DE THI HSG TOAN 9 VINH TUONG 2013 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG Câu a) Tính: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013 5−2 2+ 9+ b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = Tính giá trị biểu thức: A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc Câu Giải phương trình sau: a) x − x + − x + + x + = b) 2(x2 + 2) = x3 + Câu Tìm tất số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2013 y + z 2013 số hữu tỉ, đồng thời x + y + z số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB0 Khi phương trình cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab ⇔ (2a-b)(a-2b)=0 ⇔ 2a=b a=2b Với a=2b ⇔ x + =2 x − x + ⇔ 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm Với b=2a ⇔ x − x + =2 x + ⇔ x2-5x-3 = ⇔ x = ± 37 (thỏa mãn đk x ≥ -1.) x + y 2013 m = m, n ∈ ¥ * , ( m, n ) = Ta có y + z 2013 n ( ) nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y ⇔ nx − my =( mz − ny ) 2013 ⇒  mz − ny = y z n  x + y + z = ( x + z ) − xz + y = ( x + z ) − y = ( x + y + z ) ( x + z − y ) 2  x2 + y + z = x + y + z Vì x + y + z > x + y + z số nguyên tố nên  x − y + z = Từ suy x = y = z = (thỏa mãn) A E F G O H B C M D Câu Câu · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC · Ta có ACD = 900 ⇒ DC ⊥ AC Mà HE ⊥ AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến ∆AHD ⇒ G trọng tâm ∆AHD GM ⇒ = AM GM = Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, AM Suy G tâm ∆ABC a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 ( + + ).( x + y + z ) ≥ ( x+ y+ z )2 = x y z x y z ( a + b + c ) ≥ (a+b+c)2 ⇒ đpcm b) (1 điểm) Vế trái 2(1 + x ) 2(1 + y ) 2(1 + z ) + + =M 2(1 + z ) + (1 + y ) 2(1 + x ) + (1 + z ) 2(1 + y ) + (1 + x ) + x = a,1 + y = b,1 + z = c với a, b,c >0 ≥ Đặt 2a 2b 2c 2a 2b 2c + + = + + 2c + b 2a + c 2b + a 2ac + ab 2ab + bc 2bc + ac Sau áp dụng bđt phần a) bđt (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca ) ⇒ M ≥ Từ có đpcm Khi M= Gọi xi số ô tô đỏ dòng thứ i xi ( xi − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) x2 ( x2 − 1) + + + 13 13 Vậy tổng số cặp ô đỏ A= 1 2 Chiếu cặp ô đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thiết cặp ô đỏ có hình chiếu trùng x ( x − 1) x ( x − 1) x2 ( x2 − 1) + + + 13 13 Vậy C213=78 ≥ A= 1 2 Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; hàng thứ i số cặp ô đỏ C2xi = ⇔ Câu 13 13 i =1 i =1 ∑ xi2 − ∑ xi ≤ 156 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 s2 2 (∑ xi ) ≤ 13(∑ xi ) ⇒ − s ≤ 156 13 i =1 i =1 ⇔ s -13s-2028 ≤ ⇔ S ≤ 52 Dấu = xảy x1 = x2 = …= x13 = (mỗi dòng có ô tô đỏ) (Học sinh lập luận S ≤ 52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52 x x x x x X x x x x x x x x x x x X x x x X x x Xx x x x x x x Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa./ a + b + c + abc = ⇔ 4a + 4b + 4c + abc = 16 ⇒ a (4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc) = a (2 a + bc ) = a (2 a + bc ) = 2a + abc Tương tự b(4 − c)(4 − a) = 2b + abc , c(4 − a)(4 − b) = 2c + abc ⇒ A = 2(a + b + c) + abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = x + y 2013 m = m, n ∈ ¥ * , ( m, n ) = y + z 2013 n nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y ⇔ nx − my =( mz − ny ) 2013 ⇒  y z n mz − ny = ( Ta có Câu ) x + y + z = ( x + z ) − xz + y = ( x + z ) − y = ( x + y + z ) ( x + z − y ) 2  x2 + y + z = x + y + z Vì x + y + z > x + y + z số nguyên tố nên  x − y + z = Từ suy x = y = z = (thỏa mãn) 2 A E F G O H B C M Câu D · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC · Ta có ACD = 900 ⇒ DC ⊥ AC Mà HE ⊥ AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến ∆AHD ⇒ G trọng tâm ∆AHD GM ⇒ = AM Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, GM = AM Suy G tâm ∆ABC c) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a b2 c2 a2 b2 c2 ( + + ).( x + y + z ) ≥ ( x+ y+ z )2 = x y z x y z ( a + b + c ) ≥ (a+b+c)2 ⇒ đpcm d) (1 điểm) Vế trái 2(1 + x ) 2(1 + y ) 2(1 + z ) + + =M 2(1 + z ) + (1 + y ) 2(1 + x ) + (1 + z ) 2(1 + y ) + (1 + x ) + x = a,1 + y = b,1 + z = c với a, b,c >0 ≥ Câu Đặt 2a 2b 2c 2a 2b 2c M= + + = + + 2c + b 2a + c 2b + a 2ac + ab 2ab + bc 2bc + ac Sau áp dụng bđt phần a) bđt (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca ) ⇒ M ≥ Từ có đpcm Khi Gọi xi số ô tô đỏ dòng thứ i xi ( xi − 1) x ( x − 1) x ( x − 1) x2 ( x2 − 1) + + + 13 13 Vậy tổng số cặp ô đỏ A= 1 2 Chiếu cặp ô đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thiết cặp ô đỏ có hình chiếu trùng x ( x − 1) x ( x − 1) x2 ( x2 − 1) + + + 13 13 Vậy C213=78 ≥ A= 1 2 Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; hàng thứ i số cặp ô đỏ C2xi = Câu ⇔ 13 13 i =1 i =1 ∑ xi2 − ∑ xi ≤ 156 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 s2 (∑ xi ) ≤ 13(∑ xi2 ) ⇒ − s ≤ 156 13 i =1 i =1 ⇔ s2-13s-2028 ≤ ⇔ S ≤ 52 Dấu = xảy x1 = x2 = …= x13 = (mỗi dòng có ô tô đỏ) (Học sinh lập luận S ≤ 52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) Vậy giá trị lớn S=52 ...PHÒNG GD&ĐT VT Câu HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2013 - 2014 Ý Nội Dung − 2 + + = − 2 + (2 + 1) = − + 2 Câu = − ( + 1) = − 2 = ( − 1) = − A... ⇔ x = ± 37 (thỏa mãn đk x ≥ -1.) x + y 2013 m = m, n ∈ ¥ * , ( m, n ) = Ta có y + z 2013 n ( ) nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y ⇔ nx − my =( mz − ny ) 2013 ⇒  mz − ny = y z n  x + y + z =... c) + abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = x + y 2013 m = m, n ∈ ¥ * , ( m, n ) = y + z 2013 n nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y ⇔ nx − my =( mz − ny ) 2013 ⇒  y z n mz − ny = ( Ta có Câu ) x +