Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng.. Chøng minh: Gi¶i:..[r]
(1)C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bất đẳng thức A KiÕn thøc c¬ b¶n |a|≥ |a|≤ a ≤|a| |a+ b|≤ |a|+|b| a+b ≥ √ ab , a b = c d * Một số bất đẳng thức cần nhớ: a2 0; ;, dÊu " = " x¶y vµ chØ ab Bất đẳng thức Cô - si : a, b dÊu " = " x¶y vµ chØ a = b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: (a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dÊu " = " x¶y vµ chØ B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A B <=> A - B Chú ý các đẳng thức: * a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0; * a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 y2 x 2+ ≥ xy ; x − y ¿2 ≥ y2 x −4 xy + y x 2+ − xy= = ¿ 4 2 x− y ¿ ≥0 y x −4 xy + y x 2+ − xy= = ¿ 4 Bµi 1.1: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta lu«n cã: a b x2 + y2 + xy + x + y; c x4 + y4 xy3 +x3y Gi¶i: a XÐt hiÖu: x 2+ y2 ≥ xy (2) (2 x 2+2 y +2− xy − x −2 y) VËy: DÊu "=" x¶y vµ chØ 2x = y b x2 + y2 + - (xy + x + y) = x − 1¿ y −1 ¿ +¿ x − y ¿ +¿ ¿ ¿ ¿ 0 VËy: x2 + y2 + xy + x + y c x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y) = x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) y y2 x+ ¿ 2+ ¿ ¿ = (x - y)2 (x2 + xy + y2) = (x - y)2 VËy: x4 + y4 xy3 + x3y a b c b c a + + ≥ + + b c a a b c 0 Bµi 1.2: Cho < a b c Chøng minh r»ng: a c b b a + ≥ + a c a b a b c b c a 2 2 2 + + − − − = (a c +b a+ c b − b c − c a − a b) b c a a b c abc b Gi¶i: a [ (a2 c − b2 c)+(b2 a − a2 b)+(c b− c a) ] abc = 2 c(a − b )+ab( b− a)+c (b − a) ] [ abc −ca −ab+ ab+c (b − a)¿ abc = = (3) (b − a)( −ca − cb+ab+ c 2) abc (b − a)(c − b)(c − a)≥ abc a b c b c a + + ≥ + + b c a a b c c b b a 2 2 + − − = (c b+b a −b c −a c )≥ a c a b abc 2 (c b +b a −b c −abc) abc 1 2 (c b− b c)+(b a − abc) ]= [ [ bc (c − b)+ ba(b− c) ] abc abc b (c −b)(c −a) ≥ abc = ( v× o < a b c) VËy: b (V× a2c abc) c b b a + ≥ + a c a b (V× o < a b c) VËy: Bµi 1.3: Cho a < b < c < d H·y xÕp thø tù t¨ng dÇn c¸c sè sau: x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c) Gi¶i: XÐt hiÖu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d) = ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd = b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > (v× a < b < c < d) Suy ra: y > z T¬ng tù, xÐt hiÖu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d) = (a - b) (c - d) > Suy ra: z > y VËy: x < y < z Bµi 1.4: Cho abc = vµ a3 > 36 Chøng minh r»ng: (4) a2 2 +b + c > ab+ bc+ca Gi¶i a2 a2 a2 b c ab bc ca b c ab bc ca 12 ¿ ¿ 2 ( a a +b2 +c −ab − ca+2 bc + −3 bc 12 ( a −b − c + ( a − 36)>0 12 a ) ) (V× abc = a +b 2+ c 2> ab+ bc+ca 1+ a+a a2 1 = =1+ =1+ =1+ >¿ x 1+a 1+a 1+ a 1 + a2 a2 a vµ a3 > 36 nªn a > 0) 1+ a 1+ b , y= 1+ a+a 1+b+ b2 1 1 < va < ¿ a b a b VËy: Bµi 1.5: Cho a > b > So s¸nh hai sè x, y víi x = Gi¶i: 1+ 1 + b b = y Ta cã x,y > vµ (V× a > b> nªn VËy: x < y Ph¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh B¾c CÇu: * A B => A C BC * x => x2 x (v× x - x2 = x (1 - x) 0) Bµi 2.1: Cho x, y, x 1, Chøng minh r»ng: a x + y + z - xy - yz - zx 1; b x2 + y2 + z2 + x2y + y2z + z2x Gi¶i: (5) a Ta cã: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) (1) MÆt kh¸c: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx - xyz (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: x + y + z - xy - yz - zx b Ta chøng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x Ta cã: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x) x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (v× x2 x, y2 y, z2 z) x + y +z - xy - yz - zx (c©u a) Bài 2.2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < Gi¶i: NÕu a th× tõ b + c suy a + b + c > 2, v« lý! VËy < a < T¬ng tù: < b < 1, < c < Ta cã: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy abc < ab + bc + ca - (v× a +b + c = 2) (1) 2 (a + b +c ) Mµ = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + (ab + bc + ca), suy ra: ab + bc + ca = - (2) 2 (a + b +c ) => a2 +b2 +c +2 abc<2 Tõ (1) vµ (2) suy ra: abc < Bµi 2.3: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i: Ta cã: (1 - a) (1 - b) = - a - b + ab > - a - b (1) V× - c > nªn: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2) (1 - a - b) (1 - c) = - a - b - c + c (a + b) > - a - b - c (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > - a - b - c VËy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > - a - b - c - d (V× d (a + b + c) > 0) Bµi 2.4: Cho a, b, c tho¶ a + b + c = Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 Gi¶i: C¸ch 1: V× a + b + c = nªn cã Ýt nhÊt mét ba sè a, b, c kh«ng nhá h¬n 1, gi¶ sö a V× a nªn: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + => a (3 - a) Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc (1) 2 2 VËy: a + b + c = (a + b + c) - (ab + bc + ca) = - (ab + bc + ca) (theo (1)) (6) C¸ch 2: V× a, b, c nªn: abc ≥ (2 - a) (2 - b) (2 - c) = - (a + b + c) + (ab + bc + ca) - abc Suy ra: - + (ab + bc + ca) - abc => ab + bc + ca 2+ VËy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) - = Bài 2.5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + 4abc < Gi¶i: ¿ √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) , ¸p dông c«ng thøc Hª - r«ng, diÖn tÝch tam gi¸c: 1 1 −a −b −c 2 2 ( )( )( ) S= víi p = (a + b + c) = Do đó: S2 = 16S2 = (1 - 2a) (1 - 2b) (1 - 2c) = - 2a - 2b - 2c + 4ab + 4bc + 4ca - 8abc = - + (ab + bc + ca) - 8abc > Suy ra: 4abc + 2 < 2ab + 2bc + 2ca a b c 1 + + ≥2 + − bc ca ab a b c ( ) Mµ: 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) = - (a2 + b2 + c2) Nªn: 4abc + < - a2 - b2 - c2 => a2 + b2 + c2 + 4abc < Phơng pháp 3: Phơng pháp biến đổi tơng đơng Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng Bµi 3.1: a Víi a,b, c > Chøng minh: √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab a b c 1 + + ≥2 + − bc ca ab a b c ( ) b Cho a c > 0, b c Chøng minh: Gi¶i: a <=> a2 +b2 + c2 (bc + ac - ba) (V× abc > 0) <=> a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab (7) a b c 1 + + ≥2 + + bc ca ab a b c ( ) <=> (a + b - c)2 (hiÓn nhiªn đúng) √ c(a −c )+ √ c(b −c )¿ ≤ ab √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab <=> ¿ √(a − c)(b− c)+(a − c)(b − c)≥ √(a − c)(b− c)≤ ab VËy: √(a − c)( b− c) ¿ ≥0 a− c c (¿)+ √ c (b − c)≤ √ ab b √¿ <=> <=> c2 - 2c <=> (c - c (a - c) + c (b - c) + 2c ( hiển nhiên đúng) P= + − VËy: x − x + x −1 x +1 − x − x x − x + x − x + x − Bµi 3.2: Cho biÓu thøc: 32 Chøng minh r»ng < P < víi mäi x 1 Gi¶i: Ta cã: x - x + x - = x (x - 1) + (x -1) = (x - 1) (x3 +1) = (x - 1) (x + 1) (x2 - x + 1) x4 + x3 - x - = x3 (x+ 1) - (x + 1) = (x + 1) (x3 - 1) = (x + 1)( x - 1)(x2 + x + 1) x5 - x4 + x3 - x2 + x - = (x - 1)(x4 + x2 + 1) = ( x -1) (x2 +1)2 - x2) = (x -1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) P= ¿ 3 − − 2 2 (x −1)( x+1)(x − x+1) (x −1)( x +1)( x + x +1) ( x − 1)(x − x+ 1)( x + x+ 1) ( x 2+ x +1)−(x − x+1)− ( x +1) 2(x −1) = = 2 2 ( x −1)( x + x +1) (x −1)( x + x +1) x + x +1 Râ rµng P > P< 32 32 ⇔ < ⇔9<16 (x + x 2+ 1) x + x +1 P< 32 (8) <=> 16x4 + 16x2 + > (luôn luôn đúng) VËy: < x 2+ y ¿2 ¿ x − y ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ x2 + y2 ¿2 ¿ x − y ¿2 ¿ x − y ¿2 x − y ¿ 2+ ≥ ¿ x − y ¿ +4 ¿ ¿ ¿ ¿ x 2+ y ¿2 ¿ x − y ¿2 Bµi 3.3: Cho x > y vµ xy = Chøng ¿ ¿ ¿ ¿ Gi¶i: minh r»ng: Ta cã: x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy = (x - y)2 + 2, suy ra: (x2 + y2)2 = (x - y)4 + (x -y)2 + Do đó: <=> (x - y)4 - (x - y)2 + <=> (x - y- 2)2 (luôn đúng) VËy: Phơng pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức phụ ≥2 x 1 + ≥ ( x , y> 0) x y x+ y x + y ¿2 ¿ ¿ ≥ xy ¿ * x2 + y2 /xy/ * ( x + y)2 4xy * x2 + y2 2xy * x+ , víi x > * * Bµi 4.1: Cho a, b, c vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: a + 2b + c (1 - a) (1 - b) (1 - c) Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 4(b + c) (1 - c) (1 - b) (1 + b)2 (1 - b) (1 + b) (1 - b2) (1 + b = a + 2b + c 2 DÊu "=" x¶y vµ chØ a = , b = 0, c = (9) Bµi 4.2: Cho x, y > vµ x + y - z = Chøng minh r»ng: x + y 16xyz Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta có: 16xyz 4z (x + y)2 (1) Ta chøng minh: 4z (x + y) x + y <=> 4z ( x + y) <=> 4z (1 + z) <=> 4z2 + 4z + <=> (2z + 1)2 VËy: 4z (x + y)2 x + y (2) + 1 + ≤ a+ b+c Tõ (1) vµ (2) suy ®iÒu ph¶i chøng minh 1 1 1 + + + a b b c c a ab 1 ≤ ( a+b)=> ≤ ( a+b) Bµi 4.3: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: a+b 1 + a b Gi¶i: Tõ (a + b) 4ab => (1) 1 ≤ (b+c ) 1 + b c 1 ≤ ( c+ a) 1 + c a 1 + + ≥ T¬ng tù: a b c a+ b+c (2) (3) Cộng (1), (2), (3) ta đợc điều phải chứng minh Bµi 4.4: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng Gi¶i: ( 1a + b1 + 1c )=1+ ab + ac + ba +1+ bc + ca + cb +1 C¸ch a b a c b c a b a c ¿ 3+( + )+ ( + )+ ( + )≥ + ≥2 ; + ≥2 ; b a c a c b b a c a b c + ≥2 ; Ta cã: c b (a + b + c) (V× Suy ra: (10) 1 + + ≥ Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Cô - si: a b c a+ b+c √3 abc a+b+c3 1 + + ≥ a b c √ abc ( 1a + b1 + 1c ) ≥ 9⇒ 1a + 1b + 1c ≥ a+ 9b+c Suy ra: ( a + b + c) Bµi 4.5: Hai sè d¬ng a, b tho¶ m·n ab > a + b Chøng minh r»ng a + b > a b 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c ( Tõ ab > a + b => a > + ) b a vµ b > + Gi¶i: suy ( ab + ba ) ≥ ⇒ ( ab + ba ) ≥2 ¿ a+b>2+ (v× Bài 4.6: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2p 1 + ≥ ( x , y> 0); x y x+ y Chøng minh r»ng: Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức: Ta cã: 1 4 + ≥ = ; p − a p −b p − a −b c 1 + ≥ ; p − b p −c a 1 + ≥ p−c p−a b a b c d + + + ≥2 b+c c +d a+d a+ b x+ y ¿ ¿ ¿ ≥ xy ¿ Do đó: ( p −1 a + p −1 b + p 1−c ) ≥ ( 1a + 1b + 1c ) (11) Suy ra: Bµi 4.7: Cho sè d¬ng a, b, c, d Chøng minh r»ng: 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c ( ) x + y ¿2 ¿ ¿ ≥ xy ¿ a b c d + + + ≥2 b+c c +d a+d a+ b Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức: , ta cã: a+b+ c+ d ¿2 ¿ a(d +a)+c (b +c) a c a 2+ c2 +ad + bc + = ≥4 ¿ b+c d +a ( b+c )( d +a) a+b+c +d ¿ ¿ a b c d a2+ b2 +c +d 2+ ad+ bc+ ab+cd + = + ≥4 ¿ b+c c +d d +a a+b (1) a+ b+c +d ¿2 ¿ b (a+ b)+ d (c +d) b d b 2+ d 2+ ab+cd + = ≥4 ¿ c+ d a+b (c +d )(a+b) (2) Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta đợc: Ta chøng minh: a+b+ c+ d ¿ ¿ ¿ 4(a2 +b2 + c2 +d +ad + bc+ab+ cd) ¿ (3) ThËt vËy: (3) <=> (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2 <=> 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd <=> (a - c)2 + (b - d)2 (®pcm) (12) 1 + 2 ≥ Bµi 4.8 Cho hai sè d¬ng a, b vµ a + b = Chøng minh ab a + b r»ng: Gi¶i: 1 ab ≤ ⇒ ≥ áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b)2, ta có: ab 1 + ≥ x y x+ y a+b b+d c+ a d+ b + + + ≥4 a+b b+ c c+ d d+ a a+b b+d c+ a d+ b a+c c +a b+ d d +b + + + = + + + a+b b+ c c+ d d+ a a+b c+ d b+c d +a ( )( ) áp dụng bất đẳng thức: víi x, y > 0, ta cã: DÊu "=" x¶y vµ chØ a = b = Bµi 4.9 Cho a, b, c, d > Chøng minh Gi¶i: r»ng: Ta cã: = a+ b ¿2 ¿ ¿ 1 1 + 2= + + 2 ≥ 2+ ¿ ab a + b ab ab a +b ( ) (a+ c)(a+b+c +d ) (b+d )+(a+b+c + d) + ( a+b)(c +d ) (b+ c)( d+ a) (a+ c)(a+b+c +d ) (b+d )+(a+b+c + d) + ≥ ( a+b)(c +d ) (b+ c)( d+ a) x + y ¿2 ¿ ≥ xy ¿ a+c b+d c+ a d+ b + + + ≥4 a+b b+ c c+ d d+ a a+c b+d c+ a d+ b a+c c +a b+ d d +b + + + = + + + a+b b+ c c+ d d+ a a+b c+ d b+c d +a ( )( ) áp dụng bất đẳng thức: ta cã: , (13) a+b+ c+ d ¿ ¿ a+b+ c+ d ¿ ¿ ¿ ¿ 4(a+c )(a+ b+c +d ) ¿ (®pcm) Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Bµi 5.1: Cho sè d¬ng a, b, c nhá h¬n Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét các bất đẳng thức sau là sai: a(2 - a) > ; b(2 - b) > ; c( - c) > Gi¶i: Giả sử các bất đẳng thức đúng, nhân ba bất đẳng thức lại ta đợc: a (2 - a) b (2 - b) c (2 - c) > (1) 2 Mµ < a (2 - a) = 2a - a = - (a - 1) T¬ng tù: 0< b(2 - b) < c(2 - c) 1, suy ra: abc (2 - a) (2 - b) (2 - c) M©u thuÉn víi (1) Vậy có ít các bất đẳng thức đã cho là sai: Bµi 5.2: Cho sè tù nhiªn kh¸c nhá h¬n 108 Chøng minh r»ng cã thÓ chọn đợc ba số đó chẳng hạn a, b, c cho a < bc, b < ca, c < ab Gi¶i: Gi¶ sö sè tù nhiªn kh¸c lµ a1 < a2 < < a6 < 108 Râ rµng a2 2, 1 + + x y z a3 Víi sè x, y, z tho¶ m·n x < y < z ta lu«n cã x < yz vµ y < zx NÕu c¸c sè a1, a2, , a6 kh«ng cã sè a, b, c nµo tho¶ m·n a < b < c vµ c < ab th× ta cã: a4 a2a3 = 6, a5 a4a3 6.3 = 18, a6 a5a4 18.6 = 108, 1 + + x y z tr¸i víi gi¶ thiÕt a6 < 108 VËy ph¶i cã sè a, b, c tho¶ a < bc, b < ca, c < ab Bµi 5.3: Cho x, y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng nÕu x + y + z > th× cã mét vµ chØ mét ba sè x, y, z lín h¬n Gi¶i: 1 − − x y z Ta cã (x - 1) (y - 1) (z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - =x+y+z- (v× xyz = 1) (14) Suy ra: (x - 1) (y - 1) (z - 1) > Trong ba sè x - 1, y - 1, z - cã mét vµ chØ mét sè d¬ng ThËt vËy, nÕu c¶ số dơng thì x, y, z > Khi đó xyz > 1, vô lý! Vậy có và mét ba sè x, y, z lín h¬n Bài 5.4: Cho a, b, c, d > Chứng minh không thể đồng thời xảy các bất đẳng thức sau: a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab Gi¶i: Giả sử xảy đồng thời các bất đẳng thức trên Từ hai bất đẳng thức đầu ta cã: (a + b)2 < (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)2 - ab 3ab => cd > 3ab (1) MÆt kh¸c, ta cã: (a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd) => 4abcd (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, v« lý! VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p lµm tréi a <1 b a a+ c < b b+ c a, b > vµ a b c + + <2 a+b b+c c + a a <1 a+b th× a a a+c < < a+b+ c a+b a+b +c Bµi 6.1: Cho sè d¬ng a,b, c Chøng minh r»ng: < Gi¶i: b b b+ a < < ; a+b+ c b+c a+b+ c V× nªn T¬ng tù: c c c +b < < a+b+ c c+ a a+b+ c a+ b b+c c +d d +a + + + a+b+ c b+c +d c+ d+ a d + a+b b+ c b+c b+c +a < < ; a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d c +d c+ d c+ d+ b < < ; a+b+ c+ d c +d +a a+b+ c+ d bất đẳng thức trên lại ta đợc điều phải chứng minh Bµi 6.2: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh r»ng: Céng c¸c (15) a+ b <1 a+b+ c a+ b a+ b a+b+ d < < A= a+b+ c+ d a+b+ c a+ b+c +d kh«ng lµ sè nguyªn V× d +a d+ a d +a+ c < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d nªn 1 1 + + + <2 − ; n n T¬ng tù: Cộng lại ta đợc < A < 3, suy A kh«ng thÓ lµ sè nguyªn 1 + + + < ; 2 n 1 1 < = − k k (k −1) k −1 k 1 1 1 1 1 + + + <1+ 1− + − + + − < 2− 2 n −1 n n n ( )( ) ( d¬ng lín h¬n Chøng minh r»ng: a b ) Bµi 6.3: Víi n nguyªn Gi¶i: a Víi k > ta cã: Do đó: 4 = 2< = b.Víi k > ta cã: k k k −1 (2 k −1)(2 k +1) , đó: 1 <2 − 2 k −1 k +1 k ( ) 1 1 1 + + <1+2 − + − + +¿ 5 n ( ) ( ) Suy ra: +2 1 ( n−1 − n+1 )=1+2( 13 − 2n+1 ) 1+ = 3 1 , ., a n=1+ + + 2 n (16) Bµi 6.4: Cho d·y sè a1 = 1, a2= 1 + + .+ <2 a2 a2 na n Chøng minh r»ng: 1 < ka k ka k− i ak 1 < − ka k a k− ak 1 1 1 1 + + .+ <1+ − + − + .+ − =¿ a a2 a2 a3 an − an a1 a2 na n ( )( ) ( ) k Víi mäi n > Víi k ta cã: ( v× ak - ak - = ) Gi¶i: (v× ak > ak - 1) => Do đó: ( a1 − a1 )=2 − a1 < n n =1+ n −1 Bµi 6.5: Cho d·y sè a1 = 1, a2 = + , , an = + + + + 1 + + .+ <2 2 a1 a2 (2 n −1) a n Chøng minh r»ng: => ak >a k− ; k −1 Gi¶i: a −a 1 1 < = k k −1= − Ta cã: ak - ak - 1= (2 k −1)a k (2k −1) ak − a k ak −1 ak a k −1 a k 1 1 1 1 + + <1+ − + − + + − 2 a2 a3 a3 a an −1 a n a1 a2 ( 2n −1)an ( 1 1+ − <2 a a )( ) ( ) Do đó: (17) Phơng pháp 7: Bất đẳng thức Cô-Si a1 +a2 + + an n ≥ √ a1 a2 a n n a1, a2, , an 0: DÊu "=" x¶y vµ chØ a1 = a2 = =an √ Bài 7.1: Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd đó ad - bc =1 Chøng minh r»ng S Gi¶i: (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2 = a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 +d2) V× ad - bc = nªn: + (ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 +d)2 √(a 2+ b2)(c 2+ d 2)+ac+ bd áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có: ac+ bd ¿2 ¿ 1+¿ √¿ ac+bd ¿2 ¿ 1+¿ √¿ √ 1+ x + x => S2 ≥ 4(1+ x )+ x2 + x √ 1+ x S = (a2 + b2) + (c2 + d2) + ac + bd 2 Râ rµng: S > v× §Æt: x = ac + bd ta cã: (1+ x 2)+4 x √ 1+ x2 + x 2+3 ( √ 1+ x 2+2 x ) +3 ≥3 √3 1 + + ≥2 1+ a 1+b 1+ c S VËy: S (®pcm) Bµi 7.2: Cho a, b c > tho¶ Chøng minh r»ng: abc 1 b c ≥ 1− +1 − = + 1+ a 1+b 1+ c 1+b 1+c Ta cã: Gi¶i: (18) bc ≥2 áp dụng bất đẳng thức Cô - Si: 1+ a (1+b)(1+ c) √ √ ac ≥2 ; 1+b (1+a)(1+ c) ac ≥2 1+b (1+a)(1+b) √ T¬ng tù: abc ≥ => abc ≤ Nhân lại ta đợc: (1+a)(+b)(1+ c) (1+a)(1+b)(1+c ) (®pcm) Bµi 7.3: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: 1 a+ b+c + + ≤ a +b b + ac c +ab abc 1 1 + + ≤ + + a + bc b + ac c +ab a √ bc b √ ac c √ab Gi¶i: √ ac ; √ ab ; áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có: a2 + bc 2a b2 + ac 2b c2 + ab 2c √ bc ; Suy ra: a+b b+ c c+ a + + 2 a+b+ c = abc 2abc √ ab+ √ bc+ √ ca abc Phơng pháp 8: Bất đẳng thức Bunhiacôpxki 2 2 a1 b1 + +a n b n ¿ ≤( a1+ .+an )(b 1+ .+ bn ) ¿ (19) Bµi 8.1: Cho x, y, z tho¶ x (x -1) + y(y - 1) + z (z - 1) Chøng minh r»ng: x+y+z4 Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: (1.x + 1.y + 1.z)2 (12 + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) Suy ra: Theo gi¶ thiÕt, ta cã: x2 + y2 + z2 - (x + y + z) Từ đó suy ra: (x + y + z)2 - (x+ y + z) <=> S2 - 3S - (Víi S = x + y + z) <=> (S + 1) (S - 4) <=> - S VËy: x + y + z 2 x 0< 1+ a +b Bµi 8.2: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh x2 + ax + b = cã nghiÖm x0 Chøng minh r»ng: Gi¶i: x0 lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh x2 + ax + b = nªn ta cã: 2 2 a x +1 b ¿ ≤(a +b )( x 0+ 1) x 0+ ax0 +b=0 ⇒ x =¿ 2 x0 ⇒a +b ≥ x +1 ⇒ x <1+a +b = x −1 > x −1 x − x +1 + 2 Bài 8.3: Cho tam giác ABC và điểm Q nào đó tam giác Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC M và cắt BC N Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB F và cắt BC E Qua Q kẻ đờng thẳng song song với BC c¾t AC ë P vµ c¾t AB ë R Ký hiÖu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR) vµ S = dt (ABC) Chøng minh r»ng: (20) √ S 1+ √ S2 +√ S ¿2 S +S 2+ S ≥ S=¿ S a b Gi¶i: S MP √ S1 MP a Ta cã QMP BAC = ⇒ = S AC √ S AC MP AC ( ) (Tû sè ) , suy ra: S QE PC = = S AC AC ( ) ( ) T¬ng tù: √ S2 =PC S AC => √ S =PC ; √ S = AM S AC √ S1 + √ S + √ S = MP+PC+AM = AC =1 √ S AC S AC AC Suy ra: √ S=√ S + √ S 2+ √ S3 => S=( √ S1 + √ S 2+ √ S ) Do đó: √ S 1+ √ S 2+1 √ S3 ¿ ≤ Suy ra: b ¸p dông bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: S= (12 + 12 +12)(S1 +S2 + S3) Suy ra: S1 + S2 + S3 DÊu "=" x¶y vµ chØ khi: S1 = S2 = S3 <=> Q lµ träng t©m ABC Ph¬ng ph¸p 9: Ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực các bớc sau: a Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 b Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k c Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + Bµi 9.1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã: 1 13 + + + > n+1 n+2 2n 24 1 13 14 13 + > <=> > 24 24 24 1 + + + =¿ k +2 k +3 k +2 1 13 + + + > k +1 k +3 k +2 24 ¿ ( k +11 + k 1+2 + .+ 21k )+ k1+1 + k1+2 − k 1+1 (21) n −1 ≤ 2n √3 n+1 Gi¶i: Víi n = 2, ta cã: (đúng) 1 13 13 + + + > > Gi¶ sö víi n = k, ta cã: k +1 k +2 k k 24 Ta ph¶i chøng minh: ThËt vËy, ta cã: 13 1 13 + + − = 24 k +2 k + k +1 24 Vậy bất đẳng thức đúng với n=k +1,do đó bất đẳng hức đúng với n víi n N, n 1 Bµi 9.2: Chøng minh r»ng: 1 = 2 Gi¶i: Víi n = 1; Ta cã (đúng) k −1 ≤ 2k √3 k + 1 k +1 ≤ k +2 √ k +4 Gi¶ sö: k +1 k −1 k +1 k +1 = ≤ k +2 k k +2 √ k +1 k +2 k +1 ≤ √ k +1 k +2 √ k + ( k +1 k +1 ≤ k+ k +4 ) Ta cÇn chøng minh: Ta cã: Ta cÇn chøng minh: (1) ThËt vËy: (1) <=> (22) <=> (2k + 1)2 (3k + 4) (2k + 2)2 (3k + 1) <=> k (đúng) Vậy bất đẳng thức đúng với n (23)