CHUYEN DE HSG TOAN LOP 8 PHAN GTLNGTNN

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ab � ab ; Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức:  ac  bd  � a  b   c  d  (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy a b  c d + a  b �a  b ; Dấu “=” xảy ab  + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y  a   f ( x) y = a f(x) = Nếu y  a   f ( x) max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) B CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁCH GIẢI  Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A  x  x  11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C  x  x  y  y  Giải: a) A  x  x  11  x  x   10   x  1  10 �10 � Min A = 10 x   b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 �-36 � Min B = -36 x = x = -5 c) C  x  x  y  y  = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + �2 � Min C = x = 1; y = Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: Trang a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 �21 � Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + �7 � Max B = x = 1, y   Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) M  x   x   x   x  b) N   x  1  x   2 Giải: a) M  x   x   x   x  Ta có: x   x   x    x �x    x  Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) �0 hay �x �4 x   x   x    x �x    x  Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) �0 hay �x �3 Vậy Min M = + = �x �3 b) N   x  1  x    x   x   2 Đặt t  x  t �0 1  N 4 3 Dấu “=” xảy t   � t  2 � � 2x 1  x � � 3 �� Do N   t  � x   � � 2 � � 2x 1   x � � Vậy N   � x  hay x   4 Do N = t2 – 3t + = (t 32 )  Bài toán 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Trang Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2  x2 y x2 y2 y � �x     xy   (x  y2 )  �  � 2 2 2� �2  M (x y2 ) Ngoài ra: x + y = � x2 + y2 + 2xy = � 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ 1 2 Do x  y � x  y  � x  y  1 1 M 2 2 1 Do M � dấu “=” xảy � x  y  1 Vậy GTNN M  � x  y  2 ) Ta có: M � ( x  y ) ( x y� Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = � [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = � x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = � x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = � x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 � (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ Trang 3 � t  .t   �0 4 � 3� �� t  �� � t  � 2 � 2� 5 �t  � 2 3 3 � ۣ t 2 � Vì t = x2 + y2 nên : 3 3 GTNN x2 + y2 = GTLN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì �a, b, c �1 ) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a �0; – b �0; – c �0; � (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc �0 � P = a + b + c – ab – bc – ac �1  abc �1 Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý � 0;1 Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 �(x + y)2 � 2(x2 + y2) �(x + y)2 Mà x2 + y2 = � (x + y)2 �2 Trang � x  y � �  �x  y � - Xét x  y � �x  y � Dấu “=” xảy � � �x  y  �x y 2 - Xét x  y � �x  y � Dấu “=” xảy � � �x  y   � x y Vậy x + y đạt GTNN  � x  y   2  Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 �27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 �0 � 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx �0 � (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) �3(x2 + y2 + z2) �81 � x + y + z �9 (1) Mà xy + yz + zx �x2 + y2 + z2 �27 (2) Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx �36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2 A2  B ( A  1) B  B 1   � 2 2 B 1 �-14 � P �-14 Vì B �27 �  �x  y  z  1 Vậy P = -14 �2 2 �x  y  z  27 � P  A Hay x   13; y  13; z  1 Bài toán 9: Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: Trang x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 Do đó: = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45  P 45 dấu “=” xảy � x + y = 10 xy = Vậy GTNN P = 45 � x + y = 10 xy = Bài toán 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = � y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + �2 Vậy GTNN A x = y =  Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN GTNN của: y  4x  x2  Giải: * Cách 1: 4x  ax  x   a y a x 1 x2  Ta cần tìm a để ax  x   a bình phương nhị thức a  1 � a4 � Ta phải có:  '   a(3  a)  � � - Với a = -1 ta có: y   4x  x2  4x  ( x  2)  1     x 1 x2  x2  y Dấu “=” xảy x = -2 Trang Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: 4x  -4x  x  (2 x  1)  4   �4 x 1 x2  x2 1 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = y * Cách 2: Vì x2 + �0 nên: y  4x  � yx  x  y   (1) x2  y giá trị hàm số � (1) có nghiệm - Nếu y = (1) � x   - Nếu y �0 (1) có nghiệm �  '   y ( y  3) �0 � ( y  1)( y  4) �0 �y  �0 �y  �0 �� � �y  �0 �y  �0 � 1 �y �4 Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của: A  x2  x  x2  x  Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: a x2  x  (1) x2  x  1 � 1� Do x + x + = x + .x +   �x  � �0 4 � 2� 2 Nên (1) � ax2 + ax + a = x2 – x + � (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2)  Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x =  Trường hợp 2: Nếu a � để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ  �0 , tức là: (a  1)  4(a  1)( a  1) �0 � ( a   2a  2)( a   2a  2) �0 � (3a 1)( a� 3) �� a 3( a 1) Trang (a  1) a 1 a = nghiệm (2) x  2(a  1)  2(1  a) Với a  x = Với a  Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A  x = GTLN A = x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A  (a  b  1)(a  b )  ab b) Cho m, n số nguyên thỏa 1   Tìm GTLN B = mn 2m n Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2 a  b �2 a 2b2  2ab  (vì ab = 1) 4 � A  ( a  b  1)(a  b )  �2(a  b  1)    (a  b  )  ( a  b) ab ab ab Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b ab 4 �2 (a  b) 4 Ta có: (a + b) + ab ab Mặt khác: a  b �2 ab  Suy ra: A �2  ( a  b  )  ( a  b) �2    a b Với a = b = A = Vậy GTNN A a = b = b) Vì 1   nên hai số m, n phải có số dương Nếu có 2m n hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương Ta có: 1   � 3(2m  n)  2mn � (2m  3)(n  3)  2m n Vì m, n � N* nên n – �-2 2m – �-1 Trang Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra: �2m   �m  �� B = mn = 2.12 = 24 �n   �n  12 2m   � m3 � �� + � B = mn = 3.6 = 18 n3 n6 � � �2m   �m  �� + � B = mn = 6.4 = 24 n4 �n   � �m  �m  Vậy GTLN B = 24 � hay � �n  12 �n  + � Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A  x2  y x y Giải: x y x  xy  y  xy ( x  y )2  xy   Ta viết: A  x y x y xy ( x  y )  xy x y x y  x y    Do x > y xy = nên: A  x y x y x y 2 2 Vì x > y � x – y > nên áp dụng bất đẳng thức cơsi với số khơng âm, ta có: x y x y  x y x y 2 Dấu “=” xảy �  x  y � ( x  y )  � ( x  y )  (Do x – y > 0) Từ đó: A �2   �x  y  Vậy GTNN A � � �xy  A �2 � � �x   �x   �� hay � Thỏa điều kiện xy = �y  1  �y  1  Bài tốn 5: Tìm GTLN hàm số: y  x  x 1 Giải: 1 y  x  x 1 � � Ta viết: �x  � � 2� 4 � 1� 3 Vì �x  � � Do ta có: y � Dấu “=” xảy � x   � 2� 4 1 Vậy: GTLN y  x  Trang Bài toán 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: f (t )  t  4t Giải: 4t  (2t  1)  4t (2t  1) f (t )  t     1 4t 4t 4t 4t Ta viết: Vì t > nên ta có: f (t ) �1 Dấu “=” xảy � 2t   � t  2 Vậy f(t) đạt GTNN t  Bài toán 7: Tìm GTNN biểu thức: g (t )  t 1 t2 1 Giải: Ta viết: g (t )  t 1  1 2 t 1 t 1 g(t) đạt GTNN biểu thức đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN t 1 Ta có: t2 + �1 � (t2 + 1) = t = � g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN 1 biểu thức: E  x3 ( y  z )  y ( z  x )  z ( x  y ) Giải: 1 1 Đặt a  x ; b  y ; c  z � abc  xyz  1 Do đó: x  y  a  b � x  y  (a  b).xy � x  y  c (a  b) Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) �E 1 1 1   3 x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y) 1 a2 b2 c2  b3  c3    a (b  c ) b (c  a ) c (a  b ) b  c c  a a  b a b c   � Ta có: (1) bc ca a b  a3 Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z Trang 10 Thay vào (*) ta được: �6 x  � x2  � � � � � 100 x  60 x   � x   �3 4 � � y   � ( x; y)  � ; � 10 �10 � Vậy GTLN a x = 0; y = GTNN a -5 x   ;y 10 Bài toán 10: Giả sử x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức: 2 � 1� � 1� M = �x  � �y  � � x� � y� Giải: 2 � 1� � 1� Ta có: M = �x  � �y  � � x� � y� 1 2 = x  x2   y  y  x2  y � 2 � 1 2 � = + x + y + 2  4 x  y  � x y � x y � 2 Vì x, y > nên ta viết:  x y  �0  x  y �2 xy 1 Mà x + y = nên �2 xy  xy �2  x y �16 (1) Dấu “=” xảy x  y  Ngồi ta có: ( x  y ) �0 � x  y �2 xy � 2( x  y ) �2 xy  x  y � 2( x  y ) �( x  y )2 � 2( x  y ) �1 (vì x + y = 1) � x2  y � (2) Dấu “=” xảy x  y  Từ (1) (2) cho ta: M   ( x  y )(1  1 25 ) �4  (1  16)  x y 2 Trang 12 25 Do đó: M � Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa x y Vậy GTNN M  25 x  y  2 * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y  x    x Giải: * Cách 1: �x  �0 �2 ۣ  x �0 � x Điều kiện: � 4(*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 �(a2 + b2)(c2 + d2) a b  c d Dấu “=” xảy Chọn a  x  2; c  1; b   x ; d  với �x �4 Ta có:     y2 �� x  � � �  x  2    x  � � �  y2 y2  x2  4 x y    4x �  12  12  � � Vì y > nên ta có:  y �2 Dấu “=” xảy � x    x � x    x � x  (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y x = * Cách 2: Ta có: y  x    x �x  �0 �2 ۣ �4  x �0 Điều kiện: � x Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN Ta có: y  x    x  ( x  2)(4  x) � y   ( x  2)(4  x) �x  �0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm  x �0 � Do �x �4 � � cho ta: ( x  2)(4  x) �( x  2)  (4  x)  Trang 13 Do y �2   Dấu “=” xảy � x    x � x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y x = Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y  x    x (1 �x �5) Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) ( ( x  1;  x ) ta có:    y  (3 x    x ) �(32  ) � x   � �   x � 100 � � y �100 => y �10 Dấu “=” xảy x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = x    x  x    x   x = 3 x 1   x    x Đặt: A = x    x t2 = +  x  1   x  �4 => A �2 dấu “=” xảy x = x = Vậy y �3 + = Dấu “=” xảy x = Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x = Tìm GTNN biểu thức: M =  x  1994   ( x  1995) 2 Giải: M =  x  1994   ( x  1995)2 = x  1994  x  1995 Áp dụng bất đẳng thức: a  b �a  b ta có: Trang 14 M = x  1994  x  1995  x  1994  1995  x => M �x  1994  1995  x  Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x) �0 1994 �x �1995 Vậy GTNN M =  1994 �x �1995 Bài tốn 4: Tìm GTNN B = 3a +  a với -1 �a �1 Giải: a  5� B = 3a +  a  �� 16 � 1 a 25 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta �3 � 16 � a  1 a � � 16 �� a5 �   a  �5 ��5 �  �25 25 2 2 �9  25a  41  25a � => B �5 � � � 2� 25 � � => Do B �5 dấu “=” xảy � a � � a = � �16   a �25 Vậy GTNN B = a = Bài tốn 5: Tìm GTNN biểu thức: A=  2x  x2  Giải: Điều kiện: x  x  �0    x  x  1  �0 2 -(x-1)2 + �0   x  1 �8  2 �x  �2   2 �x �2  Với điều kiện ta viết: Trang 15 x  x     x  1  �8  x  x  �  2 2 => + x  x  �2  2    1 Do đó: �  x  x2  Vậy A �3 �   1  1 2 1 dấu “=” xảy x -1 = Vậy GTNN A =  x = (thỏa mãn điều kiện)    x  Bài tốn 6: Tìm GTNN biểu thức: A =  3x  x2 Giải: Điều kiện: – x2 > x2 < - < x < => A > => GTNN A  A2 đạt GTNN Ta có: A2 =    3x   x2  25  30 x  x   x     16 �16  x2  x2 Vậy GTNN A = x  Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y �1 Tìm GTNN biểu thức: A = x �1  x Giải: Điều kiện: – x2 �0  1 �x �1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 �0 – x2 �0 Ta có: x2 + – x2 �2 x   x   �2 �x �1  x 2  Vậy GTLN A = x = � hay x = 2 �2 �A  A � Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x  1996  1998  x Trang 16 Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 �x �1998 Vì y �0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 �x �1998 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:  x  1996   1998  x  �( x  1996)  (1998  x)  Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do y2 �4  y �2 Vậy GTLN y x = 1997 Bài tốn 9: Cho �x �1 Tìm GTLN biểu thức y = x +   x  Giải: Ta có: y  x    x  = x + �   x  Vì �x �1 nên – x �0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 – x) cho ta: 1   x  �x     x   2 1 Dấu “=” xảy   x  x  2 Vậy GTLN y x = 2 y  x  2� Bài toán 10: Cho M = a   a   a  15  a  Tìm TGNN M Giải: M = a   a   a  15  a  = a   a    a   a   16 =  a 1     a 1   Điều kiện để M xác định a – �0  a �1 Ta có: M  a    a   Đặt x = a  điều kiện x �0 Trang 17 Do đó: M = x   x  Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x �2 x     x     x Và x     x     x => M = – x + – x = – 2x �6  2.2  Vậy x < M �2 2) Khi x �4 x   x  x-4 =x-4 46  => M = x   x   x  �2 � Vậy x > M �2 3) Khi < x < x   x  x    x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: � a   �a  �16 �a �17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: �a �17 C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x �1 x �3 Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = x = Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – �7 Xảy đẳng thức x = giá trị không thỏa mãn x �1 , khơng thỏa mãn x �3 Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Trang 18 Tìm giá trị m để x12  x22 có giá trị nhỏ Gợi ý:  = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12  x22  ( x1  x2 )2  x1 x2  (2m  1)2  2(m  2)  4m2  6m  � 11 11 � = �2m  � � 2� 4 11 => Min (  x12  x22   với m = 4 � Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E Bài toán 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 2x2 + 2y2 – 2xy = A + (x – y)2 = Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy 3A = + (x + y)2 �8 => A �  A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 �( x  y ) (12 + 12) = 50 x  y � 50   50 �M � 50 Trang 19 5 ;y 2 5 Min M = -5 x = ;y=2 2 Vậy Max M = 50 x = Bài tóan 6: Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: x y A = x4  y  x2  y Gợi ý: Từ (x2 – y)2 �0  x  y �2 x y x x => x  y �2 x y  Tương tự: y � y x �x  y �2 => A �1 => Max A = �y  x  x  y  �xy  � Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A = x    x  1  x    x  1 Gợi ý: B = x     x   Min B = - �x �0 Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý:  a  b  c abc� 2 Biểu diễn B = � �x  �  a  b  c   3 � � a  b  c => GTNN B = (a + b + c ) -  2 2 Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Trang 20 Vậy Min P = y = ; x = Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 => GTLN E = 10  y = ; x = z Bài tốn 11: Tìm GTLN biểu thức: P = x  y  � Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x  4y  z    x  265      y  525     z  13    Bài tốn 12: Tìm GTNN biểu thức sau: x2  x2 8 b) B = 3x  x2 1 c) C = x 1 a) A = Với x �0 Với x Với x Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:  �2  x2 8 1 �4 (vì � ) b) B = 2 3x  3x  2 2x c) C = 1  �1  Min C = - x = x 1 A = (x + 2) + Bài tốn 13: Tìm GTNN biểu thức A = x  x  2000 ;( x �0) x2 Gợi ý: A= 2000 x  � 2000 x  20002 ( x  2000)  1999 x  2000 x 2000 x Trang 21 ( x  2000) 1999 1999  � 2000 x 2000 2000 1999 Vậy Min A = Khi x = 2000 2000 = Bài tốn 14: Tìm GTNN biểu thức: P= x  16 x  56 x  80 x  356 x2  x  Gợi ý: ( x  x  5)  Biểu diễn P = � 256 �64 (áp dụng BĐT Côsi) x  2x  => Min P = 64 x = x = -3 Bài toán 15: x2  x  x x B= x 1 x2  x  Tìm GTNN A = với x > với x > C= x2  x  � 1�  � với x > D = (1  x) � � x� x  E= với < x < 1 x x x F=  với x > x 1 Gợi ý: x x A = x+  �2 x �   (vì x > 0) => Min A = x = B= x2 1  1   ( x  1)  �2   (vì x > 1) x 1 x 1 => Min B = x = 2 � x2  x  � 2 x2  x  x2  x  1 � 1�  ��2 x  (vì x > 0) D = (1 + x) � x � x� C= E= ( x  x  1)  5 1 x x  5x  5x x x 5 1 x     �2 � 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Trang 22 x 1 1 x 1 x 1     �2 �  x 1 x 1 2 x 1 3 = 2 => Min F = x = 2 F= Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức: x  xy P= 2 x y Gợi ý: ( y  x)  �1 x2  y2 ( x  y)2 P = - 2 �9 x y P=9- Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 Tìm GTNN biểu thức S = x  y x y 10 Gợi ý: S = 1x  1y = xy  x(10  x) S có GTNN x(10-x) có GTLN x = => GTNN S = x = y = 5 Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: E = x2  x   x2  x  Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + x  x  1) �4 => Min E = x = Bài 19: Cho a b hai số thỏa mãn: a �3 ; a + b �5 Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b �5  2a  2b �10  3a  2b �13 (vì a �3) => 132 � 3a  2b  �13  a  b  => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Trang 23 Tìm m x1  x2 đạt GTNN Gợi ý:  '  (2m  1)    phương trình ln có nghiệm phân biệt x 1; x2 Theo định lý vi-ét ta có: �x1  x2  2m � �x1.x2  3m  4m  Do x1  x2   4m    �  2 GTNN x1  x2 m = m �R Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y = x   x    x  1998 Gợi ý: y =  1x   x  1998    x   x  1997  + …+  x  998  x  999  x   x  1998 nhỏ 1997 x � 1;1998 Ta có: x   x  1997 nhỏ 1995 x � 2;1997 x  998  x  1999 nhỏ x � 999;1000 Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 �x �1000 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t số ngun khơng âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: �x  y  t  21 �2 2 �x  y  z  101 (1) (2) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 Trang 24 => 2M = 122 + t2 Do 2M �122  M �61 Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y �0  x  y �x  y �0 Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 �101  y �33  �y �5 Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1) Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = Để tồn a  ' �0 Giải điều kiện m4 - m2 �0 m(m – 1) �0  �m �1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = x2  x  x2  Gợi ý: Vì x2 + > với x Đặt a = x2  2x  => (a – 1) x2 – x +a – = (1) x2  a giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = (1) x = 1 - Nếu a �1 (1) có nghiệm  ' �0 Trang 25 Min A = 3 1  3+ với x = ; Max A = với x = 2 1 Bài 25: x  xy  y Tìm GTNN, GTLN A = x  xy  y Gợi ý: Viết A dạng sau với y �0 (A �x � x �y � y  �� �x � x �y � y  ��  a2  a  a2  a  Giải tương tự 24 được: x (đặt y  a ) �A �3 Cịn với y = A = Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý:  ab �a  b   3ab � Với Q dạng Q = (a + b) � � = – 2ab = – 2a (1 – a) 1 Q = a = b = 2 => Q = 2a2 – 2a + � Do đó: Min Xin giới thiệu q thày website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp giáo án soạn theo định hướng phát triển lực người học theo tập huấn Có đủ mơn khối THCS THPT https://tailieugiaovien.edu.vn/ Trang 26 ...   x  19 98 Gợi ý: y =  1x   x  19 98    x   x  1997  + …+  x  9 98  x  999  x   x  19 98 nhỏ 1997 x � 1;19 98? ?? Ta có: x   x  1997 nhỏ 1995 x � 2;1997 x  9 98  x  1999... �2 �A  A � Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x  1996  19 98  x Trang 16 Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 �x �19 98 Vì y �0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 �x �19 98 Áp dụng bất đẳng thức Cơ... 1996 �x �19 98 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:  x  1996   19 98  x  �( x  1996)  (19 98  x)  Dấu “=” xảy x – 1996 = 19 98 – x x = 1997 Do y2 �4  y �2 Vậy GTLN y x = 1997 Bài toán