De HSG Toan 8 dap an 1

Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC.. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.[r]

đề thi HSG huyện năm học 2011 – 2012 M«n to¸n líp Thêi gian: 120 phót phßng gD- ®t Y£N THÕ trờng thcs đồng lạc m· §Ò: 001 3 Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a  b  c  3abc 2) Cho a  3ab 5 vµ Bµi 2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: b3  3a2b 10 TÝnh S = a2  b2 x  2x  x  2x  0 2) Cã tån t¹i hay kh«ng sè nguyªn d¬ng n cho n6  26n 212011 23  3  20113     20113  Bµi 3: Rót gän biÓu thøc A =   Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, cã AB < AC KÎ ph©n gi¸c AD Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC BN c¾t CM t¹i K, AK c¾t DM t¹i I, BN c¾t DM t¹i E, CM c¾t DN t¹i F 1) Chøng minh r»ng EF // BC 2) Chøng minh r»ng K lµ trùc t©m cña AEF  3) TÝnh sè ®o cña BID Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = P  a  b  c  d  a  b  c   a  b  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc abcde Lu ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào - HÕt - đáp án đề thi HSG huyện lớp M«n to¸n Thêi gian: 120 phót phßng gD- ®t Y£N THÕ trờng thcs đồng lạc m· §Ò: 001 Bµi 1: (5 ®iÓm) 1) (3 ®iÓm) a3  b  c  3abc =  a  b   3ab  a  b   c  3abc (1 ®) =  a  b  c    a  b  =  a  b  c  a 2  c  a  b   c   3ab  a  b  c   2  b  c  ab  bc  ac Ta cã a  3ab 5  2) (2 ®iÓm) b vµ b  3a b 10  Suy 125 = Bµi 2: (5 ®iÓm) a 3  3ab2     1) (3 ®iÓm) x  2x  x  2x  0  x  2x   x V×  x  1 0  x  1 ; (0,5 ®) 4  b  6a b  9a b 100 a  b  3a b  3a b  a  b 2  a  6a b  9a b 25 2 4 (1 ®) 25  3a2b 100 (1 ®) 2  (0,5 ®) 2 Do đó S = a  b =  2x  0   x  1   x  1 (1 ®) 0 0 (1,5 ®) (0,5 ®)  x  0  Nên phơng trình tơng đơng  x  0  x = VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = n 2011 2) (2 ®iÓm) Gi¶ sö tån t¹i n  N* cho n  26 21 Ta cã 26n cã tËn cïng lµ vµ 212011 cã tËn cïng lµ Vậy n6 có tận cùng phải là 5, đó n có tận cùng là     (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) 402 .5  26  215 21 n 2011 Khi đó n  26 21 có dạng 25  76  01 21   01  21 , v« lÝ VËy kh«ng tån t¹i sè nguyªn d¬ng n tháa m·n bµi to¸n (0,5 ®)   (0,5 ®) (0,5 ®) Bµi 3: (2 ®iÓm) NhËn xÐt r»ng mçi sè h¹ng cña tæng cã d¹ng 2   k   k  1 k  k   k  1   k  1   k  1  1   k   k  1 k  k   k  1 k  k    Ta cã            1.2 2010.   1 S 3.4 2012    1 =  2012  2011  víi k = 2, 3, …, 2011 2010 2012  2012  (1 ®)       1  2012  2012  1   1  2011  2011  1     S 22     2012 20112  2011  2 2 2 = 3.1006.2011 Bµi 4: (6 ®iÓm) VÏ h×nh kh«ng chÝnh x¸c kh«ng cho ®iÓm c¶ bµi (1 ®) 1) (2 đ) Chứng minh đợc tứ giác AMDN lµ h×nh vu«ng (0,5 ®) MF BD BM BM ME     FC DC MA DN ED (1®) MF ME  hay FC ED  EF // DC hay EF // BC (0,5 ®) A 2) (2 đ) Theo định lí Thales ta có AN DN NC NF NF     AB AB AC AM AN (0,5 ®) M K B E I N F D AN NF    hay AB AN vµ BAN ANF 90    NAF  ABN  NAF NBA  AF  BN LËp luËn t¬ng tù cã AE  CM VËy K lµ trùc t©m cña AEF 3) (2 ®) K lµ trùc t©m cña AEF  AK  EF mµ EF // BC  AK  BC KÕt hîp víi DM  AB  I lµ trùc t©m cña ABD 0 0   VËy BID 180  BAD 180  45 135 C (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (1 ®) Bµi 5: (2 ®iÓm) x  y Ta cã  2 0  x  2xy  y 4xy   x  y  4xy DÊu “=” x¶y x = y (0,5 ®) x  y  4xy ¸p dông liªn tiÕp B§T  ta cã 2 = (a + b + c + d + e)  4(a + b + c + d)e (1) (a + b + c + d)2  4(a + b + c)d (2) (a + b + c)2  4(a + b)c (3) (a + b)2  4ab (4) Do a, b, c, d, e > nên các vế các BĐT trên dơng Nhân vế chúng và rút gọn ta đợc 16(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b)  256abcde  a  b  c  d  a  b  c   a  b  16 P abcde  (1 ®)  a  b  c  d  e 4 a b   a  b  c  d e     c  a  b  c d a  b c   d 1 a b e 2  DÊu “=” x¶y vµ chØ 1 Vậy GTNN P 16 đạt đợc a = b = ; c = ; d = và e = (0,5 ®) Lu ý: Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa -HÕt -