Chứng minh rằng trong các tổng nhận đợc, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hÕt cho 10.. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox.[r]
(1)BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN ĐỀ SỐ Câu Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011 131313 b) B = 70.( 565656 2a 3b c) C = b + c 131313 + 727272 4c + 5d 131313 + 909090 ) 5d 2a 3b + a biết b = c 4c = 5d 5d = 2a Câu Tìm x là các số tự nhiên, biết: a) x +1 = x +1 b) x : ( - )= 2 0,4+ − 11 8 1,6+ − 11 Câu a) Tìm tất các cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh −9 − 19 −9 −19 + 2011 ; B= 2011 + 2010 2010 10 10 10 10 n− Câu Cho A = n+ A= a) Tìm n nguyên để A là phân số b) Tìm n nguyên để A là số nguyên Câu Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A và C) a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b) Tính số đo DBC, biết ABD = 300 c) Từ B dựng tia Bx cho DBx = 900 Tính số đo ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B) Chứng minh đoạn thẳng BD và CE cắt ………….Hết………… ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM (2) CÂU NỘI DUNG Câu a) (1,5 đ) (4,5 A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1 đ) b) (1,5 đ) 13 B = 70.( 56 + 13 72 ĐIỂM 1,5 13 ) = 70.13.( 90 7.8 + + + ) 10 0,5 = 70.13.( - 10 ) = 39 c) (1,5 đ) 2a 3b Đặt b = c 4c = 5d 5d 0,5 = 2a = k 2a 3b 4c 5d Ta có b c d a = k4 => k4 = ⇒ k = 1 ⇒ 2a 3b C = 3b + 4c 4c + 5d x : ( 92 - ) = 0,5 5d + 2a = Câu a) (2,0 đ) x +1 (3,5đ) = (x + 1)2 = 16 = ( ± 4)2 x +1 +) x + = => x = +) x + = - => x = -5 (loại) Vậy x = b) (1,5 đ) 2 0,4+ − 11 8 1,6+ − 11 1,0 19 x :( − ) = 0,5 0,75 0,5 0,5 0,25 2 0,4+ − 11 2 0,4+ − 11 ( ) x = 1,0 0,5 => x = Câu a) (1,5 đ) (3,0 Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1 đ) Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho và 34x5y chia hết cho + + x + + y ⋮ => 12 + x + y ⋮ (1) 34x5y chia hết cho 5y ⋮ => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x ⋮ => x = Với y = thay vào (1) => 18 + x ⋮ => x = x = Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,5 đ) 9 19 9 10 9 A 2010 2011 2010 2011 2011 10 10 10 10 10 Ta có 0,5 9 19 9 10 9 B 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 10 10 10 2010 2011 10 Ta thấy 10 => Vậy A > B 0,5 0,5 (3) CÂU NỘI DUNG Câu a) (1,0 đ) (3,0 A = n− là phân số n + => n n+ đ) b) (2,0 đ) A= n− n+ = ĐIỂM 1,0 -4 n+4 − 5 =1− n+4 n+4 0,5 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên ⋮ n + hay n + Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Ư(5) 0,5 1,0 Câu (6,0 đ) A E D C B a) (1,5 đ) D nằm A và C => AC = AD + CD = + = cm b) (1,5 đ) Tia BD nằm hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC => DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 c) (1,5 đ) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính ABx = 900 – ABD Mặt khác tia BD nằm hai tia BA và BC nên 00 <ABD<550 => 900- 550 < ABx < 900 – 00 350 < ABx < 900 - Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính ABx = 900 + ABD Lập luận tương trường hợp 900 < ABx < 1450 Vậy 350 < ABx < 1450, ABx 900 d) (1,5 đ) - Xét đường thẳng BD Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm nửa: nửa MP có bờ BD chứa điểm C và nửa MP bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E và C nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE 1,5 1,0 0,5 0,75 0,75 0,75 0,5 (4) CÂU NỘI DUNG Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC và BD cắt 0,25 ĐỀ SỐ Bµi 1: ( 2.0 ®iÓm ) a) Rút gọn phân số: ĐIỂM 3 −2 ¿ ¿ ¿ ¿ −7 −15 −15 −7 b) So sánh không qua quy đồng: A= 2005 + 2006 ; B= 2005 + 2006 10 10 10 10 Bµi 2: ( 2.0 ®iÓm ) Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) A= −1 + − + −1 + − + −1 + − 20 30 42 56 72 90 13 B= + + + + 1 11 11 2 15 15 b) Bµi 3: ( 2.0 ®iÓm ) Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Bµi 4: ( 3.0 ®iÓm ) Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD là tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất bao nhiêu góc? Bµi 5: ( 1.0 ®iÓm ) Cho p vµ p + lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3) Chøng minh r»ng p + lµ hîp sè A §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: ( 2.0 ®iÓm ) Thang ®iÓm a) 0.5 0.5 ¿ 0.5 −7 − 15 −7 −8 −7 − 15 −7 −7 −8 −7 −8 − b= 2005 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 ¿ B= 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 ¿ 2006 > 2005 ⇒ A > B ¿ §¸p ¸n 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0.5 Bµi 2: ( 2.0 ®iÓm ) (5) ¿ 0.5 − −1 − −1 1 1 1 1 1 1 a= + + + + =−( + + + + )¿=−( − + − + + + + − )=−( − 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 10 5 6 10 b= 13 13 + + + + =7 ( + + + + 1 11 11 2 15 15 7 11 11 14 14 15 15 28 0.5 1 0.51 1 )¿=7 ( − + − + − ¿ 7 11 11 0.5 Bµi 3: ( 2.0 ®iÓm ) Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán là giỏ 71 kg Số xoài và cam còn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg Bµi 4: ( 3.0 ®iÓm ) 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 Vẽ hình đúng B A D C O a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : = 300 ; BOC = 300 = 1500 0.5 0.5 b)Vì OD là tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 Do đó AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, góc tính hai lần Vậy có tất 2010 2009 =2 019 045 góc 0.5 0.5 0.5 0.5 Bµi 5: ( 1.0 ®iÓm ) P cã d¹ng 3k + 1; 3k + k N Dạng p = 3k + thì p + là hợp số trái với đề bài ⇒ p = 3k + ⇒ p + = 3k + ⋮ ⇒ p + lµ hîp sè 0.5 0.5 14 (6) ĐỀ SỐ Bài : (5 điểm) Thực các phép tính sau cách hợp lý : 102 112 122 : 132 142 a) b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8 16 3.4.2 13 11 c) 11.2 16 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : (4 điểm) Tìm x, biết: 19x 2.52 :14 13 42 a) b) x x 1 x x 30 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b Bài : (3 điểm) a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 101102 M 103 101 b) So sánh M và N biết : 101103 N 104 101 Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) B - PHẦN ĐÁP ÁN : Bài : (5 điểm) Thực các phép tính sau cách hợp lý : Đáp án 2 2 a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196 365 : 365 1 b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 1.2.3 7.8. 1.2.3 7.8 0 Điểm 1 (7) 16 c) 3.4.2 11.213.411 169 16 32. 218 3.2 11.2 11 13 36 11.213.222 236 36 36 3 3 35 2 13 22 36 35 36 11.2 11.2 2 11 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - = = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài : (4 điểm) Tìm x : Câu Đáp án 2 a 19x 2.5 :14 13 8 42 b c d x 14 13 42 2.52 :19 x 4 x x 1 x x 30 1240 x x x 30 1240 31 So hang 30. 30 31x 1240 31x 1240 31.15 775 x 25 31 11 - (-53 + x) = 97 x 11 97 ( 53) 33 -(x + 84) + 213 = -16 (x 84) 16 213 (x 84) 229 x 84 229 x 229 84 145 1 Điểm 1 1 Bài : (3 điểm) Đáp án Từ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn các số tự nhiên m và n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy : Điểm (8) BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy : (4) 15m 15 15n 15. m 1 15n m n Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì có trường hợp : m = 4, n = là thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta các số phải tìm là : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài : (2 điểm) Câu Đáp án Điểm Chứng minh đẳng thức: - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c Biến đổi vế trái đẳng thức, ta : VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - a Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] =a-1 So sánh, ta thấy : VT = VP = a - Vậy đẳng thức đã chứng minh b Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có : S a b c c b a a b S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b Tính S : theo trên ta suy : S a b * Xét với a và b cùng dấu, ta có các trường hợp sau xảy : + a và b cùng dương, hay a > b > 0, thì a + b > : S a b a b + a và b cùng âm, hay > a > b, thì a + b < (a b) , nên suy : S a b a b a b * Xét với a và b khác dấu : Vì a > b, nên suy : a > và b < b , ta cần xét các trường hợp sau xảy : + a b ,hay a > -b > 0, đó a b a ( b) , suy ra: S a b a b + a b , hay -b > a > 0, đó a b a ( b) , hay a b suy : S a b (a b) a ( b) Vậy, với : + S a b (nếu b < a < 0) (9) + S a b (nếu b < a < 0, b < < a b ) Bài : (6 điểm) Câu Hình vẽ a b c Đáp án o m a Điểm b n Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O và B, suy : OA < OB Ta có M và N thứ tự là trung điểm OA, OB, nên : OA OB OM ; ON 2 Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O và N Vì điểm M nằm hai điểm O và N, nên ta có : OM MN ON MN ON OM suy : OB OA AB MN 2 hay : Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) 2 ĐỀ THI SỐ Câu (6 điểm): Thực các phép tính 136 28 62 21 a) 15 10 24 b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 5 1 11 : c) 6 20 Câu (4 điểm): Cho A = - + - + - 6+ + 19 - 20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho không? b) Tìm tất các ước A Câu (4 điểm): a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng b) Tìm x biết: + + + 13 + 16 + + x = 501501 Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 5cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = 3cm (10) a) Tính độ dài BM b) Cho biết BAM = 800, BAC =600 Tính CAM c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK = 1cm Tính độ dài BK ĐÁP ÁN Câu (6 điểm): Thực các phép tính a) (2 điểm): 11 272 168 186 21 29 21 203 8 24 = 30 30 30 24 24 24 b) (2 điểm): = (528 : 4) + 42 171 - 7314 = 132 + 7182 - 7314 = c) (2 điểm): 41 1 25 41 11 : 6 4 6 25 = 41 125 246 371 71 2 = 25 150 150 150 150 Câu (4 điểm): a) (2 điểm): A = (1-2) + (3-4) + (5-6) + + (19-20) (có 10 nhóm) (0,5đ) = (-1) + (-1) + (-1) + + (-1) (có 10 số hạng) (0,5đ) = 10 (-1) = -10 (0,5đ) Vậy A2, A 3, A (0,5đ) b) (2 điểm): Các ước A là: 1, 2, 5, 10 (nêu ước cho 0,25đ) Câu (4 điểm): Hai số lẻ liên tiếp có a) (2 điểm): dạng 2n + và 2n + (n N) (0,5đ) Gọi d là ước số chung chúng Ta có: 2n + d và 3n + d (0,5đ) nên (2n + 3) - (2n + 1) d hay d d không thể vì d là ước chung số lẻ (0,5đ) Vậy d = tức là hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng (0,5đ) b) (2 điểm) Ta có: = + 3; = + 5; 13 = + 7; 16 =7 + Do x = a + (a+1) (a N) Nên + + + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501 Hay (a+1)(a+1+1): = 501501 (0,25đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (11) (a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 1002 Suy ra: a = 1000 Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001 Câu (6 điểm): (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) a) (2 điểm): Hai điểm M và B thuộc hai tia đối CM và CB nên điểm C nằm hai điểm B và M (1đ) Do đó: BM= BC + CM = + = (cm) (1đ) b) (2 điểm): Do C nằm hai điểm B và M nên tia AC nằm hai tia AB và AM (1đ) Do đó CAM BAM BAC = 800 - 600 = 200 (1đ) B K2 C K1 c) (2 điểm): + Nếu K thuộc tia CM thì C nằm B và K (ứng với điểm K1 hình vẽ) (0,5đ) Khi đó BK = BC + CK = + = (cm) (0,5đ) + Nếu K thuộc tia CB thì K nằm B và C (ứng với điểm K2 hình vẽ) (0,5đ) Khi đó BK = BC - CK = - = (cm) (0,5đ) ĐỀ SỐ Câu 1(3,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau: a [131 (13 4) ] 28.43 28.5 28.21 b 5.56 5.24 5.63 Câu 2(4,0 điểm): Tìm các số nguyên x biết 24 5 x 35 a b (7 x 11) ( 3) 15 208 c x 20 5.( 3) Câu 3(5,0 điểm): a, Một số tự nhiên chia cho dư 5,chia cho 13 dư Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? M (12) b, Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 thì vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? Câu 4(6,0 điểm): Cho góc bẹt xOy Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ các tia Oz và Ot cho xOz 70 ; yOt 55 a Chứng tỏ tia Oz nằm hai tia Ox và Ot ? b Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On góc xOz Tính góc nOt? Câu 5(2,0 điểm): Cho n là số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số -Hết ĐÁP ÁN Câu Nội dung Câu 1(4điểm) a (1,5) 16.5 (131 92 ) 80 50 30 b (1,5) Thang điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 28 43 ( ) 5 56 24 28 129 35 56 ( ) 5 168 168 168 28 108 5 168 18 5 3 0.5 0,25 0.25 0.5 câu (4điểm) 0.5 a (1,0) b (1,5) 0.5 (7 x 11)3 ( 3) 15 208 (7 x 11) 9.15 208 (7 x 11)3 73 0.5 18 x 11 7 x (không thỏa mãn) 0.5 (13) c (1,5) x 20 5.( 3) 0.5 x 5 Câu3(4,0) a (2,0) [2 x 75 [2 x12 [ x6 x 7 x2 x1 x 1; 6 Vậy 0.5 0.5 Gọi số đó là a Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư a 97; a 913 mà (7,13)=1 nên 0.25 1.0 a 97.13 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N) Vậy a chia cho 91 dư 82 b (2,0) Gọi số Hs khối là a (3<a<400) Vì xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 dư a 310;12;15 a BC (10,12,15) ta có BCNN(10,12,15)=60 1.0 0.25 0.25 0.5 a 60;120;180; 240;300;360; 420; 0.5 a 63;123;183; 243;303;363; 423; mà a 11; a 400 a=363 0.75 Vậy số HS khối là 363 học sinh 0.5 Câu (6,0) z n Vẽ hình 0.5 x a (1,5) t O y Vì góc xOy là góc bẹt nên suy trên cùng nưả mặt phẳng có bờ xy có xOt và tOy là hai góc kề bù 0 xOt + tOy =180 xOt 180 55 xOt 125 Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: (700 1250 ) xOz xOt Tia Oz nằm hai tia Ox và Ot b (2,0) 0.75 0.75 Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có xOz và zOy là hai góc kề bù xOz zOy 180 hay 700 zOy 1800 zOy 1800 700 1100 0.75 (14) Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: yOt yOz (550 1100 ) Tia Ot nằm hai tia Oy và Oz yOt tOz yOz (1) nên ta có: hay 110 tOz 110 550 550 55 tOz ( 550 ) yOt tOz (2).Từ (1) và (2) suy Ot là tia phân 0 giác góc yOz c (2,0) 0.75 0.5 Vì xOy là góc bẹt nên suy tia Ox và tia Oy là hai tia đối Hai tia Ox và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối 0.5 có bờ chứa tia Oz (1) Vì On là tia phân giác góc xOz nên xOz 700 nOz 350 2 và hai tia On và Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Ta lại có tia Ot là tia phân giác góc yOz (theo b,) Hai tia Ot và Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) Từ (1),(2), (3) suy tia On và tia Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oz tia Oz nằm hai tia On và Ot nên ta có: 0 0 nOt nOz zOt hay nOt 35 55 90 Vậy nOt 90 C©u (2,0) n là số nguyên tố, n > nên n không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư đó n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007 = 3( m+669) chia hết cho Vậy n + 2006 là hợp số ĐỀ SỐ §Ò Thi häc sinh giái cÊp huyÖn Bµi 1(1,5®): T×m x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bµi (1,5®) Cho a lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng: a 5 5a 5 Bµi (1,5®) Cho a lµ mét sè nguyªn Chøng minh r»ng: a) NÕu a d¬ng th× sè liÒn sau a còng d¬ng b) NÕu a ©m th× sè liÒn tríc a còng ©m 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 0.25 (15) c) Cã thÓ kÕt luËn g× vÒ sè liÒn tríc cña mét sè d¬ng vµ sè liÒn sau cña mét sè ©m? Bài (2đ) Cho 31 số nguyên đó tổng số là số dơng Chứng minh tổng 31 số đó là số dơng Bài (2đ) Cho các số tự nhiên từ đến 11 đợc viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng số với số thứ tự nó ta đợc tổng Chứng minh các tổng nhận đợc, tìm hai tổng mà hiệu chúng là số chia hÕt cho 10 Bài (1,5đ): Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox Vẽ hai tia Oy vµ Oz cho gãc xOy vµ xOz b¾ng 1200 Chøng minh r»ng: a) xOy xOz yOz b) Tia đối tia Ox, Oy, Oz là phân giác góc hợp hai tia còn lại §¸p ¸n: Bµi (1,5®) a).5x = 125 5x = 53 => x= b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = => x=3 Bµi V× a lµ mét sè tù nhiªn víi mäi a Z nªn tõ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trên trục số cácc số này lớn -5 và nhỏ đó -5<a<5 Bµi 3.NÕu a d¬ng th× sè liÒn sau còng d¬ng Ta cã: NÕu a d¬ng th× a>0 sè liÒn sau a lín h¬n a nªn còng lín h¬n nªn lµ sè d¬ng b)NÕu a ©m th× sè liÒn tríc a còng ©m Ta cã: NÕu a ©m th× a<0 sè liÒn tríc a nhá h¬n a nªn còng nhá h¬n nªn lµ sè ©m Bài (2đ) Trong các số đã cho ít có số dơng vì trái lại tất là sè ©m th× tæng cña sè bÊt kú chóng sÏ lµ sè ©m tr¸i víi gi¶ thiÕt (16) Tách riêng số dơng đó còn 30 số chi làm nhóm Theo đề bài tổng các số nhóm là số dơng nên tổng nhóm là số dơng và đó tổng 31 số đã cho là số dơng Bài (2đ): Vì có 11 tổng mà có thể có 10 chữ số tận cùng là các số từ , ,2, …., nên luôn tìm đợc hai tổng có chữ số tận cùng giống nên hiệu cña chóng lµ mét sè nguyªn cã tËn cïng lµ vµ lµ sè chia hÕt cho 10 Bµi (1,5®).Ta cã: x 'Oy 600 , x 'Oz 600 yOz yOx ' x 'Oz 1200 vËy vµ tia Ox’ n»m gi÷a hai tia Oy, Oz nªn xOy yOz zOx ' ' Do tia Ox’ n»m gi÷a hai tia Oy, Oz vµ x Oy x Oz nªn Ox’ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc hîp bëi hai tia Oy, Oz Tơng tự tia Oy’ (tia đối Oy) và tia Oz’ (tia đối tia Oz) là phân giác gãc xOz vµ xOy ĐỀ SỐ Bµi 1( ®iÓm ) T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: a) 571999 b) 931999 1999 Cho A= 999993 - 5555571997 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho Cho phân số a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số lớn b a h¬n hay bÐ h¬n ? b Cho sè 155 ∗710 ∗ ∗16 cã 12 ch÷ sè chøng minh r»ng nÕu thay c¸c dÊu * bëi các chc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396 chøng minh r»ng: a) − + − + − < b) 16 32 64 3 99 100 − + − + .+ 99 − 100 < 3 3 16 3 Bµi 2( ®iÓm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox cho OM = (a+b) §¸p ¸n: Bµi 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: ( ®iÓm ) §Ó t×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè chØ cÇn xÐt ch÷ sè tËn cïng cña tõng sè : a) 571999 ta xÐt 71999 Ta cã: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy ch÷ sè tËn cïng b»ng ( 0,25 ®iÓm ) VËy sè 571999 cã ch÷ sè tËn cïng lµ : b) 931999 ta xÐt 31999 Ta cã: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy ch÷ sè tËn cïng b»ng (0,25 ®iÓm ) (17) Cho A = 9999931999 - 5555571997 chøng minh r»ng A chia hÕt cho §Ó chøng minh A chia hÕt cho , ta xÐt ch÷ sè tËn cïng cña A b»ng viÖc xÐt ch÷ sè tËn cïng cña tõng sè h¹ng Theo c©u 1b ta cã: 9999931999 cã ch÷ sè tËn cïng lµ T¬ng tù c©u 1a ta cã: (74)499.7 =2041499.7 cã ch÷ sè tËn cïng lµ ( 0,25 ®iÓm ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, đó A chia hết cho ( 0,25 ®iÓm ) (1 ®iÓm )Theo bµi to¸n cho a <b nªn am < bm ( nh©n c¶ hai vÕ víi m) ( 0,25 ®iÓm ) ab +am < ab+bm ( céng hai vÕ víi ab) ( 0,25 ®iÓm ) a(b+m) < b( a+m) a a+ m < b b+ m 4.(1 ®iÓm ) Ta nhận thấy , vị trí các chữ số thay ba dấu số trên hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi khác nhau, lấy từ tập hợp { 1; ; } nên tổng chúng lu«n b»ng 1+2+3=6 Mặt khác 396 = 4.9.11 đó 4;9;11 đôi nguyên tố cùng nên ta cần chứng minh A = 155 ∗710 ∗ ∗16 chia hÕt cho ; vµ 11 ThËt vËy : +A ⋮ v× sè t¹o bëi hai ch÷ sè tËn cïng cña A lµ 16 chia hÕt cho ( 0,25 ®iÓm ) + A ⋮ v× tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hÕt cho ( 0,25 ®iÓm ) + A ⋮ 11 v× hiÖu sè gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ lµ 0, chia hÕt cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 ®iÓm ) VËy A ⋮ 396 5(4 ®iÓm ) 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − + − + − (0,25 ®iÓm ) 16 32 64 22 23 25 26 1 1 2A= 1− + − + − (0,5 ®iÓm ) 2 2 26 −1 2A+A =3A = 1- = < (0,75 ®iÓm ) 2 3A < A < (0,5 ®iÓm ) 99 100 3 99 100 − + − + .+ 99 − 100 3A= 1− + − + + 98 − 99 b) §Æt A= 32 33 3 3 3 3 a) (2 ®iÓm ) §Æt A= (0,5 ®iÓm ) 1 1 100 1 1 4A = 1- + − + .+ 98 − 99 − 100 4A< 1- + − + .+ 98 − 99 (1) §Æt 3 3 3 3 1 1 1 1 − + .+ 97 − 98 B= 1- + − + .+ 98 − 99 3B= 2+ (0,5 ®iÓm ) 3 4B = B+3B= 3- 99 3 <3B< 3 3 (2) Tõ (1)vµ (2) 4A < B < A < 16 (0,5 ®iÓm ) Bµi ( ®iÓm ) a) (1 ®iÓm )V× OB <OA ( b<a) nªn trªn tia Ox th× ®iÓm B n»m gi÷a ®iÓm O vµ điểm A Do đó: OB +OA= OA Từ đó suy ra: AB=a-b (18) O B x A b)(1 ®iÓm )V× M n»m trªn tia Ox vµ OM = (a+ b)= a+b = b+ a− b =b + a− b =¿ 2 2 = OB + OA − OB =OB+ AB 2 M chÝnh lµ ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng AB cho AM = BM ĐỀ SỐ C©u 1: (2®) Thay (*) các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hÕt cho b) 261* chia hÕt cho vµ chia d C©u 2: (1,5®) TÝnh tæng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 C©u 3: (3,5 ®) Trên đờng qua địa điểm A; B; C (B nằm A và C) có hai ngời xe m¸y Hïng vµ Dòng Hïng xuÊt ph¸t tõ A, Dòng xuÊt ph¸t tõ B Hä cïng khëi hµnh lúc để cùng đến C vào lúc 11 cùng ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng luc và gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đờng AB dài 30 km, vận tốc ninh 1/4 vận tốc Hùng Tính quãng đờng BC C©u 4: (2®) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; ; A2004 Tõ ®iÓm M kh«ng n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ta nèi M víi c¸c ®iÓm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B TÝnh sè tam gi¸c t¹o thµnh C©u 5: (1®) TÝch cña hai ph©n sè lµ Thêm đơn vị vào phân số thứ thì tích 15 là 56 Tìm hai phân số đó 15 ĐÁP ÁN C©u a) §Ó 510* ; 61*16 chia hÕt cho th×: + + + * chia hết cho 3; từ đó tìm đợc * = 0; 3; 6; b) §Ó 261* chia hÕt cho vµ chia d th×: * chẵn và + + + * chia d 1; từ đó tìm đợc * = C©u S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 (1®) (1®) (0,5®) (19) = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5®) S = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 (0,5®) C©u Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 - = (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 - = (giờ) Quãng đờng AB là 30 km đó khoảng cách Hùng và Dũng bớt 10 km Vì lúc Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh còng c¸ch Hïng 20 km Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng đó tổng vận tốc Ninh và Hùng là: 20 : 24 =20 60 =50( km/h) 60 24 Do vËn tèc cña Ninh b»ng 1/4 vËn tèc cña Hïng nªn vËn tèc cña Hïng lµ: [50 : (1 + 4)] = 40 (km/h) Từ đó suy quãng đờng BC là: 40 - 30 = 90 (km) §¸p sè: BC = 90 km C©u 4: (2®) Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó Mçi ®o¹n th¼ng (vÝ dô MA) cã thÓ kÕt hîp víi 2005 ®o¹n th¼ng cßn l¹i vµ c¸c đoạn thẳng tơng ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác Do đó 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhng lu ý là MA kết hợp với MA để đợc tam giác thì MA kết hợp với MA đợc tam gi¸c vµ hai tam gi¸c nµy chØ lµ 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : = 2011015 C©u 5: (1®) Thêm đơn vị vào phân số thứ thì tích 15 lµ 56 suy tÝch míi h¬n tÝch cò lµ 56 - = 48 ®©y chÝnh lµ lÇn ph©n 15 15 15 15 48 12 sè thø hai Suy ph©n sè thø hai lµ :4= = Từ đó suy phân số 15 15 TÝch cña hai ph©n sè lµ thø nhÊt lµ: 15 : = ĐỀ SỐ 10 C©u : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A= 3a +22a −1 a Rót gän biÓu thøc a + 2a +2 a+ 1 (20) b Chứng minh a là số nguyên thì giá trị biểu thức tìm đợc câu a) lµ mét ph©n sè tèi gi¶n C©u 2: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè abc cho abc=n2 −1 vµ n −2 ¿ cba=¿ Câu 3:a (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 là số chính phơng b (1 ®iÓm) Cho n lµ sè nguyªn tè lín h¬n Hái n + 2006 lµ sè nguyªn tè hay lµ hîp sè C©u 4: (2 ®iÓm) a Cho a, b, n N* H·y so s¸nh a+n vµ a b+n b Cho A = 1011 −1 ; 1012 −1 B= 1010+ 1011 +1 b So s¸nh A vµ B C©u 5: (2 ®iÓm) Cho 10 sè tù nhiªn bÊt kú : a 1, a2, ., a10 Chøng minh r»ng thÕ nµo còng cã mét sè hoÆc tæng mét sè c¸c sè liªn tiÕp d·y trªn chia hÕt cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đờng thẳng đó bất kì đờngthẳng nào cắt Không có đờng thẳng nào đồng qui Tính số giao điểm chúng Đáp án đề THI HSG toán C©u 1: Ta cã: A= 3a +22a −1 a +2a +2 a+1 = (a+1)(a 2+ a −1) a 2+ a− = (a+1)(a2 +a+1) a2 +a+1 Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn đúng cho 0,75 điểm b.Gäi d lµ íc chung lín nhÊt cña a2 + a – vµ a2+a +1 ( 0,25 ®iÓm) V× a2 + a – = a(a+1) – lµ sè lÎ nªn d lµ sè lÎ MÆt kh¸c, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d Nªn d = tøc lµ a2 + a + vµ a2 + a – nguyªn tè cïng ( 0, ®iÓm) VËy biÓu thøc A lµ ph©n sè tèi gi¶n ( 0,25 ®iÓm) C©u 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n – 4n + (2) (0,25 ®iÓm) Tõ (1) vµ (2) 99(a-c) = n – 4n – 99 (3) (0,25 ®iÓm) MÆt kh¸c: 100 n2-1 999 101 n2 1000 11 n31 39 4n – 119 (4) ( 0, 25 ®iÎm) Tõ (3) vµ (4) 4n – = 99 n = 26 VËy: abc = 675 ( , 25 ®iÓm) C©u 3: (2 ®iÓm) a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phơng đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 ®iÓm) + ThÊy : NÕu a,n kh¸c tÝnh chÊt ch½n lÎ th× vÕ tr¸i cña (*) lµ sè lÎ nªn kh«ng tháa m·n (*) ( 0,25 ®iÓm) + NÕu a,n cïng tÝnh ch½n hoÆc lÎ th× (a-n) ⋮ vµ (a+n) ⋮ nªn vÕ tr¸i chia hÕt cho vµ vÕ ph¶i kh«ng chia hÕt cho nªn kh«ng tháa m·n (*) (0,25 ®iÓm) Vậy không tồn n để n2 + 2006 là số chính phơng (0,25 điểm) b) n là số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n chia hết cho d đó n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hÕt cho VËy n2 + 2006 lµ hîp sè ( ®iÓm) Bài 4: Mỗi câu đúng cho điểm a a >1 <1 (0,5 ®iÓm) Ta xÐt trêng hîp a =1 b TH1: a =1 b a=b th× a+n th× b+n b a+n b+n ⋮ b = a =1 (0 , v× ,5 ®iÓm) b (21) TH1: Mµ a b a >1 a>b a+m > b+n b a+n cã phÇn thõa so víi lµ a− b b+n b+ n a− b cã phÇn thõa so víi lµ , v× b a− b b+ n < a− b b a− b b < b−a bb+n nªn a+n b+n < a b (0,25 ®iÓm) TH3: a <1 a<b a+n < b+n b Khi đó a+n b+n cã phÇn bï tíi lµ (0,25 ®iÓm) a− b b , v× nªn a+n b+n > a b 11 b) Cho A = 1012 −1 ; 10 −1 râ rµng A< nªn theo a, nÕu a <1 th× b a+n > b+n a A< b (1011 −1)+11 10 11 +10 = (1012 − 1)+11 10 12+10 (0,5 ®iÓm) 11 Do đó A< 1012+10 10 +10 = 10(1010 +1) =¿ 10(1011 +1) 1010+ 1011 +1 (0,5 ®iÓm) V©y A<B Bµi 5: LËp d·y sè §Æt B1 = a1 B2 = a1 + a2 B3 = a1 + a2 + a3 B10 = a1 + a2 + + a10 Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) nào đó chia hết cho 10 thì bài toán đợc chứng minh ( 0,25 ®iÓm) NÕu kh«ng tån t¹i Bi nµo chia hÕt cho 10 ta lµm nh sau: Ta đen Bi chia cho 10 đợc 10 số d ( các số d { 1,2.3 9}) Theo nguyên tắc Di-riclê, phải có ít số d Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) §PCM Câu 6: Mỗi đờng thẳng cắt 2005 đờng thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đờng thẳng có : 2005x 2006 giao điểm Nhng giao điểm đợc tÝnh lÇn sè giao ®iÓm thùc tÕ lµ: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao ®iÓm (22)