Phơng pháp 2: áp dụng đối với các biểu thức có dạng: y=.[r]
(1)Chuyên đề: Tháng 10/2009 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y=f(x) *) Bµi to¸n tæng qu¸t: " T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x) " §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy ta sö dông mét c¸c ph¬ng ph¸p sau: Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n: Ta biến đổi y = f(x) cho: +) y = M - [ g(x)]2n , n Z+ ⇒ y M Do đó ymax = M và g(x) = +) y = m + [h(x)]2k , k Z+ m Do đó ymin = m và ⇒ y h(x) = VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) HD: Ta cã : y = ( x2 + 5x + )( x2 + 5x + ) = ( x2 + 5x + )( x2 + 5x + + ) = ( x2 + 5x + )2 + 2( x2 + 5x + ) + - = ( x2 + 5x + +1)2 - = ( x2 + 5x + )2 - Do ( x2 + 5x + )2 nªn y -1 VËy miny = -1 ⇔ ( x2 + 5x + )2 = − ±√5 ⇔ x= VÝ dô 2: Cho P = - 2x2 - y2 + 2xy + 6x - T×m Max P Gi¶i: P = - x2 + 2xy - y2 - x2 + 6x - + = - (x - y)2 - (x - 3)2 + V× - (x - y)2 vµ - (x - 3)2 => P = - (x - y)2 - (x - 3)2 + 1 DÊu “=” x¶y <=> x − y ¿ 2=0 ¿ x −3 ¿ 2=0 ¿ ¿ ¿ <=> x= y x=3 ¿{ VËy MaxP = 1 x = y = Phơng pháp 2: áp dụng các biểu thức có dạng: y= A ( x) B(x ) víi B(x) b Cách 1: Chia tử cho mẫu để đa dạng: y = a ± B( x ) VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: g(x) = a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: Ta cã: g(x) = x −2 x −2 x + x+1 x − ( x2 +2 x+ ) x + x +1 = 3x x + x+ -2 -2 ( §¼ng thøc x¶y x = VËy g(x) = -2 x = b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: x 3x x + x+ ) (2) Ta cã: 1 1+ + x x g(x) = - mµ 1+ 1 + x x2 = 1 + + x ( ) 4 - = 2, đẳng thức xẩy x = -2 Vậy max g(x) = ⇒ g(x) x = -2 VÝ dô 2: Cho y = Gi¶i: Ta cã: a − a+3 a2 +2 T×m Max y a − a2 − a+4 − a +2 =2- a+1 ¿ ¿ ¿ ¿ thøc x¶y a = -1 VËy Max y = a = -1 C¸ch 2: T×m miÒn gi¸ trÞ x +1 x + x+ y( x 2+ x +1 VÝ dô : Cho y = Ta cã (1) ⇔ tho¶ m·n th× : Δ ( v× a+1 ¿ ¿ ¿ ¿ 0) §¼ng (1) T×m Max y, Min y ) = x2 + hay (y - 1)x + yx + (y - 1) = để (1) = y2 - 4(y - 1)2 ⇔ (3y - 2)(2 - y) ⇔ y≤2 VËy x +1 x + x+ VËy Max y = x = -1 Min y = x = Phơng pháp 3: áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Ta cã: a + b a + b a- b a - b DÊu “=” x¶y <=> a.b VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = √ x − 12 x +9 + √ x +4 x +1 Ta cã: A = 2 x −3+2 x+1 = 3 −2 x+2 x+1 3 −2 x+ x +1 = VËy MinA = ⇔ (3 - 2x )(2x + 1) ⇔ − ≤ x≤ 2 VÝ dô 2: Cho y = x - + x- + x - + x + T×m Min y Gi¶i: y1 = x - + x - = x - + - x x - + - x = VËy my1 = (x - 1) (2 - x) x + XÐt y2 = x - + x + = - x + x + - x + x + = VËy miny2 = (3 - x) (x+4) -4 x + Min y x¶y ⇔ Miny1 vµ Miny2 cïng x¶y => Miny = Miny1 + Miny2 = 1+7=8 ⇔ x VÝ dô 3: T×m Max, Min cña y BiÕt y = x − 2 - x +1 Gi¶i : Ta cã: y = x −2−x +1 ‖x − 2− x −1‖ = ⇒ y ⇔ -3 y Gi¸ trÞ x lóc nµy: (x - 2)(x + 1) x hoÆc x -1 (3) Víi x = ⇒ y = x − 2 - x +1 = - = -3 Víi x = -1 ⇒ y = x − 2 - x +1 = - = VËy Min y = -3 x = Max y = x = -1 Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức cổ điển 1) Bất đẳng thức cô si a+b Víi sè kh«ng ©m a, b th×: √ ab víi a 0; b DÊu “=” x¶y ⇔ a = b Bất đẳng thức Svác (hay gọi là Bunhia CôpSki) Víi mäi sè a, b, c, d bao giê còng cã: ac + bd √(a 2+ b2)(c 2+ d 2) HoÆc (ac + bd)2 (a2 + b2) (c2 + d2) a DÊu “=” x¶y ⇔ a.d - bc = ⇔ = b (víi c 0, d 0) c d VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: y = 3x(3 - 2x) Gi¶i: Ta cã: y = 3x(3 - 2x) = 2x(3 - 2x) chän a = 2x , b = - 2x ⇒ a + b = 3 2x(3 - 2x) = a.b a+b = 27 ⇒ 2 (2) Do đó ymax = 27 x = VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: y = √ x −6 + √ x+2 HD: §iÒu kiÖn: - x vµ x + x ⇔ -2 2 Ta cã: y = ( √ − x + √ x+2 ) , y > Chän a = 1; c = √ − x ; b = ; d = √ x+2 (1 + 1)(6 - x + x + 2) = 2.8 =16 ⇒ y = ⇔ -4 ⇒ y2 Do y > nªn < y VËy Max y = ⇔ √ x −6 = √ x+2 ⇔ x = VÝ dô 3: Cho y = x √ 1− x T×m Maxy Gi¶i: §iÒu kiÖn: -1 x Dïng c«si: y = x √ 1− x Maxy = 2 x +1− x 2 = y x = √ 1− x x2 = - x x = √2 Phơng pháp 5: áp dụng số bất đẳng thức phụ 1) Víi hai sè a > , b > ta lu«n cã dÊu " = " x¶y vµ chØ 2) a2 +b2 a+b 2 ( ) a b = b a a b + b a hay (a + b)2 4ab a, b dÊu “=” x¶y a = b (4) VÝ dô 1: Cho y = Gi¶i: Ta cã : y = ⇒ Min y = x + víi mäi x x −2 x −2 + + x −2 x −2 = ⇔ x −2 > T×m Min y 2+ ⇔ = x − 2 = ⇔ x = hoÆc x = -1 Do x > nªn lo¹i x = -1 VËy Min y = x = VÝ dô 2: Cho x + y = T×m MinA BiÕt A = x4 + y4 A Ta cã: = 2 () = = 16 = x +y = => A y ¿2 ¿ x ¿2 +¿ ¿ ¿ x +y 2 x+ y 2 ( ) VËy MinA x=y= Ví dụ 3: Cho x ; y thoả mãn x + y = 2a ( a dơng không đổi ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + y2 2 x+ y Gi¶i: Ta cã : x + y 2a2 §¼ng thøc x¶y ⇔ x2 + y2 (2) 2 x = y = a VËy Min (x + y2) = 2a2 (5)