phuong trinh mu TSy

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ - ĐẶT ẨN PHỤ... Giải các phương trình sau :..[r]

GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bài Giải các phương trình trình sau : a x 3 x  c x x2 4   3 b x 36.32 x d x 1   2  x 8 x 1 42 x  83 x 2 2.0,125 GIẢI 2  x  x 3 x  4 x   2x 3x  22 x  1  x  x  2  x  1  x  x  0    x 2 a  b 2  x 1   2 x  x 8  3x  5 x   x  3x 3x x 2 36.32 x  x 2 22.332  x  x 2 2  x 1  13 x 5  x  x  x  12 0   x2  x 1  13 35  x  c d x 1 2 x  1  3 3 x  2 x   x  1     x   log 5 3 x  64 18log  64   3log  x  64 18log  x  x 1 x 3 x .8 2 2.0,125  1 2 5  Bài Giải các phương trình sau : x x1 a 72 c 3 2 3x x 1 x x b  6.5  3.5 52 3  2 d  0, 75  x  1    3 5 x GIẢI x x 1 x x 1 x a 72  3  6  x 2 3  5x 1  6.5x  3.5x  52  5x     52  5x  52 5  x 1 5 52  b 3x 3x 1  2 3  2   2   2  x  c  d   0, 75 x   1    3 5 x 3    4  x  4    3  5 x   3    4 x  3    4 x  x   x   x  Bài Giải các phương trình sau : 1   a   x2  x  7 x 1 b 32 x 5 x 0, 25.125 x 17 x c x 4 2 x 2 5 x 1  3.5 x d  0,5 3 x  2 x  GIẢI 1   a   b 32 x2  x  7 x 1  x  x   x   x  x  0  x   x 2 x 5 x 0, 25.125 x 17 x 5 x   2 x 3 x 17  2 2 x 5 x   2 x 2 3 x 17  5 x   x  5  x  17  2  log x x  x 3  x  11 x  51 2 5   log   x 7 x x  2  x  10 x  33  3x  30 x  357  log    3log  x   15log  x   33  357 log  0 x 11 x  x 51 x  x  5  x  17   15log   ' 2  log   ' 1296 log 22  2448log  256   x1,2  x x  3log x 20  5 x 4  x 2 5 x 1  3.5x  x   2  5 x          x 1  2 c  0,5 3 x    x 2  2 x x x 2   3x    x 0  x   d * Chú ý : Khi giải các phương trình sau : x a x x x x x1 b 36 500 x 5 x 17 x x x c 32 0, 25.125 d 4 x GIẢI a x.8 x x 500  5x.2 3 x  1 x 53.2  3 x  1 2 x 53 x  x   x  log  x log    3log  x  0 x 3log    3log  x   2log  log 2     3log   12log   3log    3log    3log  6 x  log  b x  x x 1 36  3x x 1 2 2  3x 2 x 1 4  x log  x 1  x   log  x    log   log  x 2  log x  4 4  3 log    log3  x log  log3   3 d 4x 3x x x II PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ - ĐẶT ẨN PHỤ Bài Giải các phương trình sau : 1 x a c x 8 b  31 x 10 x 1 x 1  6.2  0 d  4.32 x5  27 0 3.52 x   2.5 x   GIẢI 1 x 1 x 1 x a  10 Vì : x+1+1-x=2 suy : 1 x 3 1 x 3  t 3 1 x  32   t t  t 1  31 x 1  x  t  10  t  10t  0   1 x t  t 9  3  x 1 Vậy phương trình trở thành : 2 x 4  x 8 x 5  4.32 x 4.3  27 0 Đặt : t 32 x   , thì phương trình trở b  4.3  27 0  3  t 3  32 x 4 3  x  1  x   t  12t  27 0   x 4 3  x  2  x   t 9  thành : t 2 x 1  t  x 1  6.2 x 1  0  22 x 1  6.2 x 1  0    t  6t  0 t 2  t 4 c  t 2  x 1 2  x  1  x 0  x 1  t 4  2  x  2  x 1 t   t 5    t 1 3.52 x   2.5 x    3.52 x  2.5 x 1      t 1  x 1  x 0 3t  2t  0   t     d x Bài Giải các phương trình sau : 1   a   c 1   b   x 3 x 5 x 2 9 4 x   x 65 x  12 53 x  d  15 1 x GIẢI a 1    4 x 1    6 2 x 5 x 9  2  x  2 2 x t  t 22 x   9      t   t 9  22  x 32  x 2  log t  8t  0   t 9  2 x t 6  65 x  12  63 x 65 x  12  6.6 2 x 6.6 2 2 x   12    t  t  0 b   x log  x 2  log t   2 x 2  t   3 x 4 x    3.2 x  22 x  4   22 x   t 2 x    6.2 x   0    t  6t  0 c    x  3   x 4  log    x  3   x 4  log  2  x d t     t 3     t 3    t 5 x   2 x x  1 x  15  2.5  15   5t  10t  15 0 t      t   t 3  x  3  x 2  log   t 3  Bài Giải các phương trình sau : 1 x a 1 x 5 26 x 1  1    3   3 c   1 x b 23 x      x  x  1 3x 2   72 x 6.0,7 x  x d 100 12 GIẢI 51 x  51 x a b 23 x  t 51 x   26   25  t   26 0 t      x  x   1  3x 2   t   t 1  51 x 1  x  t      t 1   2 1 x t  26t  25 0   t 25  t 25  5  x 1   x     x x x x             x 1    x   2x  2x     x        2 1  3 1  1x  1x  1x  1x  log  x log      12        12 0   x  3  3  3  3  x    5  3 c   0,  x   72 x 2x x x 6.0,    0,    0,   0   100 x   0,  x 7  x log 0,7  d Bài Giải các phương trình sau : a 16 sin x 2  16cos x 10 1 x 1 x d  24 GIẢI x 1 b  x 1 2 x 1 x e  12 2 x 2 x c  30 x f 1  2.54 x  123 0 t  t      t 2 2 t  10t  16 0   t 8  16 sin x  16 cos x a t 16cos x   10  16    t  10 0 t  t 2  2cos x 2  cos2 x 1  x k   t 8  2cos x 23  cos2 x 1  x   x 1 x x 1  3 t 32 x  30   81  t   30 0 t  b 2 x 2 x c  x 2    2  2  0  x x 2  0    1 x 1 x 5 d   x 2  t  t      t 3  2 t  30t  81 0   t 27  2 x t 51 x  t   24   25 2  t  24 t  25  t   24    t  x 1  x 1  32 x 3   x 1  x   2 x  3   x 3  x 1 t   t   t 25   51 x 52   x 2  x 1  x 1 2 x 1 x 3 e t 31 x   12  3.31 x  31 x  12 0   27   t  12    t t  t      t 3 2 t  12 t  27     t 9   31 x 3   x 1   1 x    x     f 5x 1  2.54 x  x 0  x 1  2 2.125  123 0  5x   x2   123 0  x   Dạng    123 x 1   2.125 0  m  a  f ( x )  n  a.b  f ( x )  p  b  f ( x ) 0  f (x) f (x)  f ( x)  n  a b   p  b  0  m  a  Bài Giải các phương trình sau : x a 2.4 1  6x x 1 x 9 x x x x b 6.4  13.6  6.9 0 1 c 3.16  2.81 5.36 x x x d 2.4  3.9 x GIẢI 2.4 a x 1 6 x 1 9 x 1 9    4 x 1 x 1         x 1    6     0    x  log x 1  4      2    x log    x  log  2  x      x x  2 9  6 6.4 x  13.6 x  6.9 x 0     13    0   x   4  4      x 1    b   x    1  x 0 x x  4  81   36  x x x  3.16  2.81 5.36        0   x   x 1  16   16            c  x        1 1    9x  6x 2.4 x  x 3.9 x        0    4  4    x          x   2   d Bài Giải các phương trình sau : 53 x  9.5 x  27  53 x  x  64 x x x a 18 2.27 b x x x1 c 125  50 2 x d 1  18x 1 2.27 x GIẢI   x 0 t   27   18  x  18 x 2.27 x        0         8  2t  t  0 x a 125x  50 x 23 x 1 c x x t   3  t 1    1  x 0  2  t  1  2t  t  1 0   x x x 0 t   125   50         0         3 t  t  0 x t   5   t 1    1  x 0  2  t  1  t  2t   0 8x d 1  18 x 1 2.27 x 1  27   2    x2   18     8 x2    x 1 t  0  0       2t  t  0 1 x t   3   t 1     2  t  1  2t  t  1 0 1 1  x  0  x 1 Bài Giải các phương trình sau : 1 1 x x x a 49  35 25 1 x x x b 9.4  5.6 4.9 1 x x x c 5.25  3.10 24 1 x x x d 6.9  13.6  6.4 GIẢI  x   t     49   35  49  35 25        0       25   25  2 t  t  0 x a x x x x t  1   1  t  t    1    x 1  7     log    x log 1   x   5  5  b  x   t    9  6 9.4  5.6 4.9        0       4  4   4t  5t  0 x x x x x x t    t        t    1 x x x  5x           x   2 x  2 x t   x           x   t    x   3     x  2 1   t        2  x   2 x     Bài Giải các phương trình sau :  3x  3       x   2  2 x  x   t    9  6 6.9  13.6  6.4     13    0      4  4  6t  13t  0 x d t     t     t 9    x   t   25   10  0 5.25  3.10 2.4        0        4  5t  3t  0 x c x x x x x a 4.9  12  3.16 0 x x x1 c 25  10 2 x x x b 3.4  2.6 9 x x x d 27 12 2.8 GIẢI t     t  t    t    x   3 t  x x x t      9  6  3 x x x 3.4  2.6 9        0        t 1  t 1     4  4  2 2   t   t  2t  0   x 0 t     12  4.9 x  12 x  3.16 x 0        0       16   16   4t  t  0 x b x c   x 0 t   25   10         0         4 2 t  t  0 d   x 0 t   27   12  27 x  12 x 2.8 x        0         8 3 t  t  0 x x x 25  10 2 x 1 x x x x  3     x 1  4 1  x 0 t  x   5   t 1  t 1    1  x 0  2   t   t    t  1  t  t   0 x  3  t 1    1  x 0  2 m.a f ( x )  n.b f ( x )  p Dạng  a.b 1 Bài Giải các phương trình sau : x   c a x     35  12 4     4  35 cosx x  3   7       8     b x cosx 5 d  x  21   21  x 2 x3 GIẢI    x   35    35   6 35 a      6  35  x 6  x   x  t   35 12   t   12 0  t  35   35  6  35   1  35    x 0 x   x  2  x 2 t  2  t  12 t    t     t 6  35     t 6  35  3 x   1  x 0 t          t 1   x  3    t 7   7  x log 3       b  cosx 74    7   t   4   t   0  t  cosx c t      t 2      t 2  5  x  74 3    21   21 x    21  t        7t  8t  0 cosx 74   3 74  Do : d       x 2  cosx   2   2  cosx  1  cosx 0  cosx=-1  x= +k2 2   cosx=1  x=k2 2  3;     3 2  x 2 t  2 t  4t  0 x   21    21        8     x3    21  x   1 t    x 0  0     x log    t 1    x  21     21    t 7    7      Bài Giải các phương trình sau :   c a sin x sin x   5       14 52 x 3 2 b x   48 x d  2 x     7 48   4 2      x x 14  4  GIẢI  sin x 52   5  a sin x  t   2   t   0  t   b x  48   7 48  x   2  sinx 0   2 t     2 t  2t  0  1  s inx=0  x=k  t   48 14   t   14 0  t   sin x  x 0 t  2 t  14t  0  sinx 0     t 7  48     t 7  48    7 x  3   3   48   x c x        3       1    8 3 x x  48  7  48   48 x 7  48   x 2 x     1    0  x  2log 2 1    x 2 log 2 1   32 32     3    3   3 x d t  2 t   t      2 x     x   x  2 x x   1 x 1  x 2  t   14   t   14 0  t  7  48 7     7  48   t  2  t  14 t      2    2 x             t 7  48   t 7  48 x   1       1        x   t     4    t    t      t 1  t   0      x 0     0  2       x  1     x  x 0   x 2 Bài Giải các phương trình sau : a  2  x2  x 1 x  c   21    2   x2  x   2 x x   2    1  b    16    2 d x x   2 0 x 1 x3 GIẢI x  x 1  t  2 0  x  x 1 x2  x   2  2     0 2 t  2 t  2 a Do :  t 1 t     t    2   t   t  0  2                      x2  x  =   2   2  x2  x 1  b x     2 32 x2  x 1  1   2    x 1  1  t   x     t  2t   0        c    t      t    t 1      21  t    t   1 x      x 1   x 1   x 1   x 1  1 x  1   x 1 t   x  x t     2 0   2 t  2t  0   t  2 0 t x   x  x  0  x 1    x  x   x  x     0  t 2    x    x log Dạng 1 m.a f ( x )  n  a.b  f ( x )g ( x )  p.b g ( x ) 0 Bài Giải các phương trình sau : 2x x a  8.3 x 4 x c 8.3 x4 9  9.9 x 1 x 4 9 b 0 x x 1 d  9.2 x  x  22 x 2 0 x 3.2 x x  41 x Bài Giải các phương trình sau : a 22 x 3  x  5.2 x 3 1  2x4 0 2x x b  2.2 x 3 4 GIẢI 2x x  x 4 x 4  9.9 0 Chia hai vế phương trình cho : a  8.3 Khi đó phương trình trở thành :  x  x 4  x   x  8.3 x 4  t 3 x  x 4    0    t  8t  0 t    x   t     t 9  x 4 x 4  32 x 4  32  x 2  x 2 x  2  x   x      x 5  x  x  x   x  5x 0 2 2 x 1  9.2 x  x  22 x 2 0  2.22 x  9.2 x x  4.22 x b 2x Ta chia hai vế phương trình cho :  PT trở thành : x 3 0 t   t 2 0 2 x  x    2.2  9.2 x  x  0      t  2  2t  9t  0   t 4 x2  x  x2  x  2  x  x   x  x  0       x2  x x  x 2 x  x  0   4 2  c 8.3 x 4 x 9 x 1 9 x  8.3 x 4 x  9.32 Ta chia hai vế phương trình cho : Phương trình đó trở thành : x x  x   x 2  32 x 0 t   t 3 x  x  x  t    0      x 9t  8t  0    t  9    8.3 x x  x  9.3 u   u  x       u   u  u  0   u 2   x d 3.2 xx  41 x  22 x 3.2 Chia hai vế phương trình cho : x  4.22 x x  PT trở thành : 3  x  x  x 2  x 2 t  t 2 x  x   2  3.2  0      t     t 4 t  3t  0  u 0 u  x 0  4 2  x  x 2      u   u 2  x 2  x 4   u 2 u  u  0   x  2x x x x x  x x Dạng hỗn hợp Mũ-Logrit : log b b  a log b b log  Chú ý sử dụng công thức : a a Bài Giải các phương trình sau : 3 log x 25 x a 5 c c a log x  x2 b 9.x c x GIẢI log log x x  x log d x 3 log x   log x 100 10 3 log x x  x   25 x   53   x 5  x   : x   2 5 5 x  log5 x 25 x 5 a log x x  Lấy log rit số hai vế , ta có phương trình : b 9.x  x   x  x      x 9  2 log x 1 1   log x   log x 0  log x  1 0 log  x 3log x  xlog Sử dụng công thức : a logc b b logc a Phương trình biến đổi thành : c x  3log2 x   9log2 x  x 3log x  3log2 x 0  3log2 x  3log2 x  x  1 0   log x  3log2 x  x2  2  x  0 3 t t Đặt : t log x  x 2  x 4 Phương trình : t log x 3 t  3  1  x  3 4         0  4  4 Xét : t t t t t t  3  1  3  3  1  1 f (t )        f '(t )   ln      ln     t  R  4  4  4  4  4  4 Chứng tỏ hàm số f(t) là hàm số nghịch biến : Do f(1)=0 cho nên : - Khi x>1 : f(x) <f(1)=0 : Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 : f(x)>f(1)=0 : Phương trình vô nghiệm Vậy với t=1 thì phương trình có nghiệm :  log x 1  x 2 d x 3 log x   log x x 100 10  Lấy log hai vế , phương trình trở thành : 3 log x   log x  t log x    100 10    log x   log x  log x 2   0  x 1 3    3t  t  0 3     t log x   0  x 1     t     t   Bài Giải các phương trình sau : log9 log x a x  6 log c GIẢI 2x  x log2 2.3log2 x  0  x 1     x 10   log x    x 10   log x   log x  x log 63log b 2 x lg  100 x  lg  10 x   6lg x 2.3 d log9 x 9 log x a log x b x 0  x 1 6   log x log x  9  6 log 3log x log x 6 3 log x 3 0  x 1   log x 9 3 3log x 6 0  x 1   2log x 3 3 log x  2.3 3log x 6 0  x 1    x 10  10 log x   3  3 6  log x   log x log 72 c log 2 x  x log log 1  x 2 72 2 2.3log2 x  22 1log2 x   6log2 x 2.3 22log2 x   4.22log2 x  6log2 x 18.32log2 x  4.22log x  6log x 18.32log x t     t         t     3    2 log x    log2 x x  0  t  2log x     log2 x      3 18   4      2   4 18t  t  0  3     2 2  log x   x  lg  100 x  lg  10 x   6lg x 2.3  41lg x  6lg x 2.322lg x  4.22lg x  6lg x 18.32lg x d 2lg x Chia hai vế cho :  t     t   0      4 0  t    lg x  6  4    4 lg x  3 18    2 2lg x   3 t       18t  t  Bài Giải các phương trình sau : 2log  x  16  log  x  16  1 2 24 a 3  3    2 1 log b 2 lg x  3lg x  4,5 10 2lg x c x d log x x  3     2    2log  x x log x1  x  1   x  1 log x 1 x t  log  x  16      t   22   t 4 t  2t  24 0  log  x  24  t 2   16 1 a  16  0  log  x  16  2  x  16 32 9  x 25  x 5  : x   1 log x  b  224 x 2log x  2.2  log x    224  log x 2log x   log x   x   224  x 2log2 x GIẢI 2log x  16 2 t 2 log2 x    t  2t  224 0 2 t  2     t  14  2 log2 x  2   log x  4    t 16 24  lg c x x 3lg x  4,5  2  x 2    x 2 4 10 2lg x  Lấy lg hai vế    lg x 0  x 1   3 10  10  lg x  lg x  lg x  lg x  3lg x  4,5   0   lg x    x 10  3 10    lg x 3  10  x 10    d x log x1  x  1   x  1 lg 2x  3lg x  4,5  log x   log x 2   log x1 x  0  x    log x 1 x 1    x  1   log x 1 x 1 2   x  1  1  x     x x 1   x     x  x  log x1 x   x  1 log x1 x 2   x  1 log x1 x 1  1  x    0 1  x2  x    0 1 Bài Giải các phương trình sau : a 27 log x x log  0,12  30 log x x b 5 3     log x  x  1 GIẢI log x t 3  27log2 x  x log2 30  33log2 x  3log2 x  30 0    t  t  30 0 a  t 3  3log x 3  log x 1  x 2  0,12  log x x 5 3     log x  x  1 b Nên phương trình trở thành :  0,12  log x x 5 3     log x  x  1  log x  t    t  3  t  3t  10  0 12  3   5  0,12    ;     100 25     3      3  2log x x      3 log x  x  1   log x  x log x   x  1  0  x      2 x  1   x  log x      x  x2 x        2 x  x  1  x    0 2 x  x   x    0 2 x  x   1  x   T1  1;     f ( x) 2 x  x   f (1) 0   T T1  1;  x 2    T2    f ( x) 2 x  x   f (2) 11  III PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Bài Giải các phương trình sau : x 1 x x a 2.3  6.3  9 x x  0,5 3x 0,5  22 x  b  x 8 x 5 c  4.3  28 2 log 2 2x x 2x x d   35.5  36.7 0 GIẢI 2.3x 1  6.3x  3x 9  2.3.3x  .3x  3x 9  3x  3  x 1 3 a x 3 x  0,5 3 x 0,5 2 x b x          4.3    x 8 x 5  4.3 1 x  3   22 x  3.3x      2 2x   x    3 x    3    x log       3  4  3   x 4  x 4  28 2 log 2   4.3.3  32 x  3  x  1    x4 x        x    x  c t      t 3    t 9  2x t 32 x 4   28 1   t  12t  27 0 x 35  25   35  52 x  x  35.52 x  36.7 x 0  35.7 x 34.52 x      x log 25   34    34  d Bài Giải các phương trình sau : x  2 x  4 x 1  x 2  2x a x  x x x c 8.3  3.2 24  x2  x 2 x  x 5 x 3 x  4 4 b x x x1 d 12.3  3.15  20 1 GIẢI a    x 2 x 1  x  2 x 2 x  4  x    x 2 x 1  x    x 2 x  4  x  2  x   x  1 2 x  2  x  1 1     x  0 x  x  x       x  1 2 0   x  2        x  0   x   x   x  x   x 3 2 2 2 x  x 2  x 6 x 5 42 x 3 x 7 1 Vì :  x  3x     x  x   2 x  3x   a  b 2 x  3x  b  x  2 x  Cho nên phương trình trở thành :  4x  x 2  4x 6 x 5 42 x 3 x 7 1  4a  4b 4ab 1   4a  4ab    4b  1 0   4b  1   a  0  4b 1  x  3x  0  a    1  x  x  0  x 1  x 2  x   x   c 8.3x  3.2 x 24  x   8.3x  24    3.2 x  x  0   3x    x   3x  0   3x     x  0  3x 3  x 1  x   x 3  8 2 d 12.3x  3.15x  5x 1 20   12.3x  20    3.15x  5x 1  0   3.3x    5x  3.3x   0  5   3.3x     x  0  3.3x  0  3x   x log    3 Bài Giải các phương trình sau : x 3 x a  x.2   x 0 x c x b 2 x.2 x 2  x  1  x   x  x d  21 x 2 x  1  x  4.2 x  x  22 x  0 GIẢI 1   x.2 x  23 x  x 0    23 x    x.2 x  x  0    x   x  x  1 0   a 8     x  1  x  x  0  x  x 0  f ( x ) 2 x  0 x 2  f '( x) 2 x.ln   0x  R  f ( x) x2 là hàm số đồng biến Ta thấy : Mặt khác : f(2)=0 Suy : - Khi x>2 thì f(x)>f(2)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)<f(2)=0 Phương trình vô nghiệm Vậy x=2 là nghiệm phương trình b x.2 x 2  x  1  x   x    x.2 x  2.2x     x  3x  0  x  x     x  1  x   0  x  0  x 2  x 2   x    x  x  1 0     x x  f (0) 0  f ( x) 2  x  0  f '( x) 2 ln   - Do hàm số đồng biến , : + Khi x>0 thì f(x)>f(0)=0 Phương trình vô nghiệm + Khi x<0 thì f(x)<f(0)=0 Phương trình vô nghiệm Vậy x=0 là nghiệm f(x)=0 Tóm lại phương trình đã cho có hai nghiệm là x=2 và x=0 x c x 2  21 x 2 x  1 1  22 x 2  2x  21 x 2 x  x 1 1 Đặt : a 2 x  x; b 1  x  a  b x  x  Khi đó phương trình có dạng :  2a 1  a 0  2a  2b 2a b    2a  1  2b   2a  0   a  1   2b  0   b    b 0    x  x  0  x 0  x 1    x 0; x 1   x 0  x   x 1 Bài Giải các phương trình sau : 2 x  x6  21 x 2, 26 x  a 2 x 3 x2  x  3x 2 x   x c  x b  x 1  2 x 1  x  x 1 x x x x x x d   7   GIẢI x a 2  x 6  21 x 2.26  x 1  a 6  x; b 1  x  a  b x  x  Nên phương trình có dạng :  2.2a    b  2.2  2.2     1  2.2  b  1 0    1   b  0  2    2b 1   x 0  b 0  x 1   1a  b    1   a  b 0  x 2  x 3 2  x  x  0 a b x b  x 1 b a b  2 x 1  x  x 1 a  22 x  x 2  2 x  x 1  2x  x 1 .a  x  x  1; b  x  x   a  b 2 x  x  Vậy phương trình có dạng :  2a b  2a  2b   2a b  2a    2b  1 0   2b  1  2a  1 0  2a 1  a 0  x   x  0  b     x  x  0  x 3 2  1  b 0 2 2 2 x 3  3x 2 x  3x 2 x   x  8.2 x  x  3x  x   3x 2 x  0  9.2 x  3x 2 x   x  3 x 2 x  3 c Lấy log rít số hai vế , ta chuyển phương trình dạng :  x log   x    log  x  log  0    x 2 4.2 x  x  2.2 x 49.7 x  7.7 x  x x  x   x  7 x  x  x    49 d x 57 9.49 343  7  343   x  x       x log   49 4.57 228  2  228  IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ f ( x) f ( x) f ( x) Dạng : m.a  n.b  p.c Bài Giải các phương trình sau : x x a  10  b x x 52 x x c GIẢI   3   3 x 2 x     1 3x     x   3 d 5 x  x  10 x x  1  1       x   2  6 a x x x x x x  6  8  6  8  6  6  8  8 x  x 10 x       1  f ( x)        f '( x )   ln      ln     10   10   10   10   10   10   10   10  Chứng tỏ hàm số f(x) là nghịch biến Mặt khác , ta có f(2)=0 - Khi x>2 , thì f(x)<f(2)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)>f(2)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=2 x b x  52   5  x x  52   5     1  10 x    10   10      x x  52   5      0  f ( x )   10   10      x x  52   52   5   5   ln     ln   0  f '( x )     10  10   10  10          Chứng tỏ hàm f(x) luôn đồng biến :Mặt khác : f(1)=0 - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=1 x c   3   3 x x x x x x  2   2   2   2   f '( x )   ln      ln    2 2         Chứng tỏ hàm f(x) luôn đồng biến :Mặt khác : f(1)=0 - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=1 x x x x x x 1  1  1  1  1  1     x        x   3x  x            3  2  6  3  2  6 d x x x x VT  f ( x) 3    f '( x) 3 ln  ln  ; f (1) 7 x x x x  2   2   2   2  2       1  f ( x)       0         x x  1  1  1 VP  g ( x)           3     Là hàm số nghịch biến Mặt khác :g(1)=7 Cho nên : Khi x>1 f(x)>f(1)=7: VT>7 , còn VP<g(1)=7 Phương trình vô nghiệm Khi x<1 : f(x)<f(1)=7 Nhưng VP> g(1)=7 Phương trình vô nghiệm Chứng tỏ : x=1 là nghiệm phương trình Bài Giải các phương trình sau : x x x x x x a  1 b   10 x x x x x x c   12 13 d  6 x  GIẢI x x x x  1  3  1  3  1   4       1  f ( x)       0  4  4  4  4 a x x x x x x  1  1  3  3  f '( x)   ln      ln     4  4  4  4 Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến Mặt khác : f(1)=0 Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=1 x x x x x x  2  3  5  2  3  5 x  3x  x 10 x          1  f ( x)          0  10   10   10   10   10   10  b x x x  2  2  3  3  5  5  f '( x )   ln      ln      ln     10   10   10   10   10   10  Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến Mặt khác : f(1)=0 Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=1 x x x x x x      12       12    12 13          1  f ( x)          0  13   13   13   13   13   13  c x x x x x x x          12   12   f '( x)   ln      ln      ln     13   13   13   13   13   13  Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến Mặt khác : f(2)=0 Cho nên - Khi x>2 , thì f(x)<f(2)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)>f(2)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=2 x x x x d  6 x   f ( x) 3   x  Rõ ràng phương trình có hai nghiệm là x-0 và x=1 Ta có : f '( x ) 3x.ln  x ln  f ''( x ) 3x (ln 3)  x (ln 2)  lim f ( x) ; lim f ( x)  x   : x   Suy f'(x) là hàm số liên tục , đồng biến và nhận giá trị dương lẫn giá trị âm trên R , Nên phương trình f'(x)=0 có nghiệm x0 Ta lập bảng biến thiên suy hai nghiệm phương trình , không còn nghiệm nào khác f ( x)  B ( x).a f ( x )  C ( x) 0 Dạng A( x).a Bài Giải các phương trình sau : a 32 x   3x   x     x 0 b 255 x  2.55 x  x     x 0 c x   x   3x  x  0 d 25x    x  5x  x  0 GIẢI a 32 x   3x   x     x 0 Ta nhân hai vế phương trình với Ta có : t 3x     x      x  0    t   x   t    x  0 2x x t   3x 1   t   x   x  f ( x) 3  x  0   t 1    x 0  x  f '( x) 3 ln   Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác : f(1)=0 Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=1 - Kết hợp với x=0 Chứng tỏ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm là : x=0 và x=1 t  5 x  t     255 x  2.55 x  x     x 0      t    t 2 x  t   x   t   x 0  b  55 x 2 x   f ( x) 55 x  x  0  f '( x)  55 x ln   Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến Mặt khác : f(4)=0 Cho nên - Khi x>4 , thì f(x)<f(4)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<4 , thì f(x)>f(4)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=4 t  t 3x     x    x  0      t   3x 5  x   t 5  x t   x   t  x  0  c  f ( x) 3x  x  0  f '( x) 3x ln   x x Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác : f(1)=0 Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=1 t  t 5 x    25    x   x  0      t   x 7  x   t 7  x t    x  t  x  0  d  f ( x ) 5x  x  0  f '( x) 5 x ln   x x Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác : f(1)=0 Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm là : x=1 Bài Giải các phương trình sau : x   x  3 x    x  0 a 32 x    x  10  3x    x 0 b c 3.4 x   x  10  x   x 0  2 2 d log x   x   log x 1  x GIẢI x 3   x  10  x 2 x     x 0  3.3   x  10  x a t      t      t 3  x   3x  3   x  3  x x t 3    x 0   3t   x  10  t   x 0  x 1  f '( x) 3x  ln    x  f ( x ) 3  x  0 Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác : f(2)=0 Cho nên - Khi x>2 , thì f(x)>f(2)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)<f(2)=0 Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x=2 b x   x  3 x    x  0 Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn là x  x 1  x  f ( x) 2 x  x  0   x  1     f '( x) 2 x ln    x 2  x 2 Khi đó : Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác : f(1)=0 Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x=2 t   t 2   3.4 x   3x  10  x   x 0      t    3 t  x  10 t   x       t 3  x   x  log   f '( x) 2 x ln   x  f ( x) 2  x  0 x Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác : f(1)=0 Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 Phương trình vô nghiệm Vậy chứng tỏ phương trình đã cho có hai nghiệm : x=1 và x  log  x 3  x  3  x  d 2 log x   2 2    x  log x  2  log x log x 1  x  2log2 x  x    log x  Vì : Vậy : phương trình đã cho trở thành : t   log2 x     x t     x  0  t   x  2 2 t   t 1   2  2 t    x  t  x 0  t x log x  2         log x 1  log x 0  log x log x  2log x  x     x 1   x 1 log x   f ( x)  a g ( x )  f ( x)  g ( x) Dạng a Bài Giải các phương trình sau : a x  x x  x  1 8 x 4 1 x 12 x x b  4 x.3 c x 4 x 2 5 x  x  d  2 2  2sin x  3sin x  2cos x  3cos x 2cos x GIẢI 2x  2x x  x  a  x  1; b  x  x  b  a  x  1   a Phương trình đã cho có dạng :  2a  2b b  a  2a  a 2b  b t t Ta xét hàm số : f (t ) 2  t , t  R  f '(t ) 2 ln   Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Vậy đẻ f(a)=f(b) xảy và : a=b , hay b-a=0 1 x b  x Vì : b 2   x  1 0  x 1  312 x 4 x.3 x  3x  x 1  3x 2 x 1 4 x  x  1   x  x 1 4 x  b  a 4 x a a Phương trình đã cho có dạng : b   a  b   a 3  b t t Ta xét hàm số : f (t ) 3  t , t  R  f '(t ) 3 ln   Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Vậy đẻ f(a)=f(b) xảy và : a=b , hay b-a=0 c  x 0 0  x 0 5x 4 x2  52 x 8 x4 x  x   x  x     x  x   2  5x 4 x 2   x  x   52 x 8 x 4   x  x   t t Ta xét hàm số : f (t ) 5  t , t  R  f '(t ) 5 ln 1  Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Vậy đẻ f(a)=f(b) xảy và : a=b , hay b-a=0  x  x  0  x    x   d  2   2  2sin x  3sin x  2cos x  3cos x 2cos x  2sin x  3sin x  2sin x  2cos x  3cos x  2cos x t t t t Ta xét hàm số : f (t ) 2   2t , t  R  f '(t ) 2 ln  ln   Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Vậy đẻ f(a)=f(b) xảy và : a=b , hay b-a=0     cos2x=0  2x= k  x   k ;  k  Z  Bài Giải các phương trình sau : e x e x a c x  x 1 2 1   2x  x  x b  x  3x  x  0 1 x x2 x d 2 2  x 1 1 x x2 1   x  x   x  x  0 GIẢI e x  a 1 1 e x    f (t ) et  ; t   f '(t ) et   2x  x t t  x 3 x  )  f ( x  1)  x   x     x 4 Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để f( 1 x 2 x2 1 x 2 x2 1  x   x2  x2  x   1 1   ;       2    2 x x x  x 2 x  x  b Cho nên phương trình đã cho có dạng : 1 2a  2b   b  a   2a  a 2b  b 2 1 f (t ) 2t  t ;  f '(t ) 2t.ln   2 Xét hàm số đặc trưng : Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng 1 1    0  x 2 biến Vậy để f(a)=f(b) , xảy và : a=b , hay b-a=0  x  c x2  x 1  x  x  3x  x  0  x2  x 1  x  3x 1 2 x  x  - Bằng cách xét các bài trên ta có kết :  x 3  x  3x   x   x  3x  x      x  x  d x  x 1  x 3  x 3   x 3  2x   x  x  0  x  x 1  x  3x 1 2 x   x   x 1 x  x  0    x 3 Tương tự Kết bài là xảy dấu : Bài Giải các phương trình sau : 2 cos x  2sin x cos2x a 2 cos x sin x cos2x b e  e  c 2 x   3 x    x x cos36    cos72  d  x 3.2  x GIẢI : a 2 2 2 2cos x  2sin x cos2x  2cos x  cos2 x 2sin x  sin x Do : sin x, cos x 1  t   0;1 Ta xét : f (t ) 2t  t t   0;1  f '(t ) 2t ln   0t   0;1 Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến Vậy để f (sin x)  f  cos x  , thì xảy :    sin x cos2 x  cos2x=0  x=  k 2 2 2 cos2 x  esin x cos2x  ecos x  cos x esin x  sin x Do : sin x, cos x 1  t   0;1 b a e f (t ) et  t t   0;1  f '(t ) et   0t   0;1 Ta xét : Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến Vậy để f (sin x)  f  cos x  , thì xảy :    sin x cos x  cos2x=0  x=  k  c 3 x   3 x    x a  b  a  b  a  b  ab a  b  ab 0 a - Ta chứng minh bất đẳng thức sau : x b  a  b  a  b  ab a  b  ab 0 x x           Vậy phương trình vô nghiệm * Khi x>0 thì :           Phương trình vô nghiệm * Khi x<0 thì x x x * Khi x= Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình vô nghiệm x cos36    cos72  d  x 3.2  x 0 0 0 -Do : cos72 sin18 ; cos36 sin 54 sin 3.18 Cho nên đặt t= sin18  , và dùng công thức 0 0 3 nhân ba ta có : cos 36 sin 54   2sin 18 3sin18  4sin 18  4t  2t  3t  0   1 0 t  1 2    t  1  4t  2t  1 0  4t  2t  0   cos360   5 sin180 t   Khi đó phương trình có dạng : x x x x  1      1     x       3.2       3         Xét hàm số : x x x x  1      1   1        f ( x)       0  f '( x )   ln      ln                Chứng tỏ hàm số f(x) luôn nghich biến Mặt khác : f(2)=0 - Khi x>2 , thì f(x)<f(2)=0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x) >f(2)=0 Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = Dạng Đánh giá hai vế Bài Giải các phương trình sau : a 3x 4   x   3x  1 2 sin x cos x x x b  2   GIẢI x42 x34.1 a  x   x    3x 4 - Khi x>2 , thì x đúng Vậy : x>2 là nghiệm x   x    3x 4  30 1  3x  30 1  3x 2 4 4   x   3x     x   3x   Bất phương trình - Khi x<2 thì : Như : x<2 không là nghiệm bất phưng trình - Khi x=2 , thay trực tiếp vào phương trình , ta thấy xảy trường hợp đẳng thức Tóm lại : x 2 , là nghiệm bất phương trình * Trên đây là số bài giải phần " Bài tập phương trình mũ " Tuy đã cố gắng , không tránh khỏi thiếu sót phương pháp trình bày lời giải Rất mong đóng góp tất các em học sinh , các đồng nghiệp có kinh nghiệm khác , tôi có thể nâng cao chuyên môn kinh nghiệm biên soạn