n 2)(3n 5) 3n 3n 150 150 150 150 47.50 c) Tính 5.8 8.11 11.14 Bài 3: Giải các phương trình x 1 x a) x x x x x(x x 1) x 5 x 3 x b) 1993 1995 1997 Bài 4: Cho ABC vuông A Vẽ phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Bài 5: Cho M là điểm nằm ABC , từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB MA ' MB ' MC ' h h hc = a b (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: (Với ha, hb, hc là ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC ) Bài giải Bài 1: a) Thực phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - Vì ax3 - 2x - chia hết cho x - nên x = là nghiệm đa thức ax3 - 2x - , nên ta có: a 23 - 2 = 8a - = a = c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - Nghiệm đa thức là các giá trị x để x 2x 0 x 0 x3 - 2x - = (x2 + 2x + 2)(x - 2) = +) x - = x = 2+) x2 + 2x + (x2 + 2x + 1) + = (x + 1)2 + = : Vô nghiệm Vì (x + 1)2 + > với x (18) Bài 2: a b c a(b c) b(c a) c(a b) (c a)(a b)(b c) a) S = (c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) a(b c) b(c a) c(a b) ab ac bc ab ac bc 0 (c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c) = 1 1 b) Chứng minh (3n 2)(3n 5) 3n 3n 1 1 3n (3n 2) Ta có: 3n 3n (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5) 150 150 150 150 47.50 c) Tính : 5.8 8.11 11.14 150 150 150 150 47.50 = áp dụng câu b ta tính 5.8 8.11 11.14 Bài 3: Giải các phương trình x 1 x x(x 1)(x x 1) x(x 1)(x x 1) 2 4 4 x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1) a) x x x x x(x x 1) (1) ĐKXĐ: x(x4 + x2 + 1) x Vì x4 + x2 + > (1) x(x + 1)(x2 - x + 1) - x(x - 1)(x2 + x + 1) = x(x3 - 1) - x(x3 + 1) = x4 - x - x4 - x = - 2x = x = - x 5 x 3 x 7 x 5 x 3 x 1 1 0 1993 1995 1997 b) 1993 1995 1997 x = 2000 Bài 4: Cho ABC vuông A Vẽ phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Giải D A a) Chứng minh DAB + BAC + CAE = 1800 D, A, E thẳng haøng M b) Ñaët AB = c, AC = b N E BD // AC (cùng vuông góc với AB) MC AM AC AM AC B C MB + AM AC + BD neân MD MB BD AM AC AM AC AC AB AM AB AC + BD AB AC AB AC AB (1) AM(AC + AB) = AC AB 3(4 + AB) = AB AB = 12 cm MB = cm MC AM MC.MB 5.9 MD 15 MA Từ MD MB cm AN AB AN AB NC + AN AB + CE c) AB // CE (cùng vuông góc với AC) nên NC CE AN AB AB AC AN AC AB + AC AB + AC (2) Từ (1) và (2) suy ra: AM = AN (19) Bài 5: Cho M là điểm nằm ABC , từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB MA ' MB ' MC ' h h hc = a b (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: (Với ha, hb, hc là ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC ) Giải Kẻ đường cao AH, ta có: A MA ' MA ' SMBC AH SABC (1) MB' SMCA MC ' SMBA h S h SABC (3) b ABC c Tương tự: (2) và Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có: MA ' MB ' MC ' SMBC SMCA SMBA hb hc SABC SABC SABC SMBC SMCA SMBA SABC 1 S S ABC ABC = B' C' M B A' H C ĐỀ SỐ Câu a) Trong ba số a, b, c có số dương, số âm và số 0; ngoài còn biết thêm Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào b) Cho x + y = Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy Câu 2: a) Giải phương trình: a b (b c) x 1 a b c 0 b) Giả sử a, b, c là ba số đôi khác và b c c a a b a b c 0 2 (b c) (c a) (a b) Chứng minh rằng: BAC Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác , Ax cắt BC E Trên tia Ex lấy điểm H cho BAE ECH Chứng minh rằng: a) BE EC = AE EH b) AE2 = AB AC - BE EC Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD E; từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F Chứng minh rằng: EF // DC híng dÉn gi¶i C©u 1: a b (b c) a) V× nªn a vµ b v× NÕu a = b = hoÆc b = c V« lÝ NÕu b = a = V« lÝ c = a = b3 mµ a víi mäi a b > a < b) V× x + y = A = x3 + y3 + 3xy = x3 + y3 + 3xy (x + y) = (x + y)3 = a b c b ab + ac - c a b c = + 0 a-c b-a (a - b)(c - a) b-c c-a a-b C©u 2: b) Từ b - c (20) a b ab + ac - c2 (a - b)(c - a)(b - c) (1) (Nhân hai vế với b - c ) (b - c) b c bc + ba - a c a ac + cb - b (a - b)(c - a)(b - c) (2) ; (a - b)2 (a - b)(c - a)(b - c) (3) Tương tự, ta có: (c - a) Cộng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm A C©u 3: a) Ta cã BAE b) HCE (g.g) BE AE BE.EC AE.EH EH EC (1) BAE HCE (g.g) ABE = CHE ABE = CHA BAE HAC (g.g) AE AB AB.AC AE.AH AC AH (2) C B E H x Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2 C©u 4: Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD OE OA = OC (1) a) Vì AE // BC OB OB OF = OA (2) BF // AD OD B A O E F D OE OF = OC Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OD EG // CD C ĐỀ SỐ Bài 1: Cho phân thức: 2x P = x x 20 x 1,5 a) Tìm TXĐ P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P Bài 2: So sánh A và B biết: a) A = 2002 2004 và B = 20032 b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD và BG vuông góc với AC Chứng minh: a) ACE ABG và AFC CBG b) AB AE + AD AF = AC2 Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có  = 600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA và DA M và N a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị không đổi b) Gọi K là giao điểm BN và DM Tính số đo góc BKD Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình 4(x + y) = 11 + xy Giải Bài 1: a) Đkxđ: x2 + x - 20 (x - 4)(x + 5) x và x - (21) 2x 2x b) P = x x 20 (x 4)(x 5) 2 Nếu x > P = x 2 Nếu x < P = x x 1,5;(x 5) x 1,5 x 1,5;(x 5) c) x 6,5 x 3,5 2 20 Với x = 6,5 thì P = x 6,5 11,5 115 23 2 2 2 2 Với x = 3,5 thì P = x 3,5 8,5 17 Bài 2: a) A = 2002 2004 = (2003 - 1)(2003 + 1) = 20032 - < 20032 A < B b) Ta có: A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 - 1)( 24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (216 - 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 - 1)(232 + 1) = 264 - < 264 A < B Bài 3: AE AC = AB Ta coù AGB AEC AG AB AE = AC AG (1) AF CG CG = CB AD (vì CB = AD) CGB AFC AC AF AD = AC CG (2) Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: AB AE + AF AD = AC AG + AC CG AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC Vaäy: AB AE + AD AF = AC2 Bµi 4: MB CM = CN (1) a) BC // AN BA CM AD = DN (2) CD// AM CN MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a DN Từ (1) và (2) suy BA b) MBD vaø BDN coù MBD = BDN = 1200 MB MB CM AD BD = = = 600 BD BA CN DN DN (Do ABCD laø hình thoi coù A neân MBD BDN AB = BC = CD = DA) Suy M1 = B1 MBD vaø BKD coù BDM = BDK vaø M1 = B1 neân BKD = MBD = 120 đề Sễ́ 10 A C©u 1: Cho a) Rót gän A x 7x x2 b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên (22) C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 1)2 = 4(x2 + 2x + 1) 1 1 C©u 3: Cho a, b, c tho· m·n: a b c a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) 1 C©u 4: Cho ABC cã A 2B 4C 4 Chøng minh: AB BC CA C©u 5: Cho ABC c©n t¹i A cã BC = 2a, M lµ trung ®iÓm cña BC LÊy D, E theo thø tù thuéc AB, AC cho: DME B a) Chứng minh rằng: tích BD CE không đổi b) Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE c) Tính chu vi ADE ABC là tam giác Híng dÉn 1 1 a +b a +b 1 1 + =0 + + =0 c(a + b + c) C©u 3: Tõ a b c a b c a b c a + b + c ab (a + b) c(a + b + c) + ab = Û (a + b)(b + c)(c + a) = abc(a + b + c) Từ đó suy : A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) = ( a + b)(b + c)(c + a) B = C©u : B VÏ tia CM (M AB) cho ACM CAM vµ CBM lµ c¸c tam gi¸c c©n AB AB AM AB AM AB BM 1 BC AC CM CM CM CM AB AB 1 1 AB BC CA (v× BM = CM) BC AC 2 4 C 3 M C©u : A a) Ta coù DMC = DME + CME = B + BDM , maø DME = B (gt) nên CME = BDM , kết hợp với B = C ( ABC cân A) suy BDM CME (g.g) BD BM = BD CE = BM CM = a D CM CE không đổi K DM BD DM BD = = CM ME BM b) BDM CME ME B MDE = BMD (do BM = CM) DME DBM (c.g.c) hay DM BDE laø tia phaân giaùc cuûa c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác DEC keû MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) MC a ABC là tam giác nên suy CH = AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a Câu : Giải phương trình: a) A 3 đề 11 x −1 x +3 + + x −2 x −4 ( x − 2) (4 − x) b) E I H M C 6x2 - x - = (23) x− y ¿ z − x ¿ +¿ Câu : Cho x + y + z = Rút gọn : y − z ¿ + ¿ ¿ x + y2 + z2 ¿ Câu : Chứng minh không tồn x thỏa mãn : a) 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC cho DB = DC ; OA điểm O nằm trên đoạn AD cho OD Gọi K là giao điểm BO và AC Tính tỉ số AK : KC Câu : Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P và Q cho HP = HQ Gọi M là trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M Hướng dẫn giải Câu 2: Từ x + y + z = x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1) Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3) Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta có: - 2(xy + yz + zx) A = - 6(xy + yz + zx) Câu 3: 17 25 a) 2x4 - 10x2 + 17 = 2( x4 - 5x2 + ) = 2(x4 - 2 x2 + )2 + = 9 2(x2 - )2 + = Vì 2(x2 - )2 + > với x nên không tồn x để 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = (x2 + 1)(x2 - x + 1) = Vì vế phải luôn dương với x nên không tồn x để x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu 4: AK AO Từ D kẻ DM // BK áp dụng định lí Talét vào AOK ta có: KM OD (1) KM CD Tương tự, CKB thì: CK DB (2) AK Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: CK Câu Goïi giao ñieåm cuûa AH vaø BC laø I Từ C kẻ CN // PQ (N AB), Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy A nên K là trung điểm CN MK là đường trung bình cuûa BCN MK // CN MK // AB (1) H là trực tâm ABC nên CH A B (2) Từ (1) và (2) suy MK CH MK là đường cao CHK (3) Từ AH BC MC HK MI là đường cao CHK (4) A K M O B D C A N P H Q K B M I C (24) Từ (3) và (4) suy M là trực tâm CHK MH CN MH PQ MPQ có MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân M Đề 12 n n 1 m n 1 Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn b) Đặt A = n + 3n + 5n + Chứng minh A chia hết cho với giá dương n c) Nếu a chia 13 dư và b chia 13 dư thì a2+b2 chia hết cho 13 Câu 2: Rút gọn biểu thức: trị nguyên bc ca ab a) A= (a b)(a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) b) 1 x x x x B = 1 1 2 : x x x x 1 1 Câu 3: Tính tổng: S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 2009.2011 Câu 4: Cho số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh biểu thức sau không phụ 2011x y z thuộc vào các biến x, y, z : xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 1944 1946 1948 1950 Câu 5: Giải phương trình: 1942 xMy Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm BC Một góc = 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC D và E Chứng minh : BC a) BD.CE= b) DM, EM là tia phân giác BDE và CED c) Chu vi ADE không đổi Giải n2 n 1 m n 1 = n + n 1 1) a, Thùc hiÖn chia §Ó m nguyªn víi n nguyªn n + lµ íc cña Hay n + 1; -1 Khi đó : n + = n = Z ( t/m) n + = -1 n = -2 Z (t/m) Víi n = m = Víi n = -2 m = - VËy b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) +2(n+1) = … = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Khi đó : 3(n+1) n( n +1) (n+ 2) lµ tÝch cña sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp nªn tån t¹i mét sè lµ béi cña c, a = 13k +2, b = 13q +3 a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) 13 (a b)(a c)(b c) bc ca ab 2) a) A= (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) = … = (a b)(a c)(b c) = 2 1 1 x x x x (x ) 3(x ) x x x x x x b) Ta cã: = ; 1 x x x x Tö thøc: = (x ) 3(x ) x x x 3 x 2 (25) 1 3 x x 3 x x x x = 1 1 x x x 3 x x x = x x MÉu thøc: Rót gän ta cã: B = 3( x + ) x 1 1 1 1 1005 (1 ) (1 ) 3 2009 2011 2011 2011 3) S = 2011x y z xy.xz y z 4) 2011 2011x xy xyz y yz z zx = xyz x yz xy xyz y yz z zx = xy xz xy (xz+ z +1) + 1+ z +zx + z = 1+ z +zx 1+ z + xz = không đổi 1+ z +zx 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 1 1 1 1 1 0 1942 1944 1946 1948 1950 5) x = 2011 CEM BMD 6) a,Chøng minh BC BC V× BM = CM = BD.CE = x b, Chøng minh BMD MED D B y A E 2 C M ˆ ˆ Từ đó suy D1 D , đó DM là tia phân giác góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c, Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK Chu vi b»ng 2.AH ĐỀ SỐ 13 Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013 x 2012 x 2013 x2 2x 2x2 A 1 x 8 x x x x x2 Rút gọn biểu thức sau: Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x x 2013)2 4( x x 2012) 4(2 x x 2013)( x x 2012) 3 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x y Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 24, f(x) chia cho x thương là 5x và còn dư Chứng minh rằng: a(b c)(b c a) c(a b)(a b c) b(a c)(a c b) 2 (26) Câu (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD là hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF 1 = + 2 AM AN Chứng minh rằng: AD Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh : 1 a (b c ) b (c a) c (a b) -Hết Câu Hướng dẫn giải Ta có x 2013x 2012 x 2013 (4.0 điểm) 0,5 x x 2013x 2013 x 2013 0.5 (2.0 điểm) x x 1 x x 1 2013 x x 1 2 0.5 x x 1 x x 2013 2 Kết luận x 2013x 2012 x 2013 0.5 x x 1 x x 2013 x 0 0.25 x ĐK: Ta có x2 2x 0.25 2x2 2 A 1 2x 8 4x x x x x (2.0 điểm) x2 2x x0.25 x2 x 2 2 x2 2( x 4) 4(2 x) x (2 x) x2 2x ( x 1)( x 0.5 2x2 2) x( x 2) x ( x 1)( x 2) 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) ( x 4)(2 x) x3 x x x x 1 x ( x 4)( x 1) x 1 0.5 2( x 4) x x ( x 4) 2x x 1 A x với Vậy 0.25 x 0 x 2 (27) Câu (4.0 điểm) Đặt: a 2 x x 2013 b x x 2012 0.25 Phương trình đã cho trở thành: (2.0 điểm) 0.5 a 4b 4ab (a 2b) 0 a 2b 0 a 2b Khi đó, ta có: 0.5 x x 2013 2( x x 2012) x x 2013 2 x 10 x 4024 11x 2011 x 2011 11 0.5 Vậy phương trình có nghiệm 2011 x 11 0.25 Ta có 3 y x 2x 3x 2 x 0.5 0 4 (1) 3 xy 15 (x 2) y 4x 9x 2x 0.516 (2) Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên 0.25 suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu và giải phương trình tìm x = -1; từ đó tìm 0.5 hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) KL 0.25 (2.0 điểm) Câu (2.0 điểm) y x2 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho x thương là 5x và còn dư là ax b Khi đó: f ( x) ( x 4).( x) ax+b Theo đề bài, ta có: 0.5 0.5 f (2) 24 2a b 24 a f ( 2) 10 2a b 10 b 17 (28) Do đó: f ( x) ( x 4).( x) x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 47 f ( x ) x x 17 0.5 0.5 Ta có: a(b c )(b c a ) c (a b)(a b c )2 b(a c)(a c b ) 0 (1) Đặt: xz a 0.25 a b c x x y b c a y b a c b z yz c Khi đó, ta có: (2.0 điểm) VT(1) x z x y y z y 0.5 z xz xy 2 y x ( x y )( x y ).z 2 2 x z x z y z z y 0.5 y x ( x y ) z 2 2 1 10.25 ( x z ) y ( z y ).x ( x y ).z 4 1 ( x y ).z ( x y ).z 00.25 VP(1) 4 (đpcm) KL:… 0.25 Câu (6 điểm) E A B (2.0 điểm) H F D C M N Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH ) AB = AD ( gt) 0.75 (29) BAF = ADM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác DAE = 90 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật Ta có ΔABH ΔFAH (2.0 điểm) (g.g) AB BH = AF AH hay BC BH = AE AH ( AB=BC, AE=AF) Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) ΔCBH ΔEAH (c.g.c) 0.5 0.25 0.5 0.5 S BC ΔCBH = SΔEAH AE , mà SΔCBH =4 SΔEAH (gt) (2.0 điểm) 0.5 BC =4 AE nên BC2 = (2AE)2 BC = 2AE E là trung điểm AB, F là trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM = CN MN AD CN = AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý 0.5 0.5 0.5 0.5 (30) ta lét, ta có: MN MC AB MC = = AN AB AN MN AD MC = hay AN MN 2 2 2 2 MN AD AD CN CM 0.5CN + CM + = + = = =1 MN MN AM AN MN MN (Pytago) AD AD + =1 AM AN 1 2 AM AN AD (đpcm) 0.5 Câu điểm 2.0 điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R và x, y, z > ta có a b2 c2 a b c x y z x yz (*) Dấu “=” xảy a b c x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > ta có a b2 a b x y x y (**) 0.75 2 a y b x x y xy a b bx ay 2 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z xy z xyz Dấu “=” xảy (31) a b c x y z Ta có: 1 2 1 a b c a (b c ) b (c a ) c (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 0.5 2 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac ) 1 1 2 a b c (Vì abc 1 ) Hay 1 2 10.25 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 3 Mà a b c nên 1 2 a b c ab ac bc ab ac bc 0.25 Vậy 1 0.25 a (b c ) b (c a ) c (a b) (đpcm) Điểm toàn bài (20 điểm) ĐỀ SỐ 14 Bài 1) (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b Bài 2) (2 điểm) a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh an + an+1 là số chính phương 10n 9n b) Chứng minh với số tự nhiên n thì phân số 20n 20n tối giản Bài 3) (3 điểm) xyz P x y y z z x a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz Hãy rút gọn phân thức 14 54 94 17 4 b) Tìm tích: M= 11 19 Bài 4) (4 điểm) 1 2 a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz 0 CMR: a b c (32) 1 yz xz xy 0 P x y z b) Cho x y z , tính giá trị biểu thức: x 1 x2 x x2 P : x x 1 x 1 x x x Bài 5: (3 điểm).Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P<1 c) Tìm giá trị nhỏ P x>1 Bài 6: (3 điểm).Cho hình vuông ABCD, gọi E, F thứ tự là trung điểm AB, BC a) CMR: CE vuông góc với DF b) Gọi M là giao điểm CE và DF Chứng minh AM = AD Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC Vẽ ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH a) Chứng minh EC = BH; EC BH b) Gọi M, N thứ tự là tâm các hình vuông ABDE, ACFH Gọi I là trung điểm BC Tam giác MNI là tam giác gì? Vì sao? Bài Ý a b a b a b Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung (x+1)(x-3)(x -2x +2) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1 nên: f(2) = => 32+2a+b =0(1) f(-1) = => -4 –a +b = (2) Từ (1) và (2) ta tìm a = -12; b = -8 Vậy 2a-3b = Ta có an+1= +2 +3 +…+ n + n + an+ an+1 = 2(1+ + +…+ n) + n + n(n 1) = 2 +n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 là số chính phương Gọi d là ƯCLN 10n2 +9n+4 và 20n2 +20n+9 10n 9n 4d 20n 18n 8d 2n 1d 2 20n 20n 9d 20n 20n 9d => d là số tự nhiên lẻ Mặt khác 2n+1 d => 4n2 +4n +1 d => 20n2 +20n+5 d=> d mà d lẻ nên d = Vậy phân số trên tối giản Từ x3 +y3+z3 =3xyz x + y +z = x=y=z TH1: x + y +z =0=> x+y = -z; x+z= -y; y +z = -x Khi đó P = -1 TH2: x=y=z Khi đó P = Nhận xét n4 +4 = [(n-1)2 +1][(n+1)2 +1] Do đó: 2 42 1 62 1 16 1 182 1 2 2 1 1 18 1 20 1 20 401 M= Từ gt => 2cz+z = x +y => 2cz = x+y –z => a Điểm điểm điểm điểm điểm 1.5 điểm 1.5 điểm điểm (33) c x y z x yz 2z c 1 2z 2z c 1 x y z 2x 2y ; Tương tự a x y z b x y z Khi đó 1 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 0 3 3 y z xyz Từ x y z => x điểm Khi đó: b 1 1 yz xz xy xyz xyz xyz xyz xyz 3 x y z x y z y z xyz x ĐKXĐ: x 0 và x 1; x -1 P a x2 Với x 0 và x 1; x -1, rút gọn P ta có P = x x2 P<1 <=> x <1 điểm 1điểm b 1 x 2 x x x 1 2 1 0 0 x x x x 1 x 1 Vậy với x<1 và x 0 và x -1, thì P<1 x2 x2 1 1 x 1 x 2 x x x Ta có : P = x c x 1 Khi x>1 thì x-1>0 Áp dụng bđt Cosi, ta có : điểm 2 x , dấu « = » xảy x =2 Vậy GTNN P x = A E B 1.5 điểm F M N a D K C C/M CBE = DCF (c-g-c) => C1 D1 b 0 Lại có : C1 C2 90 D1 C2 90 => ĐPCM Gọi K là trung điểm CD c/m Tứ giác AECK là hbh suy 1.5 điểm AK // CE Goi N là giao điểm AK và DF Tam giác DCM có DK = KC và (34) KN //CM nên N là trung điểm DM Vì CM DM (câu a), KN //CM nên KN DM Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân A => AM = AD 1.5 điểm H E A F N K M O D a B I C C/m EAC= BAH(c-g-c) => EC = BH, AEC ABH Gọi K và O thứ tự là giao điểm EC với BA và BH Xét AEK và OBK có AEK OBK ; AKE OKB nên EAK BOK => BOK 90 Vậy EC BH Ta có MI//EC, MI = 1/2EC 1.5 điểm IN//BH ; IN=1/2 BH b Mà EC BH và EC = BH nên MI = IN và MI IN Vậy MIN vuông cân I ĐỀ SỐ 15 Câu 1: (2,5 điểm ) 2 a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c (a b) thành nhân tử 3 b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ( a b) (b c) (c a) 210 Tính giá trị biểu thức Câu 2: (2,5 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 3 xy (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 b) Giải phương trình: Câu 3: (2,5 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013) (35) b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Câu 4: (2,5 điểm)Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M trên cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi H BC Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BH, DH c) Kẻ DH BC Chứng minh CQ PD Câu Nội dung chính 2 2 Điểm 0,5 a) Ta có a (b c) b (c a) c (a b) a (b c) b (c a) c (b c c a ) (b c)(a c ) (c a)(b c ) (b c)(a c)( a c) (c a)(b c )(b c) (b c)(a c)(a c b c) (b c)(a c)(a b) 0,5 0,25 (2,5đ) b) Đặt a b x; b c y ; c a z x y z 0 z ( x y ) 3 3 3 Ta có: x y z 210 x y ( x y ) 210 xy ( x y ) 210 0,25 0,5 xyz 70 Do x, y, z là số nguyên có tổng và xyz 70 ( 2).( 5).7 nên x, y, z 2; 5;7 A a b b c c a 14 0,5 2 a) x y 3 xy 2 Ta có: ( x y) 0 x y 2 xy xy 2 xy xy 1 0,25 0,5 0,5 2 Lại có: ( x y ) 0 x y xy xy xy xy x, y Z xy 3; 2; 1;0;1 Suy xy 1 Mà (2,5đ) Lần lượt thử ta trình ( x, y ) ( 2;1); (1; 2);(2; 1); ( 1; 2); (1;1) là nghiệm phương (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 b) 2 Đặt x t Ta có (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 t 9t 8t 72 0 t (t 9) 8(t 9) 0 (t 9)(t 8) 0 t 0 t 9 t 3 x x Mà t nên 5 x ; 3 PT có nghiệm là 0,5 0,5 0,25 a) Ta có: 0,5 P ( x 2012) ( x 2013) x 4024 x 4048144 x 4026 x 4052169 1 2 x x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x 0,5 x 0,25 Vậy Min P 8100312,5 1 1 1 (2,5đ) P x x y y z z x( x 1) y ( y 1) z ( z 1) b) Đặt 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 0,25 (36) 1 1 1 Áp dụng BĐT a b c a b c và a b a b với a, b, c dương, dấu xảy a b c 0,25 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 Ta có x x y y z z 1 1 1 1 1 1 P 1 y z x y z x y z 1 x y z x Bởi 0,5 1 1 3 9 3 = x y z 4 x y z 4 (ĐPCM) 0,25 E D A M Q B P I C H 0,25 a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) EB ED EA.EB ED.EC - Từ đó suy EC EA b) Kẻ MI vuông góc với BC ( I BC ) Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g) 0,25 BM BI BM BD BI BC BC BD (1) 0,5 CM CI CM CA CI BC BC CA Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) (2) Từ (1) và (2) suy BM BD CM CA BI BC CI BC BC (BI CI ) BC (không đổi) 0,25 c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC 0,25 - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) BDP DCQ o o mà BDP PDC 90 DCQ PDC 90 CQ PD 0,25 ĐỀ 16 Bài (2 điểm): Tìm x biết: 0,25 0,25 0,25 |< 3 b) – 3x = – 6561 c) (2x – 1)2012 = (2x – 1)2010 a) | x – 2012 Bài (2 điểm): a) Số tự nhiên A = 1+23 là số nguyên tố hay hợp số? Giải thích b) Tìm giá trị nhỏ B = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2028 c) Tìm x, y, z biết : 10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + = (37) Bài (1,5 điểm ): Một khối có số học sinh đội tuyển Toán số học sinh đội tuyển số học sinh đội tuyển Văn Đội tuyển Văn có số học sinh ít tổng số học sinh hai đội tuyển là 38 học sinh Tính số học sinh đội tuyển Anh và Bài (1,5 điểm): Cho x(m + n) = y(n + p) = z(p + m) đó x, y, z là các số khác và khác , m− n n− p p−m = = chứng minh rằng: x ( y − z ) y ( z − x ) z ( x − y) Bài (3điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M là điểm nằm A và B Trên tia đối tia AC lấy điểm I cho AI = AM a) Chứng minh : CM BI b) Trên BC lấy điểm P cho BP = 2CP Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Px cho góc xPB 600 Tia Px cắt tia CA D Tính số đo góc CBD ĐÁP ÁN Bài 1(2 điểm): a) | x − |< 3 ⇔ − < x− < 3 ⇔ <x <1 (0,5 điểm) b) – 3x = – 6561 hay: – 3x = – 38 ⇒ x = c) (2x – 1)2012 = (2x – 1)2010 ⇔ (2x – 1)2012 – (2x – 1)2010 = ⇔ (2x – 1)2010 1– (2x–1)2 = ⇔ (2x – 1)2010(1– 2x + 1) (1+ 2x – 1) = ⇔ 2x – 1= –2x = 2x = ⇔ x= ;x=1;x=0 Bài 2(2 điểm): a) 32012 ⋮ nên có thể viết 32012 = 3n (n N) ⇒ A = 1+23 =13 +23n =13 +(2n)3 =(1+2n) 1– 2n +(2n)2 ⇒ A là hợp số 2012 (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) b) B = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2028 = x2 + 2xy + y2 + x2 – 8x + 16 + 2012 = (x + y)2 + (x – 4)2 + 2012 2012 (0,25 điểm) Đẳng thức xảy ⇔ x + y = và x – = ⇔ x = ; y = – (0,25 điểm) Giá trị nhỏ B là 2012 ⇔ x = ; y = – (0,25 điểm) c) 10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + = 9x + 6x + 1+ y2– 4y + 4+ 4z2 – 4xz + x2 = (3x + 1)2 + (y – 2)2 + (2z– x)2 =0 Do đó : 3x + = và y – = và 2z – x = 1 ⇔ x= − ; y = 2; z = − (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Bài (1,5 điểm): Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh,Văn thứ tự là x, y, z 2x y 4z x= y= z ⇒ = = (x, y, z N) Ta có 12 12 12 (x + y )− z x y z 38 = = = = =2 ⇒ (0,5điểm) 18 16 15 (18+16) −15 19 Tính đúng: x = 36; y = 32; z = 30 và kết luận (0,5điểm) Bài 4(1,5 điểm ) : Vì xyz nên : x(m + n) = y(n + p) = z(p + m) (0,5điểm) (38) x (m+n) y (n+ p) z ( p+m) = = xyz xyz xyz m+n n+ p p+m = = hay : yz xz xy ( p+m)−(n+ p) (m+n)−( p+m) (n+ p)−(m+n) = = = xy − xz yz − xy xz − yz m− n n− p p−m = = = x ( y − z ) y ( z − x ) z ( x − y) ⇒ (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) Bài 5(3điểm): a)Tia IM cắt BC H (0,25điểm) ❑ ❑ Δ ABC vuông cân A nên C =45 , ΔIAM vuông cân M nên I =450 (0,25điểm) ❑ ❑ ❑ Δ IHC có C + I =900 ⇒ ⇒ IH BC H = 90 (0,25điểm) -Chứng minh M là trực tâm ΔIBC ⇒ CM BI (0,5điểm) b) Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD ⇒ EP = PB = 2PC ⇒ Δ BPE cân P nên đường trung trực PD là phân giác ⇒ BPD = DPE = 600 ⇒ EPC = 600 - Chứng minh ΔEPC vuông C - Chứng minh CD là phân giác Δ PCE - Chứng minh ED là phân giác ngoài đỉnh E Δ PCE - Chứng minh yEP = 1500 ⇒ DEP = 750 - Chứng minh PBD = 750 hay CBD = 750 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) I x A y D A E M B H K C B P C *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó (39)