Tuyển tập 198 câu VDC hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - TOANMATH.com

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là bốn đỉnh của một hình chữ nhật?. A 0.[r]

Hàm số và phương trình lượng giác Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com TUYỂN TẬP 198 CÂU VẬN DỤNG CAO LƯỢNG GIÁC LATEX Tư Duy Mở Câu Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sin4 x + cos4 x − cos 2x + sin2 2x + m = có nghiệm C −2 < m < A m < −2 B −2 m D m > Lời giải Ta có sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x = − sin2 2x

1 Đặt t = cos 2x, |t| phương trình đã cho thành − − t − t + − t + m = Hay f (t) = −t + 4t − = 4m với −1 t Nhận thấy hàm số f (t) luôn đồng biến trên [−1; 1] nên phương trình đã cho có nghiệm f (−1) 4m f (1) ⇔ −2 m Chọn đáp án B  Câu Tìm giá trị nhỏ M hàm số y = sin x − cos x + A M = B M = C M = −10 D M = −2 Lời giải   sin x − cos x + = sin(x − α) + 3, đó α thoả cos α = và sin α = Ta có y = sin x − cos x + = 5 5 Từ −1 sin(x − α) ta −2 y Tồn x để y = −2 nên giá trị nhỏ hàm số là −2 Chọn đáp án D Câu Tìm tập xác định D hàm số y = sin x cot 2x Điều kiện cot 2x 6= sin 2x 6= ( ⇔ cos 2x 6= sin 2x 6=   kπ ,k ∈ Z nπ o D D = R\ + kπ, k ∈ Z A D = R \ {kπ, k ∈ Z}   kπ C D = R\ ,k ∈ Z Lời giải ( B D = R\  ⇔ sin 2x cos 2x 6= ⇔ sin 4x 6= ⇔ x 6= kπ Chọn đáp án B  √ √ √ m a πx Câu Gọi là giá trị lớn a để bất phương trình a (x − 1) + a3 sin có ít n (x − 1) m nghiệm, đó m, n là các số nguyên dương và là phân số tối giản Tính giá trị biểu thức n P = 22m + n A P = 46 B P = 35 C P = 38 D P = 24 Lời giải Điều kiện xác định x 6= LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau √ √ √ πx a3 (x − 1)4 − a3 sin (x − 1)2 + a √ 2 √ πx πx + a − sin2 ⇔ a (x − 1) − sin 2 • Nếu a > • Nếu a = √ 1 πx thì a − sin2 > 0, ∀x, nên bất phương trình vô nghiệm 16 thì bất phương trình trở thành 16   1 πx  πx  + (x − 1) − sin − sin2 60 2  " πx sin2 =1 x=3 ⇔ ⇔ πx  (x − 1)2 = sin x = −1 2 Vậy a = là giá trị lớn để bất phương trình có nghiệm 16 Suy m = 1, n = 16 Vật P = 22 · + 16 = 38 Chọn đáp án C  Câu Cho các số thực x, y, z thuộc đoạn [0, π] Có tất bao nhiêu ba số (x; y; z) thỏa mãn sin z và x + y + z = π? A B C sin x sin y = √ = D Lời giải Nếu ba số x, y, z có số π thì hai số còn lại 0, cho nên ta có ba nghiệm (π; 0; 0), (0; π; 0), (0; 0; π) sin x sin y sin z Xét < x, y, z < π, ta có < sin x, sin y, sin z < Theo giả thiết = √ = và x + y + z = π suy π π π sin x, sin y, sin z là độ dài ba cạnh tam giác vuông với x, y, z là các góc đối diện, cho nên x = , y = , z = Chọn đáp án C  Câu Tìm tập xác định hàm số y = A D = R\ {π + k2π | k ∈ Z} C D = R sin x sin x − sin x + B D = R\ {kπ | k ∈ Z} D D = R\ {k2π | k ∈ Z} Lời giải Do sin2 x − sin x + = (sin x − 2)(sin x − 4) 6= với x ∈ R nên D = R Chọn đáp án C  Câu Có bao nhiêu điểm  trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm phương trình cos x + x π 2(sin 3x − 1) sin2 − = 0? A điểm B điểm C điểm D điểm Lời giải LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Phương trình đã cho tương đương với ⇔ (1 − sin x)(1 + sin x) + (sin 3x − 1)(1 + sin x) = " sin x = sin 3x = sin(π + x) ⇔ x= kπ (k ∈ Z) Vậy các nghiệm phương trình đã cho biểu diễn điểm trên đường tròn lượng giác Chọn đáp án C Câu Số nghiệm phương trình A Vô số  sin x π = là x 18 C B D Lời giải  x 6= sin x π = ⇔ π  sin x = x x 18 18 π Số nghiệm phương trình số điểm chung hai đồ thị y = sin x và y = x 18 Ta có y π y= x 18 x2 − π x −π x1 π −1 π y = sin x π π Đường thẳng y = x có hệ số góc < nên cắt đồ thị y = sin x điểm có hoành độ x1 , 0, x2 với −π < 18 18 x1 < 0, < x2 < π và x = thì phương trình có nghiệm Chọn đáp án D    π 5π Câu Tìm số nghiệm phương trình cos(π sin x) = −1 trên khoảng − ; 2 A B C D Lời giải Ta có cos(π sin x) = −1 ⇔ π sin x = π + k2π (*) Điều kiện để (*) có nghiệm là −π π + k2π 6π ⇒ k = 0;  k = −1 π π 5π Do đó (*) ⇔ sin x = ±1 ⇔ x = + kπ Vì x ∈ − ; nên k ∈ {0; 1} 2 Chọn đáp án D  p Câu 10 Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y = cos2 x − (2 + m) cos x + 2m xác định trên tập R A m > B m > C −1 < m < D −1 m Lời giải Ta có cos2 x − (2 + m) cos x + 2m = (cos x − 2)(cos x − m), nên hàm số xác định trên tập R khi cos x − m 0, ∀x ∈ R tương đương với m > Chọn đáp án B  LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 11  Gọi x1 là nghiệm  không âm nhỏ nhất, x2 là nghiệm âm lớn phương trình tan x − sin 2x − cos 2x + 2 cos x − = Khi đó tổng S = x1 + x2 cos x π π A B C D Lời giải π Điều kiện x 6= + kπ với k ∈ Z Phương trình đã cho tương đương với sin x − sin 2x − cos 2x + cos x − =0 cos x cos x ⇔ sin x − sin x cos2 x − cos 2x cos x + 2(2 cos2 x − 1) = ⇔ sin x(1 − cos2 x) − cos 2x cos x + cos 2x = ⇔ − sin x cos 2x − cos 2x cos x + cos 2x = " cos 2x = π π ⇔ cos 2x(sin x + cos x − 2) = ⇔ ⇔ x = + k với k ∈ Z sin x + cos x = (vô nghiệm) π π , x2 = − Vậy S = 4 Chọn đáp án D Ta x1 =  Câu 12 Biết tập hợp các giá trị m để phương trình m sin2 x + sin 2x + 3m cos2 x = có nghiệm là đoạn [a; b] Tính giá trị biểu thức T = a + 3b 8 A T= B T= C T = D T= 3 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với:     − cos 2x + cos 2x m + sin 2x + 3m =2 2 ⇔2 sin 2x + m cos 2x = − 2m (1) Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm, hay 22 + m2 > (2 − 2m)2 ⇔ m ⇒ a + 3b = Chọn đáp án C  √ Câu 13 Cho phương trình sin 2x − cos 2x + | sin x + cos x| − cos2 x + m − m = Số giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có nghiệm thực là A B D C Lời giải p cos2 x + m − m = p sin x · cos x + + | sin x + cos x| = cos2 x + m + cos2 x + m p (| sin x + cos x|)2 + | sin x + cos x| = cos2 x + m + cos2 x + m   p  2 | sin x + cos x| + = cos x + m + 2 p | sin x + cos x| = cos2 x + m sin 2x − cos 2x + | sin x + cos x| − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2x = cos 2x + m  π m ⇔ sin 2x − =√ LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Phương trình đã cho có nghiệm |m| Chọn đáp án C Website tuduymo.com √ √ √ ⇔ − m Nên m ∈ {−1; 0; 1}  √ Câu 14. Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sin 2x + cos 2x = 3m − có nghiệm  π khoảng − ; √ √ 4 3+2 3+2 C 06m6 A 06m6 B 06m< D 06m< 3 3 Lời giải     π  π  3m π 2π π Phương trình ⇔ sin 2x + = − Do x ∈ − ; nên 2x + ∈ − ; ! 2 3 " √ √ √  π 3 3+2 3m Vậy sin 2x + ⇒ −1 −1 < ⇔06m< ∈ −1; 2 Chọn đáp án B  Câu 15 Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình

sin4 x + cos4 x − sin6 x + cos6 x − sin2 4x = m có nghiệm A m > B −9 < m < 16 C −9 m 16 D m6 −9 16 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với sin4 2x − sin2 2x − m = Đặt t = sin2 2x, t ∈ [0; 1] Phương trình đã cho trở thành m = 4t − 3t = g(t), t ∈ [0; 1] Lập bảng biến thiên g(t), suy phương trình có nghiệm −9 và m 16  Chọn đáp án C Câu 16 Một h πcác họ i nghiệm phương trình (1 + sin x) cos x = + sin x + cos x có dạng x = α + k2π, (k ∈ Z), với α ∈ − ; Tính α π3 π3 π3 π3 A − B − C D 27 Lời giải Phương trình đã cho tương đương sin x cos x(1 + sin x) − (1 + sin x) = ⇔ (1 + sin x)(2 sin 2x − 1) =  π x = − + k2π   sin x = −1  x = π + kπ  ⇔ ⇔ 12  sin 2x =  5π x= + kπ 12  π 3 π3 Vậy α = − =− Chọn đáp án A LATEX Tư Duy Mở  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com p p p Câu 17 Cho phương trình (sin x + m)2 + sin2 x − m2 = (sin x − m)2 Gọi S = [a; b] là tập hợp tất các giá trị tham số m để phương trình trên có nghiệm thực Tính giá trị P = a2 + b2 162 49 C P = A P = B P= D P= 49 162 Lời giải Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ q q p 3 (sin x + m)2 + sin2 x − m2 = (sin x − m)2 q q p 3 (sin x + m)2 + sin2 x − m2 − (sin x − m)2 =  √  √ √ √ 3 sin x + m − sin x − m sin x + m + sin x − m = "√ √ sin x + m − sin x − m = √ √ sin x + m + sin x − m =  m=0  7m sin x = 9 9 162 Từ đó suy phương trình có nghiệm ⇔ − m , nên a = − và b = và ta có P = 7 7 49 Chọn đáp án B  m Câu 18 Cho phương trình m sin x + (m + 1) cos x = Tìm các giá trị m cho phương trình đã cho cos x có nghiệm " " m>0 m>0 A B C −4 m D −4 < m < m −4 m < −4 Lời giải Điều kiện cos x 6= Với điều kiện đó chia hai vế phương trình cho cos x, ta
m tan x + m + = m + tan2 x ⇔ m tan2 x − m tan x − = (1) Đặt tan x = t, phương trình (1) trở thành mt − mt − = (∗) Do phương trình tan x = t có nghiệm với t nên phương trình đã cho có nghiệm và (∗) có nghiệm " m>0 ⇔ ∆ = m2 + 4m > ⇔ m −4 Chọn đáp án A  Câu 19 Có tất bao nhiêu trị nguyên tham số m để phương trình cos 4x + sin x cos x = m có hai h giá πi nghiệm phân biệt trên đoạn 0; ? A B C D Lời giải Biến đổi phương trình đã cho dạng sin2 2x − sin 2x + m − = Nếu đặt t = sin 2x, t ∈ [0; 1], thì phương trình trở thành 2t − 3t +m − = (1) 9 − 8(m − 1) > Từ giả thiết suy m − ⇒ m  >0 LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com • Với m = giải phương trình hai nghiệm x = 0, x = π h πi • Với m = kiểm tra phương trình đã cho có nhiều hai nghiệm đoạn 0; Vậy, có số nguyên m thỏa mãn bài toán đó là m = Chọn đáp án D  Câu 20 Tìm nghiệm   tất cảcác giá trị m để  phương  trình cos 2x − 4cos 2x −  − 3m = có  5 A m∈ − ; B m∈ − ; C m ∈ ; +∞ D ∈ −∞; 3 3 Lời giải Đặt cos 2x = t, |t| Phương trình đã cho trở thành: 4t − 4t − = 3m Xét hàm số g(t) = 4t − 4t − trên đoạn [−1; 1] Ta có bảng biến thiên: t −1 g0 (t) − (1) + −3 g(t) −4 Phương trình đã cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t ∈ [−1; 1] ⇔ − m 3 Chọn đáp án B  √ √
√
√ Câu 21 Cho phương trình sin3 x − − sin2 x cos x − + sin x cos2 x = cos3 x Tìm tập hợp tất các  nghiệmcủa phương trìnhtrên nằm  khoảng (−1;  1)    π π π π π π π π π 2π A B C D − ; − ;− − ;− ; − ;− ;− 6 6 Lời giải Nhận xét: cos x = không thỏa phương trình Do đó, chia vế phương trình cho cos3 x, ta  tan x = −1 √      √ √ √ √  3 tan x − − tan x − + tan x − = ⇔ tan x = −  √ tan x =  π x = − + kπ   π  ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z  π x = + kπ   π π So điều kiện x ∈ (−1; 1) ta x ∈ − ; − Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 22 Tập tất các giá trị tham số m để phương trình q √ m + m + + + sin x = sin x có nghiệm là [α; β ] Giá trị α + β √ √ A − + B − − 2 √ C − − √ D − + Lời giải p p √ √ Ta cóm + √ m + + + sin x = sin x ⇔ m + + m + + + sin x = + sin x a = + sin x √ q , điều kiện a và b > Đặt √ b = m + + + sin x ( ( a = m+1+b a = m + + b (1) √ Khi đó ta có hệ ⇔ b2 = m + + a (2) b = m+1+a Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có √ b2 − a2 = a − b ⇔ (a − b)(a + b + 1) = ⇔ a = b (vì a 2√và b > 0) Ta có phương trình a2 = m + + a ⇔ a2 −√ a − = m với a Xét hàm số f (a) = a2 − a − với a Bảng biến thiên a f (a) √ 2 − + √ 1− −1 f (a) −   √ √ Suy m ∈ − ; − ⇒ α + β = − − 4 Chọn đáp án C  Câu 23 Cho phương trình p
p cos3 x + m + = cos3 x + m +   2π Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình trên có đúng nghiệm x ∈ 0; A B C D sin x(2 − cos 2x) − 2 cos3 x + m + Lời giải   2 cos x + m + >   Điều kiện Ta có 2π  x ∈ 0; p
p sin x(2 − cos 2x) − 2 cos3 x + m + cos3 x + m + = cos3 x + m + p 3 p ⇔ sin3 x + sin x = 2 cos3 x + m + + cos3 x + m + (1) Xét hàm số f (t) = 2t + t có √f (t) = 6t + >0, ∀t√∈ R nên hàm số f (t) đồng biến trên R Do đó, (1) ⇔ f (sin x) = f cos3 x + m + ⇔ cos3 x + m + = sin x (2)   2π Vì x ∈ 0; nên sin x ∈ [0; 1] LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Khi đó (2) ⇔ cos3 x + m + = sin2 x ⇔ −m −1 = cos3 x + cos2 x.  2π Xét hàm số g(x) = cos x + cos x, x ∈ 0; , đặt u = cos x, u ∈ − ; thì hàm số trở thành h(u) = 2u3 + u2 ,    u = ∈ − ;1    h0 (u) = 6u2 + 2u = ⇔   1 u = − ∈ − ;1 Bảng biến thiên hàm h(u) u − h0 (u) − − + 0 + 27 h(u) 0  28 < −m − −4 m < −   27 27 Yêu cầu bài toán ⇔ ⇔ m = −1 −m−1 = Kết hợp m ∈ Z nên ta nhận m ∈ {−4; −3; −2; −1} Chọn đáp án C   Câu 24 Cho các số thực x1 , x2 , y1 , y2 thay đổi, thỏa mãn x12 + x22 = y21 + y22 = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P = (1 − x1 )(1 − y1 ) + (1 − x2 )(1 − y2 ) √ √ C Pmax = A Pmax = − 2 B Pmax = + 2 D Pmax = Lời giải √ √ √ √ Đặt x1 = cos α, x2 = sin α, y1 = cos β , y1 = sin β Biểu thức P viết lại √ √ √ √ P = − sin α − cos α − sin β − cos β + cos α cos β + sin α sin β   π π = − sin α + − sin β + + cos(α − β ) 4 Nên giá trị lớn P Chọn đáp án C   π Câu 25 Xác định m để phương trình m cos2 2x − sin x cos x + m − = có nghiệm khoảng 0; A m < −1 B < m < C Không có m D < m < Lời giải π Đặt t = sin 2x, với < x < ⇒ < t < Phương trình đã cho trở thành m(1 − t ) − 2t + m − = ⇔ mt + 2t + − 2m = (1) + Nếu m = thì PT(1) ⇔ t = −1 (loại) + Nếu m 6= 0, yêu cầu bài toán ⇔ PT(2) có nghiệm t ∈ (0; 1) Từ đó tìm < m < Chọn đáp án B Câu 26 Cho phương trình LATEX Tư Duy Mở  cos 4x − cos 2x + sin2 x = Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu cos x + sin x Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com diễn các√nghiệm phương trình trên đường tròn lượng giác √ √ A B 2 C 2 √ D Lời giải Điều kiện sin x + cos x 6= Ta có phương trình tương đương  π π x = +k 2 cos 2x − − cos 2x + − cos 2x = ⇔ ⇔ cos 2x = x = kπ " cos 2x = π + kπ, x = kπ Các họ nghiệm phương trình biểu diễn trên đường tròn lượng giác sau: Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = y M A0 A O x N Khi đó SAMA0 N = 2S4AMA0 √ √ 0 = = · AA · d(M, AA ) = · 2 Chọn đáp án C  Câu 27 Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm phương trình (1 + sin x + cos x) tan(π − x) = sin 2x + sin x + cos x + 2? A điểm B điểm C điểm D điểm Lời giải Điều kiện phương trình cos x 6= Khi đó, phương trình đã cho tương đương với − (1 + sin x + cos x) tan x = (sin x + cos x)2 + 2(sin x + cos x) + ⇔ − (1 + sin x + cos x) tan x = (1 + sin x + cos x)2 ⇔ (1 + sin x + cos x)(sin x + cos x + + tan x) = ⇔ (1 + sin x + cos x) [cos x(sin x + cos x) + (sin x + cos x)] = h   √ π i √ π ⇔ + sin x + sin x + (cos x + 1) = 4  π x = − + kπ  ⇔ x = π + k2π Vậy các nghiệm phương trình đã cho biểu diễn điểm trên đường tròn lượng giác Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở 10  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com 4 Câu 28 Tìm tất các h πgiáπtrị i tham số m để phương trình sin x + cos x + cos 4x = m có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; 4  m> 47 47 47 3  A B C  D 6m6 <m6 <m< 47 64 64 64 m6 64 Lời giải Phương trình đã cho viết lại sau cos2 4x + cos 4x + = 4m h π πi Đặt t = cos 4x với t ∈ [−1; 1] Với t = ±1 thì t cho giá trị x ∈ − ; ; 4 Với −1 < t < thì t cho hai giá trị x Xét hàm số f (t) = 4t + t + với −1 t có bảng biến thiên sau t −∞ −1 − +∞ f (t) +∞ +∞ 47 16 Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán thỏa mãn và 47 47 < 4m 6 ⇔ <m6 16 64 Chọn đáp án B Câu 29 Phương trình A  √ (sin x + cos x) − sin x cos x = có bao nhiêu nghiệm khoảng (0; 2π)? B C D Lời giải √ √ t2 − Đặt t = sin x + cos x (− t 2) ⇒ sin x cos x = Phương trình trở thành " √ √ √ t = + (loại) t2 − 2t − = ⇔ t − 2t + = ⇔ √ t = − √   √ √ π √ π  2− Ta có t = − ⇔ cos x − = − ⇔ cos x − = 4 √ π 2− ⇔ x = ± arccos + k2π (k ∈ Z) Từ đó suy khoảng (0; 2π) phương trình đã cho có hai nghiệm Chọn đáp án C   π m Câu 30 Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình cos4 x + sin4 x + = có nghiệm 4√    √ i √ A m ∈ −∞; − 2 B m ∈ − 2; + 2 h  h √ √ √ i C m ∈ + 2; +∞ D m ∈ − 2; + 2 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 11 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Phương trình đã cho tương đương với  1h π i2 m (1 + cos 2x)2 + − cos 2x + = 4 2 ⇔(1 + cos 2x) + (1 + sin 2x) = m m−3 ⇔ sin 2x + cos 2x =  π  m−3 ⇔ cos 2x − = √ 2 Phương trình đã cho có nghiệm và −1 √ √ m−3 √ ⇔ − 2 m + 2 2 Chọn đáp án D  Câu 31 Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = sin6 x + cos6 x và đường thẳng y = m có điểm chung  m< 1 C m A m B m> D  4 m>1 Lời giải Ta có y = sin6 x + cos6 x = + cos 4x Vì −1 cos 4x nên để đồ thị hàm số y = sin6 x + cos6 x và đường thẳng 8 5 y = m có điểm chung thì − m + ⇔ m 8 8 Chọn đáp án A  Câu 32 Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình √ √ sin 2x − (2m + 2)(sin x + cos x) + 2m + =   5π có đúng hai nghiệm thuộc 0; √ − 1 A m> B m> C m6 2 √ − D <m6 2 Lời giải   h √ √ i  √ √ i 5π Đặt t = sin x + cos x, t ∈ − 2; Với x ∈ 0; ⇒ t ∈ − 2; " √ √ √ t= 2 Phương trình đã cho trở thành t − (2m + 2)t + 2m = ⇔ t = 2m √ π • Với t = ⇒ x = là nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán √   5π • Do đó, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc 0; ⇔− <m6 2 Chọn đáp án D  Câu 33 Cho các số thực a, b thay đổi, thỏa mãn a2 + b2 = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P = a + 2b + 2a − b + A Pmax = B Pmax = C Pmax = D Pmax = Lời giải LATEX Tư Duy Mở 12 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Đặt a = sin x, b = cos x Khi đó P = Website tuduymo.com sin x + cos x + sin x − cos x + sin x + cos x + có nghiệm hay phương trình sin x − cos x + (2P − 1) sin x − (P + 2) cos x = − 4P có nghiệm, điều này tương đương với Gọi P là giá trị hàm số đã cho Khi đó phương trình P = (2P − 1)2 + (P + 2)2 > (3 − 4P)2 ⇔ P 11 Nên giá trị lớn P Chọn đáp án B  Câu 34 √ Tìm tất các giá trị thực tham số m để tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm phương trình sin 2x +2 2m(sin x − cos x) + −4m = là điểm trên  đường tròn lượng giác  m<0 m<0 m60 m60 A B C D m>1 m>1 m>1 m>1 Lời giải  √ √ √ π Đặt t = sin x − cos x = sin x − , t ∈ [− 2; 2] Khi đó, phương trình đã cho trở thành " √ √ t= (1) t − 2mt + 4m − = ⇔ √ t = 2(2m − 1) (2)  √ 3π π =1⇔x= + k2π (k ∈ Z) Để tập hợp các điểm biểu diễn các nghiệm phương ⇔ sin x − 4 trình là điểm trên đường tròn lượng giác thì √  √   √2(2m − 1) < − √ ⇔ 2m − < −1 ⇔ m < 2m − > m > 2(2m − 1) > Ta có t = Chọn đáp án A  Câu 35 Giả sử đoạn [m, M] là tập giá trị hàm số y = A S = B S= 11 sin x + cos x − Tính S = M + m2 cos x − sin x + C S = D S = Lời giải Vì cos x − sin x + 6= ∀x nên sin x + cos x − cos x − sin x + ⇔ y cos x − y sin x + 2y = sin x + cos x − y= ⇔ (1 + y) sin x + (1 − y) cos x = 2y + Phương trình này có nghiệm x nên (1 + y)2 + (1 − y)2 > (2y + 1)2 ⇔ 2y2 + 4y − √ √ −2 + −2 − 6y6 ⇔ 2 √ √ −2 + −2 − Tồn x để xảy các dấu nên ta có M = và m = Từ đó M + m2 = 2 Chọn đáp án C LATEX Tư Duy Mở 13  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com m cos x + m − < đúng với ∀x ∈ R + sin x + cos x 7 B m= C m<− 3 Câu 36 Tìm tất các giá trị m để A m6 D m< Lời giải m cos x + m − Đặt y = ⇔ y sin x + (y − m) cos x = m − 3y − + sin x + cos x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz, ta có (m − 3y − 1)2 (y2 + (y − m)2 )(sin2 x + cos2 x) ⇔ 7y2 − 2(2m − 3)y + − 2m   √ √ 1 1 2m − − 4m2 + 2m + y 2m − + 4m2 + 2m + 7  √ 1 Ta có y < 1, ∀x ∈ R ⇔ max y = 2m − + 4m2 + 2m + < 7( √ 10 − 2m > ⇔m< ⇔ 4m2 + 2m + < 10 − 2m ⇔ 2 4m + 2m + < (10 − 2m) Chọn đáp án D  Câu 37 Tìm tập xác định D hàm số y = tan x − cot x  kπ ,k ∈ Z B D = R\   kπ ,k ∈ Z D D = R\ A D = R \ {kπ, k ∈ Z} nπ o + kπ, k ∈ Z C D = R\ Lời giải ( Điều kiện sin x 6= cos x 6=  ⇔ sin x cos x 6= ⇔ sin 2x 6= ⇔ x 6= kπ Chọn đáp án D  Câu 38 Giả sử phương trình (1 − sin x) sin2 x − (1 + cos x) cos2 x = có tập nghiệm dạng  S = α + k2π, β + k2π, γ + kπ k ∈ Z h π πi , đó α, β ∈ [0; π] và γ ∈ − ; Tính giá trị biểu thức P = α + β + γ 2 5π 5π π C P= A P= B P= 4 D P= 7π Lời giải Phương trình đã cho tương đương với (1 − sin x)(1 − cos x)(1 + cos x) − (1 + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x) = ⇔ (1 − sin x)(1 + cos x)(sin x + cos x) =  π  x = + k2π sin x =    ⇔  cos x = −1 ⇔ x = π + k2π  π sin x + cos x = x = − + kπ  π  5π π = Vậy α + β + γ = + π + − 4 Chọn đáp án A LATEX Tư Duy Mở 14  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 39 Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn tất các nghiệm phương trình sin x cos x cos 2x cos 4x = ? A 16 điểm B điểm C điểm D điểm Lời giải Phương trình tương đương sin 8x = ⇔ x = k2π π + 16 sin cos Vậy có điểm biểu diễn Chọn đáp án D  Câu 40 Tìm tất giá trị m để phương trình sin2 x + sin x cos x − m cos2 x = có nghiệm thuộc khoảng  πi 0; A m > −1 B − < m −1 C −2 < m < −1 D −2 < m −1 Lời giải Với cos x = thì phương trình tương đương = ⇒ phương trình vô nghiệm Với cos x 6= Chia hai vế cho cos2 x ta − tan2 x + tan x − (m + 2) = ⇔ − tan2 x + tan x − = m  πi Đặt t = tan x, với x ∈ 0; ⇒ t ∈ (0; 1] Lập bảng biến thiên cho hàm bậc f (t) = −t + 2t − x −∞ f (t) + +∞ −1 f (t) −2 Dựa vào bảng biến thiên ta −2 < m −1 Chọn đáp án D  Câu 41 Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm phương trình cot x = cos x + tan x + cos 3x? LATEX Tư Duy Mở 15 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác A điểm Website tuduymo.com C điểm B điểm D điểm Lời giải Điều kiện phương trình sin x cos x 6= Khi đó phương trình đã cho tương đương cot x − tan x = cos x + cos 3x cos 2x = cos 2x cos x ⇔ sin " x cos x cos 2x = ⇔ sin 2x cos x = ⇔x= π kπ + Vậy các nghiệm phương trình đã cho biểu diễn điểm trên đường tròn lượng giác Chọn đáp án D    π π Câu 42 Tìm nghiệm phương trình sin4 x + cos4 x + cos x − · sin 3x − − = 4 π π A x = + k2π, k ∈ Z B x = + k2π, k ∈ Z π π C x = + kπ, k ∈ Z D x = + kπ, k ∈ Z Lời giải Phương trình đã cho tương đương với    1  π sin 4x − + sin 2x − = − sin 2x + 2 2   1 ⇔ − sin2 2x + (sin 2x − cos 4x) − = 2     ⇔ − sin 2x + sin 2x − + sin 2x − = 2 2 ⇔ sin 2x + sin 2x − = 2 " sin 2x = ⇔ sin 2x = −2(vô nghiệm) π π ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z Chọn đáp án D  Câu 43 Tìm tập hợp S tất các giá trị thực tham số m để phương trình     9π 5π m cos − x + (2m − 1) sin(7π − x) + 5m − = cos x − 2   π 5π có đúng nghiệm thuộc − ; 6       5 17 11 A S= ;m=0 B S= ∪ ; 13  4  4 17 11 C S= ∪ ; D S= 13 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 16 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Phương trình đã cho tương đương với 3(m − 1) sinx = − 5m (1) Với m = phương trình đã cho vô nghiệm − 5m Với m 6= Phương trình đã cho trở thành sin x = 3(m − 1)     −π 5π −1 Vì x ∈ ; ⇒ sin x ∈ ;1 6 Dựa vào đường tròn lượng giác suy phương trình có nghiệm tương đương với  m 6=  −1 − 5m   3(m − 1) < 17 11  ⇔ m = <m6    − 5m 13  =1  3(m − 1)  m 6= Chọn đáp án C    −π Câu 44 Gọi x1 , x2 , x3 , , xn là nghiệm phương trình tan 3x = tan x đoạn , 11π Tính tổng x1 + x2 + x3 + · · · + xn A 125π B 65π C 126π D 66π Lời giải  π kπ  x 6= + , k ∈ Z Điều kiện:   x 6= π + kπ kπ Khi đó: tan 3x = tan x ⇔ 3x = x + kπ ⇔ x = , k ∈ Z So điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = kπ, k ∈ Z −π −π −1 Mà x ∈ , 11π nên kπ 11π ⇔ k 11 ⇔ k ∈ 0, 1, 2, , 11 2 11 Suy tổng các nghiệm cần tìm là: ∑ kπ = 66π k=0 Chọn đáp án D  Câu 45 Đường cong hình bên là  đồ thị hàm số 3π 3π y = tan x trên đoạn − ; Tìm số nghiệm 2   3π 3π phương trình | tan x| = π trên đoạn − ; 2 A B C D y x − 3π −π − π O −1 π π 3π −2 Lời giải Số nghiệm phương trình | tan x| = π số giao điểm đồ thị hàm số y = | tan x| và đường thẳng y = π LATEX Tư Duy Mở 17 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com y x − 3π −π − π π O −1 π 3π   3π 3π Từ đồ thị suy phương trình có nghiệm trên đoạn − ; 2 Chọn đáp án A  Câu 46 Tính tổng S tất các nghiệm trên khoảng (0; 100π) phương trình cos x = A S = 5050π B S = 5000π C S = 4950π D S = 5100π Lời giải π Ta có cos x = ⇔ x = + kπ 99 Vì x ∈ (0; 100π) nên k ∈ [0; 99], k ∈ Z Vậy S = ∑ π k=0  + kπ = 5000π Chọn đáp án B  sin x + cos x + là: sin x + cos x + C M = 2; m = −1 D M = 1; m = −2 Câu 47 Giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số hàm số y = A M = −1; m = −2 B M = 2; m = Lời giải Ta có y= sin x + cos x + sin x + cos x + ⇔ y sin x + y cos x + 2y = sin x + cos x + ⇔ (y − 1) sin x + (y − 2) cos x = − 2y (∗) y thuộc tập giá trị hàm số và phương trình (*) có nghiệm ⇔ (y − 1)2 + (y − 2)2 > (1 − 2y)2 ⇔ y2 + y − ⇔ −2 y Từ đó suy M = và m = −2 Chọn đáp án D  √ Câu 48 Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình + cos x + m + cos 2x = có hai nghiệm   4π thực phân biệt trên 0; A B C D Lời giải Phương trình đã cho tương đương p + cos x + m cos2 x + = LATEX Tư Duy Mở 18 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com   4π Đặt t = cos x Vì x ∈ 0; nên t ∈ [−1; 1] Khi đó ta có phương trình p + 2t + m 4t + = + 2t ⇔ m= √ 4t + 2t + − 28t √ Xét hàm số f (t) = √ , ∀t ∈ [−1; 1] Có f (t) = , ∀t ∈ [−1; 1] 2 4t + (4t + 3) 4t + Bảng biến thiên x −∞ −1 y0 + √ 7 y 14 √ 39 +∞ − √ 7  √  < −m Phương trình có nghiệm ⇔  √  9√7 39 −m < " m = −2, m = −3 Vì m ∈ Z nên m = −4 Chọn đáp án D  √ sin x Câu 49 Gọi M, m là giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = Tính M · m cos x + A B C −2 D −1 Lời giải Ta có √ √ √ sin x y= ⇔ y(cos x + 2) = sin x ⇔ sin x − y cos x = 2y cos x + p Chia hai vế (1) cho + y2 ta √ y 2y p · sin x − p · cos x = p 2 3+y 3+y + y2 √ y và sin α = p , từ (2) suy Đặt cos α = p + y2 + y2 2y 2y sin x cos α − cos x sin α = p ⇔ sin(x − α) = p + y2 + y2 (1) (2) (3) Từ (3) suy 2y p ⇔ 4y2 + y2 ⇔ y2 ⇔ −1 y + y2 Cách khác: Điều kiện để phương trình (1) (ẩn x) luôn có nghiệm là √ ( 3)2 + (−y)2 > (2y)2 ⇔ 3y2 ⇔ −1 y Do đó, M = và m = −1 Vậy M · m = −1 Chọn đáp án D LATEX Tư Duy Mở  19 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 50 Nghiệm phương trình cos 2x + sin 2x + sin x − cos x = biểu diễn bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác? A B C D Lời giải Phương trình tương đương với − sin2 x + sin x cos x + sin x − cos x − = ⇔ (−2 sin2 x + sin x − 2) + cos x(2 sin x − 1) = ⇔ (2 sin x − 1)(2 − sin x) + cos x(2 sin x − 1) = ⇔ (2 sin x − 1)(3 cos x − sin x + 2) =  π x = + k2π "   sin x = 5π  ⇔ ⇔ x = + k2π cos x − sin x + =  sin x − cos x = (1) Phương trình (1) tương đương √ sin x − √ cos x = √ 10 10 10 ⇔ sin (x − α) = √ 10  x = α + arcsin √ + k2π  10 ⇔  x = α + π − arcsin √ + k2π, 10  π cho cos α = √ Vậy các nghiệm phương trình đã cho biểu diễn bốn điểm trên đó α ∈ 0; 10 đường tròn lượng giác  Chọn đáp án A Câu 51 Tìm số nghiệm phương trình sin2 x + sin 2x = sin4 A B C x x + cos4 khoảng (−1; 3) 2 D Lời giải x x (1 − cos x)2 (1 + cos x)2 + cos2 x Ta biến đổi sin4 + cos4 = + = và sin 2x = sin x cos x, phương trình đã cho trở 2 4 2 thành sin x + 2 sin x cos x − cos x =  sin2 x = π Với cos x = ⇔ , phương trình không thỏa nên ta loại x = + kπ π x = + kπ 2 Với cos x 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta tan2 x + tan x − = + tan2 x ⇔ tan2 x + tan x − =   π x = − + kπ tan x = −1  ⇔  , k ∈ Z ⇔ tan x = x = arctan + kπ 2 Kết hợp điều kiện x ∈ (−1; 3) ta số nghiệm thỏa là nghiệm Chọn đáp án A LATEX Tư Duy Mở 20  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 52 trình sin4 x + sin2 x cos  Tìm tập nghiệm phương  x + cos x =   π π π π A B + kπ; + kπ, k ∈ Z + kπ; − + kπ, k ∈ Z 6  2  6 π π π π C + kπ; − + kπ, k ∈ Z D +k , k ∈ Z Lời giải Với cos x = thì sin2 x = nên phương trình thỏa mãn π Ta x = + kπ, k ∈ Z là họ nghiệm phương trình Với cos x 6= 0, chia hai vế cho cos4 x, ta tan4 x + tan2 x + = 2(1 + tan2 x)2 ⇔ tan2 x − = √  tan x = ⇔ √  tan x = −  π x = + kπ  ⇔ , k ∈ Z π x = − + kπ Kết hợp các họ nghiệm với nhau, ta x = π π + k , k ∈ Z Chọn đáp án D  Câu 53 Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm phương trình + cot 2x? A điểm C điểm B điểm − cos 2x = sin2 2x D điểm Lời giải Điều kiện phương trình sin 2x 6= Khi đó phương trình đã cho tương đương − cos 2x = sin2 2x(1 + cot 2x) ⇔ − cos 2x = sin2 2x + sin 2x cos 2x ⇔ cos2 2x − cos 2x − sin 2x cos 2x = ⇔ cos 2x(cos 2x − sin 2x − 1) = h√  i π ⇔ cos 2x cos 2x + −1 = π kπ ⇔x= + Vậy các nghiệm phương trình đã cho biểu diễn điểm trên đường tròn lượng giác Chọn đáp án C  √ Câu 54 Tìm tập nghiệm phương trình tan x + cot x = +    sin 2x  π π π + kπ; + kπ, k ∈ Z A − + kπ, k ∈ Z B   3  π π C kπ; + kπ, k ∈ Z D + kπ, k ∈ Z 3 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 21 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com    sin x 6= Điều kiện để phương trình có nghĩa: cos x 6= ⇔ sin 2x 6= Khi đó, ta có   sin 2x 6= tan x + cot x = √ 3+ sin 2x √ sin x cos x + √ sin2 x + (cos2 x − 1) − sin x cos x = √ sin2 x − sin x cos x = √ tan " x − tan x = tan x = (loại) √ tan x = (nhận) π x = + kπ (nhận) ⇔ sin2 x + cos2 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chọn đáp án D  Câu 55 Phương trình sin 2x − 12(sin x − cos x) + 12 = có hai họ nghiệm dạng x = α + k2π; x = β + k2π (α, β ∈ [0; π]) Tính α + β 5π 3π 3π C α +β = A α + β = π B α +β = D α +β = Lời giải h √ √ i Đặt t = sin x − cos x,t ∈ − 2; , phương trình trở thành: − t − 12t + 12 = ⇔ t + 12t − 13 = ⇔ " t = (nhận) t = −13 (loại)   √ π π π Với t = ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin x − = ⇔ sin x − = √ = sin 4   π π π x − = + k2π x = + k2π  4  ⇔ ⇔ (k ∈ Z) π 3π x = π + k2π x− = + k2π 4 π 3π Vậy α = và β = π, đó α + β = 2 Chọn đáp án D Câu 56 Cho phương trình phương trình trên A 1018081π  sin x = Tính tổng tất các nghiệm đoạn [0; 2018π] cos2 x − cos x + B 1018018π C 1020100π D 1018080π Lời giải Điều kiện cos x 6= ⇔ x 6= k2π, (k ∈ Z) Phương trình đã cho tương đương sin x = ⇔ x = kπ, (k ∈ Z) Vậy tổng tất các nghiệm đoạn [0; 2018π] phương trình là π · (1 + + + · · · + 2017) = 1018081π Chọn đáp án A   √ π Câu 57 Giải phương trình sin 2x − 3 cos x − + =   5π 5π x= + k2π x= + kπ 12 12 A  (k ∈ Z) B  (k ∈ Z) π π x= + k2π x= + kπ 12 12 LATEX Tư Duy Mở 22 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com 5π + kπ 12 (k ∈ Z) C  π x= + k2π 12  5π + k2π 12 D  (k ∈ Z) π x= + kπ 12  x= x= Lời giải  √ √ √ π Đặt t = sin x + cos x = cos x − , t ∈ [− 2; 2] Khi đó, phương trình đã cho trở thành  √ √ √ t = √6 (loại) 3 t +3 = ⇔  t2 − − √ t + = ⇔ t2 − 2 t=  5π √ √  x= + k2π π 12 (k ∈ Z) ⇔ cos x − = ⇔ Ta có t = π + k2π x= 12 Chọn đáp án A Câu 58 Tìm số nghiệm phương trình cos(3 sin x) = trên khoảng (−π; 3π) A B C  D Lời giải π Ta có cos(3 sin x) = ⇔ sin x = + kπ (*) π Điều kiện để (*) có nghiệm là −3 + kπ ⇒ k = 0; k = −1 π Do đó (*) ⇔ sin x = ± Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có nghiệm trên khoảng (−2π; 4π) sin x π cos x O − π6 Chọn đáp án A  √   7π Câu 59 Phương trình | cos x| = có bao nhiêu nghiệm trên đoạn −π; ? 2 A 10 B C D 11 Lời giải sin x √ √  cos x = | cos x| = ⇔ √  cos x = −  −   7π Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có nghiệm trên đoạn −π; Chọn đáp án B √ O √ cos x  Câu 60 Cho các hàm số y = sin 2x và y = cos x có đồ thị cùng hệ tọa độ sau LATEX Tư Duy Mở 23 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com y π 3π π x 2π O −1 Hỏi hai đồ thị cắt bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc khoảng (0; 2018)? A 1285 điểm B 1284 điểm C 321 điểm D 4036 điểm Lời giải - Hai đồ thị gặp điểm đầu tiên có hoành độ nhỏ 1, điểm thứ hai x = π > và có giao điểm 2 khoảng (0; 2π); nữa, các hàm số đã cho tuần hoàn sau khoảng 2π π - Lại có 2018 = 321.2π + a với a ' 1, 098 < Như ngoài 4.321 = 1284 giao điểm 321 chu kỳ 2π đầu tiên, hai đồ thị còn gặp thêm lần Chọn đáp án A  Câu 61 Cho y = m sin x + Tìm m để y < −1 + cos x A m < −3 C m < B m > √ √ D m > 2 ∨ m < −2 Lời giải m sin x + ⇔ 2y + y cos x = m sin x + ⇔ y cos x − m sin x = − 2y (1) + cos x Phương trình (1) có nghiệm và Ta có y = y2 + m2 > (1 − 2y)2 ⇔ 3y2 − 4y + − m2 √ √ − 3m2 + + 3m2 + ⇔ 6y6 3 √ 2 − 3m + ⇒ y = Do đó: y < −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ − 3m2 + < −1 p3 − 3m2 + −3 p 3m2 − > " √ m>2 √ m < −2 Chọn đáp án D  Câu 62 Xét hàm số f (x) = cos 2x trên tập hợp D = [0; 2π] và có đồ thị cho hình vẽ Tìm số giao điểm tối đa đường thẳng y = m với m ∈ R và đồ thị hàm số g(x) = | f (x)| LATEX Tư Duy Mở 24 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com y 3π π O 5π π 2π C B 10 A 7π x D Lời giải Đồ thị hàm số g(x) = | f (x)| và đường thẳng y = m sau: y O y=m π 3π π 7π 5π 2π x Chọn đáp án C  Câu 63 Tìm các giá trị tham số m để phương trình cos 2x − (2m − 1) cos x − m + = có đúng hai h tất π πi nghiệm x ∈ − ; 2 A m < B −1 < m < C m D −1 < m Lời giải  cos x = m 1 Vì phương trình cos x = − không cos x = − h π πi nên yêu cầu bài toán tương đương với điều kiện m ∈ [0; 1) có nghiệm đoạn − ; 2 Chọn đáp án A  Phương trình đã cho tương đương với (cos x − m)(2 cos x + 1) = ⇔  Câu 64 Tìm tất các giá trị m để phương trình m (sin x + cos x) + sin 2x = có nghiệm √ √ √ √ A m ∈ R B − < m < C m D −1 m Lời giải  h √ √ i √ π Đặt t = sin x + cos x = cos x − ,t ∈ − 2; , suy sin 2x = t − h √ √ i Khi đó phương trình tương đương mt + t − = ⇔ f (t) = t + mt − = 0,t ∈ − 2; Nhận thấy phương trình bậc hai f (t) = với ∆ = m2 + > 0,∀t luôn có  hai nghiệm phân biệt t1 ,t2  √ √ t1 ∈ − 2;  √ √  Theo định lý Viét, ta có t1 · t2 = −1 ⇒ |t1 | · |t2 | = ⇒  t2 ∈ − 2; Vậy phương trình luôn có nghiệm với ∀m ∈ R Chọn đáp án A  Câu 65 Có tất bao nhiêu giá trị thực tham số m để phương trình sin x + cos x = (m3 − 4m + 3)x + m + vô nghiệm? A Vô số B C D Lời giải LATEX Tư Duy Mở 25 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Với m = ta có phương trình sin x + cos x = (vô nghiệm.) Với m = ta có phương trình sin x + cos x = (vô nghiệm.) Với m 6= và m 6= thì ta thấy đồ thị hàm số y = sin x + cos x và đồ thị hàm số bậc y = (m3 − 4m + 3)x + m + luôn có ít giao điểm nên phương trình đã cho luôn có nghiệm Vậy có giá trị thực m để phương trình đã cho vô nghiệm Chọn đáp án C  Câu 66 Giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số hàm số y = A M = 1; m = −2 sin x + cos x − là: sin x + cos x + B M = 2; m =√1 √ −5 + 33 −5 − 33 ;m= D M= 2 C M = 2; m = −1 Lời giải Ta có y= sin x + cos x − sin x + cos x + ⇔ y(sin x + cos x + 2) = sin x + cos x − ⇔ (y − 1) sin x + (y − 2) cos x = −1 − 2y (∗) Phương trình (∗) có nghiệm và (y − 1)2 + (y − 2)2 > (−1 − 2y)2 ⇔ −2y2 − 10y + > √ √ −5 − 33 −5 + 33 ⇔ 6y6 2 √ √ −5 + 33 −5 − 33 Từ đó ta có M = ;m= 2 Chọn đáp án D cot x Câu 67 Tìm tập xác định hàm số y = cos x − nπ o A D = R\ + k2π, k ∈ Z  B D = R\ {kπ, k ∈ Z}   kπ D D = R\ ,k ∈ Z C D = R\ {k2π, k ∈ Z} Lời giải ( sin x 6= Hàm số xác định cos x 6= ( x 6= kπ, k ∈ Z ⇔ x 6= k2π, k ∈ Z ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z Chọn đáp án B  Câu 68 Tìm tập xác định D hàm số y = cos 3x + cos x  π π kπ + kπ; + , k ∈ Z 2  π π kπ D D = R\ + kπ; + , k ∈ Z A D = R B D = R\   π kπ + ,k ∈ Z C D = R\  Lời giải Điều kiện cos 3x + cos x 6= ⇔ cos 2x cos x 6= ⇔ x 6= π kπ π + ; x 6= + kπ 2 Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở  26 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ Câu 69 Cho phương trình sin x + cos 2x + cos x = Tìm mệnh đề đúng các mệnh đề sau A Phương trình vô nghiệm trên khoảng (π; 2π)  π B Phương trình có nghiệm trên khoảng 0; π C Một họ nghiệm phương trình là x = + k2π, k ∈ Z D Mọi nghiệm x0 phương trình thỏa mãn sin 3x0 = Lời giải ( cos x √ 5π ⇔x= Ta có sin x + cos 2x + cos x = ⇔ + k2π, k ∈ Z sin x + cos 2x = cos x   5π 5π Mặt khác, sin + k2π = sin = nên nghiệm x0 phương trình thỏa mãn sin 3x0 = Chọn đáp án D  cot x Câu 70 Tìm tập xác định D hàm số y = 2 cos x − cos x + o n π π A D = R\ kπ; − + k2π; + k2π | k ∈ Z B D = R\ {k2π | k ∈ Z} 3 n o n o π π π π C D = R\ k2π; − + kπ; + kπ | k ∈ Z D D = R\ kπ; − + kπ; + kπ | k ∈ Z 3 3 Lời giải Hàm số xác định ( ( sin x 6= sin x 6= ⇔ (cos x − 1)(2 cos x − 1) 6= cos2 x − cos x + 6=   sin x 6=   x 6= kπ    cos x = ⇔ x 6= k2π ⇔ , k ∈ Z     x 6= ± π + k2π  cos x 6= Chọn đáp án A  kπ Câu 71 Các họ nghiệm phương trình cos 2x + sin x = sin 3x có dạng x = α + 2kπ; x = β + (k ∈ Z), h πi với α, β ∈ 0; Tính P = αβ π2 3π π2 π2 A P= B P= D P= C P= 4 16 Lời giải Phương trình đã cho tương đương cos 2x = cos 2x sin x ⇔ cos 2x(1 − sin x) = " cos 2x = ⇔ sin x =  π π x = +k  ⇔ π x = + k2π Vậy αβ = π π π2 · = LATEX Tư Duy Mở 27 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Chọn đáp án D   π Câu 72 Tập nghiệm S phương trình tan3 x − = tan x − là n o nπ o π A S = k2π, + k2π, k ∈ Z B S= + kπ, k ∈ Z n n4 π o o π C S = k2π, + kπ, k ∈ Z D S = kπ, + kπ, k ∈ Z 4 Lời giải   π π 3π   x − 6= + kπ x 6= + kπ 4 Điều kiện: ⇔ π   x 6= + kπ x 6= π + kπ 2   sin x − cos x = tan x − PT ⇔ cos x + sin x   tan x − ⇔ = tan x − 1, tan x 6= −1 + tan x  " " π tan x = x = + kπ tan x = ⇔ ⇔ ⇔ tan x = tan3 x + tan2 x + tan x = x = kπ (k ∈ Z) Chọn đáp án D  r Câu 73 Đồ thị các hàm số y = cos 2x + cos x + và y = cos x là các đường cong hình nào đây? − −2π − 3π y π π −π 3π π O −1 x 2π −2 A y −− −2π − 3π 3π π −π O −1 − π π 2π x B LATEX Tư Duy Mở 28 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com C y x −2π − −π 3π − π O −1 − −2π 3π − π π 2π y π 3π π −π 3π O π x 2π −1 −2 D Lời giải Dễ thấy r bốn phương án có đồ thị hàm y = cos x cos 2x + cos x + p Ta có y = = (cos x + 1)2 = cos x + r cos 2x + cos x + có cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = cos x lên trên đơn vị Suy đồ thị hàm số y = Chọn đáp án C    π π Câu 74 Giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số y = sin x + · cos x + + sin 2x là: 1 A M = và m = − B M = và m = −1 2 √ √ 1 C M = và m = − D M = − và m = − − 2 2 Lời giải Ta có   π π · cos x + + sin 2x y = sin x + 6 3   π π = sin 2x + + sin − + sin 2x  √ π = cos 2x + sin 2x − = sin 2x + −  √ √ π 1 Ta có −1 sin 2x + nên − − y − 2 √ √ π 3π Vậy max y = − , đạt x = ; y = − − , đạt x = − 8 Chọn đáp án D LATEX Tư Duy Mở 29  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ √ Câu 75 Trong tất các nghiệm phương trình sin x − cos x = 2, gọi x1 , x2 là nghiệm âm lớn aπ a và nghiệm dương nhỏ Biết x1 + 3x2 = , với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối b b giản Tính tổng T = 2a + b A T = 15 B T = 17 C T = D T = 16 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với √ √ sin x − cos x =  2 π π = sin ⇔ sin x −  π π x − = + k2π  ⇔ 3π π + k2π x− =  7π + k2π x=  12 ⇔ 13π x= + k2π 12 Ta tìm x1 = − 11π 7π 5π và x2 = Lúc đó, x1 + 3x2 = 12 12 Chọn đáp án D 
Câu 76 Tìm tất các giá trị m để phương trình sin4 x + cos4 x + cos 4x + sin 2x + m = có ít h πi nghiệm x ∈ 0;  2       10 A m ∈ − ;0 B m ∈ − ; −2 C m ∈ − ;1 D m∈ − ; 3 3 Lời giải Ta có: sin4 x + cos 4x = − sin2 2x, cos 4x = − sin2 2x Do đó phương trình đãhcho tương đương với: sin2 2x − sin 2x = m + i π Đặt t = sin 2x, với x ∈ 0; thì t ∈ [0; 1] Phương trình (1) trở thành 3t − 2t = m + Xét hàm số g(t) = 3t − 2t trên đoạn [0; 1] Bảng biến thiên: t 0 g0 (t) − (1) (2) + g(t) − h πi Phương trình đã cho có ít nghiệm x ∈ 0; phương trình (2) có nghiệm t ∈ [0; 1], hay 10 − m + ⇔ − m −2 3 Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở  30 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 77 Số có ánh sáng mặt trời thành phố A vĩ độ 40◦ bắc ngày thứ t năm không nhuận cho hàm số i h π (t − 80) + 12 với t ∈ Z và < t 365 d(t) = sin 182 Vào ngày nào năm thì thành phố có nhiều có ánh sáng mặt trời nhất? A Ngày thứ 172 năm B Ngày thứ 171 năm D Ngày thứ 173 năm C Ngày thứ 170 năm Lời giải Ngày có nhiều có ánh sáng mặt trời i h π π π (t − 80) = ⇔ (t − 80) = + k2π ⇔ t = 171 + 364k (k ∈ Z) sin 182 182 Suy < 171 + 364k 365 ⇔ k = Vậy t = 171 Chọn đáp án B  Câu 78 giá trị hàmi số y = sin2 x + sin x cos x − cos là h Tập h x√+ 1√ i √ √ A −2 + 2; 2 + B − 2; + i h √ √ C [0; 2] D − − 1; − Lời giải  √ − cos 2x + cos 2x π + sin 2x − + = sin 2x − cos 2x + = 2 sin 2x − +2 2 √ √ Do đó:−2 + y 2 + h i √ √ Vậy tập giá trị hàm số là T = −2 + 2; 2 + y = Chọn đáp án A  π  Câu 79 Gọi x0 là nghiệm phương trình sin 2x = cos x trên ; π Tính giá trị biểu thức S = sin x0 + sin 2x0 + sin 3x0 + · · · + sin 2018x0 √ √ 1+ 1− A S = B S= D S= C S= 2 Lời giải • Trên  5π ; π thì cos x < nên sin 2x = cos x ⇔ sin x · cos x = cos x ⇔ sin x = ⇔ x = 2 π 5π thì sin kx0 +sin(k + 6)x0 = sin kx0 +sin (kx0 + 5π) = sin kx0 −sin kx0 = Suy sin kx0 +sin(k + 1)x0 + sin(k + 2)x0 + · · · + sin(k + 6)x0 + sin(k + 7)x0 + · · · + sin(k + 11)x0 = 0, ∀ k ∈ N Vậy S = sin x0 +sin 2x0 +(sin √ 3x0 +· · ·+sin 14x0 )+(sin 15x0 +· · ·+sin 26x0 )+· · ·+(sin 2007x0 +· · ·+sin 2018x0 ) = − sin x0 + sin 2x0 = + 2 • Với x0 = Chọn đáp án C    π π Câu 80 Tập nghiệm S phương trình sin x + sin 3x + cos 3x + cos x = là nπ o n π o A S= B S = − + kπ, k ∈ Z + kπ, k ∈ Z   n4πo π kπ C S= − D S = − − ,k ∈ Z 4 LATEX Tư Duy Mở 31 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Lời giải PT ⇔ (sin x + cos x) sin3 3x + (cos 3x − sin 3x) cos3 x = ⇔ (sin x + cos x) sin3 3x = (sin 3x − cos 3x) cos3 x (∗) • cos x = 0, sin 3x = không thỏa mãn • Với cos x 6= 0, sin 3x 6= 0, chia hai vế cho cos3 x sin3 3x ta có sin x + cos x sin 3x − cos 3x = cos3 x sin3 3x ⇔ tan x(1 + tan2 x) + (1 + tan2 x) = (1 + cot2 3x) − cot 3x(1 + cot2 3x) (∗) ⇔ ⇔ (1 + tan x)(1 + tan2 x) = (1 − cot 3x)(1 + cot2 3x) ⇔ (1 + tan x)(1 + tan2 x) = (1 + cot(−3x))(1 + cot2 (−3x)) (∗∗) Xét hàm số y = f (t) = (1 + t)(1 + t ) = t + t + t + 1,t ∈ R • Cách 1: Với t1 ,t2 ∈ R ta có f (t2 ) − f (t1 ) = (t2 − t1 )(t22 + t2t1 + t12 + t2 + t1 + 1) Suy 2( f (t2 ) − f (t1 )) = (t2 − t1 )((t2 + t1 )2 + (t2 + 1)2 + (t1 + 1)2 ) Vậy f (t2 ) − f (t1 ) = ⇔ t2 = t1 Suy π  π kπ π (∗∗) ⇔ f (tan x) = f (cot(−3x)) ⇔ tan x = cot(−3x) = tan + 3x ⇔ x = +3x+kπ ⇔ x = − − , k ∈ Z 2 • Cách 2: Ta có f (t) = 3t + 2t + > với t ∈ R Suy hàm số y = f (t) đồng biến trên R Suy π kπ (∗∗) ⇔ f (tan x) = f (cot(−3x)) ⇔ tan x = cot(−3x) ⇔ x = − − , k ∈ Z Chọn đáp án D  Câu 81 Tính tổng S tất cos 2x cos x = + sin 2x sin x trên đoạn [−π; 4π] A S = 5π B S = 3π các nghiệm C S = 4π phương trình D S = 6π Lời giải Ta có cos 2x cos x = + sin 2x sin x ⇔ cos 2x cos x − sin 2x sin x = ⇔ cos x = Vì x ∈ [−π; 4π] nên ta có các nghiệm là x = 0; x = 2π; x = 4π Vậy S = 6π Chọn đáp án D  Câuh 82 iTìm tất các giá trị m để phương trình sin2 2x − sin 2x + m − = có đúng hai nghiệm π x ∈ 0;       17 17 17 A m ∈ 2; B m ∈ 1; C m ∈ (1; 2) D m ∈ 2; 8 Lời giải h πi h πi Đặt t = sin 2x, với x ∈ 0; ⇒ 2x ∈ 0; ⇒ t ∈ [0; 1] Phương trình đã cho trở thành: −2t + 3t + = m h (1) πi Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0; phương trình (1) có đúng hai nghiệm t ∈ [0; 1] Xét hàm số g(t) = −2t + 3t + trên đoạn [0; 1] Bảng biến thiên: LATEX Tư Duy Mở 32 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác t Website tuduymo.com 0 g0 (t) + − 17 g(t) Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình g(t) = m có hai nghiệm trên đoạn [0; 1] m < 17 Chọn đáp án D  Câu 83 Tập tấtcả  giá trị thực m để phương trình m cos x + cos 3x = + cos 2x có tám nghiệm phân π 5π biệt trên khoảng − ; là khoảng (a; b) Tính giá trị P = b − a 2 25 A B C D 4 Lời giải " cos x = Phương Ta có m cos x + cos 3x = + cos 2x ⇔ cos x(4 cos2 x − cos x − + m) = ⇔ cos2 x − cos x − + m =     π π 5π π 3π trình cos x = ⇔ x = + kπ, vì x ∈ − ; ⇒x∈ ; 2 2 Đặt t = cos x  π • Với < t < ⇒ cos x = t có nghiệm x = α ∈ 0; , x = −α, x = α + 2π, x = −α + 2π π  ; π và x = 2π − α • Với −1 < t < ⇒ cos x = t có nghiệm x = α ∈   π 3π • Với t = ⇒ cos x = t = ⇔ x ∈ ; 2 • Với t = −1 ⇒ cos x = t = −1 ⇔ x = π • Với t = ⇒ cos x = t = ⇔ x = x = 2π Phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt và phương trình cos2 x − cos x − + m = có nghiệm, tương đương với phương trình f (t) = 4t − 2t − + m = có hai nghiệm thỏa mãn −1 < t1 < < t2 < < t1 < t2 =      f (−1) > m − > • −1 < t1 < < t2 < ⇔ f (1) > ⇔ m + > ⇔ < m <     f (0) < m−3 < • < t < t2 = 1, đó t = là nghiệm phương trình, suy m = 1, phương trình trở thành 4t − 2t − = t =1 0⇔ không thỏa mãn < t1 < t2 = t =− ( b=3 Vậy m ∈ (1; 3) ⇒ ⇒ b − a = a=1 Chọn đáp án A   π Câu 84 Cho phương trình sin x cos x = 2(sin4 x + cos4 x) − Tính tổng S tất các nghiệm thuộc 0; 2 LATEX Tư Duy Mở 33 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác phương trình đã cho π A S= B S= Website tuduymo.com π 12 C S= 5π 12 D S= 5π Lời giải Ta có sin4 x + cos4 x = cos 4x + Khi đó 4 sin x cos x = 2(sin4 x + cos4 x) − ⇔ sin x cos x = cos 4x 2π  ⇔ sin 2x = sin − 4x  π kπ x = 12 + (k ∈ Z) ⇔  π x = − − kπ  π  5π π π Suy các nghiệm thuộc 0; ; Vậy S = là 12 12 Chọn đáp án A  Câu 85 Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = cot(sin x) và trục hoành A B Vô số C D Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = cot(sin x) và trục hoành: π cot(sin x) = ⇔ sin x = + kπ, (k ∈ Z) π Phải có −1 + kπ ⇔ k ∈ ∅ Do đó phương trình vô nghiệm Vậy số giao điểm đồ thị hàm số y = cot(sin x) và trục hoành là Chọn đáp án D  Câu 86 Tìm tất các giá trị m để phương trình sau có nghiệm sin6 x + cos6 x = m(sin4 x + cos4 x) 6m6 2 C m ∈ (−∞; 1] ∪ ( ; +∞) m D m ∈ (−∞; 1] A B Lời giải Ta có: sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x)3 − sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) = − sin2 x cos2 x = − sin2 2x 4 2 2 sin x + cos x = (sin x + cos x) − sin x cos2 x = − sin2 2x Vậy phương trình đã cho tương đương với:   2 − sin 2x = m − sin 2x ⇔ − sin2 2x = 4m − 2m sin2 2x LATEX Tư Duy Mở 34 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com ⇔ (2m − 3) sin2 2x = 4m − (1) • Khi 2m − = ⇔ m = , phương trình (1) trở thành · sin2 2x = (vô nghiệm) • Khi m 6= , phương trình (1) trở thành: sin2 2x = 4m − 2m − (2) Phương trình (2) có nghiệm và khi:     4m −    ; +∞ >0  m ∈ (−∞; 1] ∪ 4m − 2m − 61⇔ 06 ⇔   2m − 2m −  4m −   60 2m −  2m −3   m ∈ (−∞; 1] ∪   ; +∞    ⇔ m ∈ ;1 ⇔   m ∈ ; 2 Vậy phương trình có nghiệm và m Chọn đáp án B  Câu 87 Tìm hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình cos2 x − 2m cos x + 6m − = có  tập π π nghiệm x ∈ − ; 2 3 < m 6 m C m A B D m = 2 Lời giải " Phương trình đã cho tương đương với cos x = (loại) cos x = 2m −  π π ⇔ < 2m − ⇔ < m Phương trình đã cho có nghiệm thuộc − ; 2 Chọn đáp án A  Câu 88 Hình sau là đồ thị hàm số nào các hàm số đây? y x O A y = + | sin x| B y = + | cos x| C y = + sin |x| D y = + |sin |x|| Lời giải Từ đồ thị hàm số y = sin x, giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sin x nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần bên trục hoành qua trục hoành ta đồ thị hàm số y = | sin x| hình sau: LATEX Tư Duy Mở 35 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com y x O Sau đó dịch chuyển phần đồ thị này lên trên theo phương thẳng đứng đơn vị, ta đồ thị hình đề bài y x O Vậy ta khẳng định hàm số cần tìm là hàm y = + | sin x| Chọn đáp án A 
2 Câu 89 Tìm tất các  giá trịcủa tham số m để phương trình m − sin 3x − cos 3x + m − = có đúng 2π 4π nghiệm thuộc đoạn ; 3 A Không có m B m = −2 C m = ±2 D m = Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với sin2 3x + m2 − sin 3x + m2 − = 0." t = −1
Đặt t = sin 3x, |t| ta phương trình t + m2 − t + m2 − = ⇔ t = − m2   π 2π 2π 4π 7π Với t = −1 ⇒ sin 3x = −1 ⇔ x = − + k , k ∈ Z Do x ∈ ; nên x = 3 3  7π 2π 4π ycbt ⇔ sin 3x = − m2 có đúng nghiệm khác thuộc ; 3   2π 4π Vì x ∈ ; ⇒ 3x ∈ [2π; 4π] nên điều kiện là sin 3x = − m2 = ⇔ m = ±2 3 Chọn đáp án C  Câu 90 Cho phương trình (1 + cos  x)(cos  4x − m cos x) = m sin x Tìm tất các giá trị m để phương trình 2π có đúng nghiệm phân biệt thuộc 0;   A m ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) B m ∈ − ;1   1 C m∈ − ; D m ∈ (−1; 1) 2 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 36 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Phương trình đã cho tương đương ⇔ (1 + cos x)(cos 4x − m cos x) = m(1 − cos x)(1 + cos x) " + cos x = cos 4x − m cos x = m − m cos x    2π + cos x > 0, ∀x ∈ 0; ⇔ cos 4x = m     2π 8π Do x ∈ o; nên 4x ∈ 0; Hình vẽ bên biểu diễn cung lượng giác có 3 8π Phương trình đã cho có hai nghiệm và đường thẳng thẳng số đo x = m cắt cung lượng giác đó điểm Vậy − m < y A − O m Chọn đáp án B x  Câu 91 Với cặp (a; b) (a, b ∈ R), ta đặt M(a; b) là giá trị lớn f (x) = | cos x + a cos 2x + b cos 3x| Gọi M = M(a; b) Khẳng định nào sau đây đúng? a,b∈R         3 A M ∈ 0; B M ∈ 1; C M∈ ;1 D M∈ ;2 2 2 Lời giải ( √ ) √ √ √ √      π 5π a a 3 max f (x) > max f ;f = max + ; − + Do đó M(a; b) > ⇒M> > 2 2 2 Mặt khác xét g(x) = cos x − cos 3x  x = kπ Ta có: g0 (x) = ⇔ − sin x + sin 3x = ⇔ sin3 x − sin x = ⇔  π x = ± + kπ √ √  √3 3  π g(kπ) = , g ± + kπ = Vậy max g(x) = hay M 6 √ 2 Như ta có M =  Chọn đáp án C 6 Câu 92 Tìm tất các giá trị m để  phương  trình sin x + cos x = m có nghiệm √ √ A m ∈ [0; 2] B m ∈ ;1 C m ∈ [0; 1] D m ∈ [1; 2] Lời giải  − cos 4x Ta có sin 8m − Phương trình đã cho tương đương với cos 4x = 8m − Phương trình đã cho có nghiệm −1 6 ⇔ m Chọn đáp án B x + cos6 x 3 = − sin2 2x = − 4 LATEX Tư Duy Mở  37  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 93 Tìm m để bất phương trình sin x + cos x m + sin 2x có tập nghiệm là R √ √ 5 C m> A m> B m > − D m > − − 4 Lời giải  √ √ √ π Đặt t = sin x + cos x = sin x + Điều kiện − t Khi đó: t = (sin x + cos x)2 = + sin x cos x = + sin 2x ⇒ sin 2x = t − Bất phương trình đã cho trở thành: t m + t − ⇔ m > −t + t + (1) √ √ Yêu cầu  bài toán  là (1) nghiệm đúng với t ∈ [− 2; 2] Do đồ thị hàm số f (t) = −t + t + là Parabol có đỉnh là I ; , bề lõm hướng xuống nên ta có bảng biến thiên sau t √ − −t + t + √ − 2−1 % √ √ & − 2+1 Vậy yêu cầu bài toán là m > Chọn đáp án A  √ Câu 94 Có tất bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x + m + sin x = p sin3 x + sin x + m − + có nghiệm thực? A 22 B 18 C 21 D 20 Lời giải p √ Đặt a = sin x + m và b = sin3 x + sin x + m − Khi đó: a3 + sin3 x = b3 + và a + sin x = b + ⇔ (a + sin x)3 = (b + 2)3 ⇔a3 + sin3 x + 3a sin x(a + sin x) = b3 + + · b · 2(b + 2) " a + sin x = ⇔(a + sin x)(a sin x − 2b) = ⇔ a sin x − 2b = TH a + sin x = ⇔ m = − sin3 x − sin x Do sin x ∈ [−1; 1] nên − sin3 x − sin x ∈ [−5; 5] hay phương trình có nghiệm m ∈ [−5; 5] TH a sin x − 2b =
0 ⇔ sin3 x(4 sin x + m) = 8(sin3 x + sin x + m − 8)

⇔ − sin3 x m = sin4 x − sin3 x − 32 sin x + 64 ⇔ − sin3 x m = 4(sin x − 2) sin3 −8 ⇔ m = − sin x Do sin x ∈ [−1; 1] nên (8 − sin x) ∈ [4; 12] hay phương trình có nghiệm m ∈ [4; 12] Từ hai trường hợp ta thu m ∈ [−5; 12] hay có 18 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Chọn đáp án B  Câu 95 Giải phương trình (tan x − sin x) + 3(cot x − cos x) + = LATEX Tư Duy Mở 38 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ ! 1− π √ + k2π  x = − + arcsin   √ !  3π 1−  √ + k2π − arcsin  x=      x = arctan − + kπ  √ ! π 1− √ + k2π  x = − + arcsin   √ !  3π 1−  √ − arcsin + k2π  x=      x = arctan − + k2π  √ ! 1− π √ + k2π  x = − + arcsin  !  √  3π 1−  √ + k2π  x = − − arcsin      x = arctan − + kπ  √ ! 1− π √ + k2π  x = − + arcsin  2!  √  3π 1−  √ + k2π − arcsin  x=     2  x = arctan − + kπ  A B C D (k ∈ Z) (k ∈ Z) (k ∈ Z) (k ∈ Z) Lời giải Điều kiện sin 2x 6= Phương trình đã cho tương đương với sin x(sin x − sin x cos x) + cos x(cos x − sin x cos x) + sin x cos x = ⇔ (2 sin x + cos x)(sin x + cos x − sin x cos x) = " sin x + cos x = (1) ⇔ sin x + cos x − sin x cos x = (2) Giải (1): Do cos x = không thỏa mãn (1) nên (1) tương đương với   3 tan x = − ⇔ x = arctan − + kπ (k ∈ Z) 2  √ √ √ π Giải (2): Đặt t = sin x + cos x = sin x + , t ∈ [− 2; 2] Khi đó, (2) trở thành " √ t = + (loại) t2 − t− = ⇔ t − 2t − = ⇔ √ t = − √ ! π 1− √ √ + k2π  x = − + arcsin   √ π  1− √ ! Ta có t = − ⇔ sin x + = √ ⇔ (k ∈ Z)  3π 1−  √ x= − arcsin + k2π  Chọn đáp án A LATEX Tư Duy Mở  39 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 96 Tìm số nghiệm phương trình cos(3π sin x) = cos(π sin x) trên đoạn [−π; 4π] A 22 B 20 C 21 D 19 Lời giải  cos(3π sin x) = cos(π sin x) ⇔ 3π sin x = ±π sin x + k2π ⇔  sin x = k k sin x = sin x sin x =  sin x = ±1 Dựa vào đường tròn lượng giác, phương Vì −1 sin x và k ∈ Z nên   sin x = ± trình có 21 nghiệm trên đoạn [−π; 4π]  kπ x=   5π π  Hoặc x = + k2π; x = + k2π ⇒ k có 21 giá trị  6  π 7π x = − + k2π; x = + k2π 6 Chọn đáp án C  O cos x − 12  Câu 97 Cho phương trình m(sin x + cos x) + sin 2x = Tìm m để phương trình có đúng nghiệm thuộc [0; π] √ √ √ √ − 2 m C − m A B 06m6 D m 2 Lời giải √ t2 − 2, suy sin x cos x = Khi đó, phương trình đã cho trở thành: mt + t − = ⇔ t + mt − = (1) Với x ∈ [0; π] thì: Đặt sin x + cos x = t, |t| π π 5π x+ 4√ 4  π ⇔− sin x + 61   √ √ π ⇔ −1 sin x + √ ⇔ −1 t 06x6π ⇔ √ Vậy để phương trình đã cho có đúng nghiệm thuộc [0; π] thì (1) có đúng nghiệm thỏa −1 t Nghĩa là ta cần có:    m2 + >    t1 + t2 + t1t2 + >     ( (t1 + 1) (t2 + 1) >    ∆>0 t1 + t2 + > 0 √ √ ⇔ t1 + t2 + 2> ⇔     √ √ −1 t1 < t2 t t − (t1 + t2 ) + >     √ t1 − t2 − >      t1 + t2 − 2  t + t − 2√2    m60   −m − + >     √   −m + > m − √ ⇔ ⇔ ⇔ m −1   m> √ −1 + 2m + >     2√   −m − 2√2   m > −2 LATEX Tư Duy Mở 40 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ − Vậy m là giá trị cần tìm m Chọn đáp án A  Câu 98 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm tham số m để phương trình nghiệm thực? A B C p √ m + 3 m + cos x = cos x có D Lời giải p √ √ • Ta có: m + 3 m + cos x = cos x ⇔ m + 3 m + cos x = cos3 x √ • Đặt m + cos x = u ⇒ m + cos x = u3 thì phương trình trên trở thành m + 3u = cos3 x • Đặt cos x = v thì ta (

m + 3v = u3 ⇒ 3(v − u) + (v − u) v2 + uv + u2 = ⇔ (v − u) + v2 + uv + u2 = m + 3u = v Do +√ v2 + uv + u2 > 0, ∀u, v nên phương trình trên tương đương u = v Suy m + cos x = cos x ⇔ m = cos3 x − cos x • Đặt cos x = t, (−1 t 1) và xét hàm f (t) = t − 3t trên [−1; 1] Ta có f (t) = 3t − 0, ∀t ∈ [−1; 1] Nên hàm số nghịch biến trên [−1; 1] ⇒ −1 = f (1) f (t) f (−1) = ⇒ −2 m • Vậy m ∈ {−2; −1} Chọn đáp án B  Câu 99 Cho m < p là hai số nguyên dương đó m chẵn, p lẻ Gọi n là số nghiệm phương trình sin mx + sin px = trên khoảng (0; π) Tính giá trị n theo m và p A p − m B 2p − m − C p − D m − Lời giải sin mx + sin px = ⇔ sin px = sin(−mx) ⇔ x = k2π π k2π x = + m+ p p−m p−m • 0< k2π m+ p m+ p−1 <π ⇔0<k< ⇔ k = 1, 2, , m+ p 2 • 0< π k2π p−m−1 p−m−3 + <π ⇔− <k< ⇔ k = 0, 1, , p−m p−m 2 • Giả sử tồn hai số nguyên r, s cho r2π π s2π = + ⇒ 2r(p − m) = (1 + 2s)(p + m), p lẻ, m m+ p p−m p−m chẵn nên không thể xảy đẳng thức Vậy phương trình có m+ p−1 p−m−3 + + = p − nghiệm 2 Chọn đáp án C  √ Câu 100 Cho phương trình sin 2x + 2m(sin x − cos x) + − 4m = Tìm m để tập nghiệm phương trình biểu diễn nhiều điểm trên đường tròn lượng giác? 1 1 A m < B m < − ∨m > C − 6m< D m < ∨ m > 2 2 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 41 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com  √ √ π Đặt t = sin x − cos x = sin x − , |t| Khi đó, phương trình đã cho trở thành: √ t − 2mt + 4m − = ∆0 = 2m2 − 4m + = 2(m − 1)2 √ √ Suy phương trình có nghiệm là: t = t = 2(2m − 1) √ 3π 2⇔x= + k2π (k ∈ Z) Những nghiệm này biểu diễn điểm trên đường tròn lượng giác √ √ • t = 2(2m − 1) nhận |t| ⇔ |2m − 1| ⇔ m Do đó, để tập nghiệm phương trình có nhiều điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì m phải thỏa điều kiện: ( 06m61 √ √ ⇔ m < 2(2m − 1) 6= • t= Vậy m < thì tập nghiệm phương trình biểu diễn nhiều điểm trên đường tròn lượng giác Chọn đáp án A Câu 101 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = sin4 x + cos4 x A B C  D Lời giải Ta có y = sin4 x + cos4 x = sin4 x + (1 − sin2 x)2 = sin4 x − sin2 x + Đặt u = sin2 x, ta có u Do đó y = f (u) = u2 − 2u  + 1. 1 y = f (u) = f = π 2 u∈(0;1) x∈[0; ] π Dấu xảy u = hay x = Chọn đáp án B  2 Câu 102  tập giá trị m để phương trình sin x − m sin 2x + (m + 1) cos x = không có nghiệm  πTìm thuộc 0; A (−∞; 1] B [0; 1] C (−∞; 0) D (1; +∞) Lời giải Phương trình ⇔ sin2 x − 2m sin x cos x + m cos2 x = Nhận thấy cos x = không là nghiệm phương trình Với cos x 6= 0, chia cảhai vếcho cos2 x ta tan2 x − 2m tan x + m = π Đặt t = tan x, với x ∈ 0; thì t > Phương trình trở thành t − 2mt + m =  π Để phương trình có hai nghiệm thuộc 0; thì phương trình theo ẩn t phải có hai nghiệm thuộc (0; +∞)   ∆ >     b m − m > ⇔ − a > ⇔ 2m > ⇔ m >      m>0 c > a  π thì m Vậy để phương trình đã cho không có nghiệm thuộc 0; Chọn đáp án A LATEX Tư Duy Mở 42  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 103 Định tất các giá trị thực tham số m để phương trình cos4 x + (1 − cos x)4 = m vô nghiệm 1 C m< A m B m < m > D m < m > 17 8 Lời giải   Đặt t = − cos x, ta có t ∈ 0; Phương trình đã cho trở thành 2t + 3t + − m = (∗) Yêu cầu bài toán tương đương với các trường hợp sau đây • TH1: Phương trình (∗) vô nghiệm, tương ứng với m < −1; • TH2: Phương trình (∗) có các nghiệm âm, tương ứng với −1 m < ; • TH3: Phương trình (∗) có nghiệm lớn , từ đó tìm m > 17 Như vậy, m < m > 17 là các giá trị cần tìm tham số m Chọn đáp án D Câu 104 Giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số hàm số y = 1 A M= ;m=− √ √ −2 + 19 −2 − 19 C M= ;m= 3 B M = ; m = −2 2 D M = 1; m = −  cos x − sin x là: − sin x Lời giải cos x − sin x ⇔ y(2 − sin x) = cos x − sin x ⇔ (y − 2) sin x + cos x = 2y − sin x Phương trình (∗) có nghiệm và Ta có y = (∗) (y − 2)2 + > (2y)2 ⇔ y2 − 4y + + > 4y2 ⇔ 3y2 + 4y − √ √ −2 − 19 −2 + 19 ⇔ 6y6 3 √ √ −2 + 19 −2 − 19 ;m= Từ đó ta có M = 3 Chọn đáp án C  sin x Câu 105 Tìm tập xác định D hàm số y = cos x − sin2 x   nπ o π kπ A D = R\ + ,k ∈ Z B D = R\ + kπ, k ∈ Z 4  nπ o kπ C D = R\ + kπ, k ∈ Z D D = R\ ,k ∈ Z 2 Lời giải Điều kiện cos2 x − sin2 x 6= ⇔ cos 2x 6= ⇔ x 6= π kπ + Chọn đáp án A  Câu 106 Tổng giá trị lớn với giá trị nhỏ biểu thức A = sin2 x + sin x cos x + cos √ x là √ 3 A B C D + 2 LATEX Tư Duy Mở 43 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Lời giải + cos 2x 1 = + (sin 2x + cos 2x) A = + sin x cos x + cos2 x = + sin 2x + 2 2√ √ √ √ 3 2 Vì − sin 2x + cos 2x nên − 6A6 + 2 2 Vậy A + max A = Chọn đáp án C  Câu 107 Xét phương trình 5(1 + cos x) = + sin4 x − cos4 x Gọi M, m là nghiệm lớn và nhỏ phương trình khoảng (0; 100π) Tính tổng M + m A 98π B 101π C 100π D 99π Lời giải  Phương trình tương đương với cos2 x + cos x + =0⇔ cos x = −2 cos x = − 2π Phương trình cos x = − ⇔ x = ± + k2π 2π 2π 296π Trong khoảng (0; 100π) giá trị nhỏ và lớn họ nghiệm x = + k2π là và 3 2π 4π 298π Trong khoảng (0; 100π) giá trị nhỏ và lớn họ nghiệm x = − + k2π là và 3 Vậy M + m = 100π Chọn đáp án C  + cos 2x sin 2x Câu 108 Phương trình = tương đương với cos x − cos 2x  kπ x =   A x = π + k2π (k ∈ Z) B − cos2 2x = sin 2x cos x   π x = − k2π  π x = + k2π  C sin 2x(sin 2x + cos x) = D  (k ∈ Z) 5π x= − k2π Lời giải Điều kiện: sin x cos x 6= Phương trình đã cho tương đương  π x = + k2π cos2 x sin x cos x  = ⇔ sin x = ⇔  5π cos x sin x x= + k2π Chọn đáp án D  Câu 109 Xét phương trình cos2 x + (a + b) cos x + 2a − b = với a, b là tham số Có bao nhiêu số thực (a, b) để các nghiệm phương trình đã cho có điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là ba đỉnh tam giác đều? B C Vô số D A Lời giải Đặt t = cos x, ta phương trình t + (a + b)t + 2a − b = (1) Các điểm biểu diễn các họ nghiệm phương trình cos x = t đối xứng qua trục Ox 1 Từ giả thiết, phương trình (1) phải có nghiệm t = và nghiệm t = − t = −1 và nghiệm t = 2 LATEX Tư Duy Mở 44 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com   1   a + b = a + b = − và Từ đó có hai hệ phương trình   2a − b = − 2a − b = − 2 Giải các hệ này, số (a, b) Chọn đáp án A  Câu 110 Xét phương trình sin2 x + (m2 − 1) sin x + 2m + = với m là tham số Có bao nhiêu giá trị thực tham số m để điểm biểu diễn các nghiệm phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là bốn đỉnh hình chữ nhật? A B C D Lời giải Đặt t = sin x, phương trình 2t + (m2 − 1)t + 2m + = (1) Các điểm biểu diễn các họ nghiệm phương trình sin x = t đối xứng qua trục Oy Từ giả thiết, phải có hai điểm biểu diễn nghiệm phương trình đối xứng qua gốc tọa độ, từ đó phương trình (1) phải có hai nghiệm đối nhau, từ đó có m2 − = ⇔ m = ±1 Với m = thì (1) trở thành 2t + = Phương trình này vô nghiệm Với m = −1 thì (1) trở thành 2t − = ⇔ t = ± √ Dễ thấy các nghiệm phương trình thỏa mãn yêu cầu đề bài Chọn đáp án B  − cos3 x Câu 111 Giải phương trình tan2 x = − sin3 x  √ ! −1 + π √ + k2π  x = − + arcsin  !  √  −1 + 3π  √ − arcsin + k2π (k ∈ Z) A  x=    x = kπ  π x = + kπ  √ ! −1 + π √ + k2π  x = − + arcsin  !  √  3π −1 +  √ − arcsin + k2π (k ∈ Z) B  x=    x = k2π  π x = + k2π  √ ! π −1 + √ + kπ  x = − + arcsin   √ !  3π −1 +  √ − arcsin + kπ (k ∈ Z) C  x=    x = k2π  π x = + kπ  √ ! −1 + π √ + k2π  x = − + arcsin   √ !  3π −1 +  √ − arcsin + k2π (k ∈ Z) D  x=    x = k2π  π x = + kπ LATEX Tư Duy Mở 45 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Lời giải Điều kiện cos x 6= Phương trình đã cho tương đương với − cos2 x − cos3 x = − sin2 x − sin3 x ⇔ (1 − cos2 x)(1 − sin3 x) = (1 − cos3 x)(1 − sin2 x) ⇔ (1 − cos x)(1 + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x + sin2 x) = (1 − sin x)(1 + sin x)(1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x) ⇔ (1 − cos x)(1 + cos x)(1 + sin x + sin2 x) = (1 + sin x)(1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x) " − cos x = (1) ⇔ 2 (1 + cos x)(1 + sin x + sin x) = (1 + sin x)(1 + cos x + cos x) (2) Giải (1): − cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = k2π (k ∈ Z) Giải (2): (1 + cos x)(1 + sin x + sin2 x) = (1 + sin x)(1 + cos x + cos2 x) ⇔ + sin x + sin2 x + cos x + cos x sin x + cos x sin2 x = + cos x + cos2 x + sin x + sin x cos x + sin x cos2 x ⇔ sin2 x − cos2 x + sin2 x cos x − sin x cos2 x = ⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = " sin x = cos x (3) ⇔ sin x + cos x + sin x cos x = (4) π Giải (3): sin x = cos x ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)  4π √ √ √ , t ∈ [− 2; 2] Khi đó, (4) trở thành Giải (4): Đặt t = sin x + cos x = sin x + √  t2 − t = −1 − √2 (loại) = ⇔ t + 2t − = ⇔ t+ t = −1 + 2 √ ! −1 + π √ √ + k2π  x = − + arcsin   √ π  −1 + √ ! Ta có t = −1 + ⇔ sin x + = √ ⇔  3π −1 +  √ x= − arcsin + k2π với k ∈ Z Chọn đáp án D   Câu 112 Phương trình cos(sin x) = có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (−2π; 4π)? D A B C Lời giải Ta có cos(sin x) = ⇔ sin x = k2π (*) Điều kiện để (*) có nghiệm là −1 k2π ⇒ k = Do đó (*) ⇔ sin x = ⇔ x = lπ Vì x ∈ (−2π; 4π) nên l ∈ {−1; 0; 1; 2; 3} Chọn đáp án C  Câu 113 Gọi S là tập hợp tất các√nghiệm √
thuộc khoảng (0; 2023) phương trình lượng giác (1 − cos 2x) + sin 2x − cos x + = + sin x Tổng tất các phần tử S là 312341 310408 A π B 104760π C 102827π D π 3 LATEX Tư Duy Mở 46 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Lời giải √ √
Ta có (1 − cos 2x) + sin 2x − cos x + = + sin x √ √
⇔ sin2 x + sin x cos x − cos x + = + sin x √ ⇔ 2√3 sin x (sin x − 2) + cos x (sin x − 2) = (sin x − 2) ⇔ sin x + cos x = (vì sin x < ) √ π π ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin x cos + cos x sin = 6  π π π π = ⇔ x + = + k2π ⇔ x = + k2π (k ∈ Z) ⇔ sin x + 6   2023 π Theo đề bài x ∈ (0; 2023) ⇒ + k2π ∈ (0; 2023) ⇒ 2k + ∈ 0; ⇒ k ∈ {0; 1; ; 321} 3 π Tổng tất các phần tử S là π 310408 π π 322 · + (0 + + + · · · + 321)2π = 322 · + 51681 · 2π = 3 Chọn đáp án D  4 Câu 114 Tìm h πtậpπhợp i tất các giá trị thực tham số m để phương trình sin x +(sin x − 1) = m có nghiệm thuộc khoảng ; 1 m < m A B m> D m C 8 Lời giải     hπ π i 1 ; ⇒ sin x ∈ ; ⇒ t ∈ 0; Đặt t = sin x − , x ∈ 2 Phương trình đã cho trở thành 2t + 3t + = m     1 Đặt u = t , u ∈ 0; , lập bảng biến thiên g(u) = 2u2 + 3u + , u ∈ 0; Phương trình m = g(u) có nghiệm tương đương m Chọn đáp án A  Câu 115 Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình sin 2x − 4(sin x − cos x) − m = có nghiệm √ A m − √ C m < − √ √ B −4 − m − √ D m > −4 − Lời giải Phương trình đã cho tương đương sin 2x − 4(sin x − cos x) = m  với √ √ π Đặt t = sin x − cos x = sin x − , |t| h √ √ i Phương trình đã cho trở thành −t − 4t + = m, t ∈ − 2; √ √ Lập bảng biến thiên f (t) = −t − 4t + ⇒ m = f (t) có nghiệm và −1 − m −1 + Chọn đáp án B  Câu 116 Tìm tập hợp tất các giá trị m để phương trình sin3 x − cos3 x = m có nghiệm √ √ 1 m D − 6m6 A −1 m B −1 < m < C 2 Lời giải Ta có sin3 x − cos3 x = mh⇔ (sin x −icos x) (1 + sin x cos x) = m √ √ Đặt t = sin x − cos x,t ∈ − 2; , phương trình trên trở thành −t + 3t = 2m LATEX Tư Duy Mở 47 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ √ Cách 1: Xét hàm số f (t) = −t + 3t trên [− 2; 2] h √ √ i h √ √ i • Ta có f (t)+2 = −t +3t +2 = (t +1)2 (2−t) > 0, ∀t ∈ − 2; Đẳng thức xảy t = −1 ∈ − 2; Suy √ min√ f (t) = −2 [− 2; 2] h √ √ i h √ √ i • Ta có f (t)−2 = −t +3t −2 = −(t −1)2 (2+t) 0, ∀t ∈ − 2; Đẳng thức xảy t = ∈ − 2; Suy max √ √ f (t) = [− 2; 2] Vậy phương trình có nghiệm và −2 √ 6√2m ⇔ −1 m Cách 2: Xét hàm số f (t) = −t + 3t trên [− 2; 2] ta có bảng biến thiên sau: √ − t −1 f (t) − √ + √ − − f (t) √ −2 Từ đó suy phương trình có nghiệm và −1 m Chọn đáp án A  Câu 117 Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = sin4 x + cos 4x là 5 A và −5 B và −5 C và − D và − 11 11 Lời giải   − cos 2x 11 y=3 + 2cos2 2x − = cos2 2x − cos 2x − 4 Đặt t = cos 2x, −1 t Ta có hàm số y = 11 t − t− 4 Bảng biến thiên t y Vậy max y = và y = − 11 −1 1 − 11 11 Chọn đáp án C  Câu 118 Giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số hàm số y = A M = ; m = −3 C M = 3; m = − + cos x là: sin x + cos x − B M = − ; m = −3 √ √ −5 + 19 −5 − 19 D M= ;m= 2 Lời giải + cos x ⇔ y(sin x + cos x − 2) = + cos x sin x + cos x − ⇔ y · sin x + y · cos x − 2y = + cos x ⇔ y · sin x + (y − 1) · cos x = + 2y Ta có y = LATEX Tư Duy Mở 48 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com 2 Phương trình trên có nghiệm √− 1) > (2 + 2y) √ và y + (y −5 + 19 −5 − 19 6y6 ⇔ 2y2 + 10y + ⇔ 2 √ √ −5 + 19 −5 − 19 Vậy max y = , y = 2 Chọn đáp án D Câu 119 Tìm tập xác định D hàm số y = r A D = R \ {k2π, k ∈ Z} C D = R  − cos x + cos x nπ o B D = R\ + kπ, k ∈ Z D D = R \ {π + k2π, k ∈ Z} Lời giải − cos x > + cos x Vì −1 cos x nên − cos x > và + cos x > với x ∈ R Do đó điều kiện xác định là + cos x 6= ⇔ x 6= π + k2π Chọn đáp án D Điều kiện  Câu 120 Phương trình sin2 x − sin 2x + cos2 x = tương đương với phương trình nào? A −2 tan x + = B cos x(2 sin x − 1) = C sin x(2 sin x − 1) = D tan x(−2 tan x + 1) = Lời giải sin2 x − sin 2x + cos2 x = ⇔ −(1 − sin2 x) − sin x cos x + cos2 x = ⇔ cos x(−2 sin x + 1) = Chọn đáp án B  Câu 121 Cho phương trình chứa tham số thực m (m − sin x) (m sin x − 2) = (m cos x − 2) (m − cos x) Khi m 6= 0, phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm nằm đoạn [20π; 25π]? A B C D Lời giải Phương trình tương đương với  π x = + kπ    (cos x − sin x) 2m(cos x + sin x) − (m2 + 4) = ⇔    π  m2 + √ (∗) sin x + = 2m  √ 2 m2 + √ Phương trình (∗) có nghiệm tương đương với ⇔ |m| − + (vô lí) 2|m| π Với m 6= có 20π + kπ 25π ⇒ k ∈ {20, 21, 22, 23, 24} Vậy phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án B  Câu 122 Tìm số nghiệm phương trình  π 0; LATEX Tư Duy Mở (1 + cos 2x + sin 2x) cos x + cos 2x = cos x khoảng + tan x 49 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác A Website tuduymo.com C B D Lời giải  π phương trình đã cho tương đương Trong khoảng 0; (sin x + cos x)[(sin x + cos x + cos x − sin x) cos x + cos x − sin x − 1] = ⇔ (sin x + cos x)(cos x − sin x)(cos x + sin x + 1) =  √ π sin x + =0  4  sin x + cos x =  √ π   ⇔  cos x − sin x = ⇔  cos x + =    π sin x + cos x + = sin x + = −√  π x = − + kπ   π x = + kπ  ⇔  π x = − + k2π   π x = + k2π  π π Vì x ∈ 0; nên x = Chọn đáp án A  Câu 123 Gọi x1 , x2 , , xn là tất các nghiệm phương trình cos 1009x − cos 1008x = với < x < π Tính tổng S = cos x1 + cos x2 + · · · + cos xn A B − C − D −1 Lời giải k2π cos 1009x − cos 1008x = ⇔ x = x = k2π (loại) 2017 k2π 2π 4π 6π 2π 8π 4π Ta có < < π ⇔ k = 1, 2, , 1008 sin × S = sin + sin − sin + sin − sin + 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 10π 6π 2018π 2014π 2π sin − sin + · · · + sin − sin = − sin ⇒S=− 2017 2017 2017 2017 2017  Chọn đáp án B Câu 124 Tính tổng S tất các nghiệm phương trình cos2 x − sin2 x = trên đoạn [−π; 2π] A S = 6π B S = 4π C S = −π D S = 2π Lời giải Ta có cos2 x − sin2 x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = kπ Vì x ∈ [−π; 2π] nên ta có các nghiệm là x = −π; x = 0; x = π; x = 2π Vậy S = 2π Chọn đáp án D  Câu 125 Tìm√m để phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m = có nghiệm √ −1 − 2 3−2 A m B m> √ 3−2 C m < D < m < LATEX Tư Duy Mở 50 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Lời giải  √ √ √ π Đặt t = sin x + cos x = sin x + , t ∈ [− 2; 2] Khi đó, phương trình đã cho trở thành t2 − − t + m = ⇔ t − 2t + 2m − = ⇔ t − 2t − = −2m √ √ √ √ √ √ Đặt f (t) = t − 2t − với t ∈ [− 2; 2] Ta có f (− 2) = 2 + 1, f ( 2) = − 2 và f (1) = −2 t √ − √ − a>0 (*) + √ f (− 2) √ f ( 2) f (t) f (1) √ √ Số nghiệm (∗) là số giao điểm đồ thị hàm số y = f (t) với t ∈ [− 2; 2] và đường thẳng y =√ −2m Dựa vào √ √ √ −1 − 2 m bảng biến thiên, ta thấy (*) có nghiệm t ∈ [− 2; 2] và −2 −2m 2 + ⇔ Chọn đáp án A  √ Câu 126 Tìm số nghiệm phương trình x − x2 · sin 2017x = A 643 nghiệm B 644 nghiệm C 645 nghiệm D 642 nghiệm Lời giải Tập xác định phương trình là x − x2 > ⇔ x ∈ [0; 1] Khi đó  "p x ∈ [0; 1] p 2=0 x − x ⇔ x − x2 · sin 2017x = ⇔ kπ sin 2017x = x= 2017 2017 Kết hợp với tập xác định, ta có k ⇔ k ∈ {0; 1; 2; ; 642} Vậy phương trình có 644 nghiệm π Chọn đáp án B  √  π phương trình sin x = Câu 127 Tổng tất các nghiệm thuộc 0; + là cos x sin x 7π π 3π π D A B C 12 12 Lời giải π Điều kiện x 6= k với k ∈ Z Phương trình đã cho tương đương với √ √ sin2 x cos x = sin x + cos x ⇔ 4(1 − cos 2x) cos x = sin x + cos x √ √ ⇔ − cos 2x cos x = sin x − cos x ⇔ −2(cos 3x + cos x) = sin x − cos x  π √ x = + kπ   π  sin x ⇔ cos 3x = cos x + ⇔ cos 3x = cos x − ⇔ π π 2 x = − +k 12  π π 5π là x = , x = Tổng tất các nghiệm phương trình thuộc Khi đó các nghiệm phương trình thuộc 0; 12  π 7π 0; 12 Chọn đáp án A  LATEX Tư Duy Mở 51 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com  π Câu 128 Gọi m là số nghiệm phương trình cos 2x − = −1 thuộc đoạn [0; 50] Khẳng định nào sau đây là đúng? A m > 17 B < m C 13 < m 17 D < m 13 Lời giải Ta có  π π 5π cos 2x − = −1 ⇔ 2x − = π + k2π ⇔ x = + kπ 4 Vì x ∈ [0; 50] nên k 15 Suy m = 16 Chọn đáp án C  Câu 129 Kí hiệu M, m là giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = [0; π] Tính tổng T = M + m A T = B T= √ 3 sin x trên đoạn cos x + 2 D T= C T = Lời giải sin x ⇔ sin x − y cos x = 2y (1) + cos x √ Điều kiện có nghiệm phương trình (1) cho ta |y| 3 sin x Mặt khác với x ∈ [0; π] thì y = > cos x+2 √ Do đó M = 3, m = Chọn đáp án B Ta có y =  Câu 130  Tìm m để phương trìnhsin x + cos x = m + sin 2x vô  nghiệm 5 m> m> m>   A  B C 4 √ √ √ m < −1 − m −1 − m −1 −  m> D  √ m < −1 − Lời giải  √ √ √ π , t ∈ [− 2; 2] Khi đó, phương trình đã cho trở thành Đặt t = sin x + cos x = sin x + t = t + m − ⇔ t − t = − m (*)   √ √ √ √ √ √ 1 Đặt f (t) = t − t với t ∈ [− 2; 2] Ta có f (− 2) = + 2, f ( 2) = − và f =− t √ − − a>0 √ 2 √ f (− 2) + √ f ( 2) f (t)   f √ √ Số nghiệm (∗) là số giao điểm đồ thị hàm số y = f (t) với t ∈ [− 2; 2] và đường thẳng y = − m Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy (∗) vô nghiệm và  " 1−m < − m>  4√ ⇔ √ 1−m > 2+ m < −1 − LATEX Tư Duy Mở 52 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Chọn đáp án A  Câu 131 tất các giá trị thực tham số m để phương trình sin x + m cos x = − m có nghiệm thuộc h π Tìm πi đoạn − ; 2 C −3 m A −2 m 6 B m D −1 m Lời giải Cách x x Ta có cos không là nghiệm phương trình Đặt t = tan Từ phương trình và giả thiết, yêu cầu bài toán trở thành 2 tìm m để phương trình f (t) = t − 4t + = 2m có nghiệm t ∈ [−1; 1] Bảng biến thiên −1 t f (−1) y f (1) Trên đoạn [−1; 1] hàm f (t) nghịch biến, vì phương trình f (t) = 2m có nghiệm và ⇔ f (1) 2m f (−1) ⇔ −1 m x = không là nghiệm phương trình (1) x 2t − t2 Đặt t = tan Khi đó sin x = ; cos x = Phương trình (1) trở thành 2 1+t + t2 Cách Do m + − m 6= nên cos f (t) = t − 4t + − 2m = h π πi x h π πi ⇔ ∈ − ; , thì phương trình (2) có nghiệm t ∈ [−1; 1] Để (1) có nghiệm x ∈ − ; 2 4 Trường hợp Phương trình (2) có nghiệm t ∈ (−1; 1) và nghiệm t ∈ / [−1; 1] (2) ⇔ f (−1) f (1) < ⇔ (6 − 2m)(−2 − 2m) < ⇔ −1 < m < Trường hợp Phương trình có hai nghiệm thỏa  ∆ >0      1 f (−1) >  2m + >    6 − 2m > −1 < t1 t2 < ⇔ f (1) > ⇔   − − 2m >       S  −1 < < −1 < < hệ vô nghiệm Trường hợp Xét f (−1) = ⇔ m = 3, thỏa mãn Trường hợp Xét f (1) = ⇔ m = −1, thỏa mãn Vậy −1 m Chọn đáp án D   π   cot x + tan x −π Câu 132 Phương trình = có bao nhiêu nghiệm đoạn , 6π ? − tan2 x 2 A 19 B 12 C 18 D 11 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 53 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com  π   cot x + tan x ⇔ tan 2x = cot x + π = − tan2 x   π π kπ   x 6= + 2x 6= + kπ , k ∈ Z ⇔ Điều kiện: π −π   x 6= x + 6= kπ + kπ 4    π π π π kπ π Khi đó: (1) ⇔ cot − 2x = cot x + + , k ∈ Z ⇔ − 2x = x + + kπ ⇔ x = 4 12   −π Trong đoạn , 6π có 19 nghiệm, điều kiện nên còn 12 nghiệm Chọn đáp án B (1)  Câu 133 Phương trình tan 2x + tan x = có bao nhiêu nghiệm đoạn [−4π; 5π]? A 27 B 18 D 19 C 28 Lời giải   π π kπ   2x 6= + kπ x 6= + , k ∈ Z Điều kiện: ⇔ π π    x 6= + kπ  x 6= + kπ 2 Khi đó: tan 2x + tan x = ⇔ tan 2x = − tan x ⇔ tan 2x = tan(−x) ⇔ 2x = −x + kπ kπ , k ∈ Z (thỏa điều kiện) ⇔ 3x = kπ ⇔ x = kπ Mà x ∈ [−4π, 5π] nên −4π 6 5π ⇔ −12 k 15 Vậy, số nghiệm là 28 Chọn đáp án C  Câu 134 Cho phương trình sin 2x + cos x + cos 2x − sin x − = Tính tổng S tất các nghiệm thuộc (−π; π) phương trình đã cho 2π 6π A S= B S = −π C S= D S = 2π Lời giải sin 2x + cos x + cos 2x − sin x − = ⇔ (cos x − sin x)(sin x + 1) =  π ⇔ cos x + (sin x + 1) =  π x = + kπ  ⇔  π x = − + k2π π 3π π Suy các nghiệm thuộc (−π; π) là ; − ; − Vậy S = −π 4 Chọn đáp án B  Câu 135 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình | sin x + cos 2x| = m có nghiệm? A B C D Lời giải Đặt t = sin x, ta có phương trình m = |2t − t − 1| Xét hàm số f (t) = |2t − t − 1| với t ∈ [−1; 1], miền giá trị f (t) là [0; 2] Do đó, có giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm Chọn đáp án C LATEX Tư Duy Mở 54  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 136 Phương trình sin 5x − sin x = có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]? A 16144 B 20179 C 16145 D 20181 Lời giải Ta có sin 5x − sin x = ⇔ sin " 5x = sin x 5x = x + k2π ⇔ 5x = π − x + k2π  π x=k  ⇔ π π x = +k  π x=k (k ∈ Z)   5π  ⇔ x = + mπ (m ∈ Z)   π (n ∈ Z) x = + nπ   π    2018π − 2018π k   − 4036 k 4036       12113 12103 5π Vì x ∈ [−2018π; 2018π] nên − 2018π + mπ 2018π ⇔ − 6 m 6 Do đó có 8073 giá trị         π   − 12109 n 12107  − 2018π + nπ 2018π 6 k, 4036 giá trị m, 4036 giá trị n, suy số nghiêm cần tìm là 16145 nghiệm Chọn đáp án C  Câuh 137 Tìm i tất các giá trị m để phương trình cos x + (m − 4) cos x − 2m + = có đúng hai nghiệm π x ∈ − ; 2π   m=1 m=1 3 A 3 B 16m< C 16m6 D 3 2 6m63 <m<3 2 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với (cos x − 2)(cos x + m − 2) = ⇔ " cos x = − m cos x = > (loại) h π i Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy phương trình có hai nghiệm x ∈ − ; 2π   2−m = m=1   ⇔ −1 < 2−m < < m < 2 Chọn đáp án D  √   7π Câu 138 Phương trình | cos x| = có bao nhiêu nghiệm trên đoạn −π; ? 2 A 10 B D C 11 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 55 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com sin x √ √  cos x = | cos x| = ⇔ √  cos x = −    7π Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có nghiệm trên đoạn −π; − √ O √ cos x Chọn đáp án B  h π πi Câu 139 Tìm giá trị lớn M hàm số y = sin2 x + cos x trên đoạn − ; 13 A M = B M= C M= D M = 4 Lời giải   ; Hàm số viết lại y = −t + 3t + Lập bảng biến thiên hàm số bậc hai f (t) =   −t + 3t + trên đoạn ; ta thu M =  Chọn đáp án D Đặt t = cos x, t ∈ Câu 140 Tìm tất các giá trị m để phương trình m sin x + (m + 1) cos x + = có hai nghiệm x1 , x2 ∈ [0; 2π] π và hai nghiệm này cách khoảng √ √ √ √ −1 ± −1 − −1 + −1 ± A m= B m= C m= D m 6= 2 2 Lời giải π Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm x1 = α; x2 = α + , đó   m sin α + (m + 1) cos α + = m sin α + (m + 1) cos α + =     ⇔ π π π π m sin α + m cos α + + (m + 1) cos α + +1 = − (m + 1) sin α + +1 = 2 2 ( m(sin α + cos α) = −1 − cos α ⇔ m(cos α − sin α) = sin α − ⇒ (sin α + cos α)(sin α − 1) = (cos α + 1)(sin α − cos α)  π √ α= −1 ±  ⇔ sin α = ⇒  ⇒m= 5π 2 α= √ −1 ± thỏa mãn điều kiện Điều kiện đủ: Thử lại ta thấy m = Chọn đáp án A  √ √ + cos x + − cos x = sin x khoảng Câu 141 Gọi S là tập hợp các nghiệm phương trình cos x (0; π) Tổng các phần tử S là 13π 7π 4π 8π A B C D 15 15 15 15 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 56 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com π + kπ Phương trình đã cho tương đương với  √  π k4π x x x= + x π  cos + sin  2 = sin x ⇔ sin + = sin 2x ⇔  3π k4π cos x x= + 10 π 3π 7π Vậy hai nghiệm là x = , x = nên tổng các phần tử S là 10 15 Chọn đáp án B Điều kiện: x 6=  a2 sin2 x + a2 − = có nghiệm − tan2 x cos 2x B a ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞)  √ D a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) \ ± Câu 142 Tìm tất các giá trị tham số a để phương trình A a ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) C a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) Lời giải  π  x 6= + kπ 2 (k ∈ Z) Khi đó, ta biến đổi phương trình dạng sin2 x = Từ đây dễ thấy để Điều kiện: π  + a2 x 6= ± + kπ  √ phương trình ban đầu có nghiệm thì a2 > và a2 6= 3, tương đương với điều kiện a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) \ ±  Chọn đáp án D √ Câu 143 Số nghiệm phương trình sin3 x cos 3x + cos3 x sin 3x + 3 cos 4x = thuộc khoảng (0; π) là A B C D Lời giải Phương trình đã cho tương đương với √ sin3 x(4 cos3 x − cos x) + cos3 x(3 sin x − sin3 x) + 3 cos 4x = √ ⇔ − 12 sin3 x cos x + 12 cos3 x sin x + 3 cos 4x = √ ⇔4 sin x cos x(cos2 x − sin2 x) + cos 4x = √ √ ⇔2 sin 2x cos 2x + cos 4x = ⇔ sin 4x + cos 4x =  π π x = − +k  π  24 với k ∈ Z ⇔ sin 4x + = ⇔ π π x = +k 11π 23π π 5π Vậy có tất nghiệm thuộc khoảng (0; π) là x = ,x= ,x= ,x= 24 24 8 Chọn đáp án A Câu 144 Tìm tập xác định D hàm số y = nπ o A D = R\ + k2π, k ∈ Z nπ o C D= + kπ, k ∈ Z r  − sin x − sin x B D = R \ {k2π, k ∈ Z} nπ o D D= + k2π, k ∈ Z Lời giải − sin x > Vì −1 sin x nên − sin x > và − sin x > với x ∈ R − sin x π Do đó điều kiện xác định là − sin x 6= ⇔ x 6= + k2π Chọn đáp án A Điều kiện LATEX Tư Duy Mở 57  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 145 Để phương trình sin6 x +cos6 x = m có nghiệm, tham số m phải thoả mãn điều kiện nào đây? m A m B −2 m −1 C D − 6m6− 4 Lời giải Cách 1: Dùng phương pháp loại trừ vì sin6 x + cos6 x
3 Cách 2: Ta có sin6 x + cos6 x = m ⇔ sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x = m ⇔ − sin2 2x = m Từ đó suy phương trình có nghiệm và m Chọn đáp án C  √ √ sin2 x − sin x cos x − cos2 x √

Câu 146 Tìm tập nghiệm phương trình = 2x−3 sin x + cos     π π π A + kπ, k ∈ Z B − +k , k ∈ Z 3    π π π π C + kπ; − + kπ, k ∈ Z D − + (4k + 1) , k ∈ Z 6 Lời giải  √    sin x 6= − Điều kiện: √   cos x 6= ± √ √ Phương trình đã cho tương đương với sin2 x − sin x cos x − cos2 x = Xét thấy cos x = không thỏa phương trình nên ta chia vế cho cos2 x Ta √  tan x = √ √ √ tan2 x − tan x − = ⇔  tan x = −  π x = + kπ  ⇔ π x = − + kπ π π π Kết hợp với điều kiện ta x = + k2π = − + (4k + 1) Chọn đáp án D   √  √ √ Câu 147 Phương trình + (sin x − cos x) + sin x cos x = + có bao nhiêu nghiệm đoạn [−π; π]? A B D C Lời giải √ √ − t2 Đặt t = sin x − cos x,t ∈ [− 2; 2] Khi đó, sin x cos x = , phương trình trở thành " √ √ √ √ √ √ t =1 2(1 − t ) √ (1 + 2)t + = + ⇔ 2t − 2(1 + 2)t + + = ⇔ t = + (loại)  π   √ x = + k2π π π 3π  Ta có t = ⇔ − cos x + = ⇔ x + = ± + k2π ⇔ (k ∈ Z) 4 x = −π + k2π π Vậy đoạn [−π; π] có nghiệm là −π; ; π Chọn đáp án D LATEX Tư Duy Mở 58  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 148 Tìm nghiệm phương trình | sin 9x| + | sin 4x| = nπ (n ∈ Z) C x = nπ (n ∈ Z) A x= B x = n3π (n ∈ Z) D x = n2π (n ∈ Z) Lời giải  kπ (  x = sin 9x = (k,t ∈ Z) Xét phương trình nghiệm nguyên PT ⇔ ⇔ tπ  sin 4x =  x= kπ tπ t = ⇔ k = 2+ 4 Do k,t ∈ Z ⇒ t = 4n (n ∈ Z) Vậy x = tπ 4nπ = = nπ (n ∈ Z) 4 Chọn đáp án C  − m sin x Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [0; 10] để giá cos x + trị nhỏ hàm số nhỏ −2? A B C D Câu 149 Cho hàm số y = Lời giải Tập xác định: D = R − m sin x Ta có: y = ⇔ y cos x + m sin x = − 2y cos x + Phương trình có nghiệm và √ √ − + 3m2 + + 3m2 y + m > − 4y + 4y ⇔ 3y − 4y + − m ⇔ 6y6 3 2 2 Theo đề bài, ta có:  √ − + 3m2    < −2 y=  x∈R m ∈ [0; 10]     m∈Z p   + 3m > ⇔ m ∈ [0; 10]   m∈Z     3m > 63 m > 21 ⇔ m ∈ [0; 10] ⇔ m ∈ [0; 10] ⇔ m ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10}     m∈Z m∈Z Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án B 
Câu 150 Tính tổng các nghiệm phương trình sin2016 x + cos2016 x = sin2018 x + cos2018 x khoảng (0; 2018)     1285 1285 2 A π B (642) π C π D (643)2 π Lời giải LATEX Tư Duy Mở 59 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Ta có sin2016 x + cos2016 x = sin2018 x + cos2018 x
⇔ sin2016 x − sin2018 x + cos2016x −2 cos2018 x =

⇔ sin2016 x − sin2 x + cos2016 x − cos2 x = ⇔ sin2016 x cos 2x − cos2016 x cos 2x =
⇔ cos 2x sin2016 x − cos2016 x = " cos 2x = ⇔ sin2016 x − cos2016 x = " cos 2x = ⇔ sin x = ± cos x " cos 2x = ⇔ cos2 x − sin2 x = " cos 2x = ⇔ cos 2x = ⇔ cos 2x = π kπ ⇔ x = + , k ∈ Z Theo yêu cầu bài toán, ta tìm nghiệm thuộc (0; 2018) nên ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < x < 2018 π kπ 0< + < 2018 π kπ π − < < 2018 − 4 4036 − <k< − ≈ 1284,2 π k ∈ {0, 1, 2, , 1284}, (vì k ∈ Z) Vậy tổng tất các nghiệm phương trình khoảng (0; 2018) là π π π S = 1285 · + (0 + + + · · · + 1284) = (1285 + 1284 · 1285) = 4  1285 2 π Chọn đáp án A  Câu 151 Tìm m để phương trình sin x + cos x = m + sin 2x có nghiệm √ √ 5 A m> B − 2+1 m C − 2−1 m 4 D m6 Lời giải  √ √ √ π Đặt t = sin x + cos x = sin x + Điều kiện − t Khi đó t = (sin x + cos x)2 = + sin x cos x = + sin 2x ⇒ sin 2x = t − Phương trình đã cho trở thành t = m + t − 1√ ⇔m (1) √= −t + t + Yêu  cầubài toán là (1) nghiệm đúng t ∈ [− 2; 2] Do đồ thị hàm số f (t) = −t + t + là Parabol có đỉnh là I ; , bề lõm hướng xuống nên ta có bảng biến thiên sau LATEX Tư Duy Mở 60 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác t Website tuduymo.com √ − −t + t + −√2 − % √ √ & − 2+1 √ Vậy yêu cầu bài toán là − − m Chọn đáp án C  Câu  152  Cho phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ π 3π ; 2 A −1 m B −1 m D −1 m < C −1 < m < Lời giải Phương trình tương đương " cos x = m (*) cos x =   π 3π Với x ∈ , ta có −1 cos x < Từ (*), ta loại trường hợp cos x = và phương trình đã cho có nghiệm ; 2   π 3π x∈ ; và −1 m < 2 Chọn đáp án D  cos2 x − (2m + 1) cos x + m = ⇔ √ Câu 153 Có tất bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình sin2 x + m + sin x = m có nghiệm thực? A B C D Lời giải.√ Đặt t = ( m2 + sin x > sin x + t = m ⇔ sin2 x − t = −t − sin x ⇔ (sin x + t)(sin x − t + 1) = Ta có t = m + sin x √ Nếu sin x + t = ⇔ sin x + m + sin x = ⇔ sin2 x − sin x = m Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ > ⇔ m > − và | sin x|  √ + 4m +  sin x = (1) ⇔  √2  − 4m + sin x = √ + 4m + 1 ⇔ − m √ − 4m + 1 ⇔ − m 2 (1) Nếu sin x − t + = ⇔ sin2 x + sin x + − m = 3 Giải tương tự trên ta m m 4 Vậy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án D  Câu 154 Họ nghiệm phương trình sin 2x − cos 2x + sin x − cos x = biểu diễn bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác? LATEX Tư Duy Mở 61 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác A Website tuduymo.com B C D Lời giải Phương trình tương đương với sin x cos x − cos2 x + sin x − cos x = ⇔ cos x(sin x − cos x) + sin x − cos x = ⇔ (sin x − cos x)(2 cos x + 1) =  π " x = + kπ sin x − cos x =  ⇔ ⇔ 2π cos x + = x = ± + k2π Chọn đáp án B  hπ π i ; Câu 155 Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = tan x + cot x trên đoạn √ √ √ A m = 2 B m= D m= C m = 3 Lời giải     1 Đặt t = tan x, t ∈ √ ; Khi đó y = t + = t + + > + = Nên giá trị nhỏ hàm số t t t  Chọn đáp án C Câu 156 Có bao nhiêu giá trị thực tham số m để phương trình (m + 1) cos x + (m − 1) sin x = 2m + có π nghiệm x1 , x2 thỏa mãn |x1 − x2 | = ? A Vô số B Không tồn C D Lời giải (m + 1) cos x + (m − 1) sin x = 2m + m+1 m−1 2m + ⇔√ cos x + √ sin x = √ 2m2 + 2m2 + 2m2 + 2m + ⇔ cos(x + α) = cos β với điều kiện − √ 61 2m2 + m+1 2m + (trong đó cos α = √ , cos β = √ ) 2m + 2m2 + ⇔ x = β ± α + k2π Do đó x1 , x2 có dạng x1 = β + α + k1 2π và x2 = β − α + k2 2π (vì x1 , x2 thuộc cùng họ nghiệm thì |x1 − x2 | = π π m2π với m ∈ Z) Do đó |x1 − x2 | = ⇔ |2α + (k1 − k2 )2π| = 3 π 1 Suy cos |2α + (k1 − k2 )2π| = cos ⇔ cos 2α = ⇔ cos 2α = 2 Mặt khác cos 2α = cos2 α − nên  2 √ m+1 (m + 1)2 =2 √ −1 ⇔ = ⇔ m2 − 4m + = ⇔ m = ± 3, loại 2 2m + 2m + Vậy không tồn m thỏa mãn bài Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở  62 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 157 ( Tập nghiệm S trình sin 5x = cos3r 2x sin x là ! ) r phương √ ! √ + 21 − 21 + kπ, arctan ± + kπ, k ∈ Z A S = kπ, arctan ± 3 ( ! ! ) √ √ + 21 − 21 B S = arctan + kπ, arctan + kπ, k ∈ Z 3 ) ( r r √ ! √ ! + 21 − 21 + kπ, arctan ± + kπ, k ∈ Z C S = arctan ± 3 ( ) √ ! √ ! + 21 − 21 + kπ, arctan + kπ, k ∈ Z D S = kπ, arctan 3 Lời giải Ta có sin 5x = cos3 2x sin x ⇔ sin 4x cos x + cos 4x sin x = cos2 2x(cos2 x − sin2 x) sin x ⇔ sin 2x cos 2x cos x + (cos2 2x − sin2 2x) sin x = cos2 2x(cos2 x − sin2 x) sin x (∗) • cos 2x = 0, cos x = không thỏa mãn • Với cos x 6= và cos 2x 6= 0, chia hai vế cho cos2 2x cos3 x ta có (∗) ⇔ tan 2x(1 + tan2 x) + (1 − tan2 2x) tan x(1 + tan2 x) = 5(1 − tan2 x) tan x   tan x tan2 x ⇔ tan x(1 + tan2 x) = 5(1 − tan2 x) tan x (∗∗) (1 + tan x) + − − tan2 x (1 − tan2 x)2 - Xét tan x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z là nghiệm phương trình - Xét tan x 6= 0, đặt t = tan2 x,t 6= 0, t 6= 1, ta có   4t (1 + t) = 5(1 − t) (∗∗) ⇔ (1 + t) + − 1−t (1 − t)2 s  √ √  + 21 + 21  tan x = ± , t =  3   ⇔ 6t − 24t + 10t = ⇔  √ ⇒ s √ − 21  − 21 t= tan x = ± 3 Chọn đáp án A  Câu 158 Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình (1 − m) tan2 x − + + 3m = cos x  π có nhiều nghiệm thuộc khoảng 0;     1    6m61  <m<1 m < m 3 A B C D   m 6= m 6= m 6= m 6= 2 2 Lời giải Điều kiện xác định cos x 6= 1−m − + 4m = 0(∗) cos x cos x π  π Nhận thấy với m = phương trình đã cho có nghiệm x = ∈ 0; ( loại) Phương trình đã cho tương đương với LATEX Tư Duy Mở 63 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Với m 6= Phương trình (∗) là phương trình bậc hai ẩn có ∆ = (1 − 2m)2 cos x    1   =2 m 6= m 6=  cos x 2 , yêu bài toán tương đương với ⇔ Khi đó (∗) ⇔  2m 2m     < m < >1 = 1−m cos x − m Chọn đáp án B  Câu 159  Phương trình tan2 x + tan x + cot2 x + cot x + = có bao nhiêu nghiệm nửa khoảng  −π 23π ; ? 4 A B C D Lời giải  x 6= π + kπ Điều kiện: x 6= kπ , k ∈ Z
tan2 x + tan x + cot2 x + cot x + = ⇔ tan2 x + cot2 x + (tan x + cot x) + = ⇔ (tan x + cot x)2 + (tan x + cot x) − = " Đặt t = tan x + cot x Khi đó (1) ⇔ • t= 2t + 3t − =0⇔ (1) t = −2 t= 1 1 ⇔ tan x + cot x = ⇔ = ⇔ sin x cos x = (vô nghiệm) 2 cos x · sin x −1 −π • t = −2 ⇔ tan x + cot x = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin x cos x = ⇔ sin 2x = −1 ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = cos x · sin x 2 −π + kπ, k ∈ Z (thỏa điều kiện)   −5π −π 23π −5π 23π ; nên < + kπ ⇔ −π < kπ 6π ⇔ −1 < k 6 Do x ∈ 4 4   −π 23π Vậy phương trình đã cho có nghiệm nửa khoảng ; 4 Chọn đáp án D  Câu 160 Gọi M và m là giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = sin2 x − sin cos x − cos2 x + Tính giá trị biểu thức M + m2 A 15 B 10 D C 12 Lời giải y = sin2 x − sin cos x − cos2 x + = (1 − cos 2x) − sin 2x − (1 + cos 2x) + 2 = − cos2x − sin 2x  √ = − √ sin 2x + √ cos 2x 5 √ = − (sin 2x cos α + cos 2x sin α) √ = − sin(2x + α) LATEX Tư Duy Mở 64 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com đó √ = cos α và √ = sin α 5 −1 sin(2x + α) √ √ √ ⇔ + > − 2 sin(2x + α) > − √ √ √ √ Tồn x để y = 1− và tồn x để y = 1+ Do đó M = 1+ và M = 1− Ta tính M +m2 = 12  Chọn đáp án C kπ Câu 161 Các họ nghiệm phương trình sin 2x cos x = cos 2x + sin x có dạng x = α + k2π; x = β + h πi (k ∈ Z), với α, β ∈ 0; Tính S = α + β π π π 3π C S= A S= B S= D S= 4 Lời giải Phương trình đã cho tương đương
sin x cos2 x − − cos 2x = ⇔ cos 2x(sin x − 1) =  π π " x = +k cos 2x =  ⇔ ⇔ π sin x = x = + k2π 3π π π + = 4 Chọn đáp án D Vậy α + β =  sin2 x + cos 4x − cos 2x = Tính diện tích đa giác có đỉnh là các điểm biểu sin x − cos x diễn góc lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác, với α là nghiệm phương trình đã cho √ √ √ √ A B 2 C D Câu 162 Cho phương trình Lời giải π Điều kiện: x 6= + kπ với k ∈ Z, với điều kiện trên phương trình tương đương với sin2 x + cos 4x − cos 2x =0 sin x − cos x ⇔ sin2 x + cos 4x − cos 2x = ⇔ − cos 2x + cos2 2x − − cos 2x = ⇔ 2"cos2 2x − cos 2x = cos 2x = ⇔ cos 2x =  π x = − + kπ (k ∈ Z) ⇔  x = kπ LATEX Tư Duy Mở 65 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com π Biểu diễn nghiệm x = − + kπ và x = kπ trên đường tròn lượng giác ta hình chữ nhật ABCD hình vẽ √ √ Xét hình chữ nhật ABCD, ta có SABCD = 2SABC = · · · = 2 y B A x C O D Chọn đáp án A  h π i sin x + Câu 163 Gọi S là tập hợp tất các giá trị x thuộc đoạn − ; 2π cho biểu thức P = nhận 2 + cos x giá trị nguyên Tính số phần tử tập hợp S C A B D Lời giải sin x + P= ⇔ P cos x − sin x = − 2P Điều kiện có nghiệm P2 + > (1 − 2P)2 ⇔ P + cos x Từ đây, P nguyên nên P = P =  π x=−  • Với P = ⇒ sin x = −1 ⇒  3π x=  π   x= π π  • Với P = ⇒ cos x − sin x = −1 ⇒ sin x − = sin ⇒ 4 x = π Chọn đáp án C  Câu 164 Phương trình A √ − x2 (sin 2πx − cos πx) = có bao nhiêu nghiệm? B 10 C D Vô số Lời giải Phương trình đã cho tương đương với   −2 x x − x2 >   " " ⇔ x = ±2 − x2 =     cos πx (2 sin πx − 3) = sin 2πx − cos πx =   −2 x  −2 x   "  x = ±2 ⇔ ⇔ x = ±2       x = + k (k ∈ Z) cos πx =  2 1 ⇔ x ∈ −2; − ; − ; ; ; 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm Chọn đáp án A  √ Câu 165 Đồ thị các hàm số y = (sin x + cos x) và y = sin x là các đường cong hình nào đây? LATEX Tư Duy Mở 66 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com A y −2π − 3π x 3π −π − π O −1 π π 2π y − −2π 3π − π −π 3π O π 2π x π −1 B y x −2π − 3π −π − π O π π 3π 2π −1 C − −2π − 3π y 3π π −π O −1 π π x 2π D Lời giải Dễ thấy √ bốn phương án có đồ thịhàm y = sin x π Ta có y = (sin x + cos x) = sin x + √ π Suy đồ thị hàm số y = (sin x + cos x) có cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x sang trái đơn vị Chọn đáp án A   π  sin 4x thuộc khoảng − ; π là 2 D C Câu 166 Số nghiệm phương trình + sin3 2x + cos3 2x = A B Lời giải LATEX Tư Duy Mở 67 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Phương trình đã cho tương đương với − sin 4x + 2(sin 2x + cos 2x)(1 − sin 2x cos 2x) = ⇔(2 − sin 4x) + (sin 2x + cos 2x)(2 − sin 4x) = ⇔(2 − sin 4x)(sin 2x + cos 2x + 1) = ⇔ sin 2x + cos 2x = −1  π √ x = − + kπ   π  với k ∈ Z =− ⇔ ⇔ sin 2x + π x = + kπ  π x=−   π   x = π Như có nghiệm thuộc − ; π là    3π x= Chọn đáp án C  √
3 Câu 167 Cóbao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình sin3 x − m + cos x − m = 2π sin x + có nghiệm? C D A B Vô số Lời giải   √
3 2π sin x − m + cos x − m = sin x + √ √
3 ⇔ sin x + sin x = m + cos x + m + cos x Xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f (t) = 3t + > 0√∀t ∈ R ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên R Suy phương trình có nghiệm ⇔ sin x = m + cos x √
2 Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là + > m2 ⇔ −2 m Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án C Câu 168 Đường cong hình mô tả đồ thị hàm số y = A sin(x + α) + B (A, B, α là các số, α ∈ 3α [−π; 0]) Tính S = A + B − π A S = B S = C S = D S =  y − 5π 7π O x π −1 Lời giải GTLN và GTNN hàm số là |A| + Bvà −|A|+ B Kết hợp với đồ thị đã cho, ta suy |A|  π= 2, B = Hơn π π nữa, GTLN hàm số đạt x = nên sin + α = ±1, mà α ∈ [−π; 0] nên ta suy sin + α = −1 và 6 2π α = − Vậy S = Chọn đáp án A  LATEX Tư Duy Mở 68 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 169 tất các giá trị tham số m để phương trình cos 2x + sin2 x − 3m + = có nghiệm  Tìm πi khoảng 0;         2 2 A m ∈ − ;1 B m∈ ;1 C m ∈ − ;1 D m ∈ ;1 3 3 Lời giải  πi Phương trình ⇔ sin2 x + = 3m, x ∈ 0; nên < sin2 x 2 Vậy < sin2 x + nên < 3m ⇔ < m Chọn đáp án B  Câu 170 Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình   √ π π sin x + · cos x − = m2 + sin 2x − cos 2x có nghiệm? A B D C Lời giải   √ π π · cos x − = m2 + sin 2x − cos 2x sin x +  h  π 3 √ π i + sin 2x + = m2 + sin 2x − cos 2x ⇔ sin √ √ ⇔ sin 2x + cos 2x + = m2 + sin 2x − cos 2x m2 − ⇔ cos 2x = ( m >0 m2 − Phương trình đã cho có nghiệm và −1 61⇔ ⇔ −2 m 2 m2 Các giá trị nguyên m là −2; −1; 0; 1; Chọn đáp án A   
Câu 171 Nghiệm dương nhỏ phương trình cos π x + 2x − = sin πx2 là √ √ √ √ 2−1 3+1 2+1 3−1 A x= B x= C x= D x= 2 2 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với hπ i
cos − π(x2 + 2x) = sin πx2 2 
⇔ sin π(x2 + 2x) = sin πx2 " π(x + 2x) = πx2 + k2π ⇔ π(x2 + 2x) = π − πx2 + k2π " x=k ⇔ , (k ∈ Z), 2x2 + 2x − (2k + 1) = √ √ −b + ∆ −1 + 4k + = Do x > 0, k ∈ Z nên suy x = 2a LATEX Tư Duy Mở 69 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Để x dương √ và nhỏ với k ∈ Z và 4k + > thì k = 3−1 ⇒ x = Chọn đáp án D  Câu 172 Số nghiệm phương trình cos4 x − cos 2x + 2018 sin2 A B C x = đoạn [0; 16] là D Lời giải Ta có cos4 x − cos 2x + 2018 sin2 x x = ⇔ (1 + cos 2x)2 − cos 2x + 2018 sin2 = 2 x ⇔ (1 − cos 2x) + 2018 sin =    cos 2x = x = mπ ⇔ ⇔ x x  sin =  = nπ 3 ( m = 3n ⇔ x = mπ Theo giả thiết mπ 16 ⇒ m = 0, m = Chọn đáp án D  Câu 173 Cho phương trình sin x cos 4x − sin2 2x = sin2 mãn |x − 1| < A B π − x − Tìm số nghiệm phương trình thỏa 2 C D Lời giải Phương trình tương đương với − cos 4x = 2(1 − sin x) − 2 ⇔ sin x cos 4x + cos 4x + 2(2 sin x + 1) = sin x cos 4x − ⇔ (cos 4x + 2)(2 sin x + 1) =  π x = − + k2π  ⇔ sin x + = ⇔  7π x= + k2π Do |x − 1| < nên ta có các nghiệm x = − 7π π và x = 6 Chọn đáp án C  Câu 174 Gọi S là tập hợp tất các nghiệm √ √ thuộc
khoảng (0; 2018) phương trình 3(1 − cos 2x) + sin 2x − cos x + = + sin x Tính tổng tất các phần tử S 312341π 310408π A 103255π B 102827π C D 3 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 70 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Ta có √  √ 3(1 − cos 2x) + sin 2x − cos x + = + sin x √ ⇔ 3(1 − cos 2x − sin x) + sin 2x − cos x + − sin x = √
⇔ sin2 x − sin x + sin x · cos x − cos x − sin x + = √ ⇔2 sin x · (sin x − 2) + 2(sin x − 2) · (cos x − 2) = √  ⇔2(sin x − 2) · sin x + cos x − = ! √ sin x + cos x − = ⇔(sin x − 2) 2 h   i π ⇔(sin x − 2) sin x + −1 =   π ⇔ sin x + = (vì sin x − < 0, ∀x ∈ R) π π ⇔x + = + k2π π ⇔x = + k2π π π 1009 + k2π ∈ (0; 2018) ⇒ < + k2π < 2018 ⇔ − < k < 3 π Vì k ∈ Z nên k ∈ {0; 1; 2; ; 321} Tổng tất các nghiệm thuộc khoảng (0; 2018) là  π  π  π π S= + + 2π + + · 2π + + + 321 · 2π 3 3 π = 322 · + (1 + + + 321) · 2π 322π 321 · (321 + 1) = + · 2π 310408π = Xét x = Chọn đáp án D  Câu 175 Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x (tham khảo hình vẽ đây), hãy tìm tất các giá trị x để cos x < y − 3π − 3π π A − 3π π <x<− 2 C − 3π π + k2π < x < − + k2π, k ∈ Z 2 x π O π 3π + kπ < x < + kπ, k ∈ Z 2  3π π − <x<−  2 D  π 3π <x< 2 B Lời giải Ta thấy trên các khoảng π 3π + k2π; + k2π, k ∈ Z, đồ thị nằm bên trục hoành, ứng với cos x < 2 Chọn đáp án C LATEX Tư Duy Mở  71 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 176 Tìm tất các giá trị m để phương trình A m −1 m > 1 C m − m > 4 sin6 x + cos6 x = 2m · tan 2x có nghiệm? cos2 x − sin2 x 1 B m < − m > 8 D m −2 m > Lời giải Điều kiện x 6= π kπ + Ta có sin6 x + cos6 x = 2m · tan 2x ⇔ − sin2 2x = 2m · sin 2x 2 cos x − sin x Đặt sin 2x = t, (−1 t 1), ta phương trình −3t − 8mt + = (∗) (∗) có ∆0 = 16m2 + 12 > nên (∗) luôn có hai nghiệm phân biệt Do cos 2x 6= ⇔ sin 2x 6= ±1 nên phương trình đã cho có nghiệm thì (∗) phải có nghiệm thuộc khoảng (−1; 1) Khi đó các trường hợp sau xảy • Trường hợp (∗) có nghiệm thuộc (−1; 1), tức là      m<−  − 3(1 + 8m) > − f (−1) >          − 3(1 − 8m) > − f (1) > ⇔ ⇔ m> −1 < t1 < t2 < ⇔       −1 < S <  − < − 4m <   3   − <m< 4 ⇒ Hệ vô nghiệm • Trường hợp (∗) có nghiệm thuộc (−1; 1), tức là  m<− − < t1 < < t2  ⇔ f (−1) · f (1) < ⇔ (1 + 8m)(1 − 8m) < ⇔  t1 < −1 < t2 < m> " 1 Vậy với m < − m > thì phương trình có nghiệm 8 Chọn đáp án B Câu 177 Trong khoảng (0; 20π) phương trình A 20 B 10  sin2 x − sin x − √ = có bao nhiêu nghiệm? cos x − C 30 D 15 Lời giải √ Điều kiện xác định cos x − 6=  sin x = 1 sin x = π Phương trình sin x = ⇔ x = + k2π Dễ thấy các giá trị này thỏa mãn điều kiện xác định và khoảng (0; 20π) họ này có 10 nghiệm  π x = + k2π 5π  Phương trình sin x = ⇔  Dễ thấy các giá trị x = + k2π thỏa mãn điều kiện xác định và 5π + k2π Khi đó, phương trình tương đương với sin2 x − sin x − = ⇔  LATEX Tư Duy Mở 72 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com khoảng (0; 20π) họ này có 10 nghiệm Vậy khoảng (0; 20π) phương trình có 20 nghiệm Chọn đáp án A  Câu 178 Tìm  tấtπ các  số thực m để phương trình cos 3x + (m + 1) cos x − cos 2x = có nghiệm phân biệt khoảng − ; 2π C −2 < m < A < m < B < m < D −1 < m < Lời giải Ta có cos 3x + (m + 1) cos x − cos 2x = ⇔ cos 3x + cos x + m cos x = cos2 x ⇔ cos 2x cos x + m cos x − cos2 x = 
 ⇔ cos x 2 cos2 x − − cos x + m =
⇔ cos x cos2 x − cos x + m − = " cos x = ⇔ cos2 x − cos x + m − =  π x = + kπ, k ∈ Z  ⇔ cos2 x − cos x + m − =  π  π 3π và x = khoảng − ; 2π 2 Xét phương trình cos2 x − cos x + m − = với ∆0 = − 4m Trường hợp ∆0 0, dễ kiểm tra phương trình cos2 x − cos x + m − = có tối đa nghiệm Do đó ta xét trường hợp ∆0 > 0, ta có  √ + − 4m  cos x = cos2 x − cos x + m − = ⇔  √4  − − 4m cos x = √   + − 4m Ta có m < , suy ∈ ; +∞ 4 √ √   + − 4m − − 4m • Với ∈ (1; +∞), ta ∈ −∞; − Khi đó phương trình 4 √ − − 4m cos x =  π  có tối đa nghiệm khoảng − ; 2π , hay phương trình đề bài có tối đa nghiệm √ √   + − 4m − − 4m • Với ∈ {1}, ta ∈ − Suy tập nghiệm phương trình đề bài là 4   π 3π 2π 2π 4π S= ; ; 0; − ; ; 2 3 Dễ thấy phương trình cos x = có hai nghiệm x = √ √     + − 4m 1 − − 4m 1 • Với ∈ ; , ta ∈ − ; Khi đó phương trình 4 4 √ + − 4m cos x =  π  có nghiệm khoảng − ; 2π LATEX Tư Duy Mở 73 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ √    π  − − 4m 1 − − 4m – Với ∈ − ; , phương trình cos x = có nghiệm khoảng − ; 2π 4 Nên phương trình đề bài có nghiệm √ √    π  1 − − 4m − − 4m – Với ∈ 0; có nghiệm khoảng − ; 2π , phương trình cos x = 4 Nên phương trình đề bài có nghiệm √   − − 4m Vậy các giá trị m phải thỏa mãn ∈ − ; hay < m < Chọn đáp án B   π Câu 179 Tìm m để phương trình sin4 x + cos 2x + m cos6 x = có nghiệm khoảng 0; C m ∈ (−2; −1) A m ∈ (1; 2) B m ∈ (−∞; −1) D m ∈ (−2; 0) Lời giải Phương trình đã cho tương đương với (1 − cos2 x)2 + cos2 x − + m cos6 x = ⇔ cos4 x + m cos6 x = √  π 2 nên Đặt t = cos x Do x ∈ 0; < cos x < ⇒ < t < Từ (1) ta có 2 (1) t>0 t + mt = ⇔ + mt = ⇔ t = − m  π là Vậy điều kiện để phương trình đã cho nghiệm khoảng 0;   2+m 1     + < <0 1 2m ⇔ <− <1⇔ m   m m+1 >  +1 > m m ( m ∈ (−2; 0) ⇔ ⇔ m ∈ (−2; −1) m ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞) Chọn đáp án C  h π πi Câu 180 Tìm điều kiện m để phương trình sin2 x + cos 2x = m có nghiệm trên đoạn − ; 1 A m < B 6m6 C m D m 4 Lời giải Cách Ta có − cos 2x + cos 2x = m ⇔1 − cos 2x + cos 2x = 2m ⇔ cos 2x = 2m − sin2 x + cos 2x = m ⇔ Ta có − (1) π π π 2π x ⇔ − 2x Do đó − cos 2x Vậy phương trình (1) có nghiệm và 3 1 − 2m − ⇔ 2m ⇔ m 2 Cách Ta có sin2 x + cos 2x = m ⇔ sin2 x + − sin2 x = m ⇔ sin2 x = − m LATEX Tư Duy Mở 74 (2) Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ h π πi 3 , đó sin2 x nên − sin x Do x ∈ − ; 2 Vậy (2) có nghiệm ⇔ − m ⇔ m 4 Chọn đáp án C x Câu 181 Tìm tập xác định D hàm số y = tan x n π o A D = R \ − + k2π, k ∈ Z   kπ C D = R\ ,k ∈ Z Lời giải ( Điều kiện tan x 6= cos x 6= ( ⇔ sin x 6= cos x 6=  B D = R\ nπ o + kπ, k ∈ Z D D = R \ {kπ, k ∈ Z} ⇔ sin x cos x 6= ⇔ sin 2x 6= ⇔ x 6= kπ Chọn đáp án C  Câu 182 Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình sin2 x + sin 2x − (m + 2) cos2 x =  π π có nghiệm khoảng − ; 4 A −12 < m < B −2 < m < D −12 < m < C m Lời giải Nhận thấy cosx = không là nghiệm phương trình Chia hai phương trình cho cos2 x 6= Phương trình đã cho tương đương với: tan2 x + tan x − m − = tan2 x + 3, đặt t = tan x Phương trình đã cho trở thành −t + 6t − = m, với t ∈ (−1; 1) Từ BBT, để pương trình có nghiệm thì −12 < m < −1 t −t + 6t −5 −12 Chọn đáp án D  p √ Câu 183 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình m + 3 m + cos x = cos x có nghiệm thực là D A B C Lời giải (3 t = m + 3a (1) √ Đặt m + cos x = t, a = cos x ⇒ a3 = m + 3t (2) Lấy (1) trừ (2) ta t − a3 = −3(t − a) ⇒ (t − a)(t + at + t + 3) = ⇒ t = a Với t = a, thay vào (1) ta t − 3t = m Xét f (t) = t − 3t trên đoạn [−1; 1], ta có f (t) = 3t − = ⇒ t = ±1 ⇒ bảng biến thiên t −1 f (t) − f (t) −2 Để phương trình có nghiệm thì −2 m Vì m ∈ Z nên có giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án D LATEX Tư Duy Mở 75  Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ Câu 184 Phương trình 2017sin x = sin x + − cos2 x có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−5π; 2017π] A 20177 B 2023 C D 2022 Lời giải p √ Ta có 2017sin x = sin x + − cos2 x ⇔ sin x + + sin√ x − 2017sin x = (∗) Đặt t = sin x,t ∈ [−1; 1], phương trình (∗) trở thảnh t + + t − 2017t = √ t Đặt f (t) = t + + t − 2017t ⇒ f (t) = + √ − 2017t ln 2017 + t2 t Đặt g(t) = + √ , h(t) = 2017t ln 2017 ⇒ f (t) = g(t) − h(t) + t2 √ Tại t = −1 ⇒ f (−1) = − − > 2017 √ Tại t =  ⇒ f (1)  = + − 2017 < 1 t Trên −1; − ta có g0 (t) = > 0, h (t) = 2017 ln 2017 > ⇒ g(t) và h(t) là hàm đồng biến (1 + t ) Mà h(− ) < g(−1) ⇒ trên khoảng xét ta có f (t) = g(t) − h(t) > ⇒ f (t) >   1 0 0 Trên − ; ta có g0 (t) < 1, h (t) > ⇒ f ”(t) = g (t) − h (t) < ⇒ f (t) đơn điệu giảm ⇒ f (t) đến lúc (1 + t ) nào đó đơn điệu giảm Nên phương trình f (t) = có tối đa nghiệm Dễ thấy đó là t = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ(k ∈ Z) Vậy [−5π; 2017π] có 2023 nghiệm thuộc dạng kπ Chọn đáp án B  Câu 185 Giá trị lớn M và giá trị nhỏ m hàm số hàm số y = A M = ; m = B M = 2; m = 11 sin x + cos x + là: cos x − sin x + C M = 1; m = −1 D M = 1; m = −2 Lời giải y= sin x + cos x + cos x − sin x + ⇔ 2y · cos x − y · sin x + 4y = sin x + cos x + ⇔ (2y − 1) cos x − (y + 2) · sin x = − 4y (1) Phương trình (1) có nghiệm và (2y − 1)2 + (y + 2)2 > (3 − 4y)2 ⇔ 11y2 − 24y + ⇔ Vậy max y = 2, y = y 11 11 Chọn đáp án B  2 Câu 186 Cho phương trình  sin 4x  + (m − 3) sin 4x + m − = (m là tham số) Tìm m để phương trình đã 3π cho có đúng nghiệm x ∈ ; 2π A −2 m < B m = 2, m = −2 D −2 < m < C −2 m Lời giải Ta có: 2  sin 4x + (m − 3) sin 4x + m − = ⇔ LATEX Tư Duy Mở 76 sin 4x = −1 sin 4x = − m2 (1) Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com   3π π kπ 15π Trong các nghiệm x = − + (k ∈ Z) phương trình sin 4x = −1 có nghiệm thuộc đoạn ; 2π 2   3π Vậy từ (1) suy điều kiện để phương trình đã cho có đúng nghiệm x thuộc ; 2π là phương trình sin 4x = − m2   3π ; 2π , tức là phương trình sin u = − m2 có đúng ba nghiệm u ∈ [6π; 8π], nghĩa là có đúng ba nghiệm x ∈ − m2 = ⇔ m = ±2 Khi m = ±2, phương trình sin u = − m2 trở thành: sin 4x = ⇔ 4x = kπ ⇔ x = kπ (k ∈ Z)   3π 6π 7π 8π ; 2π có các nghiệm , , Trong đoạn 4   3π Kết luận: Điều kiện để phương trình đã cho có đúng nghiệm x thuộc ; 2π là m = ±2 và bốn nghiệm đó là 15π 3π 7π , , , 2π  Chọn đáp án B Câu 187 Nghiệm phương trình: sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x biểu điễn bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác? A 16 B 14 C 18 D 12 Lời giải Hạ bậc ta có 1 1 (1 − cos 2x) + (1 − cos 6x) = (1 + cos 4x) + (1 + cos 8x) 2 2 ⇔ ⇔ −(cos 2x + cos 6x) = cos 4x + cos 8x ⇔ cos 2x(cos 4x + cos 6x) = ⇔ cos 2x cos 5x cos x =  π   x = + kπ cos x =  x=  π π   x = + k ⇔ ⇔  cos 2x = ⇔     x= cos 5x = π π x= +k 10 π π +k π π +k 10 Từ đó các nghiệm phương trình đã cho biểu diễn 14 điểm trên dường tròn lượng giác Chọn đáp án B  1 Câu 188 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x + tan x + cot x + + sin x cos x √ √ √ √ D 2 + A − B + C 2 − Lời giải √ √ t2 − Đặt t = sin x + cos x, t ∈ [− 2; 2] và sin x cos x = Ta có y = = LATEX Tư Duy Mở 1 + sin x cos x (sin x + cos x) sin x cos x + + sin x + cos x sin x cos x sin x + cos x + tan x + cot x + 77 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com +1 t −1 √ Với t − > áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có y > 2 + √ √ > 2 nên y − 2 Với t − < áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có − t + 1−t √  √ √ π  1− Từ đó y > 2 − Đẳng thức xảy t = − 2, hay sin x + nên tồn x = √ Chọn đáp án C = t −1+ Câu 189 Tìm điều kiện xác định hàm số y =  tan x cot x − π kπ và x 6= + kπ với k ∈ Z π π D x 6= + kπ và x 6= + kπ với k ∈ Z π + kπ và x 6= kπ với k ∈ Z π C x 6= + kπ và x 6= kπ với k ∈ Z A x 6= B x 6= Lời giải π π Hàm tan x xác định x 6= + kπ, hàm cot x xác định x 6= kπ Phân thức có nghĩa cot x 6= ⇔ x 6= + kπ kπ π Vậy hàm số có nghĩa x 6= và x 6= + kπ với k ∈ Z  Chọn đáp án B
(3 + sin x) cos x − + cos2 x Câu 190 Phương trình = có bao nhiêu nghiệm trên [0; 4π]? sin 2x A B C D Lời giải Điều kiện: sin 2x 6= " Phương trình ⇔ cos x + sin 2x − − cos2 x = sin 2x ⇔ cos2 x − cos x + = ⇔ cos x = cos x = Phương trình cos x = vô nghiệm Phương trình cos x = ⇔ x = k2π, k ∈ Z không thỏa điều kiện sin 2x 6= Chọn đáp án D  Câu 191 Cho hàm số f (x) = (m − 1) sin 4x − cos 4x + 4mx + 2018, m là tham số Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m đoạn [−6; 2018] để phương trình f (x) = có nghiệm A 2018 B C D Lời giải Ta có f (x) = (m − 1) cos(4x) + cos(4x) + 4m ⇔ f (x) = ⇔ (m − 1) cos(4x) + cos(4x) = −m Để phương trình f (x) = có nghiệm và (m − 1)2 + > m2 ⇔ m Vì m ∈ [−6; 2018] ⇒ −6 m Vậy có tất giá trị nguyên m để phương trình f (x) = có nghiệm Chọn đáp án C    5π Câu 192 Cho phương trình = cos −x (1) Gọi (H ) là hình tạo các điểm biểu diễn nghiệm (1) trên đường tròn lượng giác Tính diện tích √ √ hình (H ) √ √ √ 2+ 2+ A B 2(1 + 2) C D + sin x cos2 x − sin3 x Lời giải • Ta có (1) ⇔ sin x cos2 x − sin3 x = sin x LATEX Tư Duy Mở 78 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com • Với cos x = 0, phương trình trở thành − sin3 x = sin x ⇔ sin x = (loại) • Với cos x 6= 0, ta có  x = kπ tan x = (k ∈ mathbbZ) (1) ⇔ tan x − tan3 x = tan x(1 + tan2 x) ⇔ ⇔ π tan x = ±1 x = ± + kπ " sin cos O Các điểm biểu diễn nghiệm cho hình vẽ Ta có diện tích hình (H ) √ · · sin 45◦ + · · · sin 90◦ = + Chọn đáp án D  √ √ Câu 193 Cho phương trình x + sin 2x − 2( sin x + cos x) − m = Để phương trình có hai h π2 sin i π nghiệm x1 , x2 thuộc đoạn − ; thì m ∈ (a; b) Giá trị b − a là √ √ √ A B − C − D 3 Lời giải.√ Đặt t = sin x + cos x (∗) √ √ ⇒ t = sin2√x + cos2 x + sin x cos x = sin2 x + sin 2x + ⇒ sin2 x + sin 2x = t − Phương trình đã cho trở thành t − = 2t − m = ⇔ m + = t − 2t (1) h π πi  √ π Do x ∈ − ; nên t = sin x + cos x = sin x + ∈ [−1; 2] √ h π πi √ Với t ∈ [−1; 3) thì tương ứng cho nghiệm x thuộc đoạn − ; và t ∈ [ 3; 2] thì cho hai nghiệm h π πi x thuộc đoạn − ; Vậy yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt √ √ √ thuộc [−1; 3) có nghiệm thuộc [ 3; 2] và không có nghiệm thuộc [−1; 3) y x O LATEX Tư Duy Mở 79 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Xét hàm số f (t) = t − 2t có bảng biến thiên −1 t √ 3 √ 3−2 f (t) −1 Dựa vào bảng biến thiên ta √ √ −1 < m + < − ⇔ −2 < m < − √ √ Suy a = −2, b = − ⇒ b − a = − Chọn đáp án B h  π  π i Câu 194 Phương trình cos x + + cos −x = π 3π A x = + k2π, x = B + k2π với k ∈ Z π π C x = + k2π, x = + k2π với k ∈ Z D có nghiệm là π x = − + k2π, x = π x = − + k2π, x =  5π + k2π với k ∈ Z π + k2π với k ∈ Z Lời giải Ta có π hπ    h  π π i π i + cos + cos = − x = ⇔ − sin2 x + − x+ cos x + 3     π π ⇔ − sin x + + sin x + = 3   π π ⇔ sin x + − sin x + +3 = 3  π x = − + k2π  π  = ⇔ ⇔ sin x + (k ∈ Z) π x = + k2π Chọn đáp án D  Câu 195 Có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm phương trình cos 3x + (2 sin 2x + 1)(sin 2x − cos x) = 0? A điểm B 10 điểm C điểm D điểm Lời giải Phương trình đã cho tương đương   cos x cos2 x − + (2 sin 2x + 1)(2 sin x − 1) =
⇔ cos x cos2 x − + sin 2x sin x − sin 2x + sin x =
⇔ cos x −4 sin2 x + sin 2x sin x − sin x cos x + sin x = ⇔ sin 2x (−2 sin x + sin 2x − cos x + 1) =  kπ x =  π  x = ± + k2π  ⇔ sin 2x(2 cos x − 1)(2 sin x − 1) = ⇔  x = π + k2π    5π x= + k2π LATEX Tư Duy Mở 80 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Từ đó có điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm phương trình đã cho Chọn đáp án C      3π x π 3x Câu 196 Tập nghiệm S phương trình sin − = sin + là 10  10 7π 2π 3π A S= + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z 15 10   15 4π 3π 14π + k2π, + k2π, + k2π, k ∈ Z B S= 15  15  14π 4π 3π + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z C S= 15 n π15 o π π D S= + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z Lời giải π  π π π x   x x  Phương trình ⇔ sin − + = sin + − sin3 + 2 30 30 √  30      π π x π x π x x  cos + − sin + = sin + − sin3 + ⇔  30 2  30 2  30  30 √ π x π x π x ⇔ sin3 + − sin + + cos + = (∗) 30 30 30 π x = không thỏa mãn • sin + 30 π π π x x x • Với sin + 6= 0, chia hai vế (∗) cho sin3 + và đặt t = cot + ta phương trình 30 30 30 √ √ √ 3t − 4t + 3t = − 4(1 + t ) + 3t(1 + t ) = ⇔  14π  x= + k2π t =0  15 √   4π   ⇔ t = ⇔ x = (k ∈ Z) + k2π   15  t=√ 3π + k2π x= Chọn đáp án B    3π   π  sin x + 3π π  = là Câu 197 Tập nghiệm S phương trình cos x + − cos −x + 14 sin − 2x   19π 3π A S= − + kπ, − − arctan(2) + kπ, k ∈ Z n π28 o B S = − + kπ, − arctan(2) + kπ, k ∈ Z   5π 3π C S = − + kπ, − + arctan(2) + kπ, k ∈ Z n π 28 o D S= + kπ, arctan(2) + kπ, k ∈ Z Lời giải LATEX Tư Duy Mở 81 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Điều kiện sin Website tuduymo.com π  π π π − 2x = ⇔ − 2x 6= kπ ⇔ x 6= −k 7 14 Phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   3π      sin x + 3π 3π π    = + − +x − cos cos x + 6π 7 sin π − + 2x   3π      sin x + 3π π 3π   =0 cos x + − cos − +x + 6π 7 sin + 2x     3π 3π   =0 cos x + − sin x + + 3π 7 cos x +     3π 3π + + tan2 x + =0 − tan x + 7     3π 5π tan x + = 1, x = − + kπ   28    ⇔ , k ∈ Z  3π 3π x = − + arctan(2) + kπ = tan x + 7 Chọn đáp án C  Câu 198 Gọi a, b là các số để phương trình x2 + = [x − cos(ax + b)] có nghiệm Tính tổng T = a + b kπ A T= B T = π + k2π C T = k2π D T = kπ Lời giải Phương trình đã cho tương đương với x2 − 2x + = −4 cos(ax + b) • Ta có x2 − 2x + = (x − 1)2 + > và −4 cos(ax + b) • Do đó, phương trình đã cho tương đương với ( x2 − 2x + = − cos(ax + b) = ⇔ Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở ( x=1 a + b = π + k2π, k ∈ Z  82 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ