Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q... Chứng minh bất đẳng thức..[r]
(1)CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TRONG TUYỂN SINH LỚP 10 2011-2012 Bài 1: HẢI DƯƠNG 11-12 Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z 1 x x yz y y zx z 3z xy Hướng dẫn: x Từ yz 0 x yz 2x yz Dấu “=” x2 = yz x(y z) 2x yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) Suy (*) 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z ) (Áp dụng (*)) x x x 3x yz x ( x y z ) x 3x yz x y z (1) y y z z x y z (2), z 3z xy x y z Tương tự ta có: y 3y zx x y z 1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy Từ (1), (2), (3) ta có (3) Dấu “=” xảy x = y = z = Bài 2: ĐăkLăk 11-12 Cho x, y , z lµ ba sè thùc tuú ý Chøng minh: x y z yz x y 1 3 Ta cã: x y z yz x y x x y y.z z y y 2 4 4 1 x y 2 2 z y 2 7, x, y, z Bài 3: Ninh Bình 11-12 Cho ba số x, y, z thỏa mãn Hướng dẫn: Vì x, y ,z∈[ −1;3 ] x, y, z 1: 3 x + y + z 3 Chứng minh rằng: x + y2 + z 11 (2) ⇒ −1 ≤ x ≤3 −1≤ y ≤3 −1≤ z ≤3 ⇒ ¿ ( x +1 )( y +1 )( z+1 )≥0 (3 − x )( − y )( − z )≥0 ¿ ¿ ⇒ xyz + xy + yz + xz + x + y + z+ 1≥0 27 −9 ( x + y + z )+3 ( xy + yz + xz )− xyz≥0 ¿ ¿ ⇒ ( xy + yz + xz )≥−2 ¿ ⇒ x + y + z +2 ( xy + yz + xz )≥ x + y + z −2 ¿ ⇒ ( x + y + z )2≥ x + y + z −2 ¿ ¿ {¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Cách2:.Không giảm tính tổng quát, ðặt x = max { x , y , z } ⇒ = x + y + z ¿ 3x nên ¿ x ¿ ⇒ ( x -1 ) (x - 3) ¿ (1) 2 ¿ Lại có: x + y + z x + y2 + z2 + 2(y +1) (z+1) = x2 + ( y + z )2 + ( y + z )+2 Từ (1) và (2) suy = x2 + ( - x )2 + ( 3- x) + = x2 - 8x + 17 = ( x -1 ) (x - 3) + 11 (2) x2 + y2 + z2 ¿ 11 x = max { x , y , z } ( x -1 ) (x - 3) = (y +1) (z+1) = x+y+z =3 Không xảy dấu ðẳng thức Dấu ðẳng thức xảy ⇒ Bài 4: Hà Tỉnh 11-12 25 Cho các số a, b, c lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q a b c b c a Hướng dẫn: 25 Do a, b, c > (*) nên suy ra: a , b , c Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương, ta có: a b 2 a b (1) b c 2 b c (2) (3) c a 2 c a5 (3) Cộng vế theo vế (1),(2) và (3), ta có: Q 5.3 15 Dấu “=” xẩy a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 a b c 25 Bài 5: Bình Định 11-12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 2x 2011 x2 Hướng dẫn: * Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8) A= x2 2x 2011 với x 0 x2 1 1 = 2011 = 2011.t 2t + (với t = 0) x x x 1 = 2011 t t 1 2011 2011 2011 2010 2010 = 2011 t x 2011 ; thoõa x 0 daáu"=" t = 2011 2011 2011 2011 2010 Vaäy MinA = x = 2011 2011 * * Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9) x 2x 2011 A= với x 0 x2 A.x2 x2 2x 2011 A 1 x2 2x 2011 0 * coi ñaây laø phöông trình aån x 2011 (1) Nếu A 0 thì (*) luôn là phương trình bậc hai ẩn x Từ (*): A = A = x = x toàn taïi phöông trình (*) coù nghieäm / 0 12 2011 A 1 0 / 2010 b 1 1 A 2011 ; thoõa x 0 (2) daáu "=" (*) coù nghieäm keùp x = 2011 a A 2010 2011 So saùnh (1) vaø (2) thì khoâng phaûi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A maø: * MinA = 2010 x = 2011 2011 Bài 6: Thanh Hóa 11-12 Cho các số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức (4) x y z + + >2 y+z x+ z x + y √ √ √ Hướng dẫn: Cho các số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức : x y z + + >2 y+z x+ z x + y √ √ √ Áp dông B§T Cosi ta cã : y+z +1 y+z x x+ y+z x 2x 1≤ = => ≥ x 2x y+z x+ y+z √ √ √ √ √ x +z +1 x +z y x+ y +z y 2y 1≤ = => ≥ y 2y x +z x + y + z y +x +1 y +x z x+ y+z z 2z 1≤ = => ≥ z 2z y + x x + y +z √ Céng vÕ víi vÕ ta cã : 2( x+ y + z ) x y z + + ≥ =2 y +z x+ z y+x x+ y+z dÊu b»ng x¶y √ √ √ y+ z = x x+ z = y x + y + z = y+ x = z V× x, y ,z > nªn x + y + z > vËy dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y => x y z + + >2 y+z x+ z y+x víi mäi x, y , z > ( §pcm ) √ √ √ Bài 7: Bắc Giang 11-12 Cho hai sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n: x y 3xy x y x y x y x y 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = x + y Hướng dẫn: §Æt a = x+y = M; b = xy; a 4b Tõ gi¶ thiÕt cã: (a 2b)( a ab 2b 3b) 0 a 3ab 3a 2b 6b 4ab 4b3 +) NÕu a =2b a 2b 2 = a ab 2b 3b 0 M x y 2; Th×: x+y = 2xy Mµ (x+y)2 4xy nªn (x+y)2 2( x y ) " " : x y 1 a ab 2b 3b 0 +) NÕu a ab 2b 3b 0 2b (a 3)b a 0 (1) (*) (5) a2 Gi¶ sö (1) cã nghiÖm b tho¶ m·n b th× a 2a 0 a 1 7;( Do : a 0) vµ a a2 b= (a 3) 8a 0 ( a 2a 2)(a 2a 2) 0 a 21 VËy a 1 (**) Tõ (*) vµ (**) suy a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng x = y =1 Bài 8: Hà Nội 11-12 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 4x 3x 2011 4x Hướng dẫn: 1 2011 4 x x x 2010 4x 4x (2 x 1) ( x ) 2010 4x M 4 x 3x Vì (2 x 1) 0 và x > M= 0 4x , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + (2 x 1) ( x 1 2 x 2 1 4x 4x ) 2010 4x + + 2010 = 2011 x x x 1 x x x 4x x x x x M 2011 ; Dấu “=” xảy x= Vậy Mmin = 2011 đạt x = Cách 2 (6) +2011 4x 1 1 M =3 x −x + + x2 + + +2010+ 8x 8x 1 1 M =3 x − +x + + + +2010 8x 8x 1 x2 , , x x ta có Áp dụng cô si cho ba số 1 1 x + + ≥3 x = 8x 8x x x Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2 x− ≥0 mà Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2 M ≥0+ + +2010=2011 4 Vậy M =4 x2 −3 x + ( ) ( ) √ ( ) Vậy giá trị nhỏ M 2011 M = Bài : Nam Định chuyên 11-12 1 x 1, ta luôn có x x x x Chứng minh : Với Hướng dẫn: 1 1 x x x x x x 1 x x x x x x 1 1 x x 1 (vì x nên x 0) (2) x x x 1 x t thì x t 2t 3t t 2t 1 x x Đặt , ta có (2) (3) x nên x 1 x 2x x hay t x Vì => (3) đúng Vậy ta có đpcm Bài 9: Vĩnh Phúc 11-12 ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca c ab a bc b ca Hướng dẫn: a b c 1 c a b c c ac bc c Có: c ab ac bc c ab a (c b) c (b c) = (c a)(c b) a b ab ab c a c b c ab (c a )(c b) a bc (a b)(a c) Tương tự: b ca (b c)(b a) (7) b c bc bc a b a c a bc (a b)(a c ) c a ca ca b c b a b ca (b c)(b a) a b b c c a a c c b b a c a c b a b a c b c b a a c c b b a 2 P = a b c Dấu “=” xảy a b c Từ đó giá trị lớn P là đạt và = (8)