Kü n¨ng c¬ b¶n Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.. Tính được đạo hàm hàm số hợp.[r]
(1)Các quy tắc tính đạo hàm I KiÕn thøc c¬ b¶n Đạo hàm số hàm số thường gặp (Ký hiệu U=U(x)) (C lµ h»ng sè) C =0 x =1 (n N, n 2) x n =n.xn-1 U n =n.Un-1 U (x 0) 1 U =- =- x x U U U (x>0) ( x ) = U = x U Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) U V = U V UV = U V UV (k U ) = k U (k lµ h»ng sè) U V 1 V II III = U .V U V V2 =- V2 §¹o hµm cña hµm sè hîp: g(x) = f[U(x)] g ' x = f 'u U x Kü n¨ng c¬ b¶n Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Tính đạo hàm hàm số hợp Mét sè vÝ dô A.VÝ dô tù luËn VD1 Tính đạo hàm các hàm số 1/ y=2x5-3x4+x3- x2+1 Lop12.net (2) 4 2/ y= x4- x3+ x2+3x-2 3/ y=2x2 (x-3) 4/ y= mx m 1 víi m lµ tham sè kh¸c -1 Gi¶i 1/ Ta cã: y ' = 10x4-12x3+3x2 –x 2/ Ta cã: y ' = 2x3- 4x2+ x+3 3/ Ta cã: y= 2x3- 6x2 y ' = 6x2-12x 4/ Ta cã: y= y' = m x+ m 1 m 1 Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn m m 1 VD2 Tính đạo hàm các hàm số 3x x 4x 1/ y= x 1 3/ y= 2/ y= x2 x 1 4/ y=(3x-2)(x2+1) Gi¶i: 1/ Ta cã: y' = - 2/ ( x 1)' =2 ( x 1) ( x 1) x -1 Ta cã: Lop12.net (3) y' = ( x 2)'.(x 1) ( x 2).( x 1)' ( x 1) ( x 2) = = 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) -1 3/ Ta cã: y' = 4/ (3 x x 1)' (4 x 1) (3 x x 1)(4 x 1)' (4 x 1) = (6 x 1)(4 x 1) (3 x x 1).4 (4 x 1) = 12 x x (4 x 1) x Ta cã: y ' = (3 x 2)' (x2+1) - (3x-2) ( x 1)' = 3(x2+1)-(3x-2).2x = 3x2+3- 6x2+4x = -3x2+4x+3 VD3 Tính đạo hàm các hàm số 1/ y= x x 2/ y= x (x2- x +1) 3/ y= 1 x 1 x Gi¶i: 1/ Ta cã: y ' = ( x) x +x x = 1 x2 + 2/ x2 1 x2 = 2x 1 x2 Ta cã: y ' = ( x ) (x2- x +1) + x ( x x 1) Lop12.net x (4) = = 3/ x2 x 1 x x2 x 1 x + x (2x+ 2x x - x ) x > Ta cã: (1 x) x (1 x) x y' = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x = = 2(1 x) x 2(1 x) x = x3 2(1 x) x VD4 Tính đạo hàm hàm số 1/ y= (2x+3)10 2/ y= (x2+3x-2)20 3/ y= x2 x2 a2 (a lµ h»ng sè) Gi¶i: 1/ Ta cã: y ' = 10(2x+3)9 (2 x 3)' = 20(2x+3)9 2/ Ta cã: y ' = 20(x2+3x-2)19 ( x x 2) = 20(x2+3x-2)19.(2x+3) 3/ Ta cã: y' = ( x )' x a x ( x a ) x2 a2 Lop12.net x <1 (5) x3 2x x a = x2 a2 x2 a2 = x xa (x a )3 VD5 Viết phương trình tiếp tuyến (C ): y=x3-3x+7 1/ T¹i ®iÓm A(1;5) 2/ Song song víi ®êng y=6x+1 Gi¶i: Ta cã: y ' = 3x2-3 1/ HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i A lµ k = y ' (1) = Phương trình tiếp tuyến cần viết là: y = 2/ Gäi tiÕp ®iÓm lµ M(x0;y0) y0= x03-3x0+7 Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = y ' (x0) = 3x02-3 = x0 = Víi x0 = y0=7 Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7- Víi x0 =- y0=7 Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6 VD6 Cho hµm sè y= x2 x 1 x 1 Giải bất phương trình y ' Gi¶i: Lop12.net (6) Ta cã: + y' = ( x x 1)' ( x 1) ( x x 1)( x 1)' ( x 1)2 (2 x 1)( x 1) ( x x 1) = ( x 1) = x 2x ( x 1) x -1 x 2x Do đó: y ' 0 ( x 1) x 1 x 2 x x x B VÝ dô tr¾c nghiÖm Chọn phương án đúng ví dụ sau: VD7 Cho hµm sè y= A , đó y ' (2) 2x B 1 C 25 D 25 VD8: Cho hàm số y= x , đó y ' (4) A 2 B 2 C 2 D VD9 Cho hàm số y=(x+1)5, đó y ' (2) A.-5 B.5 C.-1 D.1 VD10 Cho hàm số y=2x- x , đó y' (1) A B C t¹i Lop12.net D Kh«ng tån (7) x 1 , đó y' (1) x2 VD11 Cho hµm sè y= A.0 B.-1 C.- D.- VD12 Cho hàm số y=2x3-3x2+3, đó phương trình y' =0 có nghiệm A x=0 vµ x=1 x=3 B x=0 vµ x=-1 VD13 Cho hµm sè y= A 4 2 x 34 A 2 x 1 D x=-1 D 4 2 x 33 D 5 2 x 12 vµ §¹o hµm y' b»ng 2 x 32 B VD14 Cho hµm sè y= C x=1 vµ x=3 1 2 x 33 C 2 2 x 33 x4 , đạo hàm y' 2x B 7 2 x 12 C 2 x 12 x2 VD15 Cho hµm sè y= , đó tập nghiệm phương trình y' x >0 lµ A S =(- ;1 ] [1;+ ) C S =(- ;1) (1;) B S =(- ;0) ) [1;+ ) D S = ( ;1) (0;) VD16 Cho hµm sè y= x3 , đó bất phương trình y' có tập 4x nghiÖm lµ: A S =( 1 ; ) B S =[ 1 ; ) C S =[3;+ ) D S §¸p ¸n: VD7 C VD8 D VD9 A VD10 B VD11 D VD12 A IV Bµi tËp A Bµi tËp tù luËn Lop12.net VD13 D VD14 B VD15 C VD16 D (8) Bài1 Tính đạo hàm các hàm số: 7/ y= x x 1/ y=x3 -2x2+x- x +1 2/ y= x 1 2x 8/ y= x 3 x2 2x 3/ y= x2 4/ y= 9/ y=(x-2) x 1 x 1 x 10/ y= x x 11/ y= x 1 x x 5/ y= x x 6/ y= x x2 x 2x 12/ y= x2 Hướng dẫn: 1/ y' x x x , x 1 x3 4x 7/ y' víi- 3<x<4 2/ y' 5 2 x 32 x 8/ y' 14 x( x 3) x2 4x x 2 3/ y' x 2 4/ Ta cã: y=1- y' 5/ y' 6/ y ' , x 1 x x 1 x x 4x 2 x 3x 2x 9 x víi -3< x <3 Lop12.net 9/ y' 2x2 2x x2 10/ y' x( x 2) 12/ y' x x2 11 2(2 x 1) x x (9) Bài Cho hàm số: y= x x mx tìm m để 1/ y' là bình phương nhị thức 2/ y' x R 3/ y' <0 x (0;1) 4/ y' >0 x >0 Hướng dẫn: Ta cã: y x x m g(x) 1/ Ta ph¶i cã: =0 2m m= 2/ Ta ph¶i cã: 9-2m m 3/ Ta ph¶i cã: g ( 0) 2 m m<0 g ( ) m 4/ Ta ph¶i cã: + HoÆc <0 m > + HoÆc g (0) S 0 2 HÖ v« nghiÖm Lop12.net (10) Bài Viết phương trình tiếp tuyến (c ) y=x3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc víi ®êng th¼ng y= x Hướng dẫn: + Ta cã y = 3x2-6x + Gäi (x0;y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0=x03 -3x02 Ta ph¶i cã: 3x02-6x0=-3 x0=1 =>y0=-2 => phương trình tiếp tuyến là: y=-3x+1 Bµi Cho ®êng cong (c)): y= x 1 Tìm toạ độ giao điểm các tiếp tuyến x3 (c) với trục ox Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =-x+1 Hướng dẫn: + Ta cã y = 4 ( x 3) + HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -1 + Gäi (x0; y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0= x0 x0 Ta ph¶i cã: x0 4 x ( x0 3) + Ta cã tiÕp tuyÕn lµ y = -x vµ y = -x+8 + Từ đó suy kết B Bµi tËp tr¾c nghiÖm Chọn phương án đúng các bài tập sau: Lop12.net (11) Bµi Cho hµm sè y = , y (1) b»ng 2x 1 C 2x Bµi Cho biÕt hµm sè y = , y (1) b»ng x 1 A D - B 3 B C 4 Bµi Cho hµm sè y = x , y (2) b»ng A A 3 B - C D 1 D - 3 Bµi Cho hµm sè y =(1-3x)6, y (0) b»ng A B -1 Bµi Cho hµm sè y = lµ: Bµi Cho hµm sè f(x)= cã tËp nghiÖm lµ: Bµi 10 Hµm sè y= A y D - 18 x , Khi đó tập nghiệm bất phương trình y ) C S =(0; ) D S = và g(x) = 2x-3 Bất phương trình f ( x) g ( x) B S =[0; A S =IR A S = C 18 x2+3x-1 B S = 2x cã x4 11 ( x 4) ( 1 ;) B y 11 ( x 4) C S = C [ 1 ;) y ( x 4) D –S = D y 5 ( x 4) Bµi 11 Hµm sè y = x x cã 3 x x x Bài 12 Hàm số y = x +2x -mx+1 có y 0x IR, đó tập các giá trị m lµ: A y A T= ( ; 4 ] B y x B T= ( ; 4 ) Lop12.net C y C T = ( ;1] D y D T= ( ;1 ) (12) mx có y 0x IR \ {2} Khi đó tập các giá trị m là: x2 Bµi 13 Hµm sè y = 1 1 ;) B T= ( ; ) 2 Bµi 14 Hµm sè y = (2x+3)10 cã C T = ( ;0) A T= ( A y 10(2 x 3) B y 20(2 x 3) D y 20(2 x 3)10 2x A y x 3x 2x x 3x x C y D y C x x cã Bµi 15 Hµm sè y = B y y 10(2 x 3)10 D T= ( ;0] x 3x 2x x 3x §¸p ¸n: B4 B B5 A B6 C B7 D B8 B B9 C B10 A Lop12.net B11 D B12 B B13 A B14 C B15 B (13) Lop12.net (14)