Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
1,12 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ab � ab ; Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức: ac bd � a b c d (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy a b c d + a b �a b ; Dấu “=” xảy ab + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y a f ( x) y = a f(x) = Nếu y a f ( x) max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) B CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A x x 11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C x x y y Giải: a) A x x 11 x x 10 x 1 10 �10 � Min A = 10 x b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 �-36 � Min B = -36 x = x = -5 c) C x x y y = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + �2 � Min C = x = 1; y = Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: Trang a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 �21 � Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + �7 � Max B = x = 1, y Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) M x x x x b) N x 1 x 2 Giải: a) M x x x x Ta có: x x x x �x x Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) �0 hay �x �4 x x x x �x x Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) �0 hay �x �3 Vậy Min M = + = �x �3 b) N x 1 x x x 2 Đặt t x t �0 1 N 4 3 Dấu “=” xảy t � t 2 � � 2x 1 x � � 3 �� Do N t � x � � 2 � � 2x 1 x � � Vậy N � x hay x 4 Do N = t2 – 3t + = (t 32 ) Bài toán 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Trang Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y x2 y2 y � �x xy (x y2 ) � � 2 2 2� �2 M (x y2 ) Ngoài ra: x + y = � x2 + y2 + 2xy = � 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ 1 2 Do x y � x y � x y 1 1 M 2 2 1 Do M � dấu “=” xảy � x y 1 Vậy GTNN M � x y 2 ) Ta có: M � ( x y ) ( x y� Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = � [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = � x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = � x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = � x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 � (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ Trang 3 � t .t �0 4 � 3� �� t �� � t � 2 � 2� 5 �t � 2 3 3 � ۣ t 2 � Vì t = x2 + y2 nên : 3 3 GTNN x2 + y2 = GTLN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì �a, b, c �1 ) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a �0; – b �0; – c �0; � (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc �0 � P = a + b + c – ab – bc – ac �1 abc �1 Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý � 0;1 Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 �(x + y)2 � 2(x2 + y2) �(x + y)2 Mà x2 + y2 = � (x + y)2 �2 Trang � x y � � �x y � - Xét x y � �x y � Dấu “=” xảy � � �x y �x y 2 - Xét x y � �x y � Dấu “=” xảy � � �x y � x y Vậy x + y đạt GTNN � x y 2 Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 �27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 �0 � 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx �0 � (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) �3(x2 + y2 + z2) �81 � x + y + z �9 (1) Mà xy + yz + zx �x2 + y2 + z2 �27 (2) Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx �36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2 A2 B ( A 1) B B 1 � 2 2 B 1 �-14 � P �-14 Vì B �27 � �x y z 1 Vậy P = -14 �2 2 �x y z 27 � P A Hay x 13; y 13; z 1 Bài toán 9: Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: Trang x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 Do đó: = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 P 45 dấu “=” xảy � x + y = 10 xy = Vậy GTNN P = 45 � x + y = 10 xy = Bài toán 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = � y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + �2 Vậy GTNN A x = y = Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN GTNN của: y 4x x2 Giải: * Cách 1: 4x ax x a y a x 1 x2 Ta cần tìm a để ax x a bình phương nhị thức a 1 � a4 � Ta phải có: ' a(3 a) � � - Với a = -1 ta có: y 4x x2 4x ( x 2) 1 x 1 x2 x2 y Dấu “=” xảy x = -2 Trang Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: 4x -4x x (2 x 1) 4 �4 x 1 x2 x2 1 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = y * Cách 2: Vì x2 + �0 nên: y 4x � yx x y (1) x2 y giá trị hàm số � (1) có nghiệm - Nếu y = (1) � x - Nếu y �0 (1) có nghiệm � ' y ( y 3) �0 � ( y 1)( y 4) �0 �y �0 �y �0 �� � �y �0 �y �0 � 1 �y �4 Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của: A x2 x x2 x Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: a x2 x (1) x2 x 1 � 1� Do x + x + = x + .x + �x � �0 4 � 2� 2 Nên (1) � ax2 + ax + a = x2 – x + � (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a � để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ �0 , tức là: (a 1) 4(a 1)( a 1) �0 � ( a 2a 2)( a 2a 2) �0 � (3a 1)( a� 3) �� a 3( a 1) Trang (a 1) a 1 a = nghiệm (2) x 2(a 1) 2(1 a) Với a x = Với a Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A x = GTLN A = x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A (a b 1)(a b ) ab b) Cho m, n số nguyên thỏa 1 Tìm GTLN B = mn 2m n Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2 a b �2 a 2b2 2ab (vì ab = 1) 4 � A ( a b 1)(a b ) �2(a b 1) (a b ) ( a b) ab ab ab Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b ab 4 �2 (a b) 4 Ta có: (a + b) + ab ab Mặt khác: a b �2 ab Suy ra: A �2 ( a b ) ( a b) �2 a b Với a = b = A = Vậy GTNN A a = b = b) Vì 1 nên hai số m, n phải có số dương Nếu có 2m n hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương Ta có: 1 � 3(2m n) 2mn � (2m 3)(n 3) 2m n Vì m, n � N* nên n – �-2 2m – �-1 Trang Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra: �2m �m �� B = mn = 2.12 = 24 �n �n 12 2m � m3 � �� + � B = mn = 3.6 = 18 n3 n6 � � �2m �m �� + � B = mn = 6.4 = 24 n4 �n � �m �m Vậy GTLN B = 24 � hay � �n 12 �n + � Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A x2 y x y Giải: x y x xy y xy ( x y )2 xy Ta viết: A x y x y xy ( x y ) xy x y x y x y Do x > y xy = nên: A x y x y x y 2 2 Vì x > y � x – y > nên áp dụng bất đẳng thức cơsi với số khơng âm, ta có: x y x y x y x y 2 Dấu “=” xảy � x y � ( x y ) � ( x y ) (Do x – y > 0) Từ đó: A �2 �x y Vậy GTNN A � � �xy A �2 � � �x �x �� hay � Thỏa điều kiện xy = �y 1 �y 1 Bài tốn 5: Tìm GTLN hàm số: y x x 1 Giải: 1 y x x 1 � � Ta viết: �x � � 2� 4 � 1� 3 Vì �x � � Do ta có: y � Dấu “=” xảy � x � 2� 4 1 Vậy: GTLN y x Trang Bài toán 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: f (t ) t 4t Giải: 4t (2t 1) 4t (2t 1) f (t ) t 1 4t 4t 4t 4t Ta viết: Vì t > nên ta có: f (t ) �1 Dấu “=” xảy � 2t � t 2 Vậy f(t) đạt GTNN t Bài toán 7: Tìm GTNN biểu thức: g (t ) t 1 t2 1 Giải: Ta viết: g (t ) t 1 1 2 t 1 t 1 g(t) đạt GTNN biểu thức đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN t 1 Ta có: t2 + �1 � (t2 + 1) = t = � g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN 1 biểu thức: E x3 ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) Giải: 1 1 Đặt a x ; b y ; c z � abc xyz 1 Do đó: x y a b � x y (a b).xy � x y c (a b) Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) �E 1 1 1 3 x ( y z ) y ( z x) z ( x y) 1 a2 b2 c2 b3 c3 a (b c ) b (c a ) c (a b ) b c c a a b a b c � Ta có: (1) bc ca a b a3 Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z Trang 10 Thay vào (*) ta được: �6 x � x2 � � � � � 100 x 60 x � x �3 4 � � y � ( x; y) � ; � 10 �10 � Vậy GTLN a x = 0; y = GTNN a -5 x ;y 10 Bài toán 10: Giả sử x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức: 2 � 1� � 1� M = �x � �y � � x� � y� Giải: 2 � 1� � 1� Ta có: M = �x � �y � � x� � y� 1 2 = x x2 y y x2 y � 2 � 1 2 � = + x + y + 2 4 x y � x y � x y � 2 Vì x, y > nên ta viết: x y �0 x y �2 xy 1 Mà x + y = nên �2 xy xy �2 x y �16 (1) Dấu “=” xảy x y Ngồi ta có: ( x y ) �0 � x y �2 xy � 2( x y ) �2 xy x y � 2( x y ) �( x y )2 � 2( x y ) �1 (vì x + y = 1) � x2 y � (2) Dấu “=” xảy x y Từ (1) (2) cho ta: M ( x y )(1 1 25 ) �4 (1 16) x y 2 Trang 12 25 Do đó: M � Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa x y Vậy GTNN M 25 x y 2 * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y x x Giải: * Cách 1: �x �0 �2 ۣ x �0 � x Điều kiện: � 4(*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 �(a2 + b2)(c2 + d2) a b c d Dấu “=” xảy Chọn a x 2; c 1; b x ; d với �x �4 Ta có: y2 �� x � � � x 2 x � � � y2 y2 x2 4 x y 4x � 12 12 � � Vì y > nên ta có: y �2 Dấu “=” xảy � x x � x x � x (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y x = * Cách 2: Ta có: y x x �x �0 �2 ۣ �4 x �0 Điều kiện: � x Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN Ta có: y x x ( x 2)(4 x) � y ( x 2)(4 x) �x �0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm x �0 � Do �x �4 � � cho ta: ( x 2)(4 x) �( x 2) (4 x) Trang 13 Do y �2 Dấu “=” xảy � x x � x (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y x = Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y x x (1 �x �5) Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) ( ( x 1; x ) ta có: y (3 x x ) �(32 ) � x � � x � 100 � � y �100 => y �10 Dấu “=” xảy x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = x x x x x = 3 x 1 x x Đặt: A = x x t2 = + x 1 x �4 => A �2 dấu “=” xảy x = x = Vậy y �3 + = Dấu “=” xảy x = Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x = Tìm GTNN biểu thức: M = x 1994 ( x 1995) 2 Giải: M = x 1994 ( x 1995)2 = x 1994 x 1995 Áp dụng bất đẳng thức: a b �a b ta có: Trang 14 M = x 1994 x 1995 x 1994 1995 x => M �x 1994 1995 x Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x) �0 1994 �x �1995 Vậy GTNN M = 1994 �x �1995 Bài tốn 4: Tìm GTNN B = 3a + a với -1 �a �1 Giải: a 5� B = 3a + a �� 16 � 1 a 25 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta �3 � 16 � a 1 a � � 16 �� a5 � a �5 ��5 � �25 25 2 2 �9 25a 41 25a � => B �5 � � � 2� 25 � � => Do B �5 dấu “=” xảy � a � � a = � �16 a �25 Vậy GTNN B = a = Bài tốn 5: Tìm GTNN biểu thức: A= 2x x2 Giải: Điều kiện: x x �0 x x 1 �0 2 -(x-1)2 + �0 x 1 �8 2 �x �2 2 �x �2 Với điều kiện ta viết: Trang 15 x x x 1 �8 x x � 2 2 => + x x �2 2 1 Do đó: � x x2 Vậy A �3 � 1 1 2 1 dấu “=” xảy x -1 = Vậy GTNN A = x = (thỏa mãn điều kiện) x Bài tốn 6: Tìm GTNN biểu thức: A = 3x x2 Giải: Điều kiện: – x2 > x2 < - < x < => A > => GTNN A A2 đạt GTNN Ta có: A2 = 3x x2 25 30 x x x 16 �16 x2 x2 Vậy GTNN A = x Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y �1 Tìm GTNN biểu thức: A = x �1 x Giải: Điều kiện: – x2 �0 1 �x �1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 �0 – x2 �0 Ta có: x2 + – x2 �2 x x �2 �x �1 x 2 Vậy GTLN A = x = � hay x = 2 �2 �A A � Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x 1996 1998 x Trang 16 Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 �x �1998 Vì y �0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 �x �1998 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1996 1998 x �( x 1996) (1998 x) Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do y2 �4 y �2 Vậy GTLN y x = 1997 Bài tốn 9: Cho �x �1 Tìm GTLN biểu thức y = x + x Giải: Ta có: y x x = x + � x Vì �x �1 nên – x �0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 – x) cho ta: 1 x �x x 2 1 Dấu “=” xảy x x 2 Vậy GTLN y x = 2 y x 2� Bài toán 10: Cho M = a a a 15 a Tìm TGNN M Giải: M = a a a 15 a = a a a a 16 = a 1 a 1 Điều kiện để M xác định a – �0 a �1 Ta có: M a a Đặt x = a điều kiện x �0 Trang 17 Do đó: M = x x Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x �2 x x x Và x x x => M = – x + – x = – 2x �6 2.2 Vậy x < M �2 2) Khi x �4 x x x-4 =x-4 46 => M = x x x �2 � Vậy x > M �2 3) Khi < x < x x x x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: � a �a �16 �a �17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: �a �17 C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x �1 x �3 Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = x = Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – �7 Xảy đẳng thức x = giá trị không thỏa mãn x �1 , khơng thỏa mãn x �3 Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Trang 18 Tìm giá trị m để x12 x22 có giá trị nhỏ Gợi ý: = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 (2m 1)2 2(m 2) 4m2 6m � 11 11 � = �2m � � 2� 4 11 => Min ( x12 x22 với m = 4 � Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E Bài toán 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 2x2 + 2y2 – 2xy = A + (x – y)2 = Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy 3A = + (x + y)2 �8 => A � A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 �( x y ) (12 + 12) = 50 x y � 50 50 �M � 50 Trang 19 5 ;y 2 5 Min M = -5 x = ;y=2 2 Vậy Max M = 50 x = Bài tóan 6: Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: x y A = x4 y x2 y Gợi ý: Từ (x2 – y)2 �0 x y �2 x y x x => x y �2 x y Tương tự: y � y x �x y �2 => A �1 => Max A = �y x x y �xy � Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A = x x 1 x x 1 Gợi ý: B = x x Min B = - �x �0 Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý: a b c abc� 2 Biểu diễn B = � �x � a b c 3 � � a b c => GTNN B = (a + b + c ) - 2 2 Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Trang 20 Vậy Min P = y = ; x = Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 => GTLN E = 10 y = ; x = z Bài tốn 11: Tìm GTLN biểu thức: P = x y � Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x 4y z x 265 y 525 z 13 Bài tốn 12: Tìm GTNN biểu thức sau: x2 x2 8 b) B = 3x x2 1 c) C = x 1 a) A = Với x �0 Với x Với x Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: �2 x2 8 1 �4 (vì � ) b) B = 2 3x 3x 2 2x c) C = 1 �1 Min C = - x = x 1 A = (x + 2) + Bài tốn 13: Tìm GTNN biểu thức A = x x 2000 ;( x �0) x2 Gợi ý: A= 2000 x � 2000 x 20002 ( x 2000) 1999 x 2000 x 2000 x Trang 21 ( x 2000) 1999 1999 � 2000 x 2000 2000 1999 Vậy Min A = Khi x = 2000 2000 = Bài tốn 14: Tìm GTNN biểu thức: P= x 16 x 56 x 80 x 356 x2 x Gợi ý: ( x x 5) Biểu diễn P = � 256 �64 (áp dụng BĐT Côsi) x 2x => Min P = 64 x = x = -3 Bài toán 15: x2 x x x B= x 1 x2 x Tìm GTNN A = với x > với x > C= x2 x � 1� � với x > D = (1 x) � � x� x E= với < x < 1 x x x F= với x > x 1 Gợi ý: x x A = x+ �2 x � (vì x > 0) => Min A = x = B= x2 1 1 ( x 1) �2 (vì x > 1) x 1 x 1 => Min B = x = 2 � x2 x � 2 x2 x x2 x 1 � 1� ��2 x (vì x > 0) D = (1 + x) � x � x� C= E= ( x x 1) 5 1 x x 5x 5x x x 5 1 x �2 � 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Trang 22 x 1 1 x 1 x 1 �2 � x 1 x 1 2 x 1 3 = 2 => Min F = x = 2 F= Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức: x xy P= 2 x y Gợi ý: ( y x) �1 x2 y2 ( x y)2 P = - 2 �9 x y P=9- Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 Tìm GTNN biểu thức S = x y x y 10 Gợi ý: S = 1x 1y = xy x(10 x) S có GTNN x(10-x) có GTLN x = => GTNN S = x = y = 5 Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: E = x2 x x2 x Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + x x 1) �4 => Min E = x = Bài 19: Cho a b hai số thỏa mãn: a �3 ; a + b �5 Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b �5 2a 2b �10 3a 2b �13 (vì a �3) => 132 � 3a 2b �13 a b => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Trang 23 Tìm m x1 x2 đạt GTNN Gợi ý: ' (2m 1) phương trình ln có nghiệm phân biệt x 1; x2 Theo định lý vi-ét ta có: �x1 x2 2m � �x1.x2 3m 4m Do x1 x2 4m � 2 GTNN x1 x2 m = m �R Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y = x x x 1998 Gợi ý: y = 1x x 1998 x x 1997 + …+ x 998 x 999 x x 1998 nhỏ 1997 x � 1;1998 Ta có: x x 1997 nhỏ 1995 x � 2;1997 x 998 x 1999 nhỏ x � 999;1000 Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 �x �1000 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t số ngun khơng âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: �x y t 21 �2 2 �x y z 101 (1) (2) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 Trang 24 => 2M = 122 + t2 Do 2M �122 M �61 Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y �0 x y �x y �0 Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 �101 y �33 �y �5 Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1) Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = Để tồn a ' �0 Giải điều kiện m4 - m2 �0 m(m – 1) �0 �m �1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = x2 x x2 Gợi ý: Vì x2 + > với x Đặt a = x2 2x => (a – 1) x2 – x +a – = (1) x2 a giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = (1) x = 1 - Nếu a �1 (1) có nghiệm ' �0 Trang 25 Min A = 3 1 3+ với x = ; Max A = với x = 2 1 Bài 25: x xy y Tìm GTNN, GTLN A = x xy y Gợi ý: Viết A dạng sau với y �0 (A �x � x �y � y �� �x � x �y � y �� a2 a a2 a Giải tương tự 24 được: x (đặt y a ) �A �3 Cịn với y = A = Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: ab �a b 3ab � Với Q dạng Q = (a + b) � � = – 2ab = – 2a (1 – a) 1 Q = a = b = 2 => Q = 2a2 – 2a + � Do đó: Min Xin giới thiệu q thày website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp giáo án soạn theo định hướng phát triển lực người học theo tập huấn Có đủ mơn khối THCS THPT https://tailieugiaovien.edu.vn/ Trang 26 ... x 19 98 Gợi ý: y = 1x x 19 98 x x 1997 + …+ x 9 98 x 999 x x 19 98 nhỏ 1997 x � 1;19 98? ?? Ta có: x x 1997 nhỏ 1995 x � 2;1997 x 9 98 x 1999... �2 �A A � Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x 1996 19 98 x Trang 16 Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 �x �19 98 Vì y �0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 �x �19 98 Áp dụng bất đẳng thức Cơ... 1996 �x �19 98 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x 1996 19 98 x �( x 1996) (19 98 x) Dấu “=” xảy x – 1996 = 19 98 – x x = 1997 Do y2 �4 y �2 Vậy GTLN y x = 1997 Bài toán