NhËn xÐt: Dùng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ để giải ph−ơng trình l−ợng giác đ−ợc vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho về một số dạng ph−ơng trình l−ợng giác mà ta[r]
(1)Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Ch−¬ng I: Ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n vµ mét sè ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c th−êng gÆp §Ó gi¶i PTLG , nãi chung ta tiÕn hµnh theo c¸c b−íc sau: B−ớc 1: Đặt điều kiện để ph−ơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm các điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có nghĩa B−ớc 2: Bằng ph−ơng pháp thích hợp đ−a các ph−ơng trình đã cho các ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n B−ớc 3: Nghiệm tìm đ−ợc phải đối chiếu với điều kiện đã đặt Những nghiệm nào kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Êy th× bÞ lo¹i 1.1-Ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n 1.1.1- §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c lµ ph−¬ng tr×nh chøa mét hay nhiÒu hµm sè l−îng gi¸c 1.1.2- C¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh sin x = m (1) Do sin x ∈ [ −1;1] nên để giải ph−ơng trình (1) ta biện luận theo các b−ớc sau B−íc1: NÕu |m|>1 ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm B−íc 2: NÕu |m|<1 ,ta xÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử α đó ph−ơng trình có dạng đặc biệt x = α + k 2π sin x = sin α ⇔ ,k ∈ℤ x = π − α + k 2π -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua sin góc đặc biệt đó đặt m= sin α x = α + k 2π Ta cã: sin x = sin α ⇔ ,k ∈ℤ x = π − α + k 2π Nh− vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com (2) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La π π π π Đặc biệt ta cần phải nhớ đ−ợc các giá trị các cung đặc biệt nh− ; ; ; ;π ;2π 6 vì sau biến đổi các bài toán th−ơng đ−a các cung đặc biệt VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin x = Gi¶i: Ta nhËn thÊy 1 không là giá trị cung đặc biệt nào nên ta đặt = sinα 4 x = α + k 2π Khi đó ta có: sin x = sin α ⇔ ,k ∈ℤ x = π − α + k 2π VËy ph−¬ng tr×nh cã hä ngiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin(3 x + π )= Gi¶i: Do sin π sin(3 x + = π nªn π π ⇔ sin(3 x + ) = sin 2π π π π π = + k 2π x = − + + k x = + k π 24 ⇔ ⇔ π 3 x = π − π − π + k 2π x = 5π + k 2π = π − + k 2π 3 24 )= π x + ⇔ 3 x + π VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm b) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c cos x = m (b) Ta còng ®i biÖn luËn (b) theo m B−íc 1: NÕu m > ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm B−íc 2: NÕu m ≤ ta xÐt kh¶ n¨ng: hoangtrongnam2010@gmail.com k ∈ℤ (3) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La -Khả 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc α Khi đó ph−¬ng tr×nh cã d¹ng x = α + k 2π cos x = cos α ⇔ x = −α + k 2π ,k ∈ℤ -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua cos góc đặc biệt đó x = α + k 2π đặt m = cos α Ta có: cos x = cos α ⇔ x = −α + k 2π ,k ∈ℤ Nh− vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹ VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: cos x = − Gi¶i: π 2π Do cos(π − ) = cos = − nªn 3 2π π cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ ℤ) 3 VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3cos(2 x + π ) =1 Gi¶i: 3cos(2 x + V× π ) = ⇔ cos(2 x + π )= 1 ∈ [ −1;1 ] và không là giá trị cung đặc biệt nên tồn góc α ∈ [ 0;π ] 3 cho cos α = Ta cã: cos(2 x + π ) = cos α ⇔ x + π = ±α + k 2π hoangtrongnam2010@gmail.com (4) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ 2x = − π ± α + k 2π ⇔ x = − π 12 ± α + kπ ( k ∈ ℤ ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm c) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c tan x = m (c ) Ta còng biÖn luËn ph−¬ng tr×nh (c) theo c¸c b−íc sau: B−íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ,k ∈ℤ B−íc 2: XÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử α đó ph−ơng tr×nh cã d¹ng tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua tan góc đặc biệt , đó đặt m = tan α ta ®−îc tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ NhËn xÐt: Nh− vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh tan x = Gi¶i : Do = tan π nªn ta cã: tan x = ⇔ tan x = tan π ⇔x= π + kπ k∈ ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh tan( π − x) = Gi¶i: hoangtrongnam2010@gmail.com (5) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La §iÒu kiÖn: cos( π π − x) ≠ ⇔ −x≠ π + kπ Do không thể biểu diễn đ−ợc qua tan góc đặc biệt nên ta đặt tan α = Từ đó ta có tan( π π π π − x) = ⇔ tan( − x) = tan α ⇔ − x = α + kπ ⇔ x = − α − kπ (k ∈ ℤ) VËy 5 5 ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm d) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c cot x = m (d ) Ta còng ®i biÖn luËn theo m B−íc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ k ∈ ℤ B−íc 2: XÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đ−ợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử α đó ph−ơng tr×nh cã d¹ng cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đ−ợc qua cot góc đặc biệt , đó đặt m = cot α ta ®−îc cot x = cot α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ NhËn xÐt: Nh− vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph−¬ng tr×nh (d) lu«n cã nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: cot( π − x) = (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn cos( π − x) ≠ ⇔ π − x ≠ kπ ⇔ x ≠ π − kπ k ∈ ℤ (*) Ta cã: (1) ⇔ cot( π − x) = cot π ⇔ π −x= π + kπ ⇔ x = − π 12 − kπ k ∈ℤ Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh hoangtrongnam2010@gmail.com (6) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La cot(4 x + 35o ) = −1 Gi¶i: Ta nhËn thÊy cot(−45o ) = −1 nªn ta cã cot(4 x + 35o ) = −1 ⇔ cot(4 x + 35o ) = cot(−45o ) x + 35o = −45o + k180o ⇔ x = −80o + k180o x = −20o + k 45o (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm L−u ý: Không đ−ợc ghi hai loại đơn vị ( radian độ ) cùng công thức 1.2- Mét sè ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c th−êng gÆp 1.2.1- Ph−ơng trình bậc hai hàm số l−ợng giác D¹ng 1: a sin x + b sin x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ℝ ) (1) C¸ch gi¶i: §Æt t = sin x , ®iÒu kiÖn | t | ≤ §−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t chó ý kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn råi gi¶i t×m x D¹ng 2: a cos x + b cos x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ℝ) (2) C¸ch gi¶i: §Æt t = cos x ®iÒu kiÖn | t | ≤ ta còng ®−a ph−¬ng tr×nh (2) vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t råi t×m x D¹ng 3: a tan x + b tan x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ℝ ) C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn cos x ≠ ⇔ x ≠ §Æt t = tan x π + kπ (3) ,k ∈ℤ ( t ∈ ℝ ) ta ®−a ph−¬ng tr×nh (3) vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai theo t , chó ý t×m ®−îc nghiÖm x cÇn thay vµo ®iÒu kiÖn xem tho¶ m·n hay kh«ng D¹ng 4: a cot x + b cot x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ℝ ) (4) C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ k ∈ ℤ §Æt t = cot x (t ∈ ℝ) Ta còng ®−a ph−¬ng tr×nh (4) vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2cos x − 3cos x + = (1) Gi¶i: hoangtrongnam2010@gmail.com (7) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La cos x = x = k 2π Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ ⇔ ,k ∈ℤ π cos x = x = ± + k 2π VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cot x − tan x + 4sin x = sin x (2) Gi¶i: §iÒu kiÖn sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ,k ∈ℤ Ta cã: cos x sin x − + 4sin x = sin x cos x sin x 2 cos x − sin x ⇔ + 4sin x = sin x.cos x sin x 2cos x ⇔ + 4sin x = ⇔ cos x + 2sin 2 x = sin x sin x cos x = ⇔ 2cos x − cos x − = ⇔ ( *) cos x = − (2) ⇔ Ta thấy cos x = không thoả mãn điều kiện Do đó 2π π + k 2π ⇔ x = ± + kπ (*) ⇔ cos x = − ⇔ x = 3 k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Bµi tËp: Bµi 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 5sin x − 4sin x − = Bµi Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x − 3cos x − = =0 Bµi 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3tan x − 3tan x − Bµi 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos(4 x + 2) + 3sin(2 x + 1) = Bµi 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: tan x − 3tan x + = hoangtrongnam2010@gmail.com (8) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 25 Bµi 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x + 6cos 2 x = 16 sin x Bµi 7: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2cos x − 2sin π = tan x Bµi 8: Gi¶i ph−¬ng tr×nh + 2sin x − sin x + sin x =1 2sin x.cos x − Bµi 9: Gi¶i ph−¬ng tr×nh cot x + = 25 sin x 1.2.2- Ph−ơng trình bậc sin x,cos x a)Định nghĩa: Ph−ơng trình a sin x + b cos x = c (1) đó a, b, c∈ ℝ và a + b > đ−ợc gọi là ph−ơng trình bậc sin x,cos x b) C¸ch gi¶i Ta cã thÓ lùa chän c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b−íc B−íc 1:KiÓm tra -NÕu a + b < c ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm -Nếu a + b ≥ c đó để tìm nghiệm ph−ơng trình ta thực tiếp b−ớc B−íc 2: Chia c¶ vÕ ph−¬ng tr×nh (1) cho a a2 + b2 a V× ( a +b a a +b 2 b sin x + )2 + ( a + b2 b a +b = cos α , c a2 + b2 ) = nªn tån t¹i gãc α cho b cos x = a + b , ta ®−îc a +b = sin α Khi đó ph−ơng trình (1) có d¹ng sin x.cos α + sin α cos x = c a2 + b2 ⇔ sin( x + α ) = c a + b2 Đây là ph−ơng trình sin mà ta đã biết cách giải hoangtrongnam2010@gmail.com (9) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c b−íc x B−íc 1: Víi cos = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ ℤ) thö vµo ph−¬ng tr×nh (1) xem cã lµ nghiÖm hay kh«ng? x B−íc 2: Víi cos ≠ ⇔ x ≠ π + k 2π (k ∈ Z ) x 2t 1− t2 §Æt t = tan suy sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 Khi đó ph−ơng trình (1) có dạng 2t 1− t2 a +b = c ⇔ (c + b)t − 2at + c − b = (2) 2 1+ t 1+ t B−ớc 3: Giải ph−ơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x * Dạng đặc biệt: sin x + cos x = ⇔ x = − sin x − cos x = ⇔ x = π π + kπ ( k ∈ ℤ ) + kπ ( k ∈ ℤ ) Chó ý: Tõ c¸ch ta cã kÕt qu¶ sau − a + b ≤ a sin x + b cos x ≤ a + b từ kết đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN cña c¸c hµm sè cã d¹ng y = a sin x + b cos x , y = a sin x + b cos x vµ ph−¬ng ph¸p c sin x + d cos x đánh giá cho số ph−ơng trình l−ợng giác VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x − 3cos x = (1) Gi¶i : C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph−¬ng tr×nh (1) cho 12 + 32 = 10 ta ®−îc 3 sin x − cos x = 10 10 10 hoangtrongnam2010@gmail.com (10) §Æt Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La = sin α , = cos α Lúc đó ph−ơng trình (1) viết đ−ợc d−ới dạng 10 10 cos α sin x − sin α cos x = sin α ⇔ sin(2 x − α ) = sin x x = α + kπ x − α = α + k 2π ⇔ ⇔ π x = + kπ x − α = π − α + k 2π k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm C¸ch 2:-Ta nhËn thÊy cos x = lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2t 1− t2 -Với cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ , k ∈ ℤ Đặt t = tan x ,lúc đó sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 π 2t 1− t2 Ph−¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng − = ⇔ 2t − 3(1 − t ) = 3(1 + t ) ⇔ t = 2 1+ t 1+ t Hay tan x = = tan α ⇔ x = α + kπ ,k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Cách 3: Biến đổi ph−ơng trình dạng sin x = 3(1 + cos x) ⇔ 2sin x.cos x = 6cos x cos x = tan x = = tan α ⇔ (sin x − 3cos x)cos x = ⇔ ⇔ sin x − 3cos x = cos x = x = α + kπ ⇔ ,k ∈ℤ x = π + kπ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Chó ý: Khi lµm bµi to¸n d¹ng nµy chóng ta nªn kiÓm tra ®iÒu kiÖn tr−íc b¾t tay vµo giải ph−ơng trình có số bài toán đã cố tình tạo ph−ơng trình không thoả m·n ®iÒu kiÖn Ta xÐt vÝ dô sau: VÝ Dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2(sin x + cos x)cos x = + cos x ( 2) Gi¶i: Ta biến đổi ph−ơng trình (2) hoangtrongnam2010@gmail.com 10 (11) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ sin x + 2(1 + cos x) = + cos x ⇔ sin x + ( − 1)cos x = − Ta cã: a = ; b = −1 ; c = − a + b = + ( − 1) = − 2 c = (3 − 2) = 11 − Suy a + b < c Vậy ph−ơng trình đã cho vô nghiệm Ngoài chúng ta cần l−u ý việc biến đổi l−ợng giác cho phù hợp với bài toán sÏ biÓu diÔn ch½n c¸c hä nghiÖm Ta xÐt vÝ dô sau VÝ Dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1 + 3)sin x + (1 − 3)cos x = (3) Gi¶i : Cách 1:Thực phép biến đổi 1+ 1− )sin x + ( )cos x = = (3) ⇔ ( 2 2 2 §Æt 1+ 1− = cos x; = sin x 2 2 Ph−¬ng tr×nh (3) sÏ ®−îc viÕt thµnh sin x.cos α + sin α cos x = π π x + = + k x = − α + k 2π α π 4 ⇔ ⇔ π x + α = π − + k 2π x = 3π − α + k 2π π ⇔ sin( x + α ) = sin ,k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi ph−ơng trình dạng hoangtrongnam2010@gmail.com 11 (12) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La (sin x + cos x) + 3(sin x − cos x) = ⇔ sin( x + π ) − cos( x + π )=2 π π ⇔ sin( x + ) − cos( x + ) = 4 ⇔ sin( x + ⇔ sin( x + π π )cos π π − cos( x + π )sin π = π − ) = sin 4 π π π x = + k 2π x − = + k π 12 ⇔ ⇔ π π x = 5π + k 2π x − = π − + k 2π 12 k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Qua hai c¸ch gi¶i ë bµi trªn ta nhËn thÊy b»ng c¸ch ta thu ®−îc nghiÖm ph−¬ng tr×nh ch½n Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt t = tan x vµ ta còng thu ®−îc nghiÖm ch½n *Chó ý: §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng a sin P ( x) + b cos Q( x) = c sin Q( x) + d cos P ( x) (*) đó a, b, c, d∈ ℝ thoả mãn a + b = c + d >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hµm h»ng sè B»ng phÐp chia cho a + b ta cã (*) ⇔ sin [ P( x) + α ] = sin [Q ( x) + β ] hoÆc (*) ⇔ cos [ P ( x) + α ] = cos [Q( x) + β ] đó α , β là các góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau: VÝ Dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x − sin x = 3(cos5 x − sin x) (4) Gi¶i: (4) ⇔ cos x + sin x = cos5 x + sin x 3 ⇔ cos x + sin x = cos5 x + sin x 2 2 hoangtrongnam2010@gmail.com 12 (13) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ cos π cos x + sin π π π sin x = cos cos5 x + sin sin x 6 π π − = − + k 2π x x π π ⇔ cos(7 x − ) = cos(5 x − ) ⇔ 7 x − π = π − (5 x − π ) + k 2π π π x = + k 2π x = 12 + kπ ⇔ ⇔ π 12 x = x = π + kπ + k 2π k ∈Z VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau : sin x + cos x = 10cos x − 24sin x = 13 sin x + cos x = 3cos x + sin x 4cos3 x − sin x = + 3cos x sin x − cos x = + 2 sin x.cos x 2( sin x − cos x) = sin x + 3(cos x − sin x) 8sin x = + cos x sin x 2(sin x + cos x)cos x = + cos x 10 cos x + 2cos x = 2 + cos3 x x π x π x 2π 3x π cos( − ) − sin( − ) = 2sin( + ) − 2sin( + ) 12 12 5 1.2.3- Ph−ơng trình bậc hai sin x và cos x a) Định nghĩa: Ph−ơng trình bậc hai sin x , cos x là ph−ơng trình a sin x + b sin x.cos x + c cos x = d (1) đó a, b, c, d ∈ ℝ b) C¸ch gi¶i : hoangtrongnam2010@gmail.com 13 (14) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Chia tõng vÕ cña ph−¬ng tr×nh (1) cho mét ba h¹ng tö sin x,cos x hoÆc sin x.cos x Ch¼ng h¹n nÕu chia cho cos x ta lµm theo c¸c b−íc sau: B−íc 1: KiÓm tra: cos x = ⇔ x = π + kπ , k ∈ ℤ xem nã cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh(1) hay kh«ng? B−ớc 2: Với cos x ≠ chia hai vế cho cos x lúc đó ph−ơng trình (1) trở thành a tan x + b tan x + c = d (1 + tan x) ⇔ (a − d ) tan x + b tan x + c − d = Đây là ph−ơng trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải C¸ch 2: Dïng c«ng thøc h¹ bËc sin x = − cos x + cos x sin x ; cos x = ; sin x.cos x = 2 đ−a ph−ơng trình đã cho ph−ơng trình b sin x + (c − a )cos x = d − c − a Đây là ph−ơng trình bậc sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với ph−ơng trình đẳng cấp bậc n (n ≥ 3) với dạng tổng quát A(sin n x,cos n x,sin k x cos h x) = đó k + h = n; k , h, n ∈ ℕ Khi đó ta làm theo b−ớc : B−íc 1: KiÓm tra xem cos x = cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh hay kh«ng? B−íc 2: NÕu cos x ≠ Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh trªn cho cos n x ta sÏ ®−îc ph−¬ng tr×nh bËc n theo tan Gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ban ®Çu VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : cos x + 6sin x.cos x = + (1) Gi¶i: C¸ch 1: Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ 3(1 + cos x) + 3sin x = + ⇔ cos x + sin x = hoangtrongnam2010@gmail.com 14 (15) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 3 π ⇔ cos x + sin x = ⇔ cos(2 x − ) = 2 π π π x − = + k 2π x = + k 2π ⇔ ⇔ π π x − = − + k 2π x = π + k 2π 12 k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm C¸ch 2: +) Thö víi cos x = ⇔ x = π + k 2π k ∈ ℤ vµo ph−¬ng tr×nh (1) ta cã = + ⇒ v« lÝ VËy x = π + k 2π k ∈ ℤ kh«ng lµ nghiÖm cña ph−¬ngtr×nh +)Víi cos x ≠ Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho cos x ta ®−îc + tan x = (3 + 3)(1 + tan x) ⇔ (3 + 3) tan x − tan x + − = tan x = π x = + kπ ⇔ ⇔ 3− tan x = = tan α x = α + kπ 3+ k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm * Chó ý: Kh«ng ph¶i ph−¬ng tr×nh nµo còng ë d¹ng thuÇn nhÊt ta ph¶i thùc hiÖn số phép biến đổi thích hợp π VÝ Dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin ( x − ) = sin x (2) Gi¶i : π Ta nhËn thÊy sin( x − ) cã thÓ biÓu diÔn ®−îc qua sin x − cos x Luü thõa bËc ba biÓu thøc sin x − cos x ta đ−a ph−ơng trình dạng đã biết cách giải π Ph−¬ng tr×nh (2) ⇔ 2 sin ( x − ) = 4sin x ⇔ sin( x − ) = 4sin x 4 π ⇔ (sin x − cos x)3 = 4sin x hoangtrongnam2010@gmail.com 15 (16) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La +) XÐt víi cos x = ⇔ x = ⇔ sin ( π π + k 2π k ∈ ℤ Khi đó ph−ơng trình có dạng π + kπ ) = 4sin( + kπ ) ⇒ m©u thuÉn 2 VËy ph−¬ng tr×nh kh«ng nhËn x = π + k 2π lµm nghiÖm +) Víi cos x ≠ Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (2) cho cos3 x ta ®−îc : (tan x − 1)3 = 4(1 + tan x) tan x ⇔ 3tan x + 3tan x + tan x − = §Æt t = tan x ph−¬ng tr×nh cã ®−îc ®−a vÒ d¹ng: 3t + 3t + t − = ⇔ (t + 1)(3t + 1) = ⇔ t =1⇔ x = − π + kπ k ∈ℤ Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh VËy ph−¬ng tr×nh cã nhÊt hä nghiÖm *Chú ý: Ngoài ph−ơng pháp giải ph−ơng trình đã nêu trên có ph−ơng trình có thể giải ph−ơng pháp khác tuỳ thuộc vào bài toán để giải cho cách gi¶i nhanh nhÊt ,khoa häc nhÊt VÝ Dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: − tan x = + sin x + tan x (3) Gi¶i : π x ≠ + kπ cos x ≠ §iÒu kiÖn ⇔ tan x = −1 x ≠ − π + kπ k ∈ℤ Cách 1: Biến đổi ph−ơng trình dạng : cos x − sin x = cos x + sin x ( cos x + sin x ) ⇔ cos x − sin x = ( cos x + sin x ) Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (3) cho cos3 x ≠ ta ®−îc : hoangtrongnam2010@gmail.com 16 (17) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La + tan x − (1 + tan x ) tan x = (1 + tan x ) ⇔ tan x + tan x + tan x = ⇔ ( tan x + tan x + ) tan x = (*) (do tan x + tan x + = v« nghiÖm) nªn: Ph−¬ng tr×nh (*) ⇔ tan x = ⇔ x = kπ ( k ∈ Z ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi ph−ơng trình dạng cos x − sin x = ( cos x + sin x ) cos x + sin x π cos x + π π 4 ⇔ = 2sin x + ⇔ cot( x + ) = π 4 + cot ( x + π ) sin x + 4 §Æt t = cot( x + t= π ) ta ®−îc : ⇔ t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + ) = ⇔ t = 1+ t hay cot( x + π ) = 1⇔ x + π = π + kπ ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Bµi tËp : Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau : 1) 3sin x − 4sin x.cos x + cos x = 2) 2cos3 x + sin x − 11sin x − 3cos x = 3) 4sin x + 6cos x = cos x 4) sin x = 2sin x 5) sin x − 5sin x cos x + 7sin x cos x − 2cos3 x = hoangtrongnam2010@gmail.com 17 (18) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 6) sin x sin x + sin x = 6cos3 x 7) 8cos x = + sin x cos x 8) (sin x − 4cos x)(sin x − 2sin x.cos x) = 2cos x 9) cos3 x − sin x = sin x − cos x 1.2.4-Ph−ơng trình đối xứng sin x và cos x a) Định nghĩa: Ph−ơng trình đối xứng sin x và cos x là ph−ơng trình dạng a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c = đó a, b, c ∈ ℝ (1) b) C¸ch gi¶i: Cách 1: Do a (sin x + cosx)2 = + sin x cos x nên ta đặt t = sin x + cos x = sin( x + π ) = cos( π − x) §iÒu kiÖn | t |≤ t2 −1 Suy sin x cos x = vµ ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc viÕt l¹i: bt + 2at − (b + 2c) = Đó là ph−ơng trình bậc hai đã biết cách giải C¸ch 2: §Æt t = π − x th× sin x + cos x = cos( π − x) = cos t 1 π 1 sin x cos x = sin x = cos( − x) = cos 2t = cos t − nªn ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh 2 2 b cos x + cos x − b + c = Đây là ph−ơng trình bậc hai đã biết cách giải *Chó ý: Hai c¸ch gi¶i trªn cã thÓ ¸p dông cho ph−¬ng tr×nh a (sin x − cos x) + b sin x cos x + c = cách đặt t = sin x − cos x và lúc đó 1− t2 sin x cos x = VÝ Dô Minh Ho¹ : VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin x + cos x − 2sin x cos x + = (1) Gi¶i: hoangtrongnam2010@gmail.com 18 (19) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La t2 −1 Cách 1: Đặt sin x + cos x = t điều kiện | t |≤ Lúc đó sin x cos x = t2 −1 Khi đó ph−ơng trình (1) có dạng t − 2( ) +1= t = −1 ⇔ t2 − t − = ⇔ t = (*) Víi t = kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªn (*) ⇔ t = −1 ⇔ sin x + cos x = −1 π x = − + k 2π ⇔ sin( x + ) = −1 ⇔ sin( x + ) = − ⇔ k ∈ℤ 4 x = π + k 2π π C¸ch 2: §Æt z = cos( π π π − x Khi đó ph−ơng trình có dạng − x) − sin x + = ⇔ cos z − sin 2( π − z ) + = ⇔ cos z − sin( π − z) + = ⇔ cos z − cos z + = ⇔ cos z − (2cos z − 1) + = cos z = ⇔ −2cos z + cos z + = ⇔ cos z = − (*’) Ta thÊy cos z = kh«ng tho¶ m·n 3π z = − + k 2π Do đó (*’) ⇔ cos z = − ⇔ z = 3π + k 2π 3π π π − x = + k 2π 4 x = − − k 2π ⇔ ⇔ k ∈ℤ π − x = 3π + k 2π x = π − k 2π 4 VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 19 (20) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La *Chú ý: Ta có thể đ−a số dạng ph−ơng trình dạng ph−ơng trình đối xứng đã xét trªn Bµi to¸n 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh a tan x + b cot x = c(a sin x ± b cos x) (1) a b ≠ a sin x − b cos x C¸ch gi¶i: Ph−¬ng tr×nh (1) cã thÓ viÕt = c(a sin x ± b cos x) sin x.cos x ⇔ (a sin x − b cos x)(a sin x + b cos x) = c(a sin x ± b cos x) ⇔ (a sin x [ ± ] b cos x) (a sin x [ ∓ ] b cos x) − c sin x.cos x = a sin x [ ± ] b cos x = ⇔ a sin x [ ∓ ] b cos x − c sin x.cos x = *Quy −íc: Khi cã nhiÒu dÊu [ ± ] mét biÓu thøc hay mét hÖ hiÓu lµ cïng lÊy dßng trªn hoÆc cïng lÊy dßng d−íi VÝ Dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) (2) Gi¶i: §iÒu kiÖn: sin x.cos x ≠ ⇔ x ≠ Ta cã (2) ⇔ kπ k ∈ℤ (sin x − 3cos x) = 4(sin x + cos x) sin x.cos x ⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x) = 4(sin x + cos x)sin x.cos x ⇔ (sin x + cos x) (sin x − cos x)sin x = sin x + cos x = (4) ⇔ sin x − cos x − sin x = (3) Ta cã (3) ⇔ tan x = − ⇔ x = − π + kπ (5) π π (4) ⇔ sin x − cos x = sin x ⇔ cos sin x − sin cos x = sin x 2 3 hoangtrongnam2010@gmail.com 20 (21) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La π π π x = x − + l x = − + l 2π π 3 ⇔ sin( x − ) = sin x ⇔ ⇔ l ∈ ℤ (6) x = π − x + π + l 2π x = 4π + l 2π 3 Các gía trị x (5) và (6) thoả mãn điều kiện ph−ơng trình VËy theo ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bµi to¸n 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: a (tan x [ ± ] sin x) + b(cot x [ ± ] cos x) ± (a + b) = víi a , b , c , d ∈ ℝ (1) C¸ch gi¶i: a (tan x [ ± ] sin x ± 1) + b(cot x [ ± ] cos x ± 1) = a b (sin x [ ± ] sin x.cos x + cos x) + (sin x [ ± ] sin x.cos x + cos x) = cos x sin x a b )(sin x [ ± ] sin x.cos x + cos x) = ⇔( + cos x sin x Ta cã: ⇔ b a + =0 ⇔ cos x sin x sin x [ ± ] sin x cos x + cos x = Đến đây chúng ta đã biết cách giải b tan x = − a ⇔ sin x [ ± ] sin x cos x + cos x = T−¬ng tù cho ph−¬ng tr×nh a (tan x [ ± ] sin x) + b(cot x [ ± ] cos x) − a + b = VÝ Dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh tan x − cot x − sin x + cos x + − = (3) Gi¶i: §iÒu kiÖn sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ k ∈ℤ (3) ⇔ tan x − sin x − 3(cot x − cos x) + − = ⇔ (sin x − sin x cos x + cos x) − (sin x − sin x.cos x + cos x) = cos x sin x ⇔( − )(sin x − sin x.cos x + cos x) = cos x sin x hoangtrongnam2010@gmail.com 21 (22) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La − =0 (4) ⇔ cos x sin x sin x − sin x.cos x + cos x = ( ) Gi¶i (4) ⇔ tan x = ⇔ x = π + kπ Gi¶i (5): §Æt t = sin x + cos x = cos( Suy sin x cos x = k ∈ℤ π − x) | t |≤ (*) t2 −1 Ph−¬ng tr×nh (5) trë thµnh t − t = − t2 −1 = ⇔ t2 − t −1 = ⇔ t = + KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× t = + bÞ lo¹i Víi t = − ta cã ⇔ π cos( π − x) = − ⇔ cos( − x = ±α + l 2π ⇔ x = − π π − x) = ± α + l 2π 1− = cos α α ∈ ℝ, l ∈ ℤ Các nghiệm ph−ơng trình (4) và (5) thoả mãn điều kiện ph−ơng trình VËy ph−¬ng tr×nh cã ba hä nghiÖm Chú ý: Ta có thể áp dụng ph−ơng pháp ph−ơng trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng sin x và cos x với bậc lớn VÝ dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x x − sin = sin x 2 (1) Gi¶i : Ta cã: cos x x x x x x − sin = (cos − sin )(cos + sin ) = cos x 2 2 2 hoangtrongnam2010@gmail.com 22 (23) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng cos x = sin x ⇔ cos x = 2sin x.cos x π = + k 2π x sin x = 5π ⇔ cos x(1 − 2sin x) = ⇔ + k 2π ⇔ x = cos x = x = π + k 2π k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm sin x + cos x VÝ Dô 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: = tan x + cot x sin x (2) Gi¶i: §iÒu kiÖn: sin x ≠ sin x cos x Ph−¬ng tr×nh (2) ⇔ 8(1 − sin x) = 2sin x( + ) cos x sin x 1 − sin 2 x ⇔ − 6sin 2 x = 4sin x 2 sin x ⇔ (8 − 6sin 2 x)sin x = − 2sin 2 x ⇔ 3sin x − sin 2 x − 4sin x + = ⇔ (sin x − 1)(3sin 2 x + 2sin x − 2) = sin x − = ⇔ 3sin x + 2sin x − = π sin x = x = + kπ −1 − ⇔ sin x = (lo¹i) ⇔ x = α + kπ x = π − α + kπ − sin x = = sin α hoangtrongnam2010@gmail.com k ∈ℤ 23 (24) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Các nghiệm thoả mãn điều kiện sin x ≠ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 20 1 = ( tan x + )cos x − sin x − 2(sin x − cos x) sin x + cos x 2(tan x − sin x) + 3(cot x − cos x) + = + cos3 x − sin x = sin x sin x + cos x = ( − 1)cos x x 2cos (1 − sin x) + cos x = sin x + cos3 x = sin x + sin x + cos x 4(sin x + cos x) + sin x = sin x + cos8 x = 17 32 1 sin x.cos x + cos x = sin x.cos3 x + sin x + 4 10 sin x + cos3 x = 2(sin x + cos5 x) 11 sin x + cos8 x = (sin10 x + cos10 x) + cos x 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng tan x và cotx * Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng n pk ∑ (tan k x + α k cot k x) + q (tan x ± α cot x) + r = (α > 0; k ≥ 2) k =1 • C¸ch gi¶i: hoangtrongnam2010@gmail.com 24 (25) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La t = tan x + α cot x | t |≤ 2 B−íc 1: §Æt Èn phô t ∈ℝ t = tan x − α cot x đ−a ph−ơng trình đã cho dạng đại số F (t ) = B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh F (t ) = lo¹i nh÷ng nghiÖm kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n B−ớc 3: Với nghiệm t tìm đ−ợc b−ớc vào b−ớc để tìm x VÝ dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh tan x − cot x − 3(tan x + cot x) − 3(tan x − cot x) + 10 = (1) Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ tan x − cot x − 3tan x.cot x(tanx − cotx) − 3(tan x + cot x − 2) + = ⇔ (tan x − cot x)3 − 3(tan x − cot x) + = (2) §Æt t = tan x − cot x , ph−¬ng tr×nh (2) trë thµnh t − 3t + = ⇔ (t + 1)(t − 4t + 4) = t = −1 tan x − cot x = −1 ⇔ (t + 1)(t − 2) = ⇔ hay t = tan x − cot x = π α x = + k x = 2α + kπ cot x = = cot 2α ⇔ ⇔ ⇔ k ∈ℤ π x = − + kπ π π x=− +k cot x = −1 VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: tan x + tan x + tan x + cot x + cot x + cot x = (2) Gi¶i: hoangtrongnam2010@gmail.com 25 (26) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La §iÒu kiÖn sin x.cos x ≠ ⇔ x ≠ k π Ta cã: Ph−¬ng tr×nh (2) ⇔ tan x + cot x + 3tan x.cot x(tan x + cot x) + tan x + cot x + tan x.cot x − 2(tan x + cot x) − = ⇔ (tan x + cot x)3 + (tan x + cot x) − 2(tan x + cot x) − = (3) §Æt t = tan x + cot x | t |≥ , ph−¬ng tr×nh (3) cã d¹ng t + t − 2t − = ⇔ t − + t − 2t = ⇔ (t − 2)(t + 2t + 4) − t (t − 2) = ⇔ (t − 2)(t + 2t + − t ) = ⇔ (t − 2)(t + t + 4) = Víi | t |≥ th× t + t + > nªn (4) ⇔ t − = ⇔ t = Suy tan x + cot x = ⇔ sin x = ⇔ x = VËy x = π π + kπ ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn(2)) + kπ là họ nghiệm ph−ơng trình đã cho Bµi tËp:Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 2(tan x + cot x) = tan x + cot x tan x + tan x + cot x + cot x − = 5(tan x + cot x) − 3(tan x + cot x) − = 11 tan x − 2(tan x + cot x) = − sin x + tan x + cot x + tan x = sin x sin x + cos x = tan x + cot x 8(tan x + cot x) = 9(tan x + cot x) − 10 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp PTLG Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, tr−ớc kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm đ−ợc có thoả mãn điều kiện đã đặt hay không, để ta cã thÓ lo¹i nh÷ng nghiÖm kh«ng thÝch hîp Chóng ta cã thÓ xÐt ba ph−¬ng ph¸p sau: hoangtrongnam2010@gmail.com 26 (27) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 1.3.1 Ph−¬ng ph¸p lo¹i nghiÖm trùc tiÕp Giả sử ta cần tìm nghiệm ph−ơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Tr−ớc hết ta giải ph−ơng trình (1) sau đó thay nghiệm ph−ơng trình (1) tìm đ−ợc vào (*) để loại nghiệm không thích hợp VÝ Dô: Gi¶i ph−¬ng tr×nh + sin x =0 sin x (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn sin x ≠ (*) Khi đó (1) ⇔ + sin x = ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − Thay x = − π π + k 2π , k ∈ ℤ + k 2π vµo (*) xem cã tho¶ m·n hay kh«ng ? π sin 4(− + k 2π ) = sin(−2π + k 2π ) = sin(−2π ) = Suy x = − π + k 2π kh«ng tho¶ m·n (*) VËy ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm 1.3.2- Ph−¬ng ph¸p h×nh häc (dïng ®−êng trßn l−îng gi¸c) Giả sử ta cần tìm nghiệm ph−ơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Gọi L là tập c¸c cung kh«ng tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn (*), N lµ tËp nghiÖm cña phg tr×nh (1).Ta biÓu diÔn ®iÓm cuèi cña c¸c cung thuéc hai tËp L vµ N lªn trªn cïng mét ®−êng trßn l−îng giác Chẳng hạn điểm cuối các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối các cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi đó cung có điểm cuối đ−ợc đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm ph−ơng trình VÝ Dô: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x.cot x = sin x (1) Gi¶i: hoangtrongnam2010@gmail.com 27 (28) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La §iÒu kiÖn sin x ≠ ⇔ x ≠ nπ ⇔ x = n Khi đó ph−ơng trình (1) ⇔ cos x π (n ∈ ℤ) (*) cos x = sin x sin x ⇔ cos x cos x = sin x sin x ⇔ cos x cos x − sin x sin x = ⇔ cos3 x = ⇔ x = π + kπ ⇔ x = π +k π k ∈ ℤ (**) BiÓu diÔn c¸c hä nghiÖm (*) vµ (** ) lªn trªn cïng mét ®−êng trßn l−îng gi¸c sin cos π x = + kπ Từ đó ta có nghiệm ph−ơng trình (1) là x = − π + kπ hoangtrongnam2010@gmail.com k ∈ℤ 28 (29) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 1.3.3- Ph−ơng pháp đại số Ph−¬ng ph¸p nµy ta kiÓm tra nghiÖm b»ng c¸ch chuyÓn vÒ ph−¬ng tr×nh (th−êng lµ ph−ơng trình nghiệm nguyên) bất ph−ơng trình đại số * VÝ Dô: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos8 x = (1) sin x Gi¶i: §iÒu kiÖn sin x ≠ ⇔ x ≠ nπ (n ∈ ℤ) Khi đó (1) ⇔ cos8 x = ⇔ x = π GÝa trÞ nµy lµ nghiÖm cña (1) nÕu + kπ ⇔ x = π 16 +k π π 16 ≠n π +k π ,k ∈ℤ ⇔ + 2k ≠ 4n Điều này đúng vì + 2k là số lẻ còn 4n là số chẵn VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = π 16 +k π ,k ∈ℤ Bµi tËp: π Bµi 1: T×m c¸c nghiÖm thuéc ;3π cña ph−¬ng tr×nh 2 sin(2 x + 5π 7π ) − 3cos( x − ) = + 2sin x 2 Bµi 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x.cot x =1 cot x Bµi 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x − 2sin x.cos x = 2cos x − sin x − Bµi 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x =1 5sin x Bµi 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: + cot x = Bµi 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: − cos x sin 2 x sin x = cos x.cos x(tan x + tan x) hoangtrongnam2010@gmail.com 29 (30) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Ch−¬ng II: HÖ thèng mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c Đứng tr−ớc PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm nào để giải nó, vấn đề nảy sinh chúng ta là phải đ−a ph−ơng trình ph−ơng trình mà ta đã biết cách giải Và để giải ph−ơng trình ta phải thực các phép biến đổi theo h−ớng -Nếu ph−ơng trình chứa nhiều hàm l−ợng giác khác thì biến đổi t−ơng đ−ơng vÒ ph−¬ng tr×nh chØ chøa mét hµm -Nếu ph−ơng trình chứa hàm l−ợnggiác nhiều cung khác thì biến đổi t−¬ng ®−¬ng vÒ ph−¬ng tr×nh chØ chøa mét cung D−ới đây là số ph−ơng pháp biến đổi tuỳ thuộc vào bài toán khác mµ ta lùa chän ph−¬ng ph¸p cho phï hîp 2.1 - Ph−ơng pháp biến đổi t−ơng đ−ơng Ph−ơng pháp: Sử dụng công thức l−ợng giác đã học thực các phép biến đổi đại số và l−ợng giác đ−a ph−ơng trình dạng quen thuộc đã biết cách giải Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ các cung các hàm l−ợng giác Vì mối liên hệ này đ−ờng cho cách biến đổi ph−ơng trình VÝ dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3sin x − cos9(π + x) = + 4sin 3 x (1) Gi¶i: NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy bµi to¸n cã sè h¹ng 3sin x,4sin 3 x ta cã thÓ sö dông ®−îc c«ng thøc gãc nh©n ba Ta cã (1) ⇔ 3sin x − 4sin 3 x − cos9 x = 1 ⇔ sin x − cos9 x = ⇔ sin x − cos9 x = 2 π π π π ⇔ sin sin x − cos cos9 x = ⇔ cos( x + ) = cos 6 π π π + = + x k π x = + k 2π 6 ⇔ ⇔ π π x + = − + k 2π x = − π + k 2π (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ngtr×nh cã hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 30 (31) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin x.cos3 x + sin x.cos3 x = sin x Gi¶i: Ta cã: cos3 x = cos x(4cos x − 3) ⇒ sin x.cos3 x = sin x.cos x(4cos x − 3) = sin x.cos x(4sin x.cos x − 3sin x) = sin x(sin 2 x − 3sin x) (1) T−¬ng tù ta còng cã cos3 x sin x = sin x(3cos x − sin 2 x) (2) Céng vÕ víi vÕ cña (1) vµ (2) ta ®−îc sin x cos3 x + cos3 x sin x = sin x(sin 2 x − 3sin x + 3cos x − sin 2 x) 3 = sin x ( cos x − sin x ) = sin x cos x = sin x 2 Từ đó ta có : sin x = sin x ⇔ 3sin x − sin x = ⇔ sin12 x = ⇔ 12 x = kπ ⇔ x = kπ ( k ∈ ℤ) 12 VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos x + sin x = (1) Gi¶i : Ta cã : (1) ⇔ cos x = − sin x ⇔ 4cos x = (1 − sin x) ⇔ 5sin x − 2sin x − = π x = + k 2π sin x = ⇔ ⇔ x = α + k 2π ( k ∈ ℤ) sin x = − = sin α x = (π − α ) + k 2π VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: hoangtrongnam2010@gmail.com 31 (32) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La log x − x2 (sin x + sin x) = log x − x2 sin x (1) 10 10 Gi¶i: Ta cã : 6x − x2 < ≠1 10 (1) ⇔ sin x > ⇔ sin x + sin x = sin x 0 < x < < x < ⇔ sin x > sin x > 2sin x cos x = sin x cos x = (*) π x = + k 2π Gi¶i (*): ta cã (*) ⇔ x = − π + k 2π Víi x = − Víi x = π π Ta xÐt < + k 2π lo¹i sin x < + k 2π xÐt víi ®iÒu kiÖn < x < π π + k 2π < ta thÊy cã gi¸ trÞ k = lµ tho¶ m·n Vậy ph−ơng trình đã cho có nghiệm x = π Nhận xét : Ph−ơng pháp biến đổi t−ơng đ−ơng đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức l−îng gi¸c v× vËy viÖc n¾m ch¾c c¸c c«ng thøc vµ vËn dông linh ho¹t vµo tõng bµi to¸n lµ hÕt søc cÇn thiÕt 2.1- Ph−ơng pháp đặt ẩn phụ Ph−¬ng ph¸p : Có loại đặt ẩn phụ (1) Đặt ẩn phụ , đ−a ph−ơng trình đã cho ph−ơng trình dễ giải (2) Đặt ẩn phụ đ−a ph−ơng trình đã cho hệ ph−ơng trình đại số Phụ thuộc vào ph−ơng trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ cách khéo léo để có đ−ợc ph−ơng trình đơn giản dễ giải hoangtrongnam2010@gmail.com 32 (33) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Thông th−ờng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta th−ờng gặp loại đặt ẩn phụ sau: +) §æi biÕn d−íi hµm l−îng gi¸c +) §Æt c¶ biÓu thøc l−îng gi¸c lµm Èn phô 2.1.1- §æi biÕn d−íi hµm l−îng gi¸c Ph−¬ng ph¸p: Khi các biểu thức d−ới hàm l−ợng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, kém k π , biểu thức này gấp hai, ba lần biểu thức th−ờng giải ph−ơng pháp đổi biến VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos 4x = cos x (1) Gi¶i: Ta cã ⇔ cos §Æt t = x + cos x = 2x 3t + cos3t ⇒ x = Lúc đó ta có cos 2t = ⇔ 2cos 2t =1 + 4cos3 t − 3cos t ⇔ 2(2cos t − 1) =1 + 4cos3 t − 3cos t ⇔ 4cos t − − 4cos3 t + 3cos t − = ⇔ (cos t − 1)(cos3 t − 3) = cos t = t = k 2π ⇔ ⇔ π π cos t = ± t = ± + k (k ∈ ℤ) (*) ThÕ trë l¹i Èn x ta cã 2x x = k 3π = k 2π (*) ⇔ ⇔ π π x = ± + k x = ± π + k 2π 3 ( k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin( 3π x π 3x − ) = sin ( + ) 10 2 10 hoangtrongnam2010@gmail.com (1) 33 (34) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La π 3x π 3x 3π x Ta nhËn thÊy sin ( + ) cã thÓ biÓu diÔn sin π − ( − ) = sin 3( − ) 10 10 10 Nh− ph−ơng trình đã đ−ợc đ−a ph−ơng trình chứa các hàm l−ợng giác chứa cung Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi Gi¶i: π 3x π 3x 3π x Ta cã: sin( + ) = sin π − − = sin 3( − ) 10 10 10 §Æt t = ( 3π x 3π − ) ⇒x= − 2t ph−¬ng tr×nh (2) sÏ trë thµnh 10 ⇔ sin t (4sin t − 1) = ⇔ sin t.(2cos 2t − 1) = t = kπ 2t = k 2π sin t = ⇔ ⇔ π π ⇔ 2t = ± + k 2π cos 2t = 2t = ± + k 2π 3 3π 3π − t = 5 ⇔ 3π − 2t = 3π 5 3π x = − k 2π − k 2π 4π hay x = − k 2π (k ∈ ℤ) π ± − k 2π 14π x = − k 2π VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2.1.2- §Æt mét biÓu thøc l−îng gi¸c lµm Èn phô Chú ý số ph−ơng pháp đặt ẩn phụ ph−ơng pháp đại số sau đây +Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng ax + bx + c = (a ≠ 0) §Æt t = x t ≥ +Ph−¬ng tr×nh bËc bèn ( x + a ) + ( x + b)4 = c §Æt t = x + a+b + Ph−¬ng tr×nh bËc bèn ( x + a )( x + b)( x + c)( x + d ) = k víi a + b = c + d §Æt t = ( x + a )( x + b) hoangtrongnam2010@gmail.com 34 (35) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La + Ph−ơng trình bậc bốn đối xứng ax + bx3 ± cx ± bx + a = Chia c¶ hai vÕ cho x ( x ≠ 0) §Æt t = x ± x VÝ dô Minh Ho¹ VÝ dô1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh tan x − 3tan x − 9cot x + 9cot x + = (1) Gi¶i : sin x ≠ π §iÒu kiÖn ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k k ∈ℤ ≠ cos x Ta cã: (1) ⇔ (tan x + §Æt t = tan x + tan x Do đó t = tan x + ) − 3(tan x + )+2=0 tan x tan x t ≥2 (*) 9 + ⇔ t − = tan x + tan x tan x t = −1 Ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh t − 3t − = ⇔ t = (2) Do (*) nên ta có (2) ⇔ t = Lúc đó ta có tan x + = ⇔ tan x − tan x + = tan x π x = + kπ tan x = ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) tan x = = tan α x = α + kπ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Chú ý: Một số ph−ơng trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau đặt ẩn phô c¶ Èn cò vµ Èn míi cung tån t¹i ph−¬ng tr×nh Bé phËn cò cßn l¹i Êy ®−îc xem lµ tham sè cña ph−¬ng tr×nh VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh hoangtrongnam2010@gmail.com 35 (36) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La x x (sin x + 3)sin − (sin x + 3)sin + = (1) 2 Gi¶i: C¸ch 1: §Æt sin x = t ≤ t ≤ ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh ( sin x + 3) t − (sin x + 3)t + = (*) Do sin x + > nên ph−ơng trình (*) là ph−ơng trình bậc hai t ∆ = (sin + 3) − 4(sin x + 3) ∆ = (sin x − 1)(sin x + 3) Do sin x ≤ ⇒ ∆ ≤ ∀ℝ ∆ = sin x =1 sin x =1 Do vËy (*) ⇔ b ⇔ x ⇔ 1 − cos x = t = − 2a sin = 2 sin x = π ⇔ ⇔ sin x = ⇔ x = + k 2π cos x = ( k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm C¸ch 2: x x (2) ⇔ (sin x + 3)sin (sin − 1) + = 2 x x ⇔ − (sin x + 3)sin cos = 2 ⇔ − (sin x + 3)sin x = ⇔ sin x + 3sin x − = ⇔ (sin x − 1)(sin x + 2) = ⇔ sin x = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos x + + cos x = (1) Gi¶i: Đặt u = + cos x điều kiện ≤ u ≤ đó ta có hoangtrongnam2010@gmail.com u = + cos x (*) 36 (37) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La u = + cos x Tõ (*) vµ (1) ta cã hÖ cos x = − u Ta cã u = cos x + u + cos x ⇔ cos x + cos x − u + u = ⇔ (cos x − u )(cos x + u ) + cos x + u = cos x = −u ⇔ ( cos x + u ) (cos x − u + 1) = ⇔ cos x = u − -Víi u = − cos x thÕ vµo (*) ta ®−îc cos x = −1 cos x − cos x − = ⇔ ⇔ x = π + k 2π cos x = ( ) ( k ∈ ℤ) -Víi u = cos x + thÕ vµo (*) ta ®−îc cos x + cos x − = −1 − (vn) cos x = ⇔ ⇔ x = ±α + k 2π (k ∈ ℤ) −1 = cos α cos x = VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 16sin x + 16cos x = 10 Gi¶i: C¸ch 1: ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh 2 16sin x + 161−sin x = 10 ⇔ 16sin x + 16 16sin x = 10 2 §Æt t = 16sin x , ®iÒu kiÖn ≤ t ≤ 16 v× ≤ sin x ≤ nªn 16o ≤ 16sin x ≤ 161 Khi đó ph−ơng trình có dạng 16sin x = t = 16 t + = 10 ⇔ t − 10t + 16 = ⇔ ⇔ t t = 16sin x = 2 hoangtrongnam2010@gmail.com 37 (38) 24 sin x ⇔ 24 sin x Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La = = − sin x cos x =2 ⇔ ⇔ ⇔ cos2 2x = =2 sin x = cos 2x = 2π π π ⇔ cos 4x = − ⇔ 4x = ± + k 2π ⇔ x = ± + k (k ∈ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm C¸ch 2: u = 16sin x §Æt cos2 x v = 16 ≤ u, v ≤ 16 2 Khi đó: u v = 16sin x16cos x = 16sin x + cos2 x = 16 u + v = 10 Ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi uv = 16 t = Khi đó u, v là nghiệm ph−ơng trình: t − 10t + 16 = ⇔ t = sin x = 16sin2 x = u = 1 cos x = sin x = cos x = cos2 x =8 v = 16 4⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ u = 16sin x = sin x = cos 2x = − sin x = cos2 x v = =2 16 cos x = ⇔ cos2 2x = 1 2π π π ⇔ cos 4x = − ⇔ 4x = ± + k 2π ⇔ x = ± + k ( k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta có thể sử dụng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ VÝ dô 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh + sin x cos x + sin x + cos x = sin x + sin x + cos x hoangtrongnam2010@gmail.com (1) 38 (39) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Gi¶i: §Æt t = sin x cos x + sin x + cos x , suy 2t = sin x + sin x + cos x Ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh + t = t = ⇔ t + 2t − = ⇔ t t = −3 -Víi t = ta cã: sin x cos x + sin x + cos x = sin x + cos x = − sin x cos x (a ) Do − sin x cos x > nªn (a) ⇔ (sin x + cos x ) = (1 − sin x cos x) ⇔ + 2sin x cos x = − 2sin x cos x + (sin x cos x)2 ⇔ sin x cos x(sin x cos x − 4) = ⇔ sin x cos x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k π ( k ∈ ℤ) -Víi t = −3 ta cã sin x cos x + sin x + cos x = −3 ⇔ sin x + cos x = −3 − sin x cos x (b) Ta nhËn thÊy −3 − sin x cos x < −2 < < sin x + cos x , suy ph−¬ng tr×nh (b) v« nghiÖm VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin x 81 + 2(cos x − 2) sin x + 4cos x − = (1) Gi¶i: §Æt ⇒ 81sin 9sin x =t >0 t= 9sin 2 x = 31−2sin x = 3cos x 2 x = 91−2sin x = 9cos x = (3cos x ) = t Ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh t + 2(cos x − 2)t + 4cos x − = ⇔ t + 2(cos x − 2)t + 2cos x − = t = −1 ⇔ t = − 2cos x -Víi t = −1 < lo¹i hoangtrongnam2010@gmail.com 39 (40) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La -Víi t = − 2cos x ta cã 3cos x = − 2cos x ⇔ 3cos x + 2cos x = (*) §Æt y = cos x , y ≤ ph−¬ng tr×nh (*) trë thµnh y + y = Đặt f ( x) = y + y Rõ ràng f ( y ) là hàm đồng biến trên ℝ MÆt kh¸c ta cã f (1) = suy y = lµ nghiÖmduy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh (*) Víi y = ta cã cos x = ⇔ x = k 2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã nhÊt hä nghiÖm NhËn xÐt: Dùng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ để giải ph−ơng trình l−ợng giác đ−ợc vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho số dạng ph−ơng trình l−ợng giác mà ta đã biết cách giải Với ẩn phụ đã đặt ta thiết phải tìm điều kiện nó và l−u ý ta ph¶i thö l¹i xem c¸c nghiÖm cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh hay kh«ng 2.3- Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c sö dông c«ng thøc h¹ bËc Ph−¬ng ph¸p: Ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc sau: B−ớc 1:Đặt điều kiện để ph−ơng trình có nghĩa B−íc 2: Thùc hiÖn viÖc h¹ bËc cña ph−¬ng tr×nh b»ng c¸c c«ng thøc hoangtrongnam2010@gmail.com 40 (41) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La *Hạ bậc đơn: (1− cos x ) 2 cos x = (1+ cos x ) sin x 1− cos x = tan x = cos x 1+ cos x sin x = cos x 1+ cos x cot x = = sin x 1− cos x ( 3sin x − sin 3x ) cos3 x = ( 3cos x + cos3 x ) 3sin x − sin x tan x = 3cos x + cos3 x sin x = cot x = 3sin x + sin x 3cos x − cos 3x * H¹ bËc toµn côc sin x + cos x = − cos x 4 4 sin x − cos x = − cos x sin x + cos x = + cos x 8 sin x − cos x = cos3 x + cos x 4 * Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng : A = sin x.cos3 x + sin x.cos3 x Ta cã thÓ lùa chän theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã : A = sin x.cos3 x + sin 3x.cos3 x = (1− cos x ) sin x.cos3 x + (1− sin x ) sin x.cos x = sin x.cos3 x + sin x.cos x − (cos x.cos3 x + sin x.sin x)sin x.cos x 1 = sin x − cos x.sin x = sin x − sin x = sin x 4 C¸ch 2: Ta cã : 1 (3sin x − sin x)cos3 x + (3cos x + cos3 x)sin x 4 3 = (sin x.cos3 x + consx.sin x = sin x 4 A= hoangtrongnam2010@gmail.com 41 (42) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Chó ý: (+) Tuú thuéc bËc tõng bµi to¸n ta lùa chän viÖc h¹ bËc cho phï hîp Ch¼ng h¹n ph−ơng trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử 3) thông th−ờng ta không hạ bậc tất các nhân tử đó mà chọn hai nhân tử để hạ bậc (+) Víi c¸c nh©n tö bËc cao h¬n ta ph¶i h¹ bËc dÇn dÇn VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x = cos x + cos x Gi¶i Ph−ơng trình đ−ợc biến đổi d−ới dạng 1− cos x 1+ cos x = + cos x ⇔ 2cos x + (cos x + c os x) 2 ⇔ 2cos x + 2cos3 x.cos x = ⇔ (cos3 x + c os5 x)cos3 x = ⇔ 2cos x.cos x.cos3 x = π cos x = x = + kπ cos x = ⇔ cos x = ⇔ ⇔ cos3 x = x = π + kπ cos3 x = ⇔ π π x = + k x = π + k π k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh π π sin x + sin ( x + ) + sin ( x − ) = (1) 4 Gi¶i Ta cã: 2 π π − cos(2 x + ) − cos(2 x − ) 1− cos x 4 ⇔ + = + 2 (1) ⇔ (1− cos x) + (1+ sin x) + (1− sin x) = ⇔ 1− 2cos x + cos 2 x + 2(1+ sin 2 x) = 9 ⇔ 2cos 2 x + 4cos x −1= hoangtrongnam2010@gmail.com 42 (43) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La cos x =1− ⇔ cos x =1+ ⇔ cos x =1− 6 (loai ) = cos 2α ⇔ 2 x = ± 2α + k 2π ⇔ x = ± α + kπ (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x + cos3 x + sin x.cot x + cos3 x.tan x = 2sin x (2) Gi¶i Ta cã: (2) ⇔ sin x + cos3 x + sin x.cos x + cos x.si n x = 2sin x ⇔ sin x(sin x + cos x) + co s x(cos x + si n x) = 2sin x ⇔ (sin x + co s x)(sin x + cos x) = 2sin x ⇔ sin x + cos x = 2sin x (3) sin x + cos x ≥ sin x + cos x ≥ sin x ≥ §iÒu kiÖn ⇔ ⇔ (*) sin x ≥ sin x cos x ≥ cos x ≥ B×nh ph−¬ng hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (3) ta cã: (sin x + cos x)2 = 2sin x ⇔ + 2sin x cos x = sin x ⇔ 2sin x ⇔ sin x = 2x = π + k 2π ⇔ x = C¸c gi¸ trÞ x = π π + kπ k ∈ℤ + kπ tháa m·n ®iÒu kiÖn (*) vµ chØ k = 2m Vậy ph−ơng trình đã cho có họ nghiệm VÝ Dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x + cos5 x + (sin x + cos3 x)sin x = sin x + cos x (4) Gi¶i: Ta cã (4) ⇔ sin x + cos5 x + (sin x + cos3 x)sin x cos x = sin x + cos x ⇔ sin x + cos5 x + sin x cos x + sin x cos x = sin x + cos x hoangtrongnam2010@gmail.com 43 (44) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ (sin x + sin x cos x) + (cos5 x + sin x cos x) = sin x + cos x ⇔ sin x(sin x + cos x) + cos x(sin x + cos x) = sin x + cos x sin x + cos x = (sin x + cos x)(sin x + cos x − 1) = ⇔ sin x + cos x = Ta cã (5) ⇔ tan x = −1 ⇔ x = π (5) (6) + kπ k ∈ ℤ cos x ≤ cos x L¹i cã: ⇒ cos6 x + sin x ≤ sin x + cos x = sin x ≤ sin x Dâú đẳng thức xảy và sin x = cos x = sin x = π ⇔x=k Bëi thÕ (6) ⇔ k ∈ℤ cos x = VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x x + cos 2 − tan x sin x = + sin x + tan x − sin x sin (7) Gi¶i: §iÒu kiÖn: cos x ≠ Ta cã: sin x x x x x x + cos = (sin + cos )2 − 2sin cos = 2 2 2 1 + cos x = − sin x = 2 ⇒ x x + cos 2 = + cos x − sin x 2(1 − sin x) sin Thay vµo (7) ta thu ®−îc + cos x + sin x ⇔ − tan x sin x = + tan x 2(1 − sin x) + cos x + sin x ⇔ = + (1 + sin x) tan x 2(1 − sin x) hoangtrongnam2010@gmail.com 44 (45) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La + cos x (1 + sin x)(1 + tan x) ⇔ = 2(1 − sin x) + cos x (1 + sin x)(1 − sin x)(1 + tan x) ⇔ = 2(1 − sin x) 2(1 − sin x) ⇔ + cos x = (1 + sin x)(1 − sin x)(1 + tan x) ⇔ + cos x = (1 − sin x)(1 + tan x) ⇔ + cos x = cos x(1 + tan x) ⇔ + cos x = cos x + 2sin x) ⇔ = 2sin x ⇔ cos x = ⇔ x = π + kπ ⇔ x = π +k π k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ Dô 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: tan x + cot x + = sin x sin x (8) Gi¶i: Ta cã: 8 = = = (tan x + cot x)3 3 sin x (2sin x cos x) (sin x cos x) = tan x + cot x + 3tan x cot x(tan x + cot x) = tan x + cot x + Do vËy (8) ⇔ tan x + cot x + ⇔ sin x = tan x + cot x + sin x sin x = (v« nghiÖm ) sin 2x Vậy ph−ơng trình đã cho vô nghiệm Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ hữu hiệu có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải Vì để có thể sử dụng tốt ph−ơng pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu trên, đồng thời phải sử dụng đẳng thức cách linh ho¹t 2.4- Biến đổi ph−ơng trình l−ợng giác thành ph−ơng trình tích Cã rÊt nhiÒu c¸ch ®−a ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch ta cã thÓ sö dụng các phép biến đổi các dạng nh− sau: hoangtrongnam2010@gmail.com 45 (46) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos x D¹ng 4: Ph−¬ng ph¸p t¸ch hÖ sè D¹ng : Ph−¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn D¹ng 6: Ph−¬ng ph¸p nh©n Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp Ta ®−a ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ d¹ng f ( x1 ) = f ( x1 ) f ( xn ) = ⇔ f ( xn ) = đó các ph−ơng trình: f ( x1 ), , f ( xn ) là các ph−ơng trình có dạng chuẩn Sau ®©y ta xÐt tõng d¹ng 2.4.1- Ph−ơng pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích: VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: + cos x + cos x + cos3 x = (1) Gi¶i: Cách 1: Biến đổi tổng thành tích: Ta cã: (1) ⇔ (1 + cos x) ( cos3 x + cos x ) = ⇔ 2cos x + 2cos x.cos x = ⇔ (cos x + cos x)cos x = ⇔ 2cos 3x x cos cos x = 2 cos x = π π x = + kπ π x = + k cos x = x 2 ⇔ cos = ⇔ ⇔ ⇔ k ∈ℤ 3x cos = x π π π k x = + = + kπ 2 3x 3 cos = VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi ph−ơng trình chứa hàm l−ợng giác (1) ⇔ + cos x + 2cos x − + 4cos3 x − 3cos x = hoangtrongnam2010@gmail.com 46 (47) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ 4cos3 x + 2cos x − 2cos x = ⇔ (2cos x + cos x − 1)cos x = π π x = + kπ cos x = x = + kπ ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ⇔ x = π + kπ π 3 x = ± + k 2π cos x = k ∈ℤ VÝ Dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: + sin x + cos3 x = cos x + sin x + cos x (2) Gi¶i: Ta cã (2) ⇔ (1 − cos x) + sin x + (cos3 x − cos x) − sin x = ⇔ 2sin x + sin x − 2sin x sin x − 2sin x cos x = ⇔ (2sin x + − 4sin x cos x − 2cos x)sin x = ⇔ (2sin x + 1)(1 − 2cos x)sin x = π x = ± + k 2π cos x = x = kπ ⇔ sin x = ⇔ π x = − + k 2π sin x = − 7π x = + k 2π k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ Dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos3 x + cos x (3) Gi¶i: (3) ⇔ (sin x − cos x) + (sin x − cos x) + (sin x − cos3 x) + (sin x − cos x) = ⇔ (sin x − cos x) 1 + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x cos x ) + ( sin x + cos x ) = ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x cos x = (1) sin x − cos x = ⇔ + ( sin x + cos x ) + sin x cos x = (2) Gi¶i (1) ta ®−îc sin x = cos x ⇔ tan x = ⇔ x = π + kπ k ∈ ℤ hoangtrongnam2010@gmail.com 47 (48) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La t2 −1 Gi¶i (2): §Æt sin x + cos x = t | t |≤ (*) suy sin x cos x = Khi đó ph−ơng trình có dạng t = −1 t2 −1 + 2t + = ⇔ t + 4t + = ⇔ t = −3 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi sin x + cos x = −1 ⇔ sin( x + π ) = −1 ⇔ sin( x + π π π x + = − + k 2π x = − + k 2π ⇔ ⇔ π π x + = + k 2π x = π + k 2π π )=− k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2.4.2- Ph−ơng pháp biến đổi tích thành tổng VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x sin x + sin x sin x = (1) Gi¶i: Ta cã (1) ⇔ cos x − cos x + cos12 x − cos x = kπ x = 12 x = x + k 2π ⇔ cos12 x = cos x ⇔ ⇔ 12 x = −2 x + k 2π x = kπ k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 2: Gi¶iph−¬ngtr×nh: cos x + cos x + cos x = cos x cos x cos3 x + (2) Gi¶i: Ta cã: 4cos x cos x cos3 x = 2cos x 2(cos x cos3 x) = 2cos x ( cos x + cos x ) = 2cos 2 x + 2cos x cos x = + cos x + cos x + cos x Do vËy (2) ⇔ cos x + cos x + cos x = (1 + cos x + cos x + cos x) + ⇔ cos x + cos x + cos x = hoangtrongnam2010@gmail.com 48 (49) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La cos x = ⇔ cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = kπ k ∈ ℤ cos x = VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho cos x VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 2cos3 x + cos x + sin x = (1) (1) ⇔ 2cos3 x + 2cos x − + sin x = ⇔ 2(cos x + 1)cos x + sin x − = ⇔ 2(cos x + 1)(1 − sin x) + sin x − = ⇔ (1 − sin x) [ 2(cos x + 1)(1 + sin x) − 1] = ⇔ (1 − sin x) [1 + 2sin x cos x + 2(sin x + cos x) ] = ⇔ (1 − sin x) (sin x + cos x)2 + 2(sin x + cos x) = ⇔ (1 − sin x)(sin x + cos x)(sin x + cos x + 2) = 1 − sin x = ⇔ sin x + cos x = sin x + cos x + = sin x = ⇔ π sin( x + ) = (vn) π π x = + kπ x = + kπ ⇔ ⇔ π x + = kπ x = − π + kπ Gi¶i: 4 k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta lựa chọn phép biến đổi cos x = 2cos x − bëi hai nh©n tö cßn l¹i lµ 2cos3 x ( cos cã hÖ sè lµ 2) vµ sin x ( sin cã hÖ sè lµ 1),thùc hiÖn phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đ−a ph−ơng trình dạng tích Nh− tr−ờng hợp trái lại ta lựa chọn phép biến đổi cos x = − 2sin x hoangtrongnam2010@gmail.com 49 (50) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Cô thÓ ta xÐt vÝ dô sau: VÝ Dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2sin x − cos x + cos x = (2) Gi¶i: (2) ⇔ 2sin x − + 2sin x + cos x = ⇔ 2( sinx + 1) sin x + cosx − = ⇔ 2(sin x + 1)(1 − cos x) + cos x − = ⇔ [ 2( sinx + 1)(cosx + 1) − = 0] Ta cã: ⇔ (1 − cos x) (sin x + cos x) + 2(sin x + cos x) ⇔ (1 − cos x)(sin x + cos x)(sin x + cos x + 2) = 1 − cos x = sin x + cos x = sin x + cos x + = cos x = x = k 2π ⇔ ⇔ π π sin( x + ) = x = − + kπ (vn) k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Nhận xét: Nh− chúng ta đã có đ−ợcph−ơng pháp suy luận việc lựa chọn h−ớng biến đổi cos 2x Cuối cùng tr−ờng hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi cos x = cos x − sin x Cô thÓ ta xÐt vÝ dô sau: VÝ Dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x + cos3 x = cos x (1) Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ sin x + cos3 x = cos x − sin x ⇔ (cos x + sin x)(1 − cos x sin x + cos x − sin x) = (2) cos x + sin x = ⇔ 1 − cos x sin x + cos x − sin x = (3) Gi¶i (2): Ta ®−îc sin x = − cos x ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ k ∈ ℤ t2 −1 Giải (3): Ta đặt sin x − cos x = t | t |≤ , suy sin x cos x = hoangtrongnam2010@gmail.com 50 (51) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Khi đó (3) có dạng: 1− 1− t2 + t = ⇔ t + 2t + = ⇔ (t + 1)2 = ⇔ t = −1 ⇔ sin x − cos x = −1 ⇔ sin( x + π x = − + k 2π ⇔ sin( x + ) = − ⇔ x = π + k 2π π π ) = −1 k ∈ℤ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm 2.4.4- Ph−¬ng ph¸p t¸ch hÖ sè VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x + cos3 x + 2cos5 x = (1) Gi¶i (1) ⇔ ( cos5 x + cos x ) + (cos3 x + cos5 x) = ⇔ 2cos3 x cos x + 2cos x cos x = ⇔ (4cos3 x − 3cos x).cos x + cos x − cos3 x = ⇔ [(4cos x − 3)cos x + cos x] c os x = ⇔ {[2(1+ cos x) − 3]cos x + 2cos 2 x −1}.cos x = ⇔ (cos 2 x − cos x −1)cos x = π π cos x = x = + kπ x = + kπ α + 17 = cos 2α1 ⇔ x = α1 + k 2π ⇔ x = + kπ ⇔ cos x = x = α + k 2π α cos x = − 17 = cos 2α x = + kπ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x sin x = Giải Biến đổi ph−ơng trình dạng 5sin x = 3sin x ⇔ 2sin x = 3(sin x − s in x) ⇔ 2(3sin x − 4sin x) = 6cos x.sin x hoangtrongnam2010@gmail.com 51 k ∈ℤ (52) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ (3 − sin x − 3cos x)sin x = ⇔ 3 − (1− cos x ) − ( cos 2 x −1) sin x = ⇔ ( 3cos 2 x − cos x − ) sin x = cos x =1 cos x = − = cos 2α ⇔ cos x = − ⇔ sin x = cos x = x = ± 2α + k 2π x = ± α + kπ ⇔ ⇔ ( k ∈ ℤ) x = kπ x = kπ VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Chó ý:Ta còng cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch dÇn sin x = 3sin x − 4sin x sin x = sin( x + x) = sin x.cos x + sin x.cos x = sin x.cos x + 2cos x.sin x.cos x = sin x.cos x + 4cos x.sin x.cos x 2.4.5- Ph−¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( sin x + 3) sin x x − ( sin x + 3) sin + 1= (1) 2 Gi¶i Ta cã thÓ lùa chän c¸ch sau C¸ch 1: Ph−¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn §Æt t = sin x ®iÒu kiÖn ≤ t ≤ Khi đó (1) có dạng ( sin x + 3) t − ( sin x + 3) t +1= Ta cã ∆ = ( sin x + 3) − ( sin x + 3) = ( sin x + 3)( sin x −1) ≤ ( sin x ≤ ) Do đó ph−ơng trình đ−ợc chuyển thành hoangtrongnam2010@gmail.com 52 (53) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ∆ = sin x −1= sin x =1 b ⇔ 2x ⇔ 1− cos x =1 t = − 2a sin = ⇔ sin x =1 ⇔ x = π + kπ ( k ∈ ℤ ) C¸ch 2: Ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch (1) x x ⇔ sin −1 ( sin x + 3) sin +1= x x ⇔ − ( sin x + 3) sin cos + 1= 2 ⇔ (sin x −1)(sin x + 4sin x + 4) = ⇔ (sin x −1)(sin x + 2) = ⇔ sin x =1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ ℤ) VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 32sin x − + ( 3sin x − 10 ) 3sin x − + − sin x = Gi¶i §Æt t = 3sin x − , t > Khi đó ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với 3t + ( 3sin x −10 ) t + − sin x = ∆ = ( 3sin x −10 ) − 4.3 ( − sin x ) = ( 3sin x − ) -Víi t = 3sin x − = t= ⇒ t = − sin x ta ®−îc π ⇔ sin x − = − ⇔ sin x =1 ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) -Víi t = − sin x ta ®−îc 3sin x −2 = − sin x Ta ®o¸n ®−îc nghiÖm sin x = vµ 30 = − Vì VT là hàm đồng biến còn VP là hàm nghịch biến, sin x = là nghiệm nhÊt cña ph−¬ng tr×nh Nh−ng ph−¬ng tr×nh sin x = v« nghiÖm VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 53 (54) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 2.4.6- Ph−¬ng ph¸p nh©n VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2cos x − 8cos x + = cos x (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: cos x ≠ Nh©n c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (1) víi cos x ≠ ta cã 2cos x.cos x − 8cos x + cos x =1 ⇔ 2cos x(2cos x −1) − 8cos x + cos x =1 ⇔ 4cos3 x − 8cos x + 5cos x −1= ⇔ (cos x −1)(4cos x − 4cos x +1) = x = k 2π cos x =1 ⇔ (cos x −1)(2cos x −1) = ⇔ (k ∈ℤ) π ⇔ cos x = x = ± + k 2π C¸c hä nghiÖm trªn tháa m·n ®iÒu kiÖn VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin 5x x = 5cos3 x sin 2 ( 2) Gi¶i x x x +) Víi cos = ta ®−îc cos x = 2cos −1= − vµ sin = ± ⇒ VP = ± 2 Khi đó ph−ơng trình (2) có dạng: sin 5x = ± v« nghiÖm x x π +)Víi cos ≠ ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠ π + k 2π ( k ∈ ℤ ) 2 (*) x Nh©n c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (2) víi cos ≠ ta ®−îc 2sin 5x x x x cos = 10cos3 x sin cos 2 2 hoangtrongnam2010@gmail.com 54 (55) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ sin x + sin x = 5cos3 x sin x ⇔ 3sin x − 4sin x + 2sin x.cos x = 5cos3 x sin x ⇔ 3sin x − 4sin x + 2sin x.cos x = 5cos3 x sin x ⇔ (3 − 4sin x + cos x − 5cos3 x)sin x = ⇔ (5cos3 x − 4cos x − 2cos x +1)sin x = 5cos x + cos x −1= ⇔ (5cos x + cos x −1)(cos x −1)sin x = ⇔ cos x −1= sin x = 1− 21 = cos α cos x = 10 1+ 21 ⇔ cos x = = cos β ⇔ 10 sin x = x = ± α + k 2π ( *) ⇔ x = ± β + k 2π ( k ∈ ℤ ) x = 2kπ x = ± α + k 2π x = ± β + k 2π x = kπ 2.4.7- Sử dụng các phép biến đổi VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos10 x + 2cos x + 6cos3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 x Gi¶i Biến đổi ph−ơng trình dạng cos10 x +1+ cos8 x = cos x + 2(4cos3 x − 3cos3 x)cos x ⇔ 2cos9 x.cos x +1= cos x + 2cos9 x.cos x ⇔ cos x =1 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 55 (56) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x + sin x + cos x = ( 2) Gi¶i ( 2) ⇔ cos x + cos x + sin x.sin x = ⇔ (cos x + 1)(1− cos x)sin x = ⇔ (cos x +1)[cos x + (1− cos x ) sin x] = cos x =1 ⇔ sin x + cos x − sin x.cos x =1 Gi¶i (1): Ta ®−îc (1) ( 2) x = π + k 2π , k ∈ ℤ t −1 Gi¶i (2): §Æt sin x + cos x = t , t ≤ ⇒ sin x.cos x = t −1 = ⇔ t − 2t − 1= ( 2) ⇔ t − t =1 − ⇔ ⇔ sin x + cos x =1− t =1+ ( loai ) π π 1− 2 sin x + = 1− ⇒ sin x + = = sin α 4 4 π π x + = α + k 2π x = α − + k 2π ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) x + π = π − α + k 2π x = 3π − α + k 2π ⇔ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos3 x + sin x = cos x + sin x + sin x (3) Gi¶i ( 3) ⇔ (cos x + sin x)(1− cos x.sin x) = cos x + sin x + sin x ⇔ (cos x + sin x)sin x = sin x ⇔ (cos x + sin x − 2)sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k π (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 56 (57) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 2.5- Biến đổi ph−ơng trình l−ợng giác thành tổng các đại l−ợng không âm Ph−ơng pháp: Ta cần nhớ các đại l−ợng không âm l−ợng giác, bao gồm A2 , B , 1± cos x, 1± sin x đó để sử dụng ph−ơng pháp này giải PTLG ta thực theo c¸c b−íc sau B−ớc 1: Biến đổi phh−ơng trình ban đầu dạng A1 + A2 + + An = (1) B−íc 2: Dïng lËp luËn Ai ≥ 0, ∀ i =1, n B−ớc 3: Khi đó A1 = A =0 (1) ⇔ : An = (I ) B−íc 4: Gi¶i hÖ ( I ) VÝ Dô Minh Häa: VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x + cos x = sin 12 x + sin 16 x + (1) Gi¶i (1) ⇔ 1− sin x +1 − sin x + = sin 12 x + sin 16 x + ⇔ sin x + sin x + sin 12 x + sin 16 x = sin x = sin x = ⇔ sin12 x = sin16 x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k π (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 57 (58) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x − cos x + 4(3sin x − 4sin x +1) = ( ) Gi¶i Ta cã: ( 2) ⇔ cos x − cos x + 4sin x + = ⇔ (1+ cos x) + (1− cos x) + 4sin x + = ⇔ 2cos x + 2sin 3 x + 4sin x + = π x = + kπ cos x = ⇔ ⇔ sin x = x = 3π + kπ cos x + (sin x +1) = ⇔ ⇔ x= π + kπ (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4cos x + 3tan x − cos x + tan x + = ( 3) Gi¶i NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy ph−¬ng tr×nh trªn cã h¹ng tö cos x, cos x, tan x, tan x vËy th× ta có thể biến đổi ph−ơng trình dạng tổng bình ph−ơng hai biểu thức Gi¶i Ta cã: ( 3) ⇔ (4cos x − ( ⇔ 2cos x − 3 cos x + 3) + (3tan x + tan x + 1) = ) +( ) tan x + = cos x = 2cos x − = ⇔ ⇔ tan x + 1= tan x = − π x = ± + k 2π π ⇔ ⇔ x = − + k 2π x = − π + kπ (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh hoangtrongnam2010@gmail.com 58 (59) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La tan x −1 + cot x −1 = ( 4) sin x Gi¶i tan x > §iÒu kiÖn: cot x > sin x ≠ C¸ch 1: ( tan x + cot x ) ⇔ [(tan x −1) − tan x −1 +1] + [(cot x −1) − cot x −1 + ] = ( 4) ⇔ tan x −1 + cot x −1 = ⇔ ( tan x −1 −1) + ( cot x −1 − 1) = tan x −1 −1= ⇔ ⇔ tan x = cot x = cot x − − = ⇒ tan x.cot x = (m©u thuÉn) VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta đ−ợc 1+ tan x −1 tan x 1(tan x − 1) ≤ = 2 1(cot x −1) ≤ 1+ co t x −1 = co t x 2 1 ⇒ tan x −1 + cot x −1 ≤ (tan x + cot x) = sin x Do vËy tan x −1 =1 ( 4) ⇔ cot x −1 =1 ⇔ tan x = cot x = (m©u thuÉn) VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm VÝ dô 5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh tan x + tan y + cot ( x + y ) =1 ( 5) Gi¶i.Ta cã hoangtrongnam2010@gmail.com 59 (60) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 1− tan x.tan y cot( x + y ) = tan x + tan y ⇒ (tan x + tan y )cot( x + y ) =1− tan x.tan y ⇔ tan x.tan y + tan x.cot( x + y ) + tan y.cot( x + y ) =1 ( *) Do vËy ( 5) ⇔ tan x + tan y + cot ( x + y ) = tan x.tan y + tan x.cot( x + y ) + tan y.cot( x + y ) ⇔ [(tan x + tan y )2 + (tan x − cot ( x + y ))2 + (tan y − cot( x + y ))2 ] = ⇔ tan x = tan y = cot ( x + y ) ( 6) Tõ (5) vµ (6) ta cã: tan x = tan y = cot ( x + y ) = ± π x = − + kπ y = − π + kπ π x = + kπ y = π + kπ hoÆc VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Chó ý: Víi mäi x, y lµm tan x, tan y, tan ( x + y ) cã nghÜa ta lu«n cã tan x.tan y + tan x.cot ( x + y ) + tan y.cot ( x + y ) =1 VÝ dô 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh y 4sin x − 21+ sin x.cos ( xy ) + = (6) Gi¶i ( 6) ⇔ sin x (2 ) − 2.2sin x.cos ( x y ) +1−1+ = y ⇔ ( 2sin x −1) + (2 −1) = y 2sin x =1 sin x = x = kπ ⇔ y ⇔ ⇔ y =0 y =0 2 =1 (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 60 (61) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Nhận xét: Để giải ph−ơng trình l−ợng giác ph−ơng pháp này đòi hỏi học sinh phải có t− duy, nhận xét qua bài toán xem có thể đ−a đẳng thức số hạng nào đó không âm Với ph−ơng pháp này có tác dụng tích cực tới t− sáng tạo cho học sinh 2.6- Giải ph−ơng trình l−ợng giác ph−ơng pháp đánh giá Ph−¬ng ph¸p: XÐt ph−¬ng tr×nh f ( x ) = g ( x ) x ∈ D (1) Nếu ∀x∈ D, f ( x ) ≥ k và g ( x ) ≤ k , k là số nào đó thì ph−ơng trình trên t−ơng f ( x ) = k ®−¬ng víi h Ö g ( x ) = k ( 2) Nh− ta quy −ớc việc giải PTLG (1) giải hệ PTLG (2) Để đánh giá ph−ơng tr×nh ta dùa trªn c¸c d¹ng sau: D¹ng 1: TÝnh chÊt cña hµm sè l−îng gi¸c vµ biÓu thøc l−îng gi¸c D¹ng 2: PTLG d¹ng Pitago Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Bunhicôpski Sau ®©y ta ®i xÐt tõng d¹ng 2.6.1- TÝnh chÊt cña hµm sè l−îng gi¸c vµ biÓu thøc l−îng gi¸c ( ) VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin x + cos x sin x = (1) Gi¶i | sin x + cos x |≤ Ta cã nhËn xÐt ⇒ (sin x + cos x)sin x ≤ sin x ≤ Do đó ph−ơng trình (1) t−ơng d−ơng với sin x + cos x = sin x =1 sin x + cos x = −2 sin x = − π sin( x + ) =1 sin x =1 ⇔ sin( x + π ) = − sin x = −1 π x = + k 2π sin x =1 ⇔ x = − 5π + k 2π sin x = − hoangtrongnam2010@gmail.com 61 (62) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ π x = + k 2π π ⇔ x = + kπ x = − 5π + k 2π (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + cos x (2) Gi¶i ( 2) ⇔ (1− 2sin x)sin x − ( 2cos x −1)cos8 x = cos x ⇔ cos x.sin x − cos x.cos8 x = cos x cos x = ⇔ (sin x − cos x) c os x = cos x ⇔ sin x − cos8 x = ( 3) Gi¶i (3) ta ®−îc x = π + kπ ⇔ x = π +k π ( 4) (k ∈ ℤ) Gi¶i (4): Ta cã nhËn xÐt VT = sin x − cos8 x ≤ sin x ≤ ⇒ ( ) v« nghiÖm VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm NhËn xÐt: HÇu hÕt c¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c ë d¹ng ban ®Çu chóng ta ch−a thÓ kh¼ng định đ−ợc nó có thuộc loại đánh giá hay không Tất đ−ợc khẳng định sau biến đổi l−ợng giác mà chúng ta đã biết VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3.sin x − 2log sin x +1 = log (sin x +1) − log sin x (3) Gi¶i §iÒu kiÖn sin x > Ta thÊy 2log sin x +1 = 2.2log sin x = 2sin x hoangtrongnam2010@gmail.com 62 (63) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La sin x +1 Ta cã ( 3) ⇔ 3.sin x − 2log sin x +1 = log (4) sin x Víi ∀ sin x > ta cã sin x + 1≥ 2sin x ⇔ sin x + sin x +1 ≥ ⇔ log ≥1 sin x sin x ( 5) DÊu “=” x¶y vµ chØ sin x + cos x (sin10 x + cos10 x) = (1) sin x + 1= 2sin x 2 sin x + 4cos x ⇔ sin x =1 (*) ⇔ (sin x −1)2 = Tõ (4) vµ (5) ⇒ 3sin x − 2sin x ≥ ⇔ 2sin x − 3sin x + ≤ ⇔ (sin x − 1)2 (2sin x + 1) ≤ (6) Do sin x ≥ ⇒ 2sin x + ≥ đó (6) ⇔ (sin x − 1) ≤ sin x = 1⇔ x = Tõ (*) vµ (**) ta suy x = π π + k 2π (k ∈ ℤ) (**) + k 2π (k ∈ ℤ) là họ nghiệm ph−ơng trình đã cho 2.6.2 Ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c d¹ng Pitago 2.6.3 VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin10 x + cos10 x = sin x + cos x (1) sin 2 x + 4cos 2 x Gi¶i: Ta cã nhËn xÐt : − sin x (sin x + cos x) − 3sin x.cos x VP= = = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x − 3sin x 2 cos10 x ≤ cos x 1 10 10 2 MÆt kh¸c: 10 ⇒ VT = (sin x + cos x ) ≤ (sin x + cos x ) = 4 sin x ≤ sin x hoangtrongnam2010@gmail.com 63 (64) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La cos x = 10 cos x = cos x cos x = ± Do đó: (1) ⇔ VT = ⇔ 10 ⇔ sin x = sin x sin x = sin x = ±1 cos x = π ⇔ ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k (k ∈ ℤ) sin x = Nh− vËy b»ng nhËn xÐt cos n x ≤ cos x , sin n x ≤ sin x ( n ≥ 2, n ∈ ℕ ) vµ ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n mét c¸ch dÔ dµng VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin 2007 x + cos 2008 x =1 Gi¶i: Ta cã: sin x ≤1 ⇒ sin x ≤ sin x ≤1⇒ sin x ≤ sin x ≤1 ⇒ sin 2007 x ≤ sin x (a) MÆt kh¸c ta còng cã: cos x ≤1 ⇒ cos x ≤ cos x ≤1 ⇒ cos x ≤ cos x ≤1 ⇒ cos 2008 x ≤ cos x (b) Tõ (a) vµ (b) ⇒ sin 2007 x + cos 2008 x ≤ sin x + cos x = sin x = sin x = sin x sin x =1 DÊu “=” x¶y ⇔ ⇔ ⇔ cos x = cos x = cos x cos x =1 x = kπ sin x = k ∈ℤ sin x =1 ⇔ π x = + k π 2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Cosi: VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x + cos8 x = (1) Gi¶i: Cách 1: Sử dụng giải PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng sin x ,cos x hoangtrongnam2010@gmail.com 64 (65) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Ta cã: sin x + cos8 x = (sin x + cos x) − 2sin x cos x = (sin 2 x + cos 2 x) − 2sin 2 x cos 2 x − 2sin x cos x 1 = (1 − sin x)2 − sin 4 x = sin 4 x − sin 4 x + 8 1 Lúc đó (1) ⇔ sin 4 x − sin 4 x + 1= ⇔ sin 4 x − 8sin x + = 8 sin x = ⇔ cos x = sin x = ( ) π π π (k ∈ ℤ) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cosi ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = +k Ta cã nhËn xÐt 4 cos x + ( ) + ( ) + ( ) ≥ cos 2 x 2 2 sin x + ( ) + ( ) + ( )4 ≥ sin 2 x 2 2 1 Céng vÕ víi vÕ ⇒ sin x + cos8 x + ( ) ≥ (sin 2 x + cos 2 x) 2 ⇔ sin x + cos8 x ≥ cos x = ( ) Do đó: (1) ⇔ ⇔ sin 2 x = cos 2 x = ⇔ cos x = sin x = ( ) ⇔ 4x = π + kπ ⇔ x = π +k π ( k ∈ℤ ) VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (tan x + cot x ) n = sin n x + cos n x Gi¶i: n ≥ 2, n ∈ ℕ (2) cos x ≠ π §iÒu kiÖn: ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ⇔ x ≠ k , k ∈ ℤ sin x ≠ hoangtrongnam2010@gmail.com 65 (66) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La +) Với n = ph−ơng trình đã cho trở thành (tan x + cot x )2 = sin x + cos x = 1 Ta cã: (tan x + cot x )2 = tan x + cot x + ≥ DÊu “=’’ x¶y ra: ⇔ tan x = cot x ⇔ tan x = ± = ± tan α ⇔ x = ± α + kπ (k ∈ℤ) +) Víi n ≥ ta cã | tan x + 1 cot x | n = (| tan x | + | cot x |) n ≥ 4 (Theo bÊt d¼ng thøc Cosi) MÆt kh¸c: ∀ n > th× |sin n x | ≤ sin x ⇒ |sin n x | + | cos n x | ≤ n | cos x | ≤ cos x Do đó: |sin n x + cos n x | ≤ |sin n x | + | cos n x | ≤ ≤ | tan x + cot x |n DÊu “=” x¶y x = kπ n | sin x | = sin x x = π + kπ n ⇔ | cos x | = cos x ⇔ 1 | tan x | = | cot x | | tan x |= | cot x | HÖ nµy v« nghiÖm Vậy ph−ơng trình đã cho có hai họ nghiệm 2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin x + − sin x + sin x − sin x = (1) Gi¶i: Ta cã: hoangtrongnam2010@gmail.com 66 (67) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La VT = (1.sin x + − sin x + sin x − sin x ) ≤ ≤ (1 + − sin x + sin x ) ( sin x + 1+ − sin x ) = ⇒ VT ≤ VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ⇔ sin x = ⇔ x = π + kπ ( k ∈ ℤ ) VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : tan x + tan 2 x + cot x = Gi¶i: cos x ≠ sin x ≠ §iÒu kiÖn cos x ≠ ⇔ sin x ≠ cos3 x ≠ − Ta cã: tan (2 x + x ) = tan x + tan x = − tan x tan x cot x ⇔ tan x tan x + tan x cot x + cot x.tan x = Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có = tan x tan x + tan x cot x + cot x.tan x ≤ tan x + tan 2 x + cot x DÊu “=” x¶y ⇔ tan x = tan x = cot x tan x = tan x tan x = tan x ⇔ ⇔ 1 − tan x cot x = tan x cot x = tan x tan x = x = kπ ⇔ ⇔ cot x = cot x = Hệ ph−ơng trình trên vô nghiệm Vậy ph−ơng trình đã cho vô nghiệm 2.7- Dïng ph−¬ng ph¸p kh¶o s¸t hµm sè hoangtrongnam2010@gmail.com 67 (68) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Ph−ơng pháp này ta dùng tính chất biến thiên ( đồng biến hay nghịch biến) và cực trị hàm số để tìm nghiệm ph−ơng trình Để hiểu rõ vấn đề này ta xét sè vÝ dô cô thÓ x2 π VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: − = cos x (1) ≤ x ≤ 2 x2 Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với − − cos x = XÐt hµm sè f ( x) = − x2 − cos x ⇒ f ( x)' = − x + sin x ⇒ f ( x)" = −1+ cos x ≤ π ∀x∈ ; B¶ng biÕn thiªn x f ( x)' f ( x)'' f ( x) π − 1− Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta suy 1− π π2 π f ( x) ≤ ∀ x ∈ ; DÊu “=” x¶y ⇔ x = Vậy ph−ơng trình đã cho có nghiệm x = VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1= sin x.2cos x + sin 2 x + cos x (2) Gi¶i: Ta cã : (2) ⇔ 2sin x.2cos x + sin 2 x − 2(1 − cos x) = hoangtrongnam2010@gmail.com 68 (69) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La ⇔ (1 − cos x)( 2cos x + (1 − cos 2 x) − 2(1 − cos x) = ⇔ (1 − cos x) 2cos x + (1 + cos x) − = ⇔ (1 − cos x)(2cos x + cos x − 1) = 1 − cos x = ⇔ cos x + cos x − = 2 (2) (3) Ta cã: (2) ⇔ cos x =1⇔ x = k 2π ⇔ x = kπ §Æt cos x = t ( k ∈ℤ ) (4) t ≤ ph−¬ng tr×nh (3) trë thµnh f (t ) = 2t + t − = Rõ ràng f (t ) là hàm số đồng biến trên ℝ Lại có f (0) = ⇒ t = là nghiệm cña (3) trªn [ −1; 1] Víi t = ta suy cos x = ⇔ x = π + kπ ⇔ x = π +k π (k ∈ ℤ ) (5) Từ (4) và (5) suy ph−ơng trình đã cho có hai tập nghiệm VÝ dô 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : log 2+sin x (4 + sin x) = log (1) Gi¶i: Ta cã: log (4 + sin x) = log ⇔ log (4 + sin x) = log 5.log (2 + sin x) log (2 + sin x) ⇔ log ( + sin x ) = log (2 + sin x) (1) ⇔ §Æt log ( + sin x ) = log (2 + sin x) = t t + sin x = Lúc đó ta có: t + sin x = (2) ⇒ = 5t − 3t ⇔ 2( )t + ( )t = (3) 5 XÐt hµm sè f (t ) = 2( )t + ( )t Ta thÊy r»ng f (t ) lµ hµm nghÞch biÕn trªn ℝ vµ 5 f (1) = ⇒ t = lµ nghiÖm nhÊt cña ph−¬ng tr×nh (3) hoangtrongnam2010@gmail.com 69 (70) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La π Víi t = thÕ vµo (2) ta cã sin x =1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ ℤ) VËy ph−¬ng tr×nh cã hä nghiÖm nhÊt Nhận xét: Ph−ơng trình f ( x) = m đó f ( x ) là hàm đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên miền xác định ph−ơng trình , có nghiệm thì nghiệm đó là Ph−ơng trình f ( x) = g ( x) đó trên miền xác định ph−ơng trình ,2 hàm số f ( x ) và g ( x ) có tính đồng biến và nghịch biến trái ng−ợc ,nếu có nghiệm thì nghiệm đó là n n VÝ dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh : sin x + cos x =2 2− n n víi ≤ x ≤ π ,n > Gi¶i: n n XÐt hµm sè f ( x) = sin x + cos x =2 2− n n víi ≤ x ≤ π ,n > Ta cã f ( x)' = n sin n−1 x cos x − n sin x cos n−1 x = n sin x.cos x(sin n−2 x − cos n−2 x) f ( x)' = ⇔ sin n−2 x − cos n−2 x = ⇔ x = π B¶ng biÕn thiªn: x f ( x)' f ( x) π π − + 1 π Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ⇒ f ( x) ≥ f ( ) = Từ đó ta có f ( x) = 2− n ⇔x= 2− n 2− n π ∈ 0; 2 π VËy ph−¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm nhÊt lµ: x = hoangtrongnam2010@gmail.com π 70 (71) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Nhận xét : Với ph−ơng pháp khảo sát hàm số ta th−ờng áp dụng để chứng minh nghiệm ta có thể nhẩm nghiệm là dựa vào bảng biến thiên để suy nghiệm ph−ơng trình Do đòi hỏi học sinh cần tinh ý xem bài toán nào nên áp dụng ph−ơng pháp này Đặc biệt ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc áp dụng để tìm nghiệm PTLG dạng đại số 2.8- BiÖn luËn ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c chøa tham sè Cũng nh− ph−ơng trình có chứa tham số khác ,việc giải và biện luận PTLG cã chøa tham sè còng rÊt quan träng ch−¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng còng nh− các đề thi Đại Học.Th−ờng thì các bài toán l−ợng giác chứa tham số yêu cầu tìm điều kiện tham số để ph−ơng trình có nghiệm tìm điều kiện tham số để ph−ơng trình có n nghiệm thuộc khoảng D nào đó Để có cái nhìn tổng quan ph−ơng pháp gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta sÏ xÐt tõng d¹ng Dạng 1: Tìm điều kiện để ph−ơng trình có nghiệm x∈ D Cho ph−¬ng tr×nh Q (m , x) = (1) phô thuéc vµo tham sè m , x ∈ D Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm Cách 1: Ph−ơng pháp đạo hàm B−ớc 1: Đặt ẩn phụ t = h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp ph−ơng tr×nh (1) B−ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị cña t lµ D1 B−íc 3: §−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ ph−¬ng tr×nh f ( m , t ) = B−íc 4: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f ( m , t ) trªn miÒn D1 B−ớc 5: Căn vào bảng biến thiên và kết b−ớc mà các định giá trị m C¸ch 2: Ph−¬ng ph¸p tam thøc bËc hai ( ¸p dông ®−a Q ( m , x ) vÒ d¹ng tam thøc bËc hai ) B−ớc 1: Đặt ẩn phụ t = h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp ph−ơng tr×nh (1) hoangtrongnam2010@gmail.com 71 (72) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La B−ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị cña t lµ D1 B−íc 3: §−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ ph−¬ng tr×nh f ( m , t ) = a t + bt + c = B−ớc 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f ( m, t ) có nghiệm t ∈ U B−íc 5: KÕt luËn π Ví dụ 1: Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm x∈ 0; 4 m cos x − 4sin x.cos x + m − = (1) Gi¶i: π Víi x∈ 0; ⇒ cos x ≠ 4 Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho cos x ≠ ta ®−îc m − tan x + (m − 2) (1 + tan x) = ⇔ (m − 2) tan x − tan x + 2m − = (2) π §Æt t = tan x v× x∈ 0; nªn t ∈ ( 0; 1) ta ®−îc 4 (m − 2) t − t + 2m − = ( 3) π Khi đó (1) có nghiệm x∈ 0; và (3) có nghiệm t ∈ ( 0; 1) 4 Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau hoangtrongnam2010@gmail.com 72 (73) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Cách 1: +) Với m − = ⇔ m = 2, đó (3) có dạng ∈ ( ; 1) Vậy m = thỏa mãn đề bài −4t +2 = ⇔ t = +)Với m − ≠ ⇔ m ≠ đó (3) có nghiệm t ∈ ( 0; 1) ⇔ (3) cã nghiÖm ∈ ( 0; 1) hoÆc (3) cã nghiÖm ∈ ( 0; 1) (3m − 8)(2m − 2) < f (1) f (2) < ∆ ' ≥ −2 m + m ≥ (3m − 8)(m − 2) > af (1) > ⇔ ⇔ ⇔1 < m < (m − 2)(2m − 2) > af (0) > S 0 < <1 0 < < m−2 VËy víi < m < π ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x∈ 0; 4 2t + 4t + C¸ch 2: ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng : =m t2 + π Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x∈ 0; 4 2t + 4t + ⇔ đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = trªn ( ;1) t2 + 2t + 4t + XÐt hµm sè (C) y = trªn ( ;1) t2 + −4t + 4t + −4(t + 1)(t − 2) §¹o hµm y ' = = > ∀ t ∈( 0;1) (t + 2) (t + 2)2 tức là hàm số đồng biến trên ( ;1) Do đó đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số(C) trên khoảng ( ;1) ⇒ y (0) < m < y (1) ⇔ 1< m < VËy víi 1< m < 8 π ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x∈ 0; 4 Ví dụ 2: Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm hoangtrongnam2010@gmail.com 73 (74) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin x = m (1) Gi¶i: Ta đã có: sin x + cos x =1 − sin 2 x sin x + cos x =1 − sin 2 x 2 sin x = 4sin x − 4sin x Do đó ph−ơng trình đ−ợc biến đổi dạng 4(1 − sin x) − 4(1 − sin 2 x) − ( 4sin 2 x − 4sin x ) = m ⇔ 4sin x − sin 2 x = m §Æt t = sin x ≤ t ≤ Khi đó ph−ơng trình có dạng 4t − 3t = m (2) C¸ch 1: ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ⇔ (2) cã nghiÖm ∈ [ ; 1] ⇔ (2) cã nghiÖm hoÆc (2) cã nghiÖm ∈ [ ; 1] f (0) f (1) ≤ ∆ ' ≥ af (0) ≥ ⇔ ⇔ af (1) ≥ S 0 ≤ ≤ VËy víi − −m(1 − m) ≤ 0 ≤ m ≤ 9 + 16m ≥ −m ≥ ⇔ ⇔ − ≤ m ≤1 − ≤ m ≤ 16 16 1 − m ≥ 0 ≤ ≤ ≤ m ≤ th× ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm 16 Cách 2: Ph−ơng trình (1) có nghiệm ⇔ đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = 4t − 3t trªn ®o¹n [ 0;1] XÐt hµm sè y = 4t − 3t trªn ®o¹n [ 0;1] §¹o hµm y ' = 8t − , y ' = ⇔ t = B¶ng biÕn thiªn hoangtrongnam2010@gmail.com 74 (75) t Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La −∞ +∞ y' − y + − Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta ®−îc ®iÒu kiÖn − VËy víi − 16 ≤ m ≤1 16 ≤ m ≤ th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 16 VÝ dô 3: Cho ph−¬ng tr×nh cos x = m + tan x cos x (1) π Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm thuộc 0; Gi¶i: cos x ≠ §iÒu kiÖn (*) tan x ≥ − 1− t2 §Æt t = tan x th× cos x = vµ cos x = 1+ t 1+ t2 1− t2 = m + t ⇔ 1− t2 = m 1+ t Khi đó ph−ơng trình có dạng 2 1+ t 1+ t π V× x ∈ 0; suy t ∈0 ; Do + t > nªn ph−¬ng tr×nh ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng (1 − t ) + t = m π §Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x ∈ 0; th× ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm hoangtrongnam2010@gmail.com 75 (76) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La t ∈0 ; 0 ; , suy đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = (1 − t ) + t trên đoạn XÐt hµm sè y = (1 − t ) + t trªn D = ; §¹o hµm y' = − 1+ t + 1− t −2(1 + t ) + − t −3t − = = < ∀t ∈ D 1+ t 1+ t 1+ t ⇒ Hµm sè nghÞch biÕn Do đó điều kiện là f ( 3) ≤ m ≤ f (0) ⇔ (1 − 3) + ≤ m ≤ Vậy với (1 − 3) + ≤ m ≤ thoả mãn điều kiện đề bài Nhận xét: Với bài toán dạng này chúng ta cần phải nhớ đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ từ đó ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu Dạng 2: Tìm điều kiện để ph−ơng trình có k nghiệm thuộc D Cho ph−¬ng tr×nh Q (m , x) = (1) phô thuéc vµo tham sè m , x ∈ D Tìm m để ph−ơng trình có k (k ≥ 1) nghiệm thuộc D C¸ch gi¶i: Cách 1: Ph−ơng pháp đạo hàm B−ớc 1: Đặt ẩn phụ t = h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp ph−ơng tr×nh B−ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị cña t lµ U B−íc 3: §−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ ph−¬ng tr×nh f ( m , t ) = B−íc 4: T×m mèi t−¬ng quan vÒ sè l−îng t ∈ U vµ x ∈ D ph−¬ng tr×nh t = h( x) Hay nãi cô thÓ h¬n lµ xÐt xem víi mçi to ∈U ph−¬ng tr×nh to = h( x) cã bao nhiªu nghiÖm x ∈ D B−íc 5: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f ( m, t ) trªn miÒn U B−ớc 6: Căn vào bảng biến thiên và kết b−ớc mà xác định giá trị m C¸ch 2: Ph−¬ng ph¸p tam thøc bËc hai hoangtrongnam2010@gmail.com 76 (77) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La B−ớc 1: Đặt ẩn phụ t = h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp ph−ơng tr×nh B−ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị cña t lµ U B−íc 3: §−a ph−¬ng tr×nh vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai theo t B−íc 4: T×m t−¬ng quan vÒ sè l−îng t ∈ U vµ x ∈ D ph−¬ng tr×nh t = h( x) Hay nãi cô thÓ h¬n lµ xÐt xem víi mçi to ∈U ph−¬ng tr×nh to = h( x) cã bao nhiªu nghiÖm x ∈ D B−ớc 5: Giải bài toán tìm điều kiện để tam thức f ( m, t ) có đủ nghiệm t ∈U gây nªn k nghiÖm x ∈ D Chó ý: Gäi k lµ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Q ( x) trªn D, m lµ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh t = h( x) trªn D, n lµ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f (t ) trªn U th× k = m.n VÝ dô 1: Cho ph−¬ng tr×nh cos3 x −sin x = m (1) π π Xác định m để ph−ơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt x ∈ − ; 4 Gi¶i: Ta cã : (1) ⇔ (cos x − sin x)(1 + cos x sin x) = m §Æt t = cos x − sin x = cos( x + Víi − π <x< π ⇒ 0< x+ π < π π ) ⇒ sin x = − t ⇒ < cos( x + π ) <1 ⇒ < t < Khi đó ph−ơng trình (1) trở thành t 1 + (1 − t ) = m ⇔ 3t − t = 2m ( ) Ta nhËn thÊy víi mçi mét gi¸ trÞ cña t ∈ 0; th× ph−¬ng tr×nh t = cos( x + π π đúng nghiệm x ∈ − ; 4 hoangtrongnam2010@gmail.com 77 π ) cã (78) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La π π Do đó (1) có đúng nghiệm phân biệt x ∈ − ; thì (2) có đúng nghiệm 4 ( t ∈ 0; ) ( XÐt hµm sè f (t ) = 3t − t víi t ∈ 0; f (t )' = − 3t ) f (t )' = ⇔ t = ±1 B¶ng biÕn thiªn t f (t )' − + f (t ) ( Dựa vào bảng biến thiên suy (2) có đúng nghiệm t ∈ 0; ⇔ < 2m < ⇔ ) < m <1 VËy c¸c gi¸ trÞ cña m cÇn t×m lµ < m <1 VÝ dô 2: Cho ph−¬ng tr×nh (3 + 2) tan x + (3 − 2) tan x = π π Tìm m để ph−ơng trình có đúng nghiệm ∈ − ; 2 Gi¶i : §iÒu kiÖn cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ k ∈ℤ Ta thÊy (3 + 2) tan x (3 − 2) tan x = Do đó đặt t = (3 + 2) tan x t > thì (3 − 2) tan x = hoangtrongnam2010@gmail.com t 78 (79) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Khi đó ph−ơng trình có dạng t + = m ⇔ t − mt + = t π π Cách 1: Để ph−ơng trình có đúng nghiệm ∈ (− ; ) 2 m2 − > ∆ > ⇔ (2) cã nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt ⇔ af (0) > ⇔ 1 > ⇔m>2 S / > m / > VËy víi m > th× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi π π Cách 2: Để ph−ơng trình có đúng nghiệm ∈ (− ; ) 2 ⇔ đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = t + XÐt hµm y = t + trªn (0; +∞) t¹i ®iÓm ph©n biÖt t trªn D = (0; +∞) t §¹o hµm y ' = − 1 ⇒ y ' = ⇔ − = ⇔ t = ±1 t t B¶ng biÕn thiªn : t −∞ y' y +∞ − + −∞ +∞ Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy m > tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n 3π VÝ dô 3: BiÖn luËn theo m sè nghiÖm ∈ 0; cña ph−¬ng tr×nh m sin x + cos x = 2m (1) Gi¶i: Biến đổi ph−ơng trình (1) dạng cos = m(2 − sin x) ⇔ cos x =m − sin x Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh b»ng sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = m hoangtrongnam2010@gmail.com 79 (80) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La cos x 3π Với đồ thị hàm số y = trªn D = 0; − sin x XÐt hµm sè y = §¹o hµm y ' = cos x 3π Miền xác định D = 0; − sin x − sin x(2 − sin x) + cos x.cos x − 2sin x = (2 − sin x) (2 − sin x) π x = y ' = ⇔ − 2sin x = ⇔ sin x = víi x ∈ D ta cã x = 5π B¶ng biÕn thiªn: x π 5π 6 + y' y − 3π + KÕt luËn:Víi m > − ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm Víi m = ± Víi − 1 hoÆc < m < ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ∈ D 1 < m ≤ hoÆc ≤ m < ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ∈ D 3 NhËn xÐt chung: Kh«ng cã mét ph−¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ nµo cho mét bµi to¸n l−îng gi¸c V× vËy viÖc n¾m ch¾c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c c¬ b¶n vµ mét sè ph−¬ng tr×nh l−ợng giác th−ờng gặp là điều cần thiết, đồng thời ta phải nắm vững ph−ơng pháp giải số ph−ơng trình l−ợng giác không mẫu mực để có h−ớng đúng đắn cho tõng bµi to¸n hoangtrongnam2010@gmail.com 80 (81) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La Bµi tËp cñng cè: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau sin ( π + x) + sin x − + = π 8cos3 ( x + 3 ) = cos3 x cot x = tan x + + tan x = 3.4 sin x π sin( − x ) cos x log sin x log sin x = log 3sin x − 2sin x ) sin x cos x 7− x ( = log 72− x π π sin x − = 5sin x − + cos3 x 3 6 π 32sin x + − sin x = 4 π π sin x − = sin x.sin x + 4 4 10 18cos x + 5(3cos x + )+ +5=0 cos x cos x cos x + − 4cos x + cos x − 4cos x = 11 12 sin x − cos x + 4sin x = 13 14 tan x = ( − cos x − sin x sin x 7+4 ) ( + 15 x 2log 3cot x = log cos 16 log (3sin 2 x − 2) sin x 7−4 ) =4 = 3cos x hoangtrongnam2010@gmail.com 81 (82) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 17 log 3( cos x +1) = 2cos x 18 cos x − cos x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = 19 20 3sin x − −2sin x − 4cos x + = 4sin x + sin 3 x = 4sin x.sin x 21 x − x cos xy − 2sin xy + = 22 sin x + sin y + sin z + = 23 sin x + sin x + sin x = ( + sin x + + sin y + + sin z ) =0 sin x.sin x.sin x 24 cot x + cot x + 25 cos x − sin x − sin x − cos x + = 26 x − x sin xy + = 27 sin x + cos x + 1 sin y + =8+ 4 sin x cos x x x x x 81 28 sin + sin −3 + cos3 + cos −3 = cos x 2 2 29 cos x + − 4cos x + cos x − 4cos x = 30 sin x + cos x + + sin x + 2cos x = 31 8cos x = 32 + sin x cos x 1 + tan x tan x + = cos x − cos x cos x cos3 x sin x 33 sin 2008 x + cos 2008 sin x + cos x x= 3cos x − cos x − cos x 34 sin x + cos x − sin x cos x = − ln sin x + sin x + cos x + sin x cos x 35 sin x + 3log2 = (sin x)log2 hoangtrongnam2010@gmail.com 82 (83) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La 37 Cho ph−¬ng tr×nh m cos x − 2cos x − cos x = π π Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm x ∈ − ; 2 38 Cho ph−¬ng tr×nh 4(cos x − sin x) + sin x = m Tìm m để ph−ơng trình vô nghiệm 39 Cho ph−¬ng tr×nh m sin x + (3m − 4)sin x cos x + (3m − 7)sin x cos x + (m − 3)cos3 x = π Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm phân biệt thuộc − ;0 40 Cho ph−¬ng tr×nh m sin x + (m + 1)cos x = m cos x a Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm b Gi¶ sö m lµ gi¶ thiÕt lµm cho ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1 + x2 ≠ π + kπ TÝnh cos 2( x1 + x2 ) theo m 41 Cho ph−¬ng tr×nh (cos x − 2) + (1 − cos x)4 = m Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm 42 Cho ph−¬ng tr×nh sin x = m tan x Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm x ≠ kπ (k ∈ ℤ) 43 Cho ph−¬ng tr×nh sin x − m cos x − (m + 1)sin x + m = 0(1) π Xác định m để ph−ơng trình (1) có đúng nghiệm x ∈ 0; 2 44 Cho ph−¬ng tr×nh (m − 1) tan x − + 2m = cos x π Xác định các giải thiết m để ph−ơng trình có nhiều nghiệm x ∈ 0; 2 hoangtrongnam2010@gmail.com 83 (84) Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi - Mai Sơn – Sơn La x 45 Cho ph−¬ng tr×nh cos x − 2(m − 1)sin + 3m − = π π Xác định m để ph−ơng trình có đúng nghiệm x ∈ − ; 3 Các thầy cô tham khảo và góp ý – xin cảm ơn hoangtrongnam2010@gmail.com 84 (85)