minh không có gì thay i.[r]
(1)H NG D N GI I THI H C SINH GI I QUÔC GIA MÔN TOÁN N M 2009
Bài Gi i h ph ng trình:
+ =
+
+ +
− + − =
Gi i
+) K:
+ > ≤ ≤
− ≥ ⇔
≤ ≤
− ≥
+) V i i u ki n ta có ≤ ≤ = + ≥ > <
+ + +
+) M t khác∀ ∈ < ta ln có b t ng th c sau: + ≤ +
+ +
Th t v y b t ng th c (*) ⇔ + + − ≤
+ + +
+ +
Theo b t ng th c B.C.S ta có + + ≥ + ≤
+
+ +
⇔ − ≤
+
+ +
M t khác ta có: + − = − − ≤
+ + + + + + , ∈ <
Do ó + + − ≤
+ + +
+ + úng ∀ ∈ <
+) Vì ≤ ≤ , ≤ ≤ <
Áp d ng B T (*) cho = = ta có: + ≤
+
+ +
ng th c x y ⇔ =
+) V y h ph ng trình ban u
= =
⇔ ⇔
− + − = − + =
+) Gi i h i chi u v i i u ki n ta có hai c p nghi m (x; y) nh sau:
GV: Ph m V n Quý
(2)+ + ; − −
+) K t lu n: H có hai nghi m + + − −
Bài Cho dãy s :
− − −
=
+ +
=
, ∀ ≥ Ch ng minh r ng dãy ( ) v i
=
= có gi i h n h u h n → ∞ tìm gi i h n ó Gi i
+) T gi thi t ta có > ∀ ≥
Khi ó − − − − − − −
− −
− − −
+ + + −
− = − = = >
+ + , ∀ ≥
Do ó ( ) dãy s t ng
+) Gi s ( )= > ta có = + + ⇔ = , (vơ lí) V y → ∞ → ∞
+) M t khác ta có = − + − + − , ∀ ≥
−
= +
−
− = ∀ ≥
Do ó
= −
= = + − + − + + − = + − = − , ∀ ≥ +) T ta có < ∀ ≥ , (vì > ∀ ≥ ) M t khác = − + > − Do ó ( ) dãy t ng b ch n hay ( ) có gi i h n h u h n → ∞
+) Ta có :
→∞ = →∞ − = , (vì → ∞ → ∞) +) K t lu n :
→∞ =
Bài Trong m t ph ng cho hai i m c nh A, B (A≠B) M t i m C di ng m t ph ng
sao cho =α không i ( < <α ) ng tròn tâm I n i ti p tam giác ABC ti p
xúc v i AB, BC, CA l n l t t i D, E, F Các ng th ng AI, BI c!t ng th ng EF l n l t
t i M N
a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có dài khơng i
b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN i qua m t i m c nh.
Gi i
a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có dài khơng i
(3)= = = =
+) M t khác ta có ∆ ∆ , (g-g) = = = −α , (vì = )
α
−
= khơng i C thay i, ( pcm)
αααα
I
N F E M
D
C
B A
Chú ý : Bài tốn có m t s tr ng h p khác v hình v , b n t v hình Tuy nhiên cách ch ng
minh khơng có thay i
b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN i qua m t i m c nh
Cách 1:
+) G i K trung i m c a AB ta ã có = = =
= + = = , (1)
+) M t khác t ∆ ∆ câu (a) ta có = = , (2) IMEB t giác n i ti p
= =
IMBD c ng t giác n i ti p + = = , (3)
+) T (2) (3) = + = + = , (4)
+) T (1) (4) = t giác NKDM n i ti p hay ng tròn ngo i ti p tam giác DMN i qua i m K c nh, ( pcm)
Cách
(4)Bài Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u ki n: v i m$i s nguyên d ng n, + + là m t s nguyên Ch ng minh r ng t%n t i s nguyên p, q, r cho a, b, c ba nghi m c&a ph ng trình + + + =
Gi i
+) Gi s t$n t i s p, q, r tho mãn tốn Theo nh lí Viet ta có :
+ + = − + + =
= −
+) Nh v y ch ng minh toán ta ch# c n ch ng minh + + ∈+ + ∈ ∈
+) Hi n nhiên + + ∈ , (1) Vì theo gi thi t + + ∈ ∀
+) Vì + + ∈ ∀ + + ∈ + + ∈ , + + ∈ + + ∈
+) Ta s% i ch ng minh ∈ Th t v y:
Ta có + + = + + − + + + + ∈
Ta có + + = + + − + + + + ∈
Ta có + + − = + + + + − − −
+ + − = + + + + − + +
= + + − + + + + − + +
∈
Ta có + + − = + + + + − − −
+ + − = + + + + − + +
= + + − + + + + − + +
∈
T d ki n ∈ ∈ ∈ , (2)
+) Ta s% i ch ng minh + + ∈ Th t v y:
Ta có ( + + ) = + + + + +
( + + ) = + + + + +
( + + ) ∈
T d ki n + + ∈ ( + + ) ∈ + + ∈ , (3)
+) T (1), (2) (3) ta có tốn !c ch ng minh
Bài Cho s nguyên d ng n Kí hi u T t'p h p g%m 2n s nguyên d ng u tiên H(i có t'p S c&a T có tính ch)t : S không t%n t i s a, b mà
{ }
− ∈
(5)Gi i
(L i gi i c tham kh o t i http://forum.mathscope.org)
+) Tr c h t ta xét toán sau :
Cho hàng i m d i Các i m c p i m − , − ,
!c n i v i nhau, c ng !c n i v i Tính s cách ch n m t s i m mà khơng có hai i m !c n i v i
+) G i s cách ch n th&a mãn i u ki n trên, nh ng có th ch a c G i s cách ch n
th&a mãn nh ng không ch a i m i m G i s cách ch n th&a mãn nh ng
ch a úng i m i m G i s cách ch n th&a mãn nh ng ch a úng i m ho c
G i s cách ch n nh ng ch a úng i m ho c Khi ó ta có = + + + s cách ch n th&a mãn tốn − +) D' dàng l p cơng th c truy h$i cho :
+ −
= =
= + +) M t khác ta có:
−
= , (1)
− −
= − , (2)
− −
= + = − + − , (3)
T (1) (2) suy + = − − − − − − = − , (4)
T (3) suy − = − − − − T ây d' dàng suy − = − − , (5)
T (4) (5) ta có = − + −
V y ta có s dãy th&a mãn − = − − + − −
Cu i thu !c k t qu ( )( ) ( )( )
− − −
+ + + − − + −
+) Tr l i toán ang xét n u ta coi i m !c g(n s n + i i m !c g(n s i ta có k t qu
c a toán s
H t