Bất đẳng thức GV Đỗ Kim Sơn Cho 2 cặp số... Giải Bài Tập..[r]
(1)BD HSG Bất đẳng thức GV Đỗ Kim Sơn Cho cặp số Cho cặp số Cho n cặp số Cùng tăng : a ≤ b và A ≤ B a.A + b.B a + b A + B ≥ 2 dấu “ = “ xảy a = b và A = B Cùng tăng : a ≤ b ≤ c và A ≤ B ≤ C a.A + b.B + c.C a + b + c A + B + C ≥ 3 dấu “ = “ xảy a = b= c và A = B = C Cùng tăng : a1 ≤ a2 ≤ …≤ an và b1 ≤ b2 ≤…≤ bn a1 b1 + + an bn a1 + + an b1 + + b n ≥ n n n dấu “ = “ xảy a1 = a2 = …= an và b1 = b2 =…= bn Một tăng , giảm : a ≤ b và A ≥ B a.A + b.B a + b A + B ≤ 2 dấu “ = “ xảy a = b và A = B Một tăng , giảm : a ≤ b ≤ c và A ≥ B ≥ C a.A + b.B + c.C a + b + c A + B + C ≤ 3 dấu “ = “ xảy a = b = c và A = B = C Một tăng ,một giảm: a1≤ a2 ≤…≤ an , b1 ≥ b2 ≥ … ≥ bn a1 b1 + + an bn a1 + + an b1 + + b n ≤ n n n dấu “=” xảy a1 = a2 = …= an và b1 = b2 =…= bn Bài tập áp dụng : Bài : Cho số a , b thỏa a + b ≥ CMR : an + bn ≤ an+1 + bn+1 với n = , , , … a b c ( BĐT Nesbit cho số ) + + ≥ b+c c+a a+ b 1 Bài : Cho a , b , c dương và abc = Chứng minh : + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) Bài : CMR với a , b , c dương ta có : a b c Bài : Cho a , b , c > CMR : a b c ≥ (abc) a+ b+ c Bài : Cho n số không âm Chứng minh với số tự nhiên m = , , , … ta có : m a1m + a2m + + anm ⎛ a1 + a2 + + an ⎞ ≥⎜ ⎟ n n ⎝ ⎠ a1m + a2m + + amn a1k + a2k + + ank a1m + k + a2m + k + + amn + k ≤ Suy : n n n với m , k là các số tự nhiên Bài : Cho x , y dương Chứng minh : ( x + y ) ( x3 + y3 ) ( x7 + y7 ) ≤ ( x11 + y11 ) Bài : Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a12 + a22 + + a2n ≥ và S = a1 + a2 + … + an CMR : a13 a3 a3n + + + ≥ S − a1 S − a2 S − an n − 1 http://kinhhoa.violet.vn Lop10.com (2) Bài : 1./ Cho a1 , a2 , … , an > thỏa a1 a2 … an ≥ CMR : a1m + a2m + + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + + amn +1 2./ Cho a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + …+ an ≥ n CMR với m là số lẻ thì : a1m + a2m + + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + + anm +1 3./ Câu còn đúng không m là số chẵn Giải thích 4./ Trong trường hợp n = và m là số chẵn thì kết câu nào ? Bài : Trong tam giác ABC gọi ma , mb , mc là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A , B , C và , hb , hc là ba đường cao tương ứng Chứng minh : ( m 2a + m 2b + m 2c ) ( h 2a + h 2b + h 2c ) ≥ 27 S2 ( S là diện tích ABC ) Bài 10 : ab bc ca + + ≥ 4p Cho a , b , c là cạnh tam giác , chu vi 2p CMR : p−c p−a p−b Bài 11 : Gọi a1 , a2 , … , an là các cạnh đa giác có chu vi 2p Chứng minh : a1 a2 an 2n + + + ≥ Khi nào xảy dấu ? p − a1 p − a2 p − an n − Bài 12 : Cho a , b , c là cạnh tam giác , chu vi 2p và r , R là bán kính các đường tròn nội , ngoại tiếp a b c R Chứng minh : + + ≤ h b + h c h c + ha + h b 2r Bài 13 : Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = Chứng minh : SinA.Sin2A + SinB.Sin2B + SinC.Sin2C 2S Dấu “=” xảy nào ? ≤ SinA + SinB + SinC Bài 14 : CMR với tam giác ABC ta có : ⎛ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ⎞ 1./ SinA + SinB + SinC ≥ ⎜ ⎝ Cos A + Cos B + Cos C ⎟⎠ 2./ Sin A + Sin B + Sin C ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 3./ ( Cos A + Cos B + Cos C ) ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C Bài 15 : Cho tam giác ABC Chứng minh : aA + bB + cC π ≥ a+b+c ( A , B , C có số đo radian ) Bài 16 : Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn CMR : SinA + SinB + SinC tan A tan B tan C ≤ CosA + CosB + CosC Lop10.com (3) Cho a ,b , c dương thỏa a2 + b2 + c2 ≥ Chứng minh : a3 b3 c3 a2 b2 c2 1./ 2./ + + ≥ + + ≥ b+c c+a a+ b b+c c+a a+ b Cho a ,b , c , d dương thỏa a2 + b2 + c2 +d2 ≥ Chứng minh : a3 b3 c3 d3 1./ + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+ b+c a2 b2 c2 d2 2./ Có thể mở rộng không ? + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c CMR với tam giác ABC ta có : 1./ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ≤ Sin2A + Sin2B + Sin2C Sin A + Sin B + Sin C 2./ ≤ ( tg A + tg B + tg C ) Cos A + Cos B + Cos C Chứng minh a + b ≥ thì a + b a + b a3 + b a6 + b ≤ 2 2 n Cho n số dương a1 , a2 , … , an Chứng minh : ( ) n ∏a ≥ ∏a i=1 i i=1 n ∑ i =1 i CMR với tam giác ABC ta có : 1./ a + b + c ≥ ( a Cos A + b Cos B + c Cos C ) π A.Sin A + B.Sin B + C.Sin C π ( A , B , C tính radian ) 2./ ≤ ≤ Sin A + Sin B + Sin C A B C⎞ ⎛ A B C⎞ ⎛ 3./ ⎜ Sin + Sin + Sin ⎟ ⎜ cot g + cot g + cot g ⎟ ≥ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh : ( tgA + tgB + tgC ) ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ ⎜⎛ tg ⎝ A B C⎞ ⎛ A B C⎞ + tg + tg ⎟ ⎜ cot g + cot g + cot g ⎟ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + … + an ≤ S ≤ n , với S là số cho trước CMR : 1 a + + a22 + + + a2n + ≥ a1 a2 an ⎛ n2 ⎞ S +⎜ ⎟ ⎝ S⎠ 2 Dấu “=” xảy nào ? Lop10.com (4) Giải Bài Tập GV Đỗ Kim Sơn Bài : Cho số a , b thỏa a + b ≥ CMR : an + bn ≤ an+1 + bn+1 với n = , , , … Giải : Giả sử a ≥ b ⇒ a ≥ | b | ( a + b ≥ > ) ⇒ an ≥ | b |n ≥ bn ⎧ a≥b an+1 + b n +1 an + b n a + b an + b n Theo Tcheùbycheff : ⎨ n ⇒ ≥ ≥ n 2 2 ⎩a ≥b ⇒ an+1 + b n +1 ≥ an + b n a b c + + ≥ ( BĐT Nesbit cho số ) b+c c+a a+ b Giải : Giả sử a ≥ b ≥ c > ⇒ a + b ≥ a + c ≥ b + c ( ) a b c ≥ ⇒ ≥ ( ) Áp dụng Trêbưsép cho ( ) , ( ) b+c a+c a+ b Dấu “=” a = b = c Bài : CMR với a , b , c dương ta có : Bài : Cho a , b , c dương và abc = Chứng minh : 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) Giải : 1 , y = , z = Ta coù x , y ,z > vaø xyz = a b c x y z Theo Cauchy : x + y + z ≥ Theo Nesbit : + + ≥ y+z z+x x+y Ñaët x = x2 y2 z2 + + ≥ ( xyz = ) y+z z+x x+y x y z Giả sử x ≥ y ≥ z > (1) ⇒ ≥ ≥ > (2) AÙp duïng Tcheùbycheff cho (1) vaø (2) y+z z+x x+y BÑT caàn CM ⇔ Bài : Cho a , b , c > CMR : aa b b cc ≥ (abc) a+ b+ c Giải : Giả sử a ≥ b ≥ c > ( ) ⇒ log a ≥ log b ≥ log c ( ) Áp dụng Trêbưsép cho ( ) và ( ) Lop10.com (5) Bài : Cho n số không âm Chứng minh với số tự nhiên m , k = , , , … ta có : a1m + a2m + + amn a1k + a2k + + ank a1m + k + a2m + k + + amn + k ≤ n n n m m m m a1 + a2 + + an ⎛ a1 + a2 + + an ⎞ ≥⎜ Suy : với m là số tự nhiên ⎟ n n ⎝ ⎠ Giải : ⎧⎪ a1m ≤ a2m ≤ ≤ amn (1) Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ⇒ ⎨ k k k ⎪⎩ a1 ≤ a2 ≤ ≤ an (2) AÙp duïng BÑT Tcheùbycheff cho (1) vaø (2) Bài : Cho x , y dương Chứng minh : ( x + y ) ( x3 + y3 ) ( x7 + y7 ) ≤ ( x11 + y11 ) Giải : Giả sử < x ≤ y (1) ⇒ x3 ≤ y3 (2) ; x4 ≤ y4 (3) ; x7 ≤ y7 (4) Ap dụng Trêbưsép cho (1) và (2) ; (3) và (4) sau đó nhân lại với Bài : Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a12 + a22 + + a2n ≥ và S = a1 + a2 + … + an CMR : a13 a32 a3n + + + ≥ S − a1 S − a2 S − an n − Giải : ⎧ a12 ≤ a22 ≤ ≤ a2n (1) ⎪ Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ⇒ ⎨ a1 a2 an ⎪ S - a ≤ S - a ≤ ≤ S - a (2) n ⎩ AÙp duïng BÑT Tcheùbycheff cho (1) vaø (2) ta coù : ⎛ a a a ⎞ a13 a3 a3 + + + n ≥ a12 + a22 + + a2n ⎜ + + + n ⎟ S - an ⎠ S - a1 S - a2 S - an n ⎝ S - a1 S - a2 ( ≥ ) a a ⎞ ⎛ a1 + + + n ⎟ ⎜ n ⎝ S - a1 S - a2 S - an ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ a + a2 + + an ) ⎜ + + + ⎟ ( S - an ⎠ n ⎝ S - a1 S - a2 ⎛ 1 ⎞ 1 + + + = ( S - a1 + S - a2 + + S - an ) ⎜ ⎟ S - an ⎠ n n -1 ⎝ S - a1 S - a2 ≥ ≥ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 n n (S - a1 )(S - a2 ) (S - an ) n ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≥ n n -1 ⎝ S - a1 ⎠ ⎝ S - a2 ⎠ ⎝ S - an ⎠ n -1 Lop10.com (6) Bài : 1./ Cho a1 , a2 , … , an > thỏa a1 a2 … an ≥ CMR : a1m + a2m + + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + + amn +1 2./ Cho a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + …+ an ≥ n CMR với m là số lẻ thì : a1m + a2m + + amn ≤ a1m +1 + a2m +1 + + anm +1 3./ Câu còn đúng không m là số chẵn Giải thích 4./ Trong trường hợp n = và m là số chẵn thì kết câu nào ? Giải : m m m ⎪⎧ a1 ≤ a2 ≤ ≤ an 1./ Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ⇒ ⎨ vaø ñaët S = a1 + a2 + + an ⎪⎩ a1 -1 ≤ a2 -1 ≤ ≤ an -1 ( ⇒ (a ⇒ a1m + a2m + + anm m + a2m + + amn ) ( a -1 + a -1 + + a -1) ≤ n ⎡⎣a ( a -1) + a ( a -1) + + a ( a -1)⎤⎦ ) ( S - n ) ≤ n ⎡⎣( a + a + + a ) − ( a + a + + a )⎤⎦ n m m+1 m+1 n m+1 m m m n m n m n Do > neân S ≥ n n a1 a2 a n ≥ n Veá traùi khoâng aâm Daáu " = " a1 = a2 = = an 2./ CM tương tự 3./ Nếu m chẵn , bài toán không còn đúng Ví dụ : n = , m = ( chẵn ) Cho a1 = a2 = , a3 = – Ta có : a1 + a2 + a3 = ; a12 + a22 + a32 = 57 > a13 + a32 + a33 = 4./ Xem lại bài Bài : Trong tam giác ABC gọi ma , mb , mc là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A , B , C và , hb , hc là ba đường cao tương ứng Chứng minh : ( m 2a + m 2b + m 2c ) ( h 2a + h 2b + h 2c ) ≥ 27 S2 ( S là diện tích ABC ) Giải : Ta có : m 2a + m 2b + m 2c = 3( a2 + b2 + c2 ) /4 BĐT trở thành ( a2 + b2 + c2 ) ( h 2a + h 2b + h 2c ) ≥ 36 S2 Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒ ≤ hb ≤ hc ( vì = 2S / a ) Áp dụng Trêbưsép Bài 10 : Cho a , b , c là cạnh tam giác , chu vi 2p CMR : ab bc ca + + ≥ 4p p−c p−a p−b Giải : Đặt x = a + b – c ; y = b + c – a ; z = c + a – b Ta có : x , y , z > và x + y + z = a + b + c = 2p Ngoài ta còn có : ( x+y)( x+z) = 4ab ; ( y+x)( y+z) = 4bc ; ( z+x)( z+y) = 4ac ; 4ab 4bc 4ac BÑT ⇔ + + ≥ 8p 2(p - c) 2(p - a) 2(p - b) ⇔ (x + y)(x + z) (y + x)(y + z) (z + y)(z + x) + + ≥ ( x + y + z) x y z ⇔ x + x(y + z) + yz y + y(x + z) + xz z2 + z(x + y) + xy + + ≥ ( x + y + z) x y z ⇔ yz xy yx + + ≥ x+y+z x y z Lop10.com (7) ⎧ 1 1 ⎛1 1⎞ yz xy yx ⎪ 0< ≤ ≤ Giả sử < x ≤ y ≤ z ⇒ ⎨ + + z y x ⇒ ⎜ + + ⎟ xy + xz + yz ≤ x y z x y z ⎝ ⎠ ⎪ xy ≤ xz ≤ yz ⎩ ( ) ⎛ yz xz xy ⎞ yz xy yx ⇒ ⎜ +x+y+z+ +x+y+z+ + + ⎟ ( xy + xz + yz ) ≤ 3⎝ x y z ⎠ x y z yz xy yx ⇒x+y+z ≤ + + x y z Bài 11 : Gọi a1 , a2 , … , an là các cạnh đa giác có chu vi 2p Chứng minh : a1 a2 an 2n Khi nào xảy dấu ? + + + ≥ p − a1 p − a2 p − an n − Giải : ⎧ p - a1 ≤ p - a2 ≤ ≤ p - an ⎪ Giả sử a1 ≥ a2 ≥ ≥ an > ⇒ ⎨ a1 a2 an ⎪ 2p - 2a ≥ 2p - 2a ≥ ≥ 2p - 2a n ⎩ ⎡ a1 a2 an ⎤ + + + ⎢ ⎥ [(p - a1 ) + (p - a2 ) + + (p - an )] 2p - 2an ⎦ 1444442444443 ⎣ 2p - 2a1 2p - 2a2 ( n − 2)p ⎡ a1 a2 an ⎤ ≥ n ⎢(p - a1 ) + (p - a2 ) + + (p - an ) ⎥ = np 2p - 2a1 2p - 2a2 2p - 2an ⎦ ⎣ Bài 12 : Cho a , b , c là cạnh tam giác , chu vi 2p và r , R là bán kính các đường tròn nội , ngoại tiếp a b c R Chứng minh : + + ≤ h b + h c h c + ha + h b 2r Giải : Giả sử a ≤ b ≤ c (1) ⇒ hc ≤ hb ≤ ⇒ hc + hb ≤ + hc ≤ hb + 1 ⇒ ≥ ≥ (2) Ap dụng Trêbưsép cho (1) , (2) ta có : h b + hc h c + ha + h b ⎛ a b c 1 ⎞ ≤ ( a + b + c) ⎜ + + + + ⎟ h b + hc hc + ha + h b ⎝ h b + h c h c + ha + h b ⎠ ⎛ 1 ⎞ ≤ 2R ( SinA + SinB + SinA ) ⎜ + + ⎟ , ⎝ h c h b ⎠ 3 1 R ≤ 2R = 2 r 2r Lop10.com (8) Bài 13 : Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = Chứng minh : SinA.Sin2A + SinB.Sin2B + SinC.Sin2C 2S Dấu “=” xảy nào ? ≤ SinA + SinB + SinC Giải : Trong tam giác ABC ta có : Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C = 2S / R2 = 2S R = ⎧ < Sin A ≤ Sin B ≤ Sin C ⇒ Sin2A ≥ Sin2B ≥ Sin2C Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ ⎨ ⎩Cos A ≥ Cos B ≥ Cos C A;p dụng Trêbưsép cho dãy tăng và dãy giảm : ⎛ SinA + SinB + SinC ⎞ ⎛ Sin2A + Sin2B + Sin2C ⎞ SinA.Sin2A + SinB.sin 2B + SinC.sin 2C ⎜ ⎟⎜ ⎟≥ 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ SinA.Sin2A + SinB.sin 2B + SinC.sin 2C Sin2A + Sin2B + Sin2C 2S ⇔ ≤ = SinA + SinB + SinC 3 Bài 14 : CMR với tam giác ABC ta có : ⎛ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ⎞ 1./ SinA + SinB + SinC ≥ ⎜ ⎝ Cos A + Cos B + Cos C ⎟⎠ 2./ Sin A + Sin B + Sin C ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 3./ ( Cos A + Cos B + Cos C ) ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C Giải : 1./ Giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ Sin A ≤ Sin B ≤ Sin C (2) và Cos A ≥ Cos B ≥ Cos C (3) Áp dụng Trêbưsép cho dãy tăng và dãy giảm : ⎛ SinA + SinB + SinC ⎞ ⎛ CosA + CosB + CosC ⎞ SinA.CosA + SinB.CosB + SinC.CosC ⎜ ⎟⎜ ⎟≥ 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Sin2A + Sin2B + Sin2C = ⎛ Sin2A + Sin2B + Sin2C ⎞ Suy : SinA + SinB + SinC ≥ ⎜ ⎟ ⎝ CosA + CosB + CosC ⎠ A B C CosA + CosB + CosC = + Sin Sin Sin > Dấu = ABC 2 2./ Từ câu ta có : ⎛ SinA + SinB + SinC ⎞ ⎛ CosA + CosB + CosC ⎞ Sin2A + Sin2B + Sin2C ⎜ ⎟⎜ ⎟≥ 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ Suy : ( CosA + CosB + CosC )( SinA + SinB + SinC ) ≥ Sin2A + Sin2B + Sin2C 3 maø : CosA + CosB + CosC ≤ neân SinA + SinB + SinC ≥ Sin2A + Sin2B + Sin2C 3./ Tương tự 3 SinA + SinB + SinC ≥ neân ( CosA + CosB + CosC ) ≥ Sin2A + Sin2B + Sin2C Lop10.com (9) Bài 15 : Cho tam giác ABC Chứng minh : aA + bB + cC π ≥ a+b+c ( A , B , C có số đo radian ) Giải : Giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ A ≤ B ≤ C Theo Trêbưsép : ( a+b+c ) ( A + B + C ) ≤ ( aA + bB + cC ) Bài 16 : Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn CMR : SinA + SinB + SinC tgA.tgB.tgC ≤ CosA + CosB + CosC Giải : Với tam giác ABC nhọn ta có : tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC ⎧tgA ≥ tgB ≥ tgC Giả sử A ≥ B ≥ C ( nhọn ) ta có : ⎨ ⎩CosA ≤ CosB ≤ Cos C ⎛ tgA + tgB + tgC ⎞ ⎛ CosA + CosB + CosC ⎞ ⎛ tgA.CosA + tgB.CosB + tgC.CosC ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟≥⎜ 3 ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎛ tgA + tgB + tgC ⎞ ⇒⎜ ⎟ ( CosA + CosB + CosC ) ≥ ( SinA + SinB + SinC ) ⎝ ⎠ Cho a ,b , c dương thỏa a2 + b2 + c2 ≥ Chứng minh : a3 b3 c3 a2 b2 c2 1./ 2./ + + ≥ + + ≥ b+c c+a a+ b b+c c+a a+ b Giải : ⎧ a12 ≤ a22 ≤ a32 (1) ⎪ 1./ Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ a3 ⇒ ⎨ a1 a2 a3 ⎪ a + a ≤ a + a ≤ a + a (2) 3 ⎩ AÙp duïng BÑT Tcheùbycheff cho (1) vaø (2) ta coù : ⎛ a1 a2 a3 ⎞ a13 a32 a33 + + + + ≥ a12 + a22 + a32 ⎜ ⎟ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ a2 a3 ⎞ ⎛ a1 + + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ ( ) ⎛ 1 1 ⎞ a + a + a + + ( ) ⎜ ⎟ 32 ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 + = ( a1 + a2 + a2 + a3 + a3 + a1 ) ⎜ + ⎟ ⎝ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 ⎠ ≥ 1 1 1 ≥ (a1 + a2 )( a2 + a3 )( a3 + a1 ) ≥ a2 + a3 a1 + a3 a2 + a1 Lop10.com (10) Cho a ,b , c , d dương thỏa a2 + b2 + c2 +d2 ≥ Chứng minh : a3 b3 c3 d3 + + + ≥ 1./ b+c+d c+d+a d+a+ b a+ b+c a2 b2 c2 d2 2./ Có thể mở rộng không ? + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c Giải : Tương tự chứng minh bài ( xem lời giải tổng quát bài ) CMR với tam giác ABC ta có : 1./ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ≤ Sin2A + Sin2B + Sin2C Sin A + Sin B + Sin C 2./ ≤ tan A + tan B + tan C Cos A + Cos B + Cos C Giải : 2./ Xem lời giải bài 16 ( ) với A , B , C nhọn a + b a + b a3 + b a6 + b Chứng minh a + b ≥ thì ≤ 2 2 Giải : Giả sử a ≥ b , vì a + b ≥ nên a ≥ – b Suy a ≥ | b | Do đó a3 ≥ b3 Theo Trêbưsép : a + b a + b a3 + b a + b a + b a3 + b a3 + b a3 + b ≤ ⇒ ≤ 2 2 2 2 2 3 6 a+b a +b a +b a +b ⇒ ≤ 2 2 (∏ a ) ≥ (∏ a ) n Cho n số dương a1 , a2 , … , an Chứng minh : i=1 n n i i=1 n ∑ i =1 i Giải : (∏ a ) ≥ (∏ a ) n i=1 n n i i=1 i ( ) n ∑ i =1 n ⇔ n.ln ∏ i=1 ( ) ⎛ n ≥ ln ⎜ ∏ ⎜ i=1 ⎝ n n n i =1 i =1 i =1 n ∑ i =1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⇔ n.∑ ln ≥ ∑ ∑ ln Giả sử < a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an ⇒ lna1≤ lna2 ≤ … ≤ lnan Áp dung Trêbưsép : n n n i =1 i =1 i =1 ∑ ∑ ln ≤ n.∑ ln CMR với tam giác ABC ta có : 1./ a + b + c ≥ ( a Cos A + b Cos B + c Cos C ) 10 Lop10.com (11) π A.Sin A + B.Sin B + C.Sin C π ( A , B , C tính radian ) ≤ ≤ Sin A + Sin B + Sin C ⎛ B C⎞ ⎛ A B C⎞ A 3./ ⎜ Sin + Sin + Sin ⎟ ⎜ cot + cot + cot ⎟ ≥ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ Tự giải Giải : 2./ Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh : ( tan A + tan B + tan C ) ( cot A + cot B + cot C ) ≥ ⎜ tan A2 + tan B2 + tan C2 ⎟ ⎜ cot A2 + cot B2 + cot C2 ⎟ Giải : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tự giải Cho n số dương a1 , a2 , … , an thỏa a1 + a2 + … + an ≤ S ≤ n , với S là số cho trước CMR : 1 a + + a22 + + + a2n + ≥ a1 a2 an Giải : ⎛ n2 ⎞ S +⎜ ⎟ ⎝ S⎠ 2 Dấu “=” xảy nào ? Tự giải 11 Lop10.com (12)