Ôn luyện phương trình lượng giác

* Việc giải PTLG là vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học .Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể cả v[r]

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC LỜI NÓI ĐẦU: Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc: Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng mình Nếu nói chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất các dạng phương trình và cách giải thuật toán dạng.Tuy nhiên quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề các đề thi đại học từ năm gần đây thân tôi rút kinh nghiệm: +Số chuyên đề học sinh phải học quá nhiều, vấn đề thời gian dành để ôn luyện cho chuyên đề phải tính đến +Dạy và ôn nào để phù hợp với xu đề Bộ Giáo dục Do tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập biên soạn ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn mức độ chênh lệch không đáng kể.Tài liệu này viết theo các nội dung chính say đây: A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác các đề thi đại học (Sau bài giải ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !) C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví dụ và có lời giải hướng dẫn cách giải.Cuối mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , tôi không ghi cách giải Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy ưu điểm cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều so với nội dung khác D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: maunguyencong@yahoo.com hoặcsố điện thoại: 0984-003114 E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập phần D F.Nghiên cứu thêm gợi ý cách giải các phương trình lượng giác Tôi hy vọng rằng, đọc kỹ cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em học sinh có thể tự học tốt chuyên đề này Chúc tất chúng ta thành công và mong đồng nghiệp và các em học sinh thông cảm cho thân tôi quá trình biên soạn tài liệu này không tránh khỏi sai sót Chào thân ái! ÔN LUYỆN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A ÔN LÝ THUYẾT:  Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác các cung góc có liên quan đặc biêt Các công thức bản, công thức lượng giác…  Ôn : Phương trình lượng giác và cách giải DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC B SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009 PTLG cho trước  PT còn cung Còn HSLG PT còn hai cung Còn hàm sin và côsin Áp dụng: (asinu + bcosu) PTcơ Sinf(x)=sing(x) Hoặc cosf(x)=cosg(x) P.T.Tích (ẩn phụ) Cần chú ý xuất các biểu thức: a.sinx +b.cosx với: a,b =  1; 3; PTĐẠI SỐ PTLG PTLG THƯỜNG GẶP C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP I Phương trình bậc hai hàm số lương giác:  Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = , đó f(x) là hàm số lượng giác Vaø a, b, c laø caùc heä soá a   Cách giải: + Đặ t = f(x) ( f(x) là sinx cosx thì t  ) + Giải phương trình at2 + bt + c = và chọn t thoả mãn điều kiện + Giaûi phöông trình f(x) = t cos x  6co s x   3cos x  (1) Ví dụ 1) Giaûi phöông trình : cos x  cos x(2 cos x  1)  sin x  (2) Ví dụ 2) Giaûi phöông trình :  cos x Ví dụ 3) Giaûi phöông trình : 3cosx   3(1  cosx).cot x (3) Ví dụ 4) Giaûi phöông trình : sin x  cos x  2cos x  DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC Lop12.net (4) Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng  0;   phương trình :  sin x  cos x  7  cosx    cos x (5)  2sin x   Ví dụ 6) Cho phöông trình : cos x  (2m  1) sin x  m   (*) a) Giaûi phöông trình m = b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2  HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:  Ví dụ 1) +Đk x   m (1)  2 cos 2 x   3(1  cos x   cos x    k  x cos x    cos 2 x  cos x      cos x   x     k   k Họ x  thỏa ĐK k = 2h  x  h Vậy (1) có họ nghiệm là: x  h ; x     k ; h, k  Z Ví dụ 2) + ĐK : cos x   x  m2 (2)   cos x  cos x  sin x   cos x  2(1  sin x)  sin x   sin x  sin x    sin x   2  sin x  (loại)   x    k 2    sin x    sin       4  x  5  k 2  Ví dụ 3) +ĐK : x  m cos x cos x  (3)  cos x   3(1  cos x)  cos x   3(1  cos x) sin x  cos x cos x  cos x     cos x  cos x    cos x     x    k 2 cos x    (Thỏa các ĐK)  x   arccos( )  k 2 cos x   3   Ví dụ 4) +Biến đổi:   sin x  cos x  sin x  (cos x)   (sin x  cos x)  sin x cos x(sin x  cos x)   sin 2 x   cos 2 x  4 DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC  cos x  cos 2 x  cos x   4 cos x   x  k    cos x   x   arccos  k 2 3   (4)  cos 2 x  Ví dụ 5) *Giải PT(5): 5  x  m2   12 +ĐK : sinx     x    m2  12 +Ta có sin x  cos x  sin x  sin x  cos x  cos x  3(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)(1  sin x cos x)  (sin x  cos x)(4 sin x cos x  1)  (sin x  cos x)(2 sin x  1) sin x  cos x   sin x  cos x sin x  (5)  7(sin x  cos x  cos x)   cos x  sin x   (1  sin x)  sin x  sin x    sin x   sin x  (loại)   x   k 2  sin x     x  5  k 2  *Chọn nghiệm trên khoảng 0;   ta hai nghiệm phương trình là:  5 x ; x 6 Ví dụ 6) (*)   sin x  (2m  1) sin x  m    sin x  (2m  1) sin x  m   f (t )  2t  (2m  1)t  m  ; t  sin x ; t   1;1 a)Khi m=2: f (t )  2t  5t    t   t  (loại)    x   k 2 1 t   sin x    2  x  5  k 2  b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2  : Khi x   ;2   1  t     t1  t  Vậy ta phải có :   t1   t  t1  1  t   m   1;  DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC   0; af (0)  0; af (1)      S     f (0) f (1)   f (1)   Lop12.net m     m   Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC BAØI TẬP TƯƠNG TỰ : 4sin 2 x  6sin x   3cos x 0 cos x 1) Giaûi phöông trình :   cos x sinx   2cos x  2) Giaûi phöông trình : 1  sin x 3) Giaûi phöông trình : 5sinx   3(1  sinx).tan x 17 4) Giaûi phöông trình : sin x  cos8 x  cos 2 x 16 Tìm các nghiệm trên khoảng  0; 2  phương trình : cos x  sin x    sinx     cos x  2sin x   6) Cho phöông trình : cos x  (2m  1) cos x  m   (*) a) Giaûi phöông trình m = 3/2   3 b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2 II Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:    Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b  + Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2  c2 + Caùch giaûi : - Chia vế phương trình cho a  b ta : asinx a  b2 -  Ñaët cos  b cos x a  b2 a a b  c a  b2  sin   b a b 2 vaø ñaët sin   c a  b2 ta coù phöông trình: sin( x   )  sin  Ví duï 1: Giaûi phöông trình : cos x  sin x  cos x  cos x (1) Ví duï 2: Giaûi phöông trình : 8sinx   cosx sinx Ví duï 3: Giaûi phöông trình : sin x  cos x  cos x  sin x  Ví duï 4: Giaûi phöông trình : sin x  cos x  sin x  cos x  Ví duï 5: Giaûi phöông trình : 2cos x  cos x  sinx  Ví duï 6: Giaûi phöông trình : sin x  cos x  sinx  cosx Ví duï 7: Giaûi phöông trình : (sin x  cos x)  sin x  (2) Ví dụ 8: Giải phương trình : (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x (3) (4) (5) (6) (7) (8) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC Ví dụ 1: (1)  4 cos x  cos x   sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  cos x  sin x  cos x 2    cos x    cos x 3  sin x  m Ví dụ 2: + ĐK :   sin x   x  cos x  m  Z  + (2)  sin x sin x  sin x  cos x  2(cos x  cos 3x)  sin x  cos x    cos x  sin x  cos x  cos x    cos x 2 3  Ví dụ 3: (3)  (2 sin x cos x  sin x)  cos x  cos x    sin x(2 cos x  1)  (2 cos x  1)(cos x  1)   (2 cos x  1)(sin x  cos x  1)    cos x   sin( x  )  Ví dụ 4: (4)  9 sin x  sin x cos x   cos x  cos x    sin x(3  cos x)  (2 cos x  3)(cos x  3)   (2 cos x  3)(cos x  sin x  3)   cos x  sin x   3  cos x  sin x    cos  cos x  sin  sin x   sin  10 10 10    cos( x   )  cos    ; cos   ; sin   10 10 2  2 Ví dụ 5: (5)  cos x  cos x   sin x   cos x(cos x  1)  (1  sin x)   2(1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  (1  sin x)   (1  sin x)2(1  sin x)(1  cos x)  1   (1  sin x)(2 sin x  cos x  sin x  1)   (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)  1  sin x   (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)    sin x  cos x  Ví dụ 6: (6)  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  sin x  cos x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)   cos x(2  sin x  sin x cos x)   cos x  cos x(2   sin x)   cos x(3  cos x  sin x)  2  cos x  1 Ví dụ 7: + Biến đổi : sin x  cos x   sin 2 x   (1  cos x)   cos x 4 sin x   + (7)   cos x  sin x   cos x  2  2   cos x    cos (sin x  cos x)  cos x  sin x 3       DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC  Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC Ví dụ 8: (8)  sin 3x  cos 3x  sin x  cos x       sin  x    sin  x   6 3   1 sin x  cos x  sin x  cos x 2 2 BAØI TẬP TƯƠNG TỰ : 1) Giaûi phöông trình : sin 3x  cos x  cos 3x  sin 3x  sin x cosx sin x  2sin x   sin xcosx  cos x  2sin x cos x sinx  cos x  sin x  cos x  2sin x  cos x  cosx  sin x  cos x  sinx  cosx sin x  cos x  3 sin x  2) Giaûi phöông trình : 8cosx  3) Giaûi phöông trình : 4) Giaûi phöông trình : 5) Giaûi phöông trình : 6) Giaûi phöông trình :  7) Giaûi phöông trình :  8) Giải phương trình : (cos 3x  sin x)  sin 3x  cos x III Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung: 1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:  Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = (1)  Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc đưa PT bậc theo sin và côsin cùng cung)  cos x b  cos x  sin x  c d 0 2  b sin x  (c  a ) cos x  (2d  a  c) (1)  a  Caùch giaûi 2: (Đưa PT bậc hai hàm tanx) Xét hai trường hợp :  + Neáu x =  k ; k  Z coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng + Neáu x    k ; k  Z , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) =  (a + d)tan2x + btanx + c + d = Ví duï 1: Giaûi phöông trình cos2x - sin2x = + sin2x Ví duï 2: Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx +  cos2x = (1) (2) Ví dụ 3: Giaûi phöông trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = Ví dụ 4: Giaûi phöông trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = (3) (4)   HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC Ví dụ 1: (1)  cos x  sin x   sin x   cos x  sin x  1     sin x   cos x    cos 2 3  Ví dụ 2: +Xét cosx = thì sin x  nghiệm đúng phương trình (2) cos x  Vậy (2) có nghiệm x    k +Xét cos x  Chia hai vế PT(2) cho cos x và thay   tan x và đặt ăn cos x phụ t = tanx : Ta có : 4t  3t    4(1  t )  t  Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x      tan x  tan  x   k 6  k ; x    k ; kZ 2  cos x  sin x  7 Ví dụ 4: +Xét cosx = thì sin x  nghiệm đúng phương trình (2) Ví dụ 3: (3)  5(1  cos x)  sin x  (1  cos x)  Vậy (2) có nghiệm x    k +Xét cos x  Chia hai vế PT(2) cho cos x và thay   tan x và đặt ăn cos x phụ t = tanx : Ta có :  t  3t  3(1  t )  t   tan x   x  arctan  k BAØI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giaûi phöông trình : 3sin2x - sinxcosx – 6cos2x = 2) Giaûi phöông trình : sin2x + (1  3) sin x cos x  3cos x  3) Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 4) Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:  Đây là loại phương trình mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên sở sau: + Một biểu thức theo sinx cosx có bậc k có thể biến đổi thành biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin x  cos x  (k , n  N ) Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx (sin x  cos x)  sin x  sin x cos x (bậc 3) Hoặc sinx = sinx (sin x  cos x)  sin x  sin x cos x  sin x cos x (bậc 5) + Chú ý : i) Số không có bậc Một số khác có bậc là ii) Xác định bậc hạng tử PTLG chứa sin và côsin là chúng đã cùng cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)  Từ ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin cùng cung sau: DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém 2k, k  N ”  Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2) (Cách giải này thường phát cách giải từ ban đầu và có thuật toán, nhược điểm dài cách giải thứ hai) +Bước 1: Xét cosx = có nghiệm đúng PT không (nếu đúng ghi nhận kết quả) k   k      tan x  cos x  +Bước 2: -Xét cosx  Chia hai vế PT cho cos n x và thay  -Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì PT đa thức bậc n theo t -Giải tìm nghiệm t = t0 giải PT tanx = t0 để tìm x  Cách giải : (Biến đổi PT tích theo sin và côsin) ( Cách giải này thường ngắn gọn không định hướng kết biến đổi Đòi hỏi kỷ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh).Không có thuật toán cách Sau đây là số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x  sin x cos x  cos x (1) Giải cách 1:  +ĐK: x   m +(1)  sin x  sin x cos x  cos x (*) (đẳng cấp bậc 3) +cosx = không nghiệm đúng PT (vì   ; vô lý) +cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x : tan x(1  tan x)  tan x   t  1  t  1  tan x  1  x   Giải cách 2: (*)  sin x(1  cos x)   cos x  sin x   cos x  tan x  1  tan x  1  x    k   k (t = tanx) (**) Chú ý:Theo cách giải đã nêu là biến đổi PT tích nên tôi minh họa lại sau: (**)  sin x  cos x   (sin x  cos x)(1  sin x cos x)   (sin x  cos x)(2  sin x)    sin x  cos x   tan x  1  x    k Ví dụ 2: Giải phương trình: cos x  sin x  cos x (2) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = không nghiệm đúng (2) + cosx  0, chia hai vế (2) cho cos3x :  tan x(1  tan x)  (1  tan x) (với t = tanx )  t (t  t  1)   t   tan x   x  k Giải cách 2: (2)  cos x(cos x  1)  sin x  cos x sin x  sin x   sin x(sin x cos x  1)   sin x(sin x  2)   sin x   x  k Ví dụ 3: Giải phương trình: sin x  cos x  sin x cos x  cos x  (3) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = không nghiệm đúng (3) + cosx  0, chia hai vế (3) cho cos3x : DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC tan x   tan x  2(1  tan x)  3t  3t   3t (t  )   x  k t   tan x      x     k t    tan x   3  Giải cách 2: (3)  sin x  sin x cos x  cos x(1  cos x)       sin x( sin x  cos x)  cos x sin x   sin x sin x  cos x   x  k sin x   x  k     x     k sin x  cos x   tan x   3  (4) (đẳng cấp bậc 4) Ví dụ : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = Giải cách 1: + cosx = thì sinx =  không nghiệm đúng ptrình Vậy cosx  + Chia hai vế (2) cho cos4x đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được: t  4t    t   t  Giải cách 2: (4)  (3 cos x  sin x cos x)  (sin x cos x  sin x)   cos x(cos x  sin x)  sin x(cos x  sin x)  cos x   cos x(3 cos x  sin x)     tan x   Ví dụ 5: Giải phương trình : sin x  cos x  cos 2 x  sin x cos x (5) Giải cách 1: Nếu biến đổi : sin x  cos x  (sin x  cos x)(sin x  cos x  sin x cos x) = = sin x  cos x  sin x cos x Và biến đổi : cos 2 x  (cos x  sin x)  cos x  sin x  sin x cos x Thì PT (5)  sin x cos x  sin x cos x  (*) Khi đó PT (*) giải cách giải cách giải đã nêu trên là đơn giản + Nếu từ PT: sin x  cos x  (cos x  sin x)  sin x cos x (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước đã thu gọn ta phương trình: (Với t = tanx ) t  t  t  2t  t  t    t  t  2t  t   (5.1) 1   1  Khi đó PT (5.1)  t  t       t     t     (5.2) t t t   t  PT (5.2) đặt ẩn phụ u  t  thì PT bậc hai u  u   u   u  1 t Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm + Với t =  tan x   x  k Chú ý: Khi xét cosx = thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc nên:  k x   k là nghiệm PT Kết hợp nghiệm thì x = Phù hợp với 2 cách giải DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC BAØI TẬP TƯƠNG TỰ: Cĩ thể giải lại các bài các ví dụ và bài tập tương tự phân PT đưa PT bậc theo sin và côsin cùng cung : 1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = (đẳng cấp bậc 3) 3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin x + cosx = (đẳng cấp bậc 3) 3 4) Giaûi phöông trình : sin x  cos x  sinx  cosx (đẳng cấp bậc 3) 6 5) Giaûi phöông trình : 8sin x  cos x   3 sin x  (đẳng cấp bậc 6) 6) Giải phương trình : (cos 3x  sin x)  sin 3x  cos x (đẳng cấp bậc 3) 7) Giaûi phöông trình : sin x  cos x  sinx  cosx (đẳng cấp bậc 3) 4 8) Giaûi phöông trình : (sin x  cos x)  sin x  (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x (đẳng cấp bậc 3) 17 cos 2 x 16 11) Giaûi phöông trình : sin x  cos x  2cos x  10) Giaûi phöông trình : sin x  cos8 x  (đẳng cấp bậc 8) (đẳng cấp bậc 6) IV Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích sin và côssin cùng cung: 1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)  Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = (a,b,c  R) (1)    Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = sin  x    t  4  t 1  t   sin x cos x  sin x cos x  (*) t 1  c   bt  2at  2c  b  (1.1) (1)  at  b Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t  Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = t 02  để tìm x 2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)  Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = (a,b,c  R) (2)    Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = sin  x    t  4  1 t  t   sin x cos x  sin x cos x  (**) 1 t2  c   bt  2at  2c  b  (2.1) (1)  at  b Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t  Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x Ví dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x sin x  12(cos x  sin x)  12 cos x  DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11 Lop12.net (1) Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC   Ví dụ 2: Giải phương trình cos x  sin x sin x  sin x cos x  sin  x  Ví dụ 3: Giải phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình   (2) 4 sin x  sin x  cos x   (3) 2 sin x cos x  12(sin x  cos x  sin x)  sin x cos x  12 (4) (5) sin x  sin x cos x  cos x  sin x(sin x  1)  (sin x cos x  1) cos x  cos x  sin x  (1) HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: (1)  sin x  cos x sin x  12(sin x  cos x)  12  (1a ) sin x  cos x   12(sin x  cos x)  sin x  12  (1b) (1a)  x    k t  1  t  1 t  13 k  t  1  sin x   x  (1b)  t  12t  13    + Vậy (1) có họ nghiệm là x   t  sin x  cos x   k ; x  Ví dụ 2: (2)  cos x  sin x 8(cos x  sin x)  sin x  7  ( 2a ) sin x  cos x   8(cos x  sin x)  sin x   (2b) k (k  Z )   k (2b) : Đặt t = cos x  sin x ; ( t  )  t   sin x  sin x   t (2a)  x   (*) t  2  t   , thay t = -2/3 vào (*): (2b)  3t  8t     t   3   x  arcsin  k  Sin2x =     x   arcsin  k  Ví dụ 3: (3)  (1  cos x)(sin x  cos x  sin x cos x  1)   x  k 2 cos x     x  k sin x  cos x  sin x cos x     Ví dụ 4: (4)   sin x  cos x sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  sin x  cos x   sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 12 Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC   x    x  k  2 Ví dụ 5: (5)  sin x   (sin x cos x  cos x)  sin x(sin x  1)   sin x  1sin x  1  cos xsin x  1  sin x(sin x  1)     sin x  1sin x  cos x  sin x  1  sin x   sin x  cos x  sin x   Ví dụ 6: (6)  sin x cos x  1 cos x  sin x  cos x  sin x    sin x cos x  1cos x  sin x cos x  sin x   cos x  sin x    (cos x  sin x) sin x cos x  1cos x  sin x     (6 a ) cos x  sin x   (6b) (sin x cos x  1)(cos x  sin x)    (6a)  x     k (6b): Đặt t = sinx +cosx ( t  ) ; t   sin x  sin x  t  (*)  t 1   1.t    t  3t    (t  1)(t  t  2)    (6b)   t  k   t  thay vào (*) thì sin2x =  x  t  2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :   1) sin x(sin x  cos x  1)  cos x     4 cos x  cos x  sin x   3  sin x   sin x  8(2  cos x) cos x(1  sin x cos x)  cos x  sin x  sin x  sin x  cos x   2) sin x  cos x  sin x  sin x  cos x 3) 4) 5) 6)   D PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009 (Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học) Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :   a) 4 sin x  sin x     cos x  cos x  c) sin 3x  cos x  sin x   DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC ; b) sin 2 x  cos 3x  sin x  cos x ; d) sin 3x  cos x  sin x  sin 2 x   13 Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC e) cos x  sin x  sin x cos x  sin x cos x cos x   ; g) cos x cot x   sin x cos x  cos x sin x Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :   4   sin x  cos x  sin  x   cos x    4  4  a) 0  sin x b) sin x  cos x  cot x  cos x cos x  sin x  cos x  sin x cos x   c) 10 cos x  cos x   3(cos x  cos x) cot g x d) cos x  2 sin x  cos x   sin x  sin x   Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau : a)  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  ; b)  sin x  cos x cot x  c)  (1  sin x) cos x  sin x  sin x(1  cos x) d) tan x  tan x  cot x  cot x   ; tan x Baøi : Giaûi caùc phöông trình :   sin x  cos x sin x  cos x   sin x    sin 2 x sin x  cos x  sin x  cos x  cos x 0 c) cos x  e)  (1  sin x) cos x  sin x  sin x(1  cos x) a) ; b) sin 3x cos x  sin x  ; d) sin x tan x  sin x  tan x ; g) cos x  cos x   cos x Baøi : Giaûi caùc phöông trình : a) (1  sin x) cos x  (1  cos x) sin x  sin x  x x  ; b)  sin  cos   cos x   2 2  c) cos x(1  cos x)  sin x  sin x  cos x  1 5   d)   cos x       3   ; 2 cos x   sin   x 2    e) cos x(1  cos x)  sin x  sin x  cos x  f) sin x  cos x  cos x  sin x cos x  sin x cos x Bài 6: a) Giải phương trình b) Giải phương trình : 1  cos x sin x (1  cos x)(1  cos x)  cos x  cos x  sin x  cos x  cos x DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC c) Giải phương trình cos x  sin x cos x  cos x E CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009 Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau : cos x  sin x  sin x  tan x 2 b) (KB-2003) cot x  tan x  sin x  sin x x x  c) (KD-2003) sin    tan x  cos  2 4 a) (KA-2003) cot x   Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KB-2004) sin x   3(1  sin x) tan x b)(KD-2004) (2 cos x  1)(2 sin x  cos x)  sin x  sin x c) (KA-2004) Cho ABC không tù thoả điều kiện : cos A  2 cos B  2 cos C  Tính ba goùc cuûa ABC Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2005) cos 3x cos x  cos x  b) (KB-2005)  sin x  cos x  sin x  cos x    c) (KD-2005) cos x  sin x  cos( x  ) sin(3x  )   Baøi 4:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2006)   cos x  sin x  sin x cos x  sin x 0 x c) (KD-2006) cos 3x  cos x  cos x   b) (KB-2006) cot x  sin x(1  tan x tan )  Baøi 5:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2007) (1  sin x) cos x  (1  cos x) sin x   sin x b) (KB-2007) sin 2 x  sin x   sin x x x  c) (KD-2007)  sin  cos   cos x  2 2  Baøi 6:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2008)  sin x  7   sin   x 3     sin  x     b) (KB-2008) sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 15 Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC c) (KD-2008) sin x(1  cos x)  sin x   cos x Baøi 7:Giaûi caùc phöông trình sau : a) (KA-2009) Giải phương trình b) (KB-2009) Giải phương trình 1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  s inx  sin x  cos x sin 2x  cos 3x  2(cos 4x  sin x) c) (KD-2009) Giải phương trình cos5x  2sin 3x cos 2x  sin x  F MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Việc giải PTLG là vấn đề thường gặp các đề thi đại học Phương pháp thường sử dụng giải phương trình lượng giác là thực số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể việc biến đổi đại số để đưa PTLG dạng phương trình lượng giác hay các phương trình lượng giác thường gặp đưa dạng phương trình tích đặt ẩn phụ để đưa phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đôi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế phương trình Để đạt kết cao việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các yêu cầu tối thiểu sau đây : 1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác các cung(góc) đặc biệt 2)Cần nắm vững cách giải PTLG và các trường hợp đặc biệt.Cách giải các phương trình lượng giác thường gặp 3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ phương trình (lấy điều kiện) trước tiến hành phép biến đổi và đối chiếu điều kiện có kết * Tại đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng thức lượng giác thường raát ña daïng.Chaúng haïn : -Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sử dụng các đồng sau: Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x Ví duï : Giaûi phöông trình : a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x -Nếu cần biến đổi cos4x-sin4x thì tuỳ theo đầu bài ta sử dụng các đồng sau: cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x *Cần chú ý đến các đồng lượng giác thường gặp giải toán như:  sin2x = (sinx  cosx)2 Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x 1  cos 2 x  cos x cos x  sin x   sin 2 x   2  cos x  cos x cos x  sin x   sin 2 x   4 DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 16 Lop12.net Nguyễn Công Mậu Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng đề thi BỘ GIÁO DỤC *Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ;   Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ; sin  x   ….Tương tự các 4  số hạng có chứa thừ số cosx-sinx *Các phép biến đổi lượng giác thường tiến hành theo các hướng sau: +Haï baäc phöông trình(neáu coù) +Ñöa veà cuøng cung: -Neáu cuøng haøm vaø cuøng cung thì tieán haønh ñaët aån phuï -Nếu cùng cung còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi ph trình tích (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử chung,dùng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai) -Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các hạng tử hơn,kém 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế phương trình cho coskx sinkx (k là bậc lớn phương trình) để đưa phương trình đã cho dạng còn chứa hàm tang côtang cung tiến hành đặt ẩn phụ *Khi đánh giá hai vế phương trình thì các bất đẳng thức thường dùng để ước lượng như: sin x  ; cos x  ; a sin x  b cos x  a  b ; sin m x  cos n x  sin x  cos x  (với m, n  N ; m, n  ) sin ax  1 -Đối với phương trình sinax  sinbx =    (dấu  lấy tương ứng)  sin bx  1 Tương tự các phương trình : cosax  cosbx =  ; sinax  cosbx =  CHÚ Ý: Vì tài liệu này tôi biên soạn theo nhiều thời điểm khác nhau, sau đó gộp lại nên có hai phông chữ đó là Times New Roman và VNI-Times Vậy sử dụng có gì trở ngại bạn tự đổi phông chữ! DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 17 Lop12.net Nguyễn Công Mậu