4 điểm Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O có tia AB cắt tia DC tại E và tia AD cắt tia BC tại F.. Gọi M là giao điểm thứ hai khác C của hai đường tròn BCE và CDF.. c OM vuông g
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - THCS
Năm học 2012 - 2013 (khóa ngày 27/3/2013)
MÔN TOÁN Thời gian làm bài:150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (4 điểm)
Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa điều kiện a b c 0
1) Chứng minh: a b c3 3 3 3 abc
2) Tính giá trị của biểu thức ( 2) (3 2 ) (3 2 )3
a b c b c a c a b P
a b c b c a c a b abc
Bài 2 (4 điểm)
Giải các phương trình :
1) ( x2 x 1)(3 x2 x 3) 4 x2 2) 4 2 3 2
4
Bài 3 (3 điểm)
Giải hệ phương trình: ( 2 2 )( 2 2 ) 45
( 1)( 1) 8
x x y y
x y
Bài 4 (3 điểm)
Cho ba số dương a , b , c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) (3 a b c a b )(2 ) (2 a b c )2
a b b c c a a bc b ca c ab
a b b c c a a b c b c a c a b
Bài 5 (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) có tia AB cắt tia DC tại E và tia AD
cắt tia BC tại F Gọi M là giao điểm thứ hai (khác C ) của hai đường tròn ( BCE )
và ( CDF ) Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E M F , , thẳng hàng.
b) M thuộc đường tròn ( ADE ) c) OM vuông góc với EF
Bài 6 (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho biểu thức 25 625 25 625
2 4 n 2 4 n
có giá trị nguyên.
HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1 (4 điểm)
Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa điều kiện a b c 0
1) Chứng minh: a b c3 3 3 3 abc
2) Tính giá trị của biểu thức ( 2) (3 2 ) (3 2 )3
a b c b c a c a b P
a b c b c a c a b abc
Giải.
1/ a b c3 3 3 a b3 3 ( a b )3 3 ( ab a b ) 3 abc (1đ) 2/ ( 2) (3 2 ) (3 2 )3 8( 3 3 3)
P
a b c b c a c a b abc ab a b bc b c ca c a abc
8
abc
abc
Bài 2 (4 điểm) Giải các phương trình :
1/ ( x2 x 1)(3 x2 x 3) 4 x2 (3 x2 3 x 3)(3 x2 x 3) 12 x2
(3 x x 3 2 )(3 x x x 3 2 ) 12 x x
(3 x x 3) 16 x 0
(3 x 5 x 3)(3 x 3 x 3) 0
2
2
3 5 3 0
1 0
x x
x x
* 3 2 5 3 0 5 61
6
x x x (0,5đ)
2
x x x (0,5đ)
2/ 4 2 3 2 4 2 4 1 4 2 1
x x x x x x
2
2
(1,5đ)
Bài 3 (3 điểm)
Giải hệ phương trình: ( 2 2 )( 2 2 ) 45
( 1)( 1) 8
x x y y
x y
Giải.
x x y y x y xy xy x y
x y xy xy xy x y xy
Trang 3( 3)( 15) 0 3 15
Bài 4 (3 điểm) Cho ba số dương a , b , c Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ (3 a b c a b )(2 ) (2 a b c )2
*
2
2
2
a b c a b
a b c a b a b c
a b b c c a a bc b ca c ab
a b b c c a a b c b c a c a b
a b c a b a b c a b a b c a b a b c (0,5đ) Chứng minh tương tự ta có
b c a bc b ca
b c a b c b c a ; (0,5đ)
c a b ca c ab
c a b c a c a b ;(0,5đ)
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh (0,5đ)
Bài 5 (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) có tia AB cắt tia DC tại E và tia AD
cắt tia BC tại F Gọi M là giao điểm thứ hai (khác C ) của hai đường tròn ( BCE )
và ( CDF ) Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E M F , , thẳng hàng.
b) M thuộc đường tròn ( ADE ) c) OM vuông góc với EF
Giải.
a/ BEMC nội tiếp (0,25đ)
DCMF nội tiếp (0,25đ)
Mà ABC ADC 1800(do ABCD nội tiếp) (0,25đ) Nên EMC FMC 1800
E M F , , thẳng hàng(0,25đ) b/
DCMF nội tiếp FMD FCD (0,25đ)
ABCD nội tiếp FCD BAD (0,25đ)
FMD BAD (0,25đ)
J I
E
O A
B
C
D
Trang 4 AEMD nội tiếp đpcm (0,25đ)
c/
BEMC nội tiếp EBM ECM (0,25đ)
MBA MCD (0,25đ)
Mặt khác MAB MDC do đó MBA ~ MCD (0,25đ)
Gọi I J , lần lượt là trung điểm của AB CD ,
Ta chứng minh được MBI ~ MCJ (0,25đ)
MIB MJC IEMJ nội tiếp (0,25đ)
Mặt khác IEJO nội tiếp (0,25đ)
Nên 5 điểm O I E M J , , , , nội tiếp đường tròn đường kính OE (0,25đ)
OME 900 hay OM EF (0,25đ)
Bài 6 (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho biểu thức 25 625 25 625
2 4 n 2 4 n
có giá trị nguyên.
Giải.
a n n
2 2
2
a
(0,5đ)
Dễ thấy a lẻ và a 5 (0,5đ)
Nếu a 9 thì 625
4
n không thỏa điều kiện có nghĩa của a (0,25đ)
a 7 n 144 (0,25đ)
a 5 n 0 (0,25đ)
Vậy n 0 hoặc n 144 (0,25đ)