CHUYEN DE GTLNGTNN

Để tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương pháp miền giá trị của hàm số, ta sử dụng một trong các cách sau.. Cách 1: Áp dụng cho những hàm số có thể biến đổi được về một hàm số chức một h[r]

Tan An, 2017

Mục lục

1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1.1

1.2

1.3

2

Phan ly thuyét 2 0 Q Q Q Q Q Q Q Q vxv 2 2

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3

1.2.1 Phương pháp miền giá trị của hàm số 3

12.2 Phương pháp bất đắng thức 11

1.2.3 Phương pháp chiều biến thiên của hàm số 15

M6t s6 baicé tham sO ) Q Q Q Q Q Q Q Q vv v2 36

Chuong 1

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ

NHAT CUA HAM SỐ

1.1 Phần lý thuyết

Định nghĩa 1.1.1 Giá sở ƒ(+) là hàm số xác định trên miễn D

1) Ta nói M là giá trị lớn nhất của ƒ(%) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai

điều kién sau:

a) f(a) < M, uới mọi z € D

b) Ton tat x9 € D, sao cho f(a) = M

Lúc đó, ta kí hiệu

M = max f(2)

xED

2) Tu nói mm là giá trị nhỏ nhất của ƒ(%) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai

điều kién sau:

1.2 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Cách 1: Áp dụng cho những hàm số có thể biến đổi được về một hàm số

chức một hàm sin X hoặc cos Ä

Cách 2:Áp dụng cho những hàm số có thể biến đổi được về một hàm số

chức hai hàm sin X và cos X

- Biến đổi hàm số về dạng = A4sin X + BcosX +C

¬ OO IES BLES ENS I Agsin X + By cos X + Cr

- Biến doi ham sé vé dang Asin X + BcosX =C

- Đử dụng điều kiện phương trình có nghiệm là

A+ B*>C

3

- Biến doi ham sé vé dang Ax? + Br + C = 0

- Đử dụng điều kiện phương trình có nghiệm là

Phương trình (2) nếu có nghiệm thì có hai nghiệm cùng dấu (vì øc > 0)

Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) phải có ít nhất một nghiệm dương

Do đó để (1) có nghiệm thì (2) có hai nghiệm dương

ajy=2+3cosx b)y=3—4sin? xcos’ x

5

min ý = Ú tại # = @ + k2m hoặc œ = =2 + k?m, k € Z

Lời giải

a) Tập xác định Ù = R

y = sin2z + 2V3cos”z — 2V3 = sin 2x + V3(1 + cos 2x) — 2V3

= sin 2x + V3cos 2x — V3 = 2sin (20 +=) — V3

so: 4 3

VOL SI OF = — va COS O = =

5

* Bài tập tương tự

Bai 1 Tim GTLN - GTNN cua ham sé

z2+z~-+2 b) + l

2 %2 —ø-+ 2 a x?—-axr+1 Bai 2 Tim GTLN - GTNN cua ham sé 7

a) y = 3—2sin2e b) y = 2cos (2e- 5) —4

c)# =sin2z + V3cos2e +1 d) y= 2sin? x — cos 2x

e) = 3_— 4sin” z cos? z f) y=2Vcosx—-1-3

Bai 3 Tim GTLN - GTNN của hàm số

a) y = (2— V3) sin 2x + cos 2x

b) y = (sinz — cosx)? + 2cos 2x + 3sin x cos x

c) y = (sinz — 2cosø)(2sin # + cosx) — 1

Bai 4 Tim GTLN - GTNN của hàm số

sIn # + cOS Z 1+sinz

jy ee snaz+1 y= 2+ cosx

sIn # + cosx COS Z# -E 2sIin ø + 3

chy=- sinx—sinx+3 ; d) y= 2cosx —sinx+4

2cosx+sinzx+3 2sinx+cosx4+ 1

— €os#-E 2sinz-+3 ~ ginz—2cosz +3

Bài 5 Tim GTLN - GTNN cta ham số

* Bất đẳng thức Cô-si

Cho số không âm ai, aa, , d„ Khi đó, ta có

đi + đa + + di,

Cho hai b6 86 a1, da, d„ và Ùị,bạ, , b„ tùy ý Khi đó

(a{ + a5 + + a7) (Đị + bộ + + b2) > (aibt + aaba + + anba)”

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

11

(vdi quy udc néu b; = 0 thi a; = 0)

* Bài toán áp dung

Theo bất đăng thức Bunhiakôpski ta có

(V/3cos 2x + sin 2x)? < [(V3)? + 17](cos? 2x + sin? 2)

1.2.3 Phương pháp chiều biến thiên của hàm số

1 Tim GTLN - GTNN cita ham sé trén một đoạn:

* Phương phap: Dé tim GTLN - GŒTNN của hàm số trên [a;b] ta thực

hiện các bước sau

min y= mini f(a); P21); f(®2)5 +1 Fn); FO)

2

c) y = xe* trén [-2;2| d) y = sin2x — x trên Ss

e) y= x —e”* trén |-2;2) f) = c”cosz trên (0: 3|

y =e cosx—e° sinx = e*(cosx — sin x)

=0 <© c”(cosz — sin#) = 0 © lí = O(n) cos xz — sinz = 0

x Stanz=1srzr=

min y=Otair=-—l

xE[—1;2|

| 2 z.2Ing.— —In x 7 21n z — In2z

y =2t+1

1

3, maxy = 5 tai # = kn, REZ

b) = sinz# + cos # + SIn # COS #

c) y=sin* x + costx +sinxcosx + 1

Dat: t= sinz voi -l<t< 1

Bai todn chuyén vé tim GTLN - GT'NN cua ham số

b) y=sinx +cosx + sin x cos x

Dat t = sina + cosx = V2sin («+ 1) với —w2< t< V2

1 maxy = 5+ V2 tai a => + k2n zclR

min ÿ = —Ì| tại #— —s + km hoặc + = 7 + k27

LE

20

Ta quy về bai todn tim GTLN - GTNN cta ham sé

Bài 3 Tìm GTLN - GTNN của hàm số sau

ce) =# + V2cosz trên [0; $]

f) = 3sinz — 4sin” z trên [—

2sin# — 1 a) y= sin x + 2

Bai 5 Tim GTLN - GTNN cia ham số sau

a) y = (4sinz — 3cosx)? — (4sinxz — 3cosz) +1

b) y= 2? — 3x” — 9 + ð trên [—2; 2|

c) y= 24+ 2/2 trên |0; 4|

©) =F SETS trên [—4;-2] fhy= fa? 42

8) =# + V2cosz trên [0;5] — h) y= x + cos* x tren [0; 5

)=Vwz+l+vw3-z j) y = cos2z + sin” z

Tim GTLN - GŒTTNN của ham số trên một khoảng:

* Phương pháp: Để tìm GTLN - GTNN của hàm số trên (a;b) ta thực

hiện các bước sau

TXD: D=R

Ta có ' = 4z + 2z

ự =0 4z”+ 2z =0 ©xz =0

Khi đó

Không tồn tại GTNN

Bài toán 1.21 Tìm giá trị lớn nhầt và nhỏ nhât của các hàm sô sau

33

` miny = soe tale = 2017 2016

Khong ton tai GTLN

Bài toán 1.24 Tìm tất cả giá trị m để hàm số # = #Ở + (m” + 1)#-+m +1

dat GTLN bang 5 trên đoạn [0; 1]

Lời giải

Ta cố

ự = 32? + mˆ+ 1 >0,VzcTR

Suy ra hàm số luôn đồng biến trén [0; 1]

+ Nếu —n + 3 < 0 mm > 3 thì hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng

C

Vậy

ax + 5

#2 + Ì

Bài toán 1.29 Xác định a và b để hàm số =

Bai 2 Tim giá trị m để hàm số