Bat dang thuc Svacxo Van dung trong hinh hoc

Bất đẳng thức Svacxơ Vận dụng thiết lập khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng I.. Xét hai vectơ:..[r]

Bất đẳng thức Svacxơ (Vận dụng thiết lập khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) I Bất đẳng thức Svacxơ : Cho hai số hạng : (a.x) và (b.y) , với a,b,x,y  R a.x  b y  a  b2   x2  y  (*) a b  a y b.x ( cách dễ nhớ ta viết: x y ) Dấu “=” xảy khi:  Hướng chứng minh 1: vận dụng phương pháp đánh giá tương đương *  a.x  b y     a  b2   x2  y       a x  2.ax.by  b y  a  b   x  y   a x  2.ay.bx  b y a x  a y  b x  b y  a y  2.ay.bx  b x 0   ay  bx  0 ( luôn đúng a, b, x, y  R ) Dấu “=” xảy và khi: a y b.x  Hướng chứng minh 2: vận dụng tích vô hướng hai vectơ   u  a; b  v  x; y  và ; với a,b,x,y  R             u.v  u v cos u, v  u.v  u v cos u, v  u.v  u v Xét hai vectơ:     (vì  a.x  b y  a  b x  y  a.x  b y   a  b   x  y   cos u, v 1  u , v k Dấu “=” xảy : ,k Z 2 2   2  cos u, v 1   )    a b 0  a y  b.x 0    a y b.x  u cùng phương v  x y  Hướng chứng minh 3: vận dụng tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai sau: f  t   a  b  t  ax  by t   x  y   f  t   a 2t  2axt  x    b 2t  2byt  y   f  t   at  x    bt  y   f  t  0 , t  R 2 2  Nếu: a  b 0  a b 0  f  t   x  y 0 , (đúng x, y  R ) 2  Nếu: a  b  ( nghĩa là a,b không đồng thời 0), lúc này f  t  trở thành tam thức bậc hai thật nên tồn biệt số Δ’  b2  ac  ax  by    a  b   x  y  Vì f  t  0 , đó:  0   ax  by    a  b   x  y  0  ax  by  a  b   x  y   a.x  b y  a  b2   x  y    ax  by  a  b2 Dấu “=” xảy :  0 x  y   a y b.x  Hướng chứng minh khác: ………………………………… Mở rộng nhiều số hạng: ( còn gọi là BĐT Bunhiacopski – BĐT Cauchy ) ak , xk  R với k 1; n , ta luôn có: a1.x1  a2 x2   an xn  a n   ak xk  Tổng quát: k 1  a22   an2   x12  x22   xn2   n   n     ak2    xk2   k 1   k 1  a a1 a2    n xn Dấu “=” xảy : x1 x2 Chứng minh:  Vận dụng tam thức bậc hai  Vận dụng phương pháp quy nạp toán học  Vận dụng phương pháp tích vô hướng hai vectơ hệ tọa độ không gian n chiều  Vận dụng phương pháp khác:…………………………… II Vận dụng BĐT Svacxơ thiết lập khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo) đến đường thẳng (D): Ax + By +C = Mo(xo;yo) Ta có: MoM  x xo    y  yo  (D):Ax+By+C=0 M  (d )  Ax  By  C 0 H M Axo  Byo  C  Axo  Byo  C   Axo  Byo  C   Ax  By  C   A  xo  x   B  yo  y   A  x  xo   B  y  yo  A  2  B    x  xo    y  yo      A2  B   x x xo    y  yo  Axo  Byo  C xo    y  yo   A2  B 2  M oM  Axo  Byo  C A2  B Dấu “=” xảy khi: M≡H , nghĩa là :  A  y  yo  B  x  xo    Ax  By  C 0 Do đó: Hay: M o M  d M o /( D )  Axo  Byo  C A B Axo  Byo  C A2  B 2 Hay MH  Axo  Byo  C A2  B