Và theo chứng minh trên, f liên tục theo từng biến xi trên hình chiếu của int X lên trục toạ ñộ tương ứng, khi các biến còn lại cố ñịnh... Tóm lại f liên tục trên intX..[r]
Trang 1Bùi Trung Hiếu, Nguyễn Văn Xá, k15d2-TGT-ðHSP2
Bài kiểm tra môn: Giải tích lồi
ðề bài:
Cho tập lồi X ⊂ℝn(n∈ℕ*),có int X ≠ ∅ Cho hàm lồi f :X →ℝ Chứng minh f liên tục trên intX
Bài làm:
Trên ℝ ta xét chuẩn n 1 1
1 : , ( ; ; )
n
n
i
=
=∑ = ∈ℝ Ta kí hiệu e1=(1;0; ;0),
2 (0;1;0; ;0), n (0; ;0;1)
e = e = là các vectơ ñơn vị của ℝn, và Bδ = ∈{x ℝn: x ≤δ} là hình cầu ñóng trong ℝ với tâm tại gốc Lấy tuỳ ý n x0 =(x10; ;x n0)∈intX, ta ñi chứng minh f
liên tục tại x 0
Trước hết, ta chứng minh cho trường hợp n = 1, nghĩa là f là hàm 1 biến Khi ñó x0∈ℝ1=ℝ
Do x0∈intX nên tồn tại a b, ∈ℝ, a<x0 <b, khoảng mở ( )a b; ⊂ X Với mọi ( )0
;
y∈ a x thì tồn tại λ µ, ∈( )0;1 sao cho y=λa+ −(1 λ)x0 và x0 =µy+ −(1 µ) b Do f là hàm lồi nên ta có
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( )
( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )
(1 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)
λ
µ
⇔
−
Nhận thấy ( )0
→ khi và chỉ khi λ→0+, khi và chỉ khi µ→1 − Vì thế khi cho
( )0
→ thì từ (1) suy ra 0 ( )
0 ( )
lim ( ) ( ) 0 (2)
y x
f y f x
→ − − = Lấy tuỳ ý ( )0
;
y∈ a x và lập luận tương tự ta ñi ñến 0 ( )
0 ( )
lim ( ) ( ) 0 (3)
y x
f y f x
→ + − = Từ (2) và (3) suy ra
0
0 lim ( ) ( )
y x
f y f x
tức là f liên tục tại x 0
Trở lại trường hợp tổng quát, vì f lồi nên nó lồi theo từng biến khi các biến còn lại cố ñịnh Và theo chứng minh trên, f liên tục theo từng biến x trên hình chiếu của int X lên trục toạ ñộ i
tương ứng, khi các biến còn lại cố ñịnh Như vậy, với mọi ε >0 nhỏ tuỳ ý, với mỗi
{1, , }
i∈ n tồn tại δi >0 sao cho f x( 0+x e i i)− f x( 0) ≤ε với mọi x i∈ −[ δ δi; i]⊂ℝ (4) ðặt δ =min{δ1, ,δn}>0 Ta chọn các δi ñủ nhỏ sao cho x0+Bδ ⊂intX Khi ñó với mọi
1
( ; ; n)
x= x x ∈Bδ thì x i∈ −[ δ δi; i] (i=1, , )n và
1
1
1
n i i
x
δ
=
1 1
0 ( 1, , ), 1 0, 1
+ +
1
=∑ = ∑ với
Trang 2i i
u =δe nếu x i >0, i i
u = −δe nếu x i ≤0 (i =1, , ),n còn u n+1=0 Như thế 0
, int ( 1, , 1)
u ∈Bδ x + ∈u X i = n+ Nhận thấy
1
1
n
i i i
f x x f x + λu
=
Từ (4) và (5) suy ra f x( 0+ −x) f x( 0)≤ ∀ ∈ε, x Bδ. Dẫn tới f nửa liên tục trên tại x0 (6), mà 0
x tuỳ ý thuộc int X nên f nửa trên ở trên int X , suy ra f nửa liên tục trên ở trên tập compact
x +Bδ Theo ñịnh lí Weierstrass, f ñạt cực ñại trên tập compact ñó, tức là tồn tại x∈Bδ sao cho f x( 0+ ≤x) f x( 0+ =x) M,∀ ∈x Bδ (7)
Tiếp theo, với mọi x∈Bδ \ 0{ } ta ñặt t 1 x1 1 ( )0;1
δ
−
= + ∈
và xét 0
1
t
t
−
0
t
δ δ
− ⇒ z−x0∈Bδ , từ ñây và (7) suy ra f z( )≤M. Theo cách
chọn ñiểm z thì x0 =t x( +x0)+ −(1 t z) , với z∈x0+Bδ ⊂intX x, +x0∈x0 +Bδ ⊂intX,
( )0;1
t∈ , và f lồi nên f x( 0)≤tf x( +x0)+ −(1 t f z) ( )≤tf x( +x0)+ −(1 t M) , biến ñổi ta thu
( ) ( ) t ( )
t
−
1 0
x → thì t →1− và 1 ( 0 )
t
t
, suy ra f x( +x0)− f x( 0)≥ −ε với mọi x∈Bδ \ 0{ } mà
1
x ñủ nhỏ, ñương nhiên bất ñẳng
thức f x( +x0)− f x( 0)≥ −ε vẫn ñúng khi x = 0 Như vậy f nửa liên tục dưới tại x 0 (8) Từ (7)
và (8) suy ra f liên tục tại x 0 Tóm lại f liên tục trên intX