Bất Đẳng Thức (nâng cao lớp 9)

Bài t ập tương tự.[r]

Võ Tiến Trình

BẤT ĐẲNG THỨC (Nâng cao cho lớp 9)

Phần I Chứng minh bất đẳng thức phép biến đổi tương đương.

PP Dùng phép biến đổi tương đương biến đổi bất đảng thức cần chứng minh về bất đẳng thức khác mà ta dễ dàng nhận thấy đúng.

Bài 1. Cho a b c, ,  Chứng minh a2 b2 c2 abbcca

Ta có: a2b2c2abbcca2a2b2c22abbcca0

a b2 b c2 c a2

      

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh

Bài 2. Cho a b,  thỏa a b Chứng minh ab a 2b22

Ta có: ab a 2b228ab a 2b216ab4

3 2

8a b 8ab a 4a b 6a b 4ab b

      

4 2

4

a a b a b ab b

     

a b4

  

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh

Bài 3. Cho a b c, ,  thỏa a  b c Chứng minh

2 2

6

a b c abbcca

Ta có: a2 b2 c2 abbcca 6 a b c2 abbcca6

   2  

2

3 ab bc ca 3 ab bc ca a b c ab bc ca

Võ Tiến Trình

2 2

a b c ab ba ca

     

a b2 b c2 c a2

      

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh

Bài 4. Cho a b,  thỏa ab1 Chứng minh 2 2

1a 1b  ab

Ta có: 2 2 2 1 2

1 1

1a 1b  ab 1a  ab  ab 1b

     

2

2

1 1

ab a b ab

a ab b ab

 

 

   

2

1 1

b a a b

ab a b

  

   

    

  

2

2

1 1

b a a ab b a b

ab a b

 

   

 

 

 

  

 

   

   

2

2

1

0

1 1

b a ab

ab a b

 

 

  

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh

Bài 5. Cho a b c, ,   1;4thỏa a  b c Chứng minh a2 b2 c2 18 Ta có:  1 a4a4a10a2 3a 4 0a2 3a4

Tương tự b2 3b4, c2 3c4

Do : a2 b2 c2 3a b c12 18

Bài tập tương tự

Võ Tiến Trình a) a b, 0 Chứng minh a3 b3 a b2 ab2

b) a b,  thỏa a b Chứng minh a3 b3 a2 b2 a3 b3 2 c) Cho a b c, ,  thỏa a  b c Chứng minh a4 b4 c4 a3b3 c3

d) Cho a b,  thỏa a b Chứng minh

  2 3  6

4

ab a b a b  a b

e) Cho a b,  Chứng minh a10 b10a2 b2  a8b8a4b4 f) Cho a3 36 abc1 Chứng minh

2

2

3 a

b c ab bc ca

    

g) Cho a b,  thỏa a b Chứng minh

2

2

2

ab

a b

a b 

 

   



 

h) Cho a b c, ,  Chứng minh abbcca2 3abc a  b c

và a4 b4 c4 abc a  b c

i) Cho a b c, ,  Chứng minh a4 b4c2  1 2a ab 2  a c 1

j) Cho a b c, ,  Chứng minh

2

2

2

a

b c ab ac bc

    

k) Cho a b c, , 0 Chứng minh a  b c ab bc ca

Phần II Áp dụng vài bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức khác

Dạng 1 Áp dụng bất đẳng thức a2 b2 c2 abbcca  1 với a b c, , 

Theo đẳng thức:  2 2  

2

a b c a b c  ab bc ca  1 ta có:

a b c23ab bc ca Dấu "" xảy abc

 2  2 2

3

a b c   a b c Dấu "" xảy abc

Các bất đẳng thức đơn giản áp dụng hợp lí giải nhiều toán bất đẳng thức khác

Võ Tiến Trình

3 3

a b c

a b c bccaab  

Giải:  

3 3

4 4

a b c

a b c a b c abc a b c

bccaab        

Áp dụng BĐT 2 , , :

a b c R a b c ab bc ca

       hai lần ta có:

   

4 4 2 2 2

a b c  a b b c c a abbcbccacaababc a b c

Dấu "" xảy abc

+ Nếu cho abc1 ta có bất đẳng thức:

Cho ba số thực a b c, , thỏa: abc1 Chứng minh: 4

a b c a b c

+ Nếu cho a b c  1 ta có bất đẳng thức:

Cho ba số thực a b c, , thỏa: a b c  1 Chứng minh: 4

a b c abc

Ví dụ (BMO 2001)

Cho ba số a b c, , 0 :a b  c abc Chứng minh: 2

a b c  abc

Giải: 2  2 22  2

3

a b c  abc a b c  abc

Ta có:  2 22  2 2 2  

3

a b c  a b b c c a  abbc bcca caab

   2

3abc a b c abc

   

Dấu "" xảy abc

Ví dụ (Bearus 1996) Cho a b c, , 0 :a  b c abc Chứng minh:

 

9

ab bc ca   a b c 

Giải: ab bc ca23abbcbccacaab3abc a  b c

 3 3  2

3 a b c 3 abc 81abc 81 a b c

       

Võ Tiến Trình Vậy ab bc ca  9a b c  

Dấu "" xảy a  b c

Bài tập

Bài Cho a b c, , số thực Chứng minh

a)a2b2 c2abbcca

b)3a2 b2 c2a b c2 3abbcca

Bài 2.

a)Cho a b c, , 0 Chứng minh

3 3

a b c

a b c bc ca ab   

b)Cho a b c, , 0 thỏa a  b c abc Chứng minh a b c 1 a b c

 

      

 

c)Cho a b c, , 0thỏa a  b c abc Chứng minh a2 b2 c2  3abc

d)Cho a b c, , 0 thỏa a  b c abc Chứng minh abbcca9a b c

Bài 3. Cho a b c, , 0 thỏa a  b c Chứng minh

a)ab bc ca

c  a  b  b)

2 2

1

a b c

b  c  a 

c)a4b4 c4abc d) a 2b b 2c c 2a 1

a b c

c a b

    

      

 

Bài 4. Cho a b c, , 0 :a  b c Chứng minh

Võ Tiến Trình

Dạng 2 Cho a b, 0.Chứng minh: a b 1 2 

a b

 

   

 

Chứng minh: a b 1 a b2 4ab a b2

a b

 

         

  (đúng)

Dấu "" xày ab

Bất đẳng thức  2 thường sử dụng dạng: 1  3 ab ab

Đây bất đẳng thức đơn giãn dùng ta giải nhiều bất đẳng thức khác khó

Ví dụ 4: Cho ba số dương a b c, , Chứng minh: 3 1

2aba2b ab

Giải: Dùng bất đẳng thức  3

 

3 3 1 2

3

2 4 2

2 2

a a b a b

a b a a b a a b

a

 

   

        

 

       

 

Tương tự

 

3 2

a b b a b

.Dấu "" xày ab

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5 Cho a b c, , 0 Chứng minh: 1 1 1

2a b c a 2b c a b 2c a b c

 

      

       

Dùng BĐT (3) Ta có:

   

1 1 1 1 2a b c a b a c a b a c 16 a b c

   

        

          

Võ Tiến Trình

Tương tự ta có:

2 a bc

1

16 a b c

 

    

  Dấu "" xày abc

2 a b  c

1 1

16 a b c

 

    

  Dấu "" xày abc

Cộng vế theo vế ta có:

1 1 4 1 1

2a b c a 2b c a b 2c 16 a b c a b c

   

          

         

Dấu "" xày abc

Ví dụ 6 Cho a b c, , 0 Chứng minh:

1 1 1

2a b ca2bca b 2c a3bb3cc3a

Giải:

Ta có: 1

3 2

a ba b  c a b  a b c a bc

1

3 2

b c a b c b c a b c  a b  c

1

3 2

c aa b c c a a bc a b c

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Dấu "" xày abc

Ví dụ 7 Cho a b, 0 Chứng minh:  

2 2

1

a b

a b

a b a b



 

   

Giải:

Ta có:  

2 2

1 1 1

1 1 1

a b a b

a b

a b a b a b

   

       

Võ Tiến Trình

Mà 1

1

a b a b  Dấu "" xày ab

Do ta có:  

2 2

4

1 2

a b

a b

a b

a b a b a b



     

     

Dấu "" xày ab

+ Nếu a b, 0 :a b ta có tốn: Chứng minh:

2 1

a b

a b  (Hungary 1996)

+ Nếu a b, 0 :a b 2 ta có toán: Chứng minh:

2 1

a b

a b 

Bài tập tương tự:

Bài 2: Cho ba số dương a b c a, , :   b c Chứng minh:

1 1

2 b c caa b 

Bài 3: Cho ba số dương a b c a, , :   b c Chứng minh:

2 2

1 1

9

2 2

a  bcb  cac  ab

Bài 4: (Nesbitt) Cho a b c, , 0 Chứng minh:

3 a b c b c caa b 

Bài 5:(IMO 1995) Cho abc1, , ,a b c0 Chứng minh:

     

3 3

1 1

2

a b c b ca c a b 

Bài 6: (IMO Short List 1993) Cho a b c, , 0 Chứng minh:

2

2 3 3

a b c d

b c d c d ad a ba b c 

Võ Tiến Trình

a) Cho ,a b0 :a b1 Tìm GTNN 2 2

2

A

a b ab

 



b) Cho ,a b0 :ab1 Tìm GTNN 12 2

1

B

a b ab

 

 

c)Cho ,a b0 :ab1 Tìm GTNN C 2 2 4ab

a b ab

  



d)Cho ,a b0 :ab1 Tìm GTNN D 3 3 12 12

a b a b ab

  