Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 30.. Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2008-2009 Khóa ngày 03/4/2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3 điểm) Tìm số tự nhiên n để A = n2 + n + 28 là số chính phương Chứng minh các số tự nhiên dạng abcdabcd (a ≠ 0) đồng thời chia hết cho 73 và 137 Câu (2 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức B 2008 x 2009 3x Câu (3 điểm) x1 x x 1 C : 1 x x 1 4x x 1 Cho biểu thức Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C C Tìm giá trị x cho Tìm giá trị x cho C < Câu (3 điểm) Cho đường thẳng (d1): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0) Viết phương trình các đường thẳng (d2) đối xứng với (d1) qua trục Ox, (d3) đối xứng với (d1) qua trục Oy và (d4) đối xứng với (d1) qua gốc tọa độ O Tứ giác xác định đường thẳng (d1), (d2), (d3) và (d4) là hình gì? Tại sao? Xác định giá trị m để tứ giác này là hình vuông Câu (3 điểm) Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + – m = với m là tham số Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm dương phân biệt Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 30 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông C và D là điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác A và khác C) Gọi (O1), (O2) là các đường tròn có tâm O 1, O2 , qua D và tiếp xúc với AB A, B Gọi E là giao điểm (O1) và (O2) (E khác D) Chứng minh đường thẳng DE luôn qua điểm cố định D di chuyển trên cạnh AC Chứng minh các góc BAC và DEC CD Cho góc ABC 60 Xác định tỉ số CA để đoạn thẳng O1O2 là ngắn (2) HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2008-2009 Khóa ngày : 03/4/2007 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN : TOÁN Câu (3 đ): Tìm số tự nhiên n để A = n2 + n + 28 là số chính phương Chứng minh các số tự nhiên dạng abcdabcd (a ≠ 0) đồng thời chia hết cho 73 và 137 1) A là số chính phương n2 + n + 28 = k2 (k N , n N) 4n2 + 4n + 112 = 4k2 (2k – 2n – 1)( 2k + 2n + 1) = 111 = 1.111 3.37 (0,5 đ ) Vì 2k + 2n + > 2k – 2n – nên : 2k 2n 1 2k 2n 111 k n 1 k n 55 k 28 n 27 2) hoặc 2k 2n 3 2k 2n 37 k n 2 k n 18 k 10 n 8 Vậy n = 27 n = (0,5 đ ) (1 đ ) abcdabcd = 10000 abcd + abcd = 10001 abcd = 73.137 abcd Vậy abcdabcd đồng thời chia hết cho 73 và 137 (1 đ ) Câu (2 đ): Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức B 2008 x 2009 x 2009 2008 x Đk : * Ta biết A B A B và dấu “=” xãy A = B = Do đó B 2008 x 2009 x 4017 2009 2008 Dấu “=” x = x = 2009 2008 Vậy minB = 4017 x = x = * Theo Bunhia ta có : 2008 x 1 2009 x 1 2008 x 2009 x B2 2.4017 8034 (1đ ) (3) < B 8034 , dấu “=” 2008 – 3x = 2009 + 3x 1 8034 x = Vậy maxB = (1 đ ) x1 x x 1 C : 1 x x 1 4x x 1 Câu (3 đ) : Cho biểu thức Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C C Tìm giá trị x cho Tìm giá trị x cho C < 1) Đk : x và x C = (0,25 đ ) x x 1 x x x 1 x : x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 2 x x 1 ( 0,5 đ ) x2 x = x1 2) C = ( 0,5 đ ) x2 x x1 = 3x –10 x + = x 2 x 4 x 4 x 16 3) C < x2 x x1 –2 <0 x x 2 x1 <0 ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,25 đ ) x 1 x1 <0 x1 <0 x < ( 0,5 đ ) Câu (3 đ) : Cho đường thẳng (d1): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0) Viết phương trình các đường thẳng (d2) đối xứng với (d1) qua trục Ox, (d3) đối xứng với (d1) qua trục Oy và (d4) đối xứng với (d1) qua gốc tọa độ O Tứ giác xác định đường thẳng (d1), (d2), (d3) và (d4) là hình gì? Tại sao? Xác định giá trị m để tứ giác này là hình vuông 1) * Ta có y = f(x) và y = – f(x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng qua trục Ox Do đó Phương trình (d2) đối xứng (d1) : y = –2mx + 2m qua trục Ox là : y = – (–2mx + 2m) (d2) : y = 2mx – 2m ( 0,5 đ ) * Ta có y = f(x) và y = f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng qua trục Oy (4) Do đó Phương trình (d3) đối xứng (d1) : y = –2mx + 2m qua trục Oy là : y = –2m(–x) + 2m (d3) : y = 2mx + 2m ( 0,5 đ ) (5) * Ta có y = f(x) và y = –f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O Do đó Phương trình (d4) đối xứng (d1) : y = –2mx + 2m qua O là : y = – [– 2m(–x) + 2m] (d4) : y = –2mx – 2m 2) ( 0,5 đ ) * Do gốc tọa độ O là tâm đối xứng tứ giác tạo (d1), (d2), (d3), (d4) và Ox vuông góc với Oy nên tứ giác nói trên là hình thoi (0,5 đ) * Để hình thoi này trở thành hình vuông thì : (d1) (d2) a1.a2 = –1 1 –2m.2m = – m = m = 2 (1 đ ) Câu (3 đ) : Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + – m = với m là tham số Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm dương phân biệt Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 1) Phương trình trên có nghiệm dương phân biệt 30 ' m 3m P x1.x2 5 m S x x 2(m 1) (m 1) (m 4) m m 1 m ( 0,5 đ ) (1 đ ) 2) x1 và x2 là độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền 30 x12 + x22 = 30 S2 – 2P – 30 = (0,5 đ ) m 2 m 2m2 + 5m – 18 = Chỉ có giá trị m = thỏa mãn (1 đ ) Câu (6 đ) : Cho tam giác ABC vuông C và D là điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác A và khác C) Gọi (O1), (O2) là các đường tròn có tâm O 1, O2 , qua D và tiếp xúc với AB A, B Gọi E là giao điểm (O1) và (O2) (E khác D) Chứng minh đường thẳng DE luôn qua điểm cố định D di chuyển trên cạnh AC Chứng minh các góc BAC và DEC CD Cho góc ABC 60 Xác định tỉ số CA để đoạn thẳng O1O2 là ngắn (6) 1) Gọi I là giao điểm ED với AB * IAD đồng dạng IEA IA ID IA2 IE.ID IE IA * IBD đồng dạng IEB IB ID IB IE.ID IE IB IA = IB ED qua điểm cố định I E O2 C O1 D A I B là trung điểm AB 2) ˆ ICA ˆ CAB IC ID IE IC IC = IE.ID ICD đồng dạng IEC * Tam giác ICA cân I * IC = IB (1) & (2) 3) O1A // O2B Mặt khác (cmt) ˆ AIE ˆ ACE = 90o ˆ ˆ 600 ( gt ) ABE Mà ABC 60 Nên EAB (1) ( 0,5 đ ) ˆ ˆ ICA IEC ˆ DEC ˆ CAB (2) (1đ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) tứ giác IAEC nội tiếp B, C, E thẳng hàng trực tâm D là trọng tâm DC AC ( HẾT ) Ghi chú : - ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) O1O2 ngắn O1O2 // AB DE AB trung điểm I AB tam giác EAB cân E ˆ DEC ˆ CAB (1 đ ) Mọi cách giải đúng cho điểm tối đa phần đúng đó Điểm toàn bài tổng điểm các phần, không làm tròn số ( 0,5 đ ) (1đ) (7)