1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

CHUYEN DE HSG TOAN LOP 8 PHAN GTLNGTNN

26 55 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 1,12 MB

Nội dung

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ab � ab ; Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức:  ac  bd  � a  b   c  d  (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy a b  c d + a  b �a  b ; Dấu “=” xảy ab  + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y  a   f ( x) y = a f(x) = Nếu y  a   f ( x) max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) B CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁCH GIẢI  Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A  x  x  11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C  x  x  y  y  Giải: a) A  x  x  11  x  x   10   x  1  10 �10 � Min A = 10 x   b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 �-36 � Min B = -36 x = x = -5 c) C  x  x  y  y  = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + �2 � Min C = x = 1; y = Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: Trang a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 �21 � Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + �7 � Max B = x = 1, y   Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) M  x   x   x   x  b) N   x  1  x   2 Giải: a) M  x   x   x   x  Ta có: x   x   x    x �x    x  Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) �0 hay �x �4 x   x   x    x �x    x  Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) �0 hay �x �3 Vậy Min M = + = �x �3 b) N   x  1  x    x   x   2 Đặt t  x  t �0 1  N 4 3 Dấu “=” xảy t   � t  2 � � 2x 1  x � � 3 �� Do N   t  � x   � � 2 � � 2x 1   x � � Vậy N   � x  hay x   4 Do N = t2 – 3t + = (t 32 )  Bài toán 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Trang Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2  x2 y x2 y2 y � �x     xy   (x  y2 )  �  � 2 2 2� �2  M (x y2 ) Ngoài ra: x + y = � x2 + y2 + 2xy = � 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ 1 2 Do x  y � x  y  � x  y  1 1 M 2 2 1 Do M � dấu “=” xảy � x  y  1 Vậy GTNN M  � x  y  2 ) Ta có: M � ( x  y ) ( x y� Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = � [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = � x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = � x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = � x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 � (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ Trang 3 � t  .t   �0 4 � 3� �� t  �� � t  � 2 � 2� 5 �t  � 2 3 3 � ۣ t 2 � Vì t = x2 + y2 nên : 3 3 GTNN x2 + y2 = GTLN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì �a, b, c �1 ) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a �0; – b �0; – c �0; � (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc �0 � P = a + b + c – ab – bc – ac �1  abc �1 Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý � 0;1 Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 �(x + y)2 � 2(x2 + y2) �(x + y)2 Mà x2 + y2 = � (x + y)2 �2 Trang � x  y � �  �x  y � - Xét x  y � �x  y � Dấu “=” xảy � � �x  y  �x y 2 - Xét x  y � �x  y � Dấu “=” xảy � � �x  y   � x y Vậy x + y đạt GTNN  � x  y   2  Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 �27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 �0 � 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx �0 � (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) �3(x2 + y2 + z2) �81 � x + y + z �9 (1) Mà xy + yz + zx �x2 + y2 + z2 �27 (2) Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx �36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2 A2  B ( A  1) B  B 1   � 2 2 B 1 �-14 � P �-14 Vì B �27 �  �x  y  z  1 Vậy P = -14 �2 2 �x  y  z  27 � P  A Hay x   13; y  13; z  1 Bài toán 9: Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: Trang x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 Do đó: = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45  P 45 dấu “=” xảy � x + y = 10 xy = Vậy GTNN P = 45 � x + y = 10 xy = Bài toán 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = � y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + �2 Vậy GTNN A x = y =  Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN GTNN của: y  4x  x2  Giải: * Cách 1: 4x  ax  x   a y a x 1 x2  Ta cần tìm a để ax  x   a bình phương nhị thức a  1 � a4 � Ta phải có:  '   a(3  a)  � � - Với a = -1 ta có: y   4x  x2  4x  ( x  2)  1     x 1 x2  x2  y Dấu “=” xảy x = -2 Trang Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: 4x  -4x  x  (2 x  1)  4   �4 x 1 x2  x2 1 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = y * Cách 2: Vì x2 + �0 nên: y  4x  � yx  x  y   (1) x2  y giá trị hàm số � (1) có nghiệm - Nếu y = (1) � x   - Nếu y �0 (1) có nghiệm �  '   y ( y  3) �0 � ( y  1)( y  4) �0 �y  �0 �y  �0 �� � �y  �0 �y  �0 � 1 �y �4 Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của: A  x2  x  x2  x  Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: a x2  x  (1) x2  x  1 � 1� Do x + x + = x + .x +   �x  � �0 4 � 2� 2 Nên (1) � ax2 + ax + a = x2 – x + � (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2)  Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x =  Trường hợp 2: Nếu a � để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ  �0 , tức là: (a  1)  4(a  1)( a  1) �0 � ( a   2a  2)( a   2a  2) �0 � (3a 1)( a� 3) �� a 3( a 1) Trang (a  1) a 1 a = nghiệm (2) x  2(a  1)  2(1  a) Với a  x = Với a  Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A  x = GTLN A = x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A  (a  b  1)(a  b )  ab b) Cho m, n số nguyên thỏa 1   Tìm GTLN B = mn 2m n Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2 a  b �2 a 2b2  2ab  (vì ab = 1) 4 � A  ( a  b  1)(a  b )  �2(a  b  1)    (a  b  )  ( a  b) ab ab ab Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b ab 4 �2 (a  b) 4 Ta có: (a + b) + ab ab Mặt khác: a  b �2 ab  Suy ra: A �2  ( a  b  )  ( a  b) �2    a b Với a = b = A = Vậy GTNN A a = b = b) Vì 1   nên hai số m, n phải có số dương Nếu có 2m n hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương Ta có: 1   � 3(2m  n)  2mn � (2m  3)(n  3)  2m n Vì m, n � N* nên n – �-2 2m – �-1 Trang Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra: �2m   �m  �� B = mn = 2.12 = 24 �n   �n  12 2m   � m3 � �� + � B = mn = 3.6 = 18 n3 n6 � � �2m   �m  �� + � B = mn = 6.4 = 24 n4 �n   � �m  �m  Vậy GTLN B = 24 � hay � �n  12 �n  + � Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A  x2  y x y Giải: x y x  xy  y  xy ( x  y )2  xy   Ta viết: A  x y x y xy ( x  y )  xy x y x y  x y    Do x > y xy = nên: A  x y x y x y 2 2 Vì x > y � x – y > nên áp dụng bất đẳng thức cơsi với số khơng âm, ta có: x y x y  x y x y 2 Dấu “=” xảy �  x  y � ( x  y )  � ( x  y )  (Do x – y > 0) Từ đó: A �2   �x  y  Vậy GTNN A � � �xy  A �2 � � �x   �x   �� hay � Thỏa điều kiện xy = �y  1  �y  1  Bài tốn 5: Tìm GTLN hàm số: y  x  x 1 Giải: 1 y  x  x 1 � � Ta viết: �x  � � 2� 4 � 1� 3 Vì �x  � � Do ta có: y � Dấu “=” xảy � x   � 2� 4 1 Vậy: GTLN y  x  Trang Bài toán 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: f (t )  t  4t Giải: 4t  (2t  1)  4t (2t  1) f (t )  t     1 4t 4t 4t 4t Ta viết: Vì t > nên ta có: f (t ) �1 Dấu “=” xảy � 2t   � t  2 Vậy f(t) đạt GTNN t  Bài toán 7: Tìm GTNN biểu thức: g (t )  t 1 t2 1 Giải: Ta viết: g (t )  t 1  1 2 t 1 t 1 g(t) đạt GTNN biểu thức đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN t 1 Ta có: t2 + �1 � (t2 + 1) = t = � g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN 1 biểu thức: E  x3 ( y  z )  y ( z  x )  z ( x  y ) Giải: 1 1 Đặt a  x ; b  y ; c  z � abc  xyz  1 Do đó: x  y  a  b � x  y  (a  b).xy � x  y  c (a  b) Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) �E 1 1 1   3 x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y) 1 a2 b2 c2  b3  c3    a (b  c ) b (c  a ) c (a  b ) b  c c  a a  b a b c   � Ta có: (1) bc ca a b  a3 Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z Trang 10 Thay vào (*) ta được: �6 x  � x2  � � � � � 100 x  60 x   � x   �3 4 � � y   � ( x; y)  � ; � 10 �10 � Vậy GTLN a x = 0; y = GTNN a -5 x   ;y 10 Bài toán 10: Giả sử x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức: 2 � 1� � 1� M = �x  � �y  � � x� � y� Giải: 2 � 1� � 1� Ta có: M = �x  � �y  � � x� � y� 1 2 = x  x2   y  y  x2  y � 2 � 1 2 � = + x + y + 2  4 x  y  � x y � x y � 2 Vì x, y > nên ta viết:  x y  �0  x  y �2 xy 1 Mà x + y = nên �2 xy  xy �2  x y �16 (1) Dấu “=” xảy x  y  Ngồi ta có: ( x  y ) �0 � x  y �2 xy � 2( x  y ) �2 xy  x  y � 2( x  y ) �( x  y )2 � 2( x  y ) �1 (vì x + y = 1) � x2  y � (2) Dấu “=” xảy x  y  Từ (1) (2) cho ta: M   ( x  y )(1  1 25 ) �4  (1  16)  x y 2 Trang 12 25 Do đó: M � Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa x y Vậy GTNN M  25 x  y  2 * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y  x    x Giải: * Cách 1: �x  �0 �2 ۣ  x �0 � x Điều kiện: � 4(*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 �(a2 + b2)(c2 + d2) a b  c d Dấu “=” xảy Chọn a  x  2; c  1; b   x ; d  với �x �4 Ta có:     y2 �� x  � � �  x  2    x  � � �  y2 y2  x2  4 x y    4x �  12  12  � � Vì y > nên ta có:  y �2 Dấu “=” xảy � x    x � x    x � x  (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y x = * Cách 2: Ta có: y  x    x �x  �0 �2 ۣ �4  x �0 Điều kiện: � x Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN Ta có: y  x    x  ( x  2)(4  x) � y   ( x  2)(4  x) �x  �0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm  x �0 � Do �x �4 � � cho ta: ( x  2)(4  x) �( x  2)  (4  x)  Trang 13 Do y �2   Dấu “=” xảy � x    x � x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y x = Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y  x    x (1 �x �5) Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) ( ( x  1;  x ) ta có:    y  (3 x    x ) �(32  ) � x   � �   x � 100 � � y �100 => y �10 Dấu “=” xảy x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = x    x  x    x   x = 3 x 1   x    x Đặt: A = x    x t2 = +  x  1   x  �4 => A �2 dấu “=” xảy x = x = Vậy y �3 + = Dấu “=” xảy x = Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x = Tìm GTNN biểu thức: M =  x  1994   ( x  1995) 2 Giải: M =  x  1994   ( x  1995)2 = x  1994  x  1995 Áp dụng bất đẳng thức: a  b �a  b ta có: Trang 14 M = x  1994  x  1995  x  1994  1995  x => M �x  1994  1995  x  Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x) �0 1994 �x �1995 Vậy GTNN M =  1994 �x �1995 Bài tốn 4: Tìm GTNN B = 3a +  a với -1 �a �1 Giải: a  5� B = 3a +  a  �� 16 � 1 a 25 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta �3 � 16 � a  1 a � � 16 �� a5 �   a  �5 ��5 �  �25 25 2 2 �9  25a  41  25a � => B �5 � � � 2� 25 � � => Do B �5 dấu “=” xảy � a � � a = � �16   a �25 Vậy GTNN B = a = Bài tốn 5: Tìm GTNN biểu thức: A=  2x  x2  Giải: Điều kiện: x  x  �0    x  x  1  �0 2 -(x-1)2 + �0   x  1 �8  2 �x  �2   2 �x �2  Với điều kiện ta viết: Trang 15 x  x     x  1  �8  x  x  �  2 2 => + x  x  �2  2    1 Do đó: �  x  x2  Vậy A �3 �   1  1 2 1 dấu “=” xảy x -1 = Vậy GTNN A =  x = (thỏa mãn điều kiện)    x  Bài tốn 6: Tìm GTNN biểu thức: A =  3x  x2 Giải: Điều kiện: – x2 > x2 < - < x < => A > => GTNN A  A2 đạt GTNN Ta có: A2 =    3x   x2  25  30 x  x   x     16 �16  x2  x2 Vậy GTNN A = x  Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y �1 Tìm GTNN biểu thức: A = x �1  x Giải: Điều kiện: – x2 �0  1 �x �1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 �0 – x2 �0 Ta có: x2 + – x2 �2 x   x   �2 �x �1  x 2  Vậy GTLN A = x = � hay x = 2 �2 �A  A � Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x  1996  1998  x Trang 16 Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 �x �1998 Vì y �0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 �x �1998 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:  x  1996   1998  x  �( x  1996)  (1998  x)  Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do y2 �4  y �2 Vậy GTLN y x = 1997 Bài tốn 9: Cho �x �1 Tìm GTLN biểu thức y = x +   x  Giải: Ta có: y  x    x  = x + �   x  Vì �x �1 nên – x �0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 – x) cho ta: 1   x  �x     x   2 1 Dấu “=” xảy   x  x  2 Vậy GTLN y x = 2 y  x  2� Bài toán 10: Cho M = a   a   a  15  a  Tìm TGNN M Giải: M = a   a   a  15  a  = a   a    a   a   16 =  a 1     a 1   Điều kiện để M xác định a – �0  a �1 Ta có: M  a    a   Đặt x = a  điều kiện x �0 Trang 17 Do đó: M = x   x  Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x �2 x     x     x Và x     x     x => M = – x + – x = – 2x �6  2.2  Vậy x < M �2 2) Khi x �4 x   x  x-4 =x-4 46  => M = x   x   x  �2 � Vậy x > M �2 3) Khi < x < x   x  x    x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: � a   �a  �16 �a �17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: �a �17 C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x �1 x �3 Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = x = Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – �7 Xảy đẳng thức x = giá trị không thỏa mãn x �1 , khơng thỏa mãn x �3 Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Trang 18 Tìm giá trị m để x12  x22 có giá trị nhỏ Gợi ý:  = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12  x22  ( x1  x2 )2  x1 x2  (2m  1)2  2(m  2)  4m2  6m  � 11 11 � = �2m  � � 2� 4 11 => Min (  x12  x22   với m = 4 � Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E Bài toán 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 2x2 + 2y2 – 2xy = A + (x – y)2 = Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy 3A = + (x + y)2 �8 => A �  A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 �( x  y ) (12 + 12) = 50 x  y � 50   50 �M � 50 Trang 19 5 ;y 2 5 Min M = -5 x = ;y=2 2 Vậy Max M = 50 x = Bài tóan 6: Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: x y A = x4  y  x2  y Gợi ý: Từ (x2 – y)2 �0  x  y �2 x y x x => x  y �2 x y  Tương tự: y � y x �x  y �2 => A �1 => Max A = �y  x  x  y  �xy  � Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A = x    x  1  x    x  1 Gợi ý: B = x     x   Min B = - �x �0 Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý:  a  b  c abc� 2 Biểu diễn B = � �x  �  a  b  c   3 � � a  b  c => GTNN B = (a + b + c ) -  2 2 Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Trang 20 Vậy Min P = y = ; x = Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 => GTLN E = 10  y = ; x = z Bài tốn 11: Tìm GTLN biểu thức: P = x  y  � Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x  4y  z    x  265      y  525     z  13    Bài tốn 12: Tìm GTNN biểu thức sau: x2  x2 8 b) B = 3x  x2 1 c) C = x 1 a) A = Với x �0 Với x Với x Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:  �2  x2 8 1 �4 (vì � ) b) B = 2 3x  3x  2 2x c) C = 1  �1  Min C = - x = x 1 A = (x + 2) + Bài tốn 13: Tìm GTNN biểu thức A = x  x  2000 ;( x �0) x2 Gợi ý: A= 2000 x  � 2000 x  20002 ( x  2000)  1999 x  2000 x 2000 x Trang 21 ( x  2000) 1999 1999  � 2000 x 2000 2000 1999 Vậy Min A = Khi x = 2000 2000 = Bài tốn 14: Tìm GTNN biểu thức: P= x  16 x  56 x  80 x  356 x2  x  Gợi ý: ( x  x  5)  Biểu diễn P = � 256 �64 (áp dụng BĐT Côsi) x  2x  => Min P = 64 x = x = -3 Bài toán 15: x2  x  x x B= x 1 x2  x  Tìm GTNN A = với x > với x > C= x2  x  � 1�  � với x > D = (1  x) � � x� x  E= với < x < 1 x x x F=  với x > x 1 Gợi ý: x x A = x+  �2 x �   (vì x > 0) => Min A = x = B= x2 1  1   ( x  1)  �2   (vì x > 1) x 1 x 1 => Min B = x = 2 � x2  x  � 2 x2  x  x2  x  1 � 1�  ��2 x  (vì x > 0) D = (1 + x) � x � x� C= E= ( x  x  1)  5 1 x x  5x  5x x x 5 1 x     �2 � 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Trang 22 x 1 1 x 1 x 1     �2 �  x 1 x 1 2 x 1 3 = 2 => Min F = x = 2 F= Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức: x  xy P= 2 x y Gợi ý: ( y  x)  �1 x2  y2 ( x  y)2 P = - 2 �9 x y P=9- Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 Tìm GTNN biểu thức S = x  y x y 10 Gợi ý: S = 1x  1y = xy  x(10  x) S có GTNN x(10-x) có GTLN x = => GTNN S = x = y = 5 Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: E = x2  x   x2  x  Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + x  x  1) �4 => Min E = x = Bài 19: Cho a b hai số thỏa mãn: a �3 ; a + b �5 Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b �5  2a  2b �10  3a  2b �13 (vì a �3) => 132 � 3a  2b  �13  a  b  => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Trang 23 Tìm m x1  x2 đạt GTNN Gợi ý:  '  (2m  1)    phương trình ln có nghiệm phân biệt x 1; x2 Theo định lý vi-ét ta có: �x1  x2  2m � �x1.x2  3m  4m  Do x1  x2   4m    �  2 GTNN x1  x2 m = m �R Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y = x   x    x  1998 Gợi ý: y =  1x   x  1998    x   x  1997  + …+  x  998  x  999  x   x  1998 nhỏ 1997 x � 1;1998 Ta có: x   x  1997 nhỏ 1995 x � 2;1997 x  998  x  1999 nhỏ x � 999;1000 Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 �x �1000 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t số ngun khơng âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: �x  y  t  21 �2 2 �x  y  z  101 (1) (2) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 Trang 24 => 2M = 122 + t2 Do 2M �122  M �61 Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y �0  x  y �x  y �0 Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 �101  y �33  �y �5 Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1) Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = Để tồn a  ' �0 Giải điều kiện m4 - m2 �0 m(m – 1) �0  �m �1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = x2  x  x2  Gợi ý: Vì x2 + > với x Đặt a = x2  2x  => (a – 1) x2 – x +a – = (1) x2  a giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = (1) x = 1 - Nếu a �1 (1) có nghiệm  ' �0 Trang 25 Min A = 3 1  3+ với x = ; Max A = với x = 2 1 Bài 25: x  xy  y Tìm GTNN, GTLN A = x  xy  y Gợi ý: Viết A dạng sau với y �0 (A �x � x �y � y  �� �x � x �y � y  ��  a2  a  a2  a  Giải tương tự 24 được: x (đặt y  a ) �A �3 Cịn với y = A = Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý:  ab �a  b   3ab � Với Q dạng Q = (a + b) � � = – 2ab = – 2a (1 – a) 1 Q = a = b = 2 => Q = 2a2 – 2a + � Do đó: Min Xin giới thiệu q thày website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp giáo án soạn theo định hướng phát triển lực người học theo tập huấn Có đủ mơn khối THCS THPT https://tailieugiaovien.edu.vn/ Trang 26 ...   x  19 98 Gợi ý: y =  1x   x  19 98    x   x  1997  + …+  x  9 98  x  999  x   x  19 98 nhỏ 1997 x � 1;19 98? ?? Ta có: x   x  1997 nhỏ 1995 x � 2;1997 x  9 98  x  1999... �2 �A  A � Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x  1996  19 98  x Trang 16 Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 �x �19 98 Vì y �0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 �x �19 98 Áp dụng bất đẳng thức Cơ... 1996 �x �19 98 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:  x  1996   19 98  x  �( x  1996)  (19 98  x)  Dấu “=” xảy x – 1996 = 19 98 – x x = 1997 Do y2 �4  y �2 Vậy GTLN y x = 1997 Bài toán

Ngày đăng: 31/07/2020, 10:38

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w