Dạy học giải toán cực trị hình học cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN VĂN ĐIỆP DẠY HỌC GIẢI TỐN “CỰC TRỊ HÌNH HỌC” CHO HỌC SINH THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN VĂN ĐIỆP DẠY HỌC GIẢI TỐN “CỰC TRỊ HÌNH HỌC” CHO HỌC SINH THPT Chuyên ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Điệp i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả theo học lớp cao học đưa góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS TS Trịnh Thanh Hải người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt thời gian qua Tác giả xin trân trọng cám ơn tạo điều kiện, giúp đỡ từ phía Ban Giám hiệu, thầy giáo học sinh Trường THPT Thuận Thành số 2, Bắc Ninh Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Do điều kiện chủ quan khách quan, luận văn chắn cịn thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến phản hồi để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Điệp ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC .iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ .v MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .3 Khách thể, đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu .3 Kết luận văn .4 Cấu trúc luận văn Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực giải toán học sinh THPT 1.1.1 Quan niệm lực 1.1.2 Năng lực giải toán 1.1.3 Phát triển lực giải toán cho học sinh THPT 1.1.4 Năng lực giải toán cực trị 1.2 Dạy học giải toán 11 1.2.1 Bài toán 11 1.2.2 Các yêu cầu lời giải 12 1.2.3 Phương pháp chung để dạy học giải toán 13 1.2.4 Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức 15 1.3 Nội dung “Cực trị hình học” chương trình tốn THPT 20 iii 1.3.1 Các tốn cực trị hình học 20 1.3.2 Mục đích, chuẩn kiến thức, kỹ chủ đề "Cực trị hình học" .21 1.3.3 Nội dung “Cực trị hình học” chương trình Tốn THPT 23 1.3.4 Một số kỹ để giải tốn hình học không gian .24 1.4 Thực trạng việc phát triển lực giải tốn "Cực trị hình học" cho HS trường THPT 25 1.4.1 Mục đích khảo sát 25 1.4.2 Đối tượng khảo sát 25 1.4.3 Kết khảo sát 25 Tiểu kết chương 27 Chƣơng MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TỐN "CỰC TRỊ HÌNH HỌC" THEO ĐỊNH HƢỚNG BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THPT 28 2.1 Một số định hướng xây dựng biện pháp 28 2.2 Một số biện pháp sư phạm .30 2.2.1 Biện pháp Hướng dẫn, tổ chức cho HS thực thao tác tư giải toán 30 2.2.2 Biện pháp Phát huy, khơi dậy tiềm kiến thức HS thông qua phép quy lạ quen biến đổi vấn đề để tìm lời giải toán 35 2.2.3 Biện pháp Trang bị cho học sinh số “thủ pháp” thường dùng để giải tốn “Cực trị hình học” 48 2.2.4 Biện pháp Khai thác yếu tố thực tiễn giải tốn cực trị hình học 72 2.2.5 Biện pháp Xây dựng hệ thống tập tự luyện giúp HS củng cố, rèn luyện lực giải tốn cực trị hình học 78 Tiểu kết chương 79 Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 81 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm .81 iv 3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm .81 3.2.1 Nội dung thực nghiệm sư phạm 81 3.2.2 Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm 81 3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 82 3.4 Hình thức tổ chức thực nghiệm 82 3.5 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 83 3.5.1 Phân tích định tính 83 3.5.2 Phân tích định lượng .83 Tiểu kết chương 91 KẾT LUẬN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 PHỤ LỤC v DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu, viết tắt Viết đầy đủ BĐT : Bất đẳng thức ĐH : Đại học GQVĐ : Giải vấn đề GTLN : Giá trị lớn GTNN : Giá trị nhỏ GV : Giáo viên HĐNT : Hoạt động nhận thức HS : Học sinh NXB : Nhà xuất THCS : Trung học sở THPT : Trung học phổ thông THPT QG : Trung học phổ thông Quốc gia TPHĐNT : Thủ pháp hoạt động nhận thức Tr : Trang iv DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ BẢNG Bảng 3.1 Kết kiểm tra trước tiến hành thực nghiệm 86 Bảng 3.2: Kết kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm 88 BIỀU ĐỒ Biểu đồ 1.1 Tỉ lệ vận dụng phương pháp dạy học vào chủ đề: “cực trị hình học” cho HS THPT 26 Biểu đồ 1.2 Thái độ học sinh học nội dung cực trị hình học .26 Biểu đồ 3.1 So sánh kết điểm hai lớp thực nghiệm đối chứng .89 v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài “Giáo dục đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây dựng văn hóa người Việt Nam Phát triển giáo dục đào tạo với phát triển khoa học công nghệ quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục đầu tư cho phát triển”, Trích Nghị Đại hội Đảng khóa XI Trong nghị Trung Ương khóa VII, mục tiêu giáo dục đào tạo xác định “Đào tạo người lao động tự chủ, động sáng tạo, có lực giải vấn đề thực tiễn đặt ra” “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo HS, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh” Luật giáo dục sửa đổi năm 2005 Như vậy, quan điểm chung đổi phương pháp dạy học khẳng định, cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Do đổi PPDH theo hướng phát triển lực giải toán cho HS quan trọng cần thiết, nhiệm vụ giáo viên cung cấp tri thức mà giúp HS phát triển khả tư duy, giúp HS tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo học tập Ở trường phổ thơng, Tốn học mơn học tảng cho nhiều môn học khác, đồng thời mơn học có tính chất định nghề nghiệp tương lai với đa số học sinh Thí dụ hầu hết khối thi vào trường ĐH, CĐ thí sinh phải trải qua thi tốn hay kiểm tra lực toán trường ĐH QGHN năm gần Bởi tốn học có vị trí hàng đầu giáo dục phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động toán học Dạy học giải toán có vai trị đặc biệt quan trọng dạy học Tốn Các tốn phương tiện có hiệu thay Câu 9: HS biết giải toán cực trị phương pháp hàm số hay sử dụng BĐT cổ điển? Tổng số phiếu Câu 10: Sau học xong nội dung cực trị hình học áp dụng vào thực tiễn sống? Tổng số phiếu Câu 11: Thơng qua nội dung cực trị hình học em giải dạng tốn hình học không gian? Tổng số phiếu PHỤ LỤC 3: GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM Bài soạn 1: LUYỆN TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (tiết thứ 2) Trong học này: - Chúng chọn đối tượng học sinh lớp 12A2 có nhận thức tương đối đồng đều, em thích thú học tập - Xây dựng nội dung theo chương trình chuẩn đáp ứng cách dạy tiết luyện tập hình học - Các biện pháp nội dung là: Gợi mở, vấn đáp thơng qua hoạt động tư tốn học I Mục tiêu 1.Về kiến thức * Biết cách tính thể tích số khối đa diện: Khối chóp, khối lăng trụ * Biết cách tính tỉ số thể tích hai khối đa diện * Biết cách tìm cực trị số tập đơn giản 2.Về kỹ * Sử dụng thành thạo cơng thức tính thể tích kỹ tính tốn * Phân chia khối đa diện 3.Về tƣ thái độ * Rèn luyện trí tưởng tượng hình học khơng gian, tư lơgic * Rèn luyện tính tích cực học sinh II.Chuẩn bị Giáo viên: Giáo án, thước kẻ, phấn trắng, phấn màu, máy chiếu Học sinh: Ôn tập thật kĩ phương pháp tính thể tích III.Phƣơng pháp Cơ dùng phương pháp gợi mở vấn đáp thơng qua hoạt động tư tốn học IV Tiến trình học 1.Ổn định tổ chức Ngày dạy 6/10/2016 Bài Hoạt động Xây dựng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Hoạt động giáo viên GV nêu vấn đề: Các tốn thể tích khơng dừng lại việc tính thể tích khối đa diện mà cịn có tốn tìm cực trị hình học GV cung cấp số cách vận dụng kiến thức để giải toán cực trị Sử dụng bất đẳng thức thông dụng * Bất đẳng thức Cauchy cho biến đại lượng không âm  [ * Bất đẳng thức Schwarts cho biến đại lượng tùy ý √ Nếu để đẳng thức (3) (4) xảy * Sử dụng bất đẳng thức | ⃗ | | ⃗  [ ⃗ | dấu dẳng thức xảy || | ⃗ | vec tơ phương Sử dụng tính bị chặn hàm lượng giác [  Sử dụng đạo hàm để lập bảng biến thiên Sử dụng nguyên lý hình học - Với điểm ta ln có - Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn vng góc với đường thẳng có độ dài ngắn - Trong hai đường xiên kẻ từ điểm tới đường thẳng, đường xiên có hình chiếu lớn lớn ngược lại - Nếu tam giác có cặp cạnh tương ứng đơi cạnh cịn lại cạnh đối diện với góc lớn thi lớn ngược lại - Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh bé lớn trung tuyến ứng với cạnh lớn - Nếu tam giác cân có góc đỉnh khơng đổi cạnh đáy nhỏ cạnh bên nhỏ nhất, cạnh đáy lớn cạnh bên lớn - Đường kính dây cung dài đường trịn - Khoảng cách ngắn hai đường thẳng độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Hoạt động Tập luyện cho HS kĩ giải toán cực trị Bài tập Cho hai đường thẳng chéo , đoạn thẳng tìm vị trí Hoạt động giáo viên * Gợi ý: Tạo liên quan giả thiết cách dựng hình bình hành H1: Có nhận xét + Gọi HS lên bảng H2: Xác định góc hai giải đường * Chú ý GV giải thích  ^ ABE    sin ()  sin  H3: Xác định khối tứ diện * Chỉnh sửa hoàn thiện giải HS Nhận xét Bài tập (Trích, đề thi HSG Tỉnh Ninh Bình năm 2015) Cho hình chóp có đáy Gọi góc hai mặt phẳng Hoạt động giáo viên GV gợi ý: Để tính thể tích khối chóp S.ABC ta cần tính độ dài đường cao SA diện tích tam giác thiết để tính SA HS1: Xác định góc (SBC) (ABC) GV hướng dẫn: Tính độ dài cạnh tam giác diện tích thơng qua tích b) Từ cơng thức thể tích trên, lượng thể , theo tích ta có cách dựa vào hàm số theo ẩn Như toán đưa tìm GTLN hàm số Từ bảng biến thiên suy √ √ Vậy th ể tích đạt giá trị lớn √ √ * Củng cố: + Nắm vững cơng thức thể tích + chiều Khi tính thể tích khối chóp tam giác ta cần xác định mặt đáy cao để toán đơn giản + Khi làm tốn cực trị hình học cần nắm vững kiến thức, phương pháp tìm GTLN, GTNN biểu thức, hàm số *BTVN : chuẩn bị tập ôn tập chương Bài soạn 2: Chƣơng 3: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Bài 5: LUYỆN TẬP KHOẢNG CÁCH (tiết thứ 2) Trong học này: - Chúng chọn đối tượng học sinh lớp 11A4 có nhận thức khá, sơi học tập, đoàn kết học tập, khả làm việc nhóm hiệu - Xây dựng nội dung theo chương trình chuẩn đáp ứng cách dạy tiết luyện tập hình học - Các biện pháp nội dung là: Gợi mở, vấn đáp, kết hợp hoạt động nhóm, phát triển tư thơng qua hoạt động toán học I Mục tiêu: 1) Về kiến thức Cần nắm: + Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng 2) + Khoảng cách hai mặt phẳng song song + Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Bước đầu giải tốn cực trị hình học Về kỹ + Nắm tính chất khoảng cách biết cách tính khoảng cách toán đơn giản + Biết cách xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau, biết cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 3)Về tƣ + Nắm mối liên hệ loại khoảng cách từ chuyển toán phức tạp toán đơn giản + 4) Hiểu vận dụng xác kiến thức học Về thái độ Cẩn thận, xác làm tốn Thấy ứng dụng hình học không gian vào thực tiễn II Chuẩn bị III + Thầy : Giáo án, máy chiếu, thiết bị chiếu phiếu học tập + Học sinh: SGK, thước kẽ, bút màu,… Phƣơng pháp giảng dạy Gợi mở vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm IV Tiến trình tổ chức học : 1.Ổn định tổ chức: Ngày dạy 22/3/2017 Bài Hoạt động Xây dựng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Hoạt động giáo viên GV nêu vấn đề: Các toán thể tích khơng dừng lại việc tính thể tích khối đa diện mà cịn có tốn tìm cực trị hình học GV cung cấp số cách vận dụng kiến thức để giải toán cực trị Sử dụng bất đẳng thức thông dụng * Bất đẳng thức Cauchy cho biến đại lượng không âm  [ * Bất đẳng thức Schwarts cho biến đại lượng tùy ý √ để đẳng thức (3) Nếu (4) xảy * Sử dụng bất đẳng thức | ⃗ |  [ ⃗ | dấu dẳng thức xảy | ⃗ || | ⃗ | vec tơ phương Sử dụng tính bị chặn hàm lượng giác [  Sử dụng nguyên lý hình học - Với điểm ta ln có Dấu xảy A thuộc BC - Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn vng góc với đường thẳng có độ dài ngắn - Trong hai đường xiên kẻ từ điểm tới đường thẳng, đường xiên có hình chiếu lớn lớn ngược lại - Nếu tam giác có cặp cạnh tương ứng đơi cạnh cịn lại cạnh đối diện với góc lớn thi lớn ngược lại - Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh bé lớn trung tuyến ứng với cạnh lớn - Nếu tam giác cân có góc đỉnh khơng đổi cạnh đáy nhỏ cạnh bên nhỏ nhất, cạnh đáy lớn cạnh bên lớn - Đường kính dây cung dài đường tròn - Khoảng cách ngắn hai đường thẳng độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Hoạt động Tập luyện cho HS kĩ chứng minh mối quan hệ hình học giải tốn có yếu tố cực trị Bài tốn Cho hình chóp cạnh SB vng góc v cạnh Gọi phẳng a) Chứng minh tứ giác b) Tìm vị trí Hoạt động sinh phải làm Yêu càu HS làm việc độc lập để suy nghĩ câu chứng minh tứ giác hình chữ nhật GV quan sát HS làm đưa gợi ý thấy cần thiết thông qua câu hỏi ?1 Cách xác định vị trí điểm L ? ?2 Từ xác định chứng minh hì chứng điều phải chứng minh GV hướng dẫn HS làm ý b) thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, vấn đáp trực tiếp HS bảng nội ?1 Để tính độ dài đường chéo ML hình chữ nhật MKLH ta tính GV ghi du đoạn thẳng ? GV ta có hệ đoạn thẳng song song : ?2 Ta dựa vào Định lý Talet để tính cạnh khơng ? ?3 có Khi thể tính Sau tìm GTNN Bài tốn Cho hình lập phương a) Xác định đường vng góc chung b) Một mặt phẳng hình gì? Hãy xác định Hoạt động giáo viên Giáo viên gợi mở vấn đề câu a) tốn thơng qua hệ thống câu hỏi vấn đáp để tìm tri thức tìm đáp số tốn ?1 Nhận phương ?2 Chứng ? Do thiết diện tứ giác ?3 Nhận xét - Vì vng góc với lập BB’ hình phương đường vng góc chung có mối liên hệ với ? nên tâm hình { vng  ?4 Từ tính độ dài đoạn Ta có Tương tự vng góc chung dựa - Gọi giao đường Vậy thiết diện vào mối quan hệ với chéo hình lập phương hình bình hành ? Với ý b) HS tìm thiết diện hình bình hành Kẻ Gọi trung điểm , dễ Như √ diện đạt tích  tích thiết diện Để đoạn vng góc - Vậy ta thấy diện √ chứng minh Khi chung đường vng GTNN đạt GTNN Dựa góc chung Do Vậy √ vào mối quan hệ đường Từ cách dựng ta chứng minh xiên hình chiếu suy đạt GTNN trùng Vậy √ √ ’ Củng cố toàn bài(5 ) : giáo viên tổng kết phương pháp x/đ k/c ’ Bài tập nhà hƣớng dẫn (5 ) : Bài 34,35 +ôn chương phần t/n √ ... ban đầu gặp tốn cực trị hình học, chọn nghiên cứu đề tài ? ?Dạy học giải tốn Cực trị hình học cho học sinh THPT” 2 Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa số vấn đề lý luận dạy học giải toán, từ xác định... mới, cách giải từ tri thức, kinh nghiệm có Do thơng qua dạy học giải tốn cực trị hình học giúp học sinh phát triển lực giải toán, rèn luyện tư toán học cho HS 23 Trong trình giải tập học sinh phải... nhiệm vụ giải toán cực trị 1.1.4.2 Năng lực giải toán cực trị mối quan hệ với lực khác Năng lực giải toán cực trị thành phần quan trọng hình thành nên lực học tốn học sinh Nó xun suốt q trình học