Gọi D và E lần lượt là chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc B.. Tính độ dài các cạnh AB và BC.[r]
(1)THI CHỌN TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2011 - 2012
Mơn: Tốn - Thời gian làm 150 phút Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
2 10 15 20
2
b) Cho biết
2
x x x
Hãy tính giá trị biểu thức
2 1
x A
x x
Câu 2: (1,5 điểm): Cho biết an = 22n+1 + 2n+1 + 1
bn = 22n+1 - 2n+1 + với n N
Chứng minh rằng: hai số an bn có số chia hết cho 5
Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị bé biểu thức: P = 3x -18x+282 + 4x - 2x + 452
Áp dụng giải phương trình: 3x -18x+282 + 4x - 2x + 452 = -5 – x2 + 6x
Câu 4: (3,5 điểm). Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vng góc với AD ( H AD); kẻ CK vng góc với AB ( K AB) Chứng minh rằng:
a) Hai tam giác KBC HDC đồng dạng b) Hai tam giác CKH BCA đồng dạng c) AB AK + AD AH = AC2
d) HK = AC.sinBAC
Câu 5: (1 điểm). Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5
Chứng minh rằng: a2 + b2
+ ab.
(2)-GIẢI Câu 1: (2 điểm)
a)
2 10 15 20
2
= + 1
b) Ta có: A = =
Từ giả thiết 3x = -2x - 2x - 2x - 2x + = - 7x = A = =
Câu 2:
Ta có an ; bn số lẻ.
an bn = (22n+1 + 1) - 22(n+1) = 24n+2 + = 42n+1 + = 4.16n + 1.
Với n N 16n có tận 1; 6; 16; 36 4.16n có tận 4; 44; 64 4.16n
+ có tận 5; 45; 65
an bn có tận an bn chia hết cho Vì an bn khơng có tận
25 nên an bn không chia hết cho 25 = Vậy hai số an ; bn có số
chia hết cho 5.
Câu 4:
a) ∆KBC ∽ ∆HDC (g.g) b) ∆CKH ∽ ∆BCA (c.g.c)
c) Lấy điểm M, N hình vẽ Ta có: ∆ABM ∽ ∆ACK (g.g)
và ∆AND ∽ ∆ACH (g.g)
AB.AK = AM.AC AD.AH = AN.AC AB.AK + AD.AH = AC(AN + AM)
Mặt khác, ∆CBM = ∆AND AN = AM
AB.AK + AD.AH = AC(AM + CM) = AC
N
M K
H D C
B
A
d) Từ ∆CKH ∽ ∆BCA = KH = AC
Câu 5:
Ta có: a2 + b2
+ ab (a + b)(a + b) (a + b)(1 + ab) a + b + ab + ab a + b + ab + ab
ab + ab ab + ab (do giả thiết)
ab + ab a + b a(a - b) - b(a - b) (a - b) (a + b) 0 (*)
Vì a, b số dương nên BĐT a,b dương BĐT a2 + b2 + ab
luôn a, b dương (đpcm)
§Ị thi học sinh giỏi
Môn:Toán 9
Thi gian lm 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2đ)
Cho biểu thức : M=(1 √x
√x+1).(
√x+3
√x −2+ √x+2
3−√x+
√x+2
x −5√x+6) a) Rót gän M
b) Tìm giá trị x để M >0.
(3)a) Giải phơng trình : x2
+x+2005=2005 b) Giải hệ phơng trình:
¿
√x2+2− x+√y2+3− y=2 √x2
+2+x+√y2+3+y=5
{
Câu 3:(1đ)
Cho x,y sè thùc tho¶ m·n:
x√1− y2+y√1− x2=1 Chøng minh x2 +y2 =1.
Câu 4: (2 đ)
Cho hai đờng tròn tâm O O’ cắt A B Một đờng thẳng thay đổi qua A
cắt đờng tròn (O) (O’ ) lần lợt M N Gọi I,J lần lợt trung điểm OO’
MN Chứng minh tam giác BOI đồng dạng với tam giỏc BMJ
Câu 5 (2 đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm (O) Hai đờng thẳng AD BC cắt E ,hai đờng thẳng AB CD cắt F Chứng minh
EA.ED + FA.FB =FE2
(4)-Đáp án Câu1:(2 ®iĨm)
§KX§ : x ≥0, x ≠4 vµ x ≠9 ;
M=√x+1−1
√x+1 :(
√x+3
√x −2+ √x+2
3−√x+
√x+2
(√x −2)(√x −3))=
1 √x+1:
x −9−(x −4)+√x+2 (√x −2)(√x −3) =
√x −2 √x+1 b) (0,5 ®iĨm)
Víi ®iỊu kiƯn x ≥0, x ≠4 vµ x ≠9 .P>0 ⇔ √x −2
√x+1>0 ⇒ √x −2>0 (do
√x+1>0¿
suy x >4 Kết hợp với điều kiện ta có x>4 x thì M>0.
Câu 2:(3 điểm)
a) (1,5 điểm): ĐKXĐ : x 2005 ; x2
+√x+2005=2005 ⇔x2+x+14=x+2005−√x+2005+14
√x+2005−1
2¿ 2⇔
x+1
2=√x+2005− x+1
2¿
=¿
⇔¿
hc x+
2=
2−√x+2005
1) víi x+
2=
2−√x+2005 ⇔x+√x+2005=0 ⇔ √x+2005=− x
- Nếu x>0 x<0 , suy phơng trình v« nghiƯm
- Nếu x 0 ⇔ -x Kết hợp với điều kiện ta có -2005 x ≤0 ,khi hai vế khơng âm ,bình phơng hai vế ta đợc: x2-x-2005=0 ⇒x
1=
1+√8021
2 (lo¹i)
⇒x2=
1−√8021
2 (tho¶ m·n)
2)Víi x+
2=√x+2005−
⇔√x+2005=x+1⇔ x+1≥0
¿ x+1¿2
¿ x+2005=¿ ⇔
x ≥ −1 x2
+x −2004=0 ⇔
¿{
¿ x ≥−1 x1=−1
+√8017
2 x2=
−1−√8017 ¿{{
¿
⇒x=−1+√8017
2
b) Đặt x2+2 x=t0x2+2+x=2
t
Đặt y2
+3 y=v0y2+3+y=3
(5)¿ t+
3 v=5 t+v=2
⇔
¿2 t+
3 v=5 t=2− v
¿{
¿
⇔
5v2−11v=6=0
t=2− v
¿{
⇔
v1=1 t1=1 ¿{
hc
¿ v2=6
5 t2=
4 ¿{
¿
*) Trêng hỵp 1: ¿ v1=1
t1=1
¿{ ¿
⇔ √x2+2− x=1 √y2
+3− y=1 ⇔
¿{
¿ √x2+2=1+x √y2
+3=1+y
⇔
¿{ ¿
¿ x=1
2 y=1
¿{
¿
*)Trêng hỵp 2:
¿ v2=6
5 t2=4
5 ¿{
¿
⇔ √x2
+2− x=6
5
√y2+3− y=4
5
⇔
¿{
¿
√x2+2=6
5+x
√y2
+3=4
5+y
⇔
¿x=17
20 y=13
20 {
Câu 3 (1 điểm)
ĐKXĐ: -1 x ≤1 ;-1 y ≤1 .
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:1 ❑2
=¿
(x√1− y2− y√1− x2)2≤(x2+y2) (1− y2+1− x2)⇒ (x2+y2)(2−(x2+y2))≥1 ⇔(x2
+y2)2−2(x2
+y2)+1≤0⇔(x2
+y2−1)2≤0⇒x2+y2−1=0⇒x2+y2=1
C©u 4: (2 ®iĨm)
Vì OO’ đờng trung trực dây chung
AB nªn ∠BOI=1
2∠BOA=
2sdA \{B
∠AMB=1
2sdA \{B suy ra
∠BOI=∠AMB (1)
T¬ng tù : ∠B O'O=∠ANB(¿1
2sdA \{B)
Do tam giác OBO’ đồng dạng với tam
gi¸c MBN (gg) suy ra
OB MB=
OO' MN =
2 OI MJ=
OI MJ
XÐt tam gi¸c MAJ tam giác OIB có:
BMA= ∠ BOI (cmt)
OB
MB= OI
MJ Suy tam giác BOI đồng dạng với tam giác BMJ. Câu 5 : (2 điểm)
- Dựng đờng tròn ngoại tiếp tam giác DCE , cắt EF M Vì hai dây AB CD
O O,
B
A N
(6)của đờng tròn (O) kéo dài cắt F nên ta có FA.FB=FD.FC
T¬ng tù: FC.FD=FM.FE suy FA.FB=FM.FE (1) Mặt khác
DME=DCB =∠DAF (do tứ giác ABCD DMEC nội tiếp) suy tứ giác AFMD nội tiếp Do ta có EA.ED=EM.EF (2)
Tõ (1) vµ (2) suy FA.FB+EA.ED=(FM+EM) EF=EF2
DE THI CHäN HäC SINH GIỏI MÔN : TOáN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu (1,0 điểm)
Cho biểu thøc : P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36.
Phân tích đa thức P thành nhân tử Từ chứng minh P dơng với x;y Câu (3,0 điểm)
a)Rút gọn:
3 4
2
A
;
2 28
3 4
x x x x x
B
x x x x
(x0,x16)
b) Tìm giá trị nhỏ : y=
x x 1
;(x 1) x x
C©u (2,0 điểm)
a) Giải phơng trình sau: x+2x 1+x 2x 1=2 b) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình
x+ y+
1 z=2 Câu (3,0 ®iĨm)
a) Cho tam giác ABC có BC < BA, đường phân giác BE đường trung tuyến BD (E, D thuộc AC) Đường thẳng vng góc với BE qua C cắt BE, BD F, G Chứng minh M trung điểm BC đường thẳng DF chia đôi đoạn thng GE
b) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi M điểm thuộc cạnh AB Tia DM tia CB cắt N Chøng minh r»ng: 2
1 1 1
DM DN a
C©u (1,0 ®iĨm) Chän mét ba c©u sau:
a)Chứng minh a3b3ab a b( ) với a b, 0 Từ chứng minh
3 3 3
1 1
1
1 1
a b b c c a với a, b, c số dương thỏa mãn abc 1.
b) Cho x,y,z dơng thoả mÃn: x+y+z =1 CMR: x y y z z x Ht
-ĐáP áN Và HƯớNG DẫN
Cõu ý Nội dung đáp án Điểm
1 P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x
2 – 24x + 3y2 + 18y + 36.
= xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36 0.25 =x(x – 2) y y 612 3y y 612 0.25
(7)=
2 6 12 2 3
y y x x 0.25
Mµ
2
2 6 12 3 3 0
y y y x2 2x 3 x12 2
VËy P > víi mäi x;y thuéc R
0.25
2 a
3 4
2
A
=
(3 4)(2 1) ( 4)(5 3)
11 13
=
22 11 26 13
11 13
= 2 3 2 =
1
( 4 )
2 =
2
1
( ( 1) ( 1) )
2
=
[ ( 1)] =
2
1
2 28
3 4
x x x x x
B
x x x x
=
2 28
( 1)( 4)
x x x x x
x x x x
=
2
2 28 ( 4) ( 8)( 1)
( 1)( 4)
x x x x x x
x x
=
2 28 16
( 1)( 4)
x x x x x x x
x x
=
4
( 1)( 4)
x x x x
x x
=
( 1)( 1)( 4) ( 1)( 4)
x x x
x x
= x1 (x0,x16)
1 b 2
x x
x x 1 ( x 1)( x 2) x
y
x x x 1 4 x 3 ( x 1)( x 3) x x
min
1 1 2
x x x 3 y y x=1
3 3
x
a
§iỊu kiƯn x √x −1+1¿2
¿ √x −1−1¿2
¿ ¿ ¿ √¿
<=>
|√x −1+1|+|√x −1−1|=2
<=> √x −1+1+|√x −1−1|=2 <=> √x −1+|√x −1−1|=1 (2) - NÕu x>2 , th× PT (2) <=> √x −1+√x −1−1=1
x=2 không thuộc khoảng xét loại -Nếu 1≤ x ≤2 , PT (2) <=> √x −1+1−√x −1=1 ln Vậy phơng trình (1) có nghiệm 1≤ x ≤2
1
Do vai trị bình đẳng x, y, z trớc hết ta xét x y z, ta có: 2=1
x+ y+
1 z≤3
1 x=>x ≤
3
2=>x=1
Thay x = vào (2) ta đợc 1y+1z+1=2=> 1=1y+1z≤2y=>y ≤2 =>y∈{1;2} - Nếu y = => 1z=0 => z = (loại)
- NÕu y = => 1z=12=>z=2 (tho¶ m·n)
VËy nghiệm nguyên dơng (2) (1;2;2) (1;2;2); (2;1;2)(2;2;1)
4 a
Gọi giao điểm CG với AB K DF với BC M Dễ thấy ∆ BKC cân B va BF trung trực KC suy F trung điểm KC
(8)=> M trung điểm BC
Xét ∆ DBC, F thuộc trung tuyến DM
nên DF chia đôi đoạn thẳng GE <=> GE // BC Ta chứng minh GE // BC, :
Ta có AE = AD +DE =CD +DE = CE + 2DE hay CE = AE - 2DE, suy
Mặt khác, DF // AB, K thuộc AB AK = 2DF nên
Vậy BG/GD = BK/DF hay GE // BC b
Kẻ DE vng góc với DN cắt đờng thẳng BC E Chứng minh đợc DM = DE ap dụng hệ thức lợng tam giác vuông DEN suy ra:
1 DM2+
1 DN2=
1 DE2+
1 DN2=
1 DC2=
1
a2
a
3 ( ) 2( ) 2( ) 0
a b ab a b a a b b b a
2 2
(a b a)( b ) 0 (a b) (a b) 0
, a b, 0
Ta có a3b3ab a b( ) a3b3abc ab a b ( )abc
3
3
1 1
1 ( )
1 ( )
a b ab a b c
a b ab a b c
(Do vế dương) Tương tự, cộng lại ta
3 3 3
1 1
1 1
a b b c c a
1 1
1
( ) ( ) ( )
ab a b c bc a b c ca a b c
0,25 0,25 0,25 0,25 b
Theo bđt Cô si
2
2 3 3
3
x y x y
x y
2 3 3
3
y z y z
y z ;
2 3 3
3
z x z x
z x
Céng theo vÕ l¹i ta cã:
2
3 x y y z z x
Suy : x y y z z x Dấu = x+y=y+z=z+x=2/3 x= y=z=1/3
0.25
0.25
0.25 0.25
đề thi chọn học sinh giỏi lớp mơn tốn
Thêi gian : 150 Bµi 1: (2 ®iĨm)
Tìm số có chữ số biết số phơng ta thêm vào chữ số đơn vị đợc số phơng
Bài (2,5 điểm)
a) (1 điểm) Tính tổng chữ số A, biết rằng:
999 996
A (cã 100 ch÷ sè 9) b) (1,5 điểm).Tìm giá trị nhỏ biểu thøc:
F(x) = √x −2√x −1+√x+2√x −1 Bµi 3: (1,5 ®iĨm)
(9)Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho đờng thẳng (d) có phơng trình y=(m −3)x+m−5
a) Chứng minh: với m, đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định b) Tìm m để khoảng cách từ điểm gốc toạ độ O đến (d) ngắn Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, đờng cao AH đờng phân giác BD góc AHD 450 Tính gúc ADB
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, vng A.Có AB = cm, AC =4cm.Gọi D chân đờng cao xuất phát từ đỉnh A tam giác I, J lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ACD tam giác ABD CI cắt AD Tại M, BJ cắt AD N
a Chøng tỏ : M N trùng
b Giả sử AB = a, AC = b Tìm hệ thức a b CI , BJ AD đồng quy
Híng dÉn C©u 1: (2 điểm)
Giả sử số cần tìm : abcd (0,25 đ)
Ta có: abcd = x2 ; (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = y2 (0,25 ®) => y2 – x2 = 1111 =>(y-x)(y+x) = 1111 (0,25 đ)
x,y số có hai chữ số (vì x,y có từ chữ số trở lên bình ph ơng số có chữ số x,y có chữ số) (0,25 đ)
1111 có hai cách phân tích thành tích hai số nguyên dơng
1111 = 11.101 = 1111.1 (0,25 ®) V× (y-x)(y+x) = 11.101 => { ❑yy− x+x==10111 (0,25 ®)
Giải ta đợc: x = 45, y = 56 (0,25 đ)
Thư l¹i abcd = x2 = 2025 ; y2 = 3136
Vậy số cần tìm : 2025 (0,25 đ) Câu 3 (2,5 điểm)
a)
2
16 16 ( 4)( 4) 16
A A A A (0,25 ®) = (999 996 - 4) (999 996 - 4) + 16 (0,25 ®) (100 ch÷ sè 9) (100 ch÷ sè 9)
= 999 992 100 00 + 16 (0,25 đ) (100 chữ số 9) (101 ch÷ sè 0)
= 999 9200 0016 (0,25 đ) (100 chữ số 9) (99 ch÷ sè 0)
b)Tập xác định:
¿ x −1≥0 x −2√x −1≥0 <=>
¿x ≥1
(x −2)≥0
=>x ≥1 ¿{
¿
(10)V× f(x) = √x −2√x −1+√x+2√x −1≥0 víi x 1 Nªn [f(x)]2=2x+2√x2−4x+4
= 2x + 2| x-2| (0,25®) * NÕu x [f(x)]2=4x 44 (0,25đ)
[f(x)]2 bé x = 2, lóc nµy f(x) =2 lµ nhá nhÊt
* 1 x < th× [f(x)]2 = (0,25®) VËy f(x) bÐ nhÊt b»ng f(x) = (0,25đ)
Câu 3: (1,5 ®iĨm) a) (d): y=(m-3)x +m-5
Gọi M0(x0;y0) điểm cố định mà (d) Luôn qua M0(x0;y0)
y0 = (m - 3)x0 + m – víi mäi m (m - 3)x0+m - -y0= víi mäi m mx0 - 3x0 + m -5 - y0 = víi mäi m
(x0 + 1)m – 3x0 – - y0 = víi mäi m (0,5 ®iĨm) x0 + 1= x0 = -1
- 3x0 -5 - y0 = y0= -2
Vậy M(-1;-2) điểm cố định mà (d) qua (0,5 điểm) b) (d): y = (m - 3)x + m -
khoảng cách từ O đến (d) ngắn O(0;0) € (d)
O = (m -3).0 + m-5 m = Vậy m = khoảng cách từ O đến (d) ngắn (0,5 điểm)
Bµi 4: (2đ)
Kẻ BK AC K
Xét ABH có BD phân gi¸c gãc
HD phân giác góc đỉnh H
⇒ AD phân giác đỉnh A (Tính chất tam giác đờng phân giác góc hai phân giác ngồi hai góc cịn laị đồng qui)
(0,25®)
⇒ A1= A2 (0,25 đ) mà A1 = KBH (cùng phơ C )
⇒ A2 = KBH (0,25®) Trong ADB ta cã
A2= ABD +KDB
=KBD + DBH KBD =KDB (0,25®) VËy KBD vuông cân K nên KBD = 450 (0,5đ) Bài 5: (2 điểm)
K A
D
C H
(11)B
a/ Trong ∆ ADB có BJ phân giác ABD nên ta cã : NA ND=
AB BD ( 0,25 điểm) Mặt khác : ABC vuông A có AB = 3; AC = nªn => BC =
=> AB2 = BD.BC => BD = AB BC =
32 5=
9
5 ( 0,25 ®iĨm) => NA
ND= AB BD=
15 =
5
3 (1) ( 0,25 điểm) Tơng tự ACD có CI phân giác => AM
MD= AC CD
Mµ AC2 = CD.BC =>
2
16 5
AC CD
BC
⇒AM
MD= 20 16=
5
4 (2) Tõ ( 1) vµ (2) => NA
ND ≠ AM
MD Hay M không trùng N ( 0,25 điểm) b/ CI ; BJ AD đồng quy M trựng vi N
Đặt BAD = ∠ ACD = α ( cïng phô ∠ DAC ) ( 0,25 điểm) Mà MA
MD= AC CD=
1 COSα NA
ND= AB BD=
1
Sin ( 0,25 điểm) Để M trùng N th× MA
MD= NA ND ⇒
1 COSα =
1
Sinα ( 0,25 ®iĨm) => COS α = Sin α vµ chØ α = 45o ⇔ a=b
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN : TỐN Thời gian làm : 150 phút.
Bài 1: ( điểm )
a/ Tính : A = 13 160 53 90
b/ Rút gọn: B = 2010 2012 2011 2010 2009 2009 2011
(12)Bài 2: ( điểm ) Phân tích đa thức thành nhân tử : a/ P = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
b/ Q = ( x – y )2 + ( y – z )2 + ( z – x )2
Bài 3: ( điểm ) Chứng minh bất đẳng thức:
a/ (a + b + c )(
1 1
a b c ) ≥ với a, b, c số dương. b/ a2 + b2 ≥ ab + a + b – với a, b số thực tùy ý.
Bài :( điểm ) Gọi a, b, c số đo ba cạnh tam giác ABC Chứng minh rằng: a/ a3 + b3 + c3 – abc = ( a + b + c )( a2 + b2+ c2– ab – bc – ac).
b/ Nếu a3 + b3 + c3 – abc = tam giác ABC đều.
Bài 5: ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông A Gọi D E chân đường phân giác phân giác ngồi góc B Cho biết AD = 3cm, DC = cm.
a/ Tính độ dài cạnh AB BC. b/ Tính độ dài đoạn AE.
c/ Chứng minh rằng: SBDC =
.CD.CB.sin C
Bài 6: (3 điểm ) Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh DC lấy điểm G cho
DG CG 2
Trên cạnh BC lấy điểm K cho
KC
KB 3 Đường chéo BD cắt AG, AK
E F Tính độ dài đoạn thẳng DE, EF, FB Biết BD = 16 cm. HƯỚNG DẪN
Bài 1 : ( điểm ) Rút gọn biểu thức :
a/ Tính : A = 13 160 53 90 ( điểm)
=
2
( 8 5) 45
1 điểm
= 8 45 0,5 điểm
= 0,5 điểm
b/ Tính B = 2010 2012 2011 2010 2009 2009 2011
( điểm)
=
2
2010 2011 2009 2009 2011
0,75 điểm
(13)a/ P = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n (1, điểm)
= n(n3 + 6n2 + 11n + 6) 0,5 điểm
= n(n+2)( n2 + 4n + 3) 0,5 điểm
= n( n + 1)(n + 2)( n + 3) 0,5 điểm
b/ Q = ( x – y )3 + ( y – z )3 + ( z – x )3 (1,5 điểm)
Đặt: x – y = a ; y – z = b ; z – x = c 0,25 điểm
a + b + c = a + b = – c (a + b)3 = – c3 0,25 điểm
a3 + b3 + 3ab(a+b) = – c3 0,5 điểm
a3 + b3 + c3 = –3ab(a + b) = abc. 0,25 điểm
Vậy: ( x – y )3 + ( y – z )3 + ( z – x )3 = 3(x – y)( y – z)( z – x) 0,25 điểm
Bài 3 : ( điểm ) Chứng minh bất đẳng thức: a/ (a + b + c )(
1 1
a b c ) ≥ với a, b, c số dương. (1, điểm) Nhận xét: (a + b + c )(
1 1
a b c ) = +
a a b b c c
b c a c a b 0,5 diểm
= +( ) ( ) ( )
a b b c c a
b a c b a c 0,25 điểm Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ,ta được: 2 ; 2 ; 2
a b b c c a
b a c b a c 0,5 điểm
Do đó; (a + b + c )(
1 1
a b c ) ≥ ( đpcm ) 0, 25 điểm
b/ a 2 + b ≥ ab + a + b – với a, b số thực tùy ý.2 (1, điểm)
a2 + b2 + ≥ ab + a + b 0,25 điểm
2a2 + 2b2 + ≥ 2ab + 2a + 2b 0, điểm ( a2 + b2 – 2ab) + (a2 – 2a + 1) + ( b2 – 2b + 1) ≥ 0 0, 25 điểm ( a – b )2 + ( a + 1)2 + (b + 1)2 ≥ ( bất đẳng thức vối a, b)0,25 điểm
Vậy: a2 + b2 ≥ ab + a + b – ( đpcm) 0,25 điểm
Bài : ( điểm )
a/ Chứng minh được: a3 + b3 + c3 – abc = (a+b+c)(a2+b2+c2– ab – bc – ac)1 điểm
b/ a3 + b3 + c3 – abc =
a2+b2+c2– ab – bc – ac = 0 0, 25 điểm ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( a – c)2 = 0 0,5 điểm
Vậy : a = b = c hay Tam giác ABC ( đpcm) 0,25 điểm Bài :( điểm)
a/ Tính độ dài cạnh AB, BC: + BD phân giác ABC:
BA DA
BC DC 5 BA =
5 BC 1 điểm
+ Áp dụng định lý Pitago:
(14)Do đó:
16
25 .BC2 = 64 BC = 10 (cm ) Suy ra: BA =
5 .10 = (cm) 1 điểm
b/ Tính độ dài đoạn AE: Xét EBD vng B, đường cao BA, ta có:
BA2 = AE AD AE = AB2 : AD = 62 : = 12 (cm) 1,5 điểm
c/ CMR: Ta có: SBDC =
.CD.BA
2 =
1
.CD.CB.sin C
2 ( Do BA = CB Sin C )1 điểm
Bài : ( điểm )
+ DEG BEA (g - g)
DE DG DG DE
BE ABDC 3 DB4 1 điểm
Do đó: DE =
1
4 .BD =
4 16 = (cm) 0,5 điểm
+ BFKDFA (g - g)
BF BK BK BF
DF DA BC 5 DB8 0,5 điểm
Do đó: BF =
3
8 BD =
8 .16 = (cm)
0,5 điểm
+ EF = BD – ( DE + FB)= 16 – (10 + ) = (cm) 0,5 điểm