2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 đồng biến trên tập xác định của nó... với độ dài.[r]
(1)KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y f ( x ) có tập xác định D Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D Hàm số f nghịch biến trên D y 0, x D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D Nếu y ' ax bx c (a 0) thì: a y ' 0, x R 0 + a y ' 0, x R 0 + Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax bx c (a 0) : + Nếu < thì g( x ) luôn cùng dấu với a + Nếu = thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x b 2a ) + Nếu > thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a So sánh các nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax bx c với số 0: + 0 x1 x2 P S + 0 x1 x2 P S + x1 x2 P g( x ) m, x (a; b) max g( x ) m g( x ) m, x (a; b) g( x ) m ( a; b ) B Một số dạng câu hỏi thường gặp ; ( a; b ) Tìm điều kiện để hàm số y f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định) Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D Hàm số f nghịch biến trên D y 0, x D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D Nếu y ' ax bx c (a 0) thì: a y ' 0, x R 0 + a y ' 0, x R 0 + 2 Tìm điều kiện để hàm số y f ( x ) ax bx cx d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) Ta có: y f ( x ) 3ax 2bx c (2) a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) y 0, x (a ; b ) và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: Nếu bất phương trình f ( x ) 0 h(m) g( x ) thì f đồng biến trên (a ; b ) (*) h(m) max g( x ) (a ; b ) Nếu bất phương trình f ( x ) 0 h(m) g( x ) thì f đồng biến trên (a ; b ) (**) h(m) g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x ) 0 không đưa dạng (*) thì đặt t x a 2 Khi đó ta có: y g(t) 3at 2(3a b)t 3a 2b c a a 0 S ( ; a ) g ( t ) 0, t P 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; ) g(t ) 0, t a 0 a S P 0 b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) y 0, x (a ; b ) và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: Nếu bất phương trình f ( x ) 0 h(m) g( x ) thì f nghịch biến trên (a ; b ) (*) h(m) max g( x ) (a ; b ) Nếu bất phương trình f ( x ) 0 h(m) g( x ) thì f nghịch biến trên (a ; b ) (**) h(m) g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x ) 0 không đưa dạng (*) thì đặt t x a 2 Khi đó ta có: y g(t) 3at 2(3a b)t 3a 2b c a a 0 S ( ; a ) g ( t ) 0, t P 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a a 0 S ( a ; ) g ( t ) 0, t P 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng 3 Tìm điều kiện để hàm số y f ( x ) ax bx cx d đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước a 0 ( x1; x2 ) y 0 x1, x2 f đơn điệu trên khoảng có nghiệm phân biệt (1) (3) 2 thành ( x1 x2 ) x1x2 d (2) Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Biến đổi x1 x2 d Tìm điều kiện để hàm số y ax bx c (2), (a, d 0) dx e a) Đồng biến trên ( ; ) b) Đồng biến trên ( ; ) c) Đồng biến trên ( ; ) e y' D R \ d , Tập xác định: Trường hợp Nếu: f ( x ) 0 g( x ) h(m) (i) a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g( x ) h(m), x e d h(m) g( x ) ( ; ] b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g( x ) h(m), x e d h(m) g( x ) [ ; ) c) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d ; g( x ) h(m), x ( ; ) e ; d h(m) g( x ) [ ; ] adx 2aex be dc dx e f (x) dx e Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) 0 không đưa dạng (i) thì ta đặt: t x Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t) 0 , với: g(t ) adt 2a(d e)t ad 2ae be dc a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g(t ) 0, t (ii) a a (ii) 0 S P 0 b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g(t ) 0, t (iii) a a (iii) 0 S P 0 (4) Tìm điều kiện để hàm số y ax bx c (2), (a, d 0) dx e a) Nghịch biến trên ( ; ) b) Nghịch biến trên ( ; ) c) Nghịch biến trên ( ; ) e y' D R \ d , Tập xác định: Trường hợp Nếu f ( x) 0 g( x) h(m) (i) a) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; ) e d g( x ) h(m), x e d h(m) g( x ) ( ; ] b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; ) e d g( x ) h(m), x e d h(m) g( x ) [ ; ) c) (2) đồng biến khoảng ( ; ) e d ; g( x ) h(m), x ( ; ) e ; d h(m) g( x ) [ ; ] adx 2aex be dc dx e f (x) dx e Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) 0 không đưa dạng (i) thì ta đặt: t x Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t ) 0 , với: g(t ) adt 2a(d e)t ad 2ae be dc a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g(t ) 0, t (ii) a a (ii) 0 S P 0 b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g(t ) 0, t (iii) a a (iii) 0 S P 0 (5) y (m 1) x mx (3m 2)x Câu Cho hàm số (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m 2 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định nó Tập xác định: D = R y (m 1) x mx 3m (1) đồng biến trên R y 0, x m 2 Câu Cho hàm số y x x mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 0 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0) Tập xác định: D = R y 3 x x m y có 3(m 3) + Nếu m thì 0 y 0, x hàm số đồng biến trên R m thoả YCBT + Nếu m thì PT y 0 có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 x2 ) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; x1 ),( x2 ; ) P 0 x x S Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) Vậy: m m m 0 (VN) Câu Cho hàm số y 2 x 3(2m 1) x 6m(m 1) x có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) 2 Tập xác định: D = R y ' 6 x 6(2m 1) x 6m(m 1) có (2m 1) 4(m m) 1 x m y ' 0 x m Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; m), (m 1; ) Do đó: hàm số đồng biến trên (2; ) m 2 m 1 Cho hàm số y x (1 2m ) x (2 m) x m 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K (0; ) Câu Hàm đồng biến trên (0; ) y 3 x 2(1 2m) x (2 m) 0 với x (0; ) f (x) 3x x m 4x 1 với x (0; ) (6) 6(2 x x 1) f ( x ) 0 x x 0 x 1; x (4 x 1)2 Ta có: 1 f m m Lập BBT hàm f ( x ) trên (0; ) , từ đó ta đến kết luận: Câu hỏi tương tự: y (m 1) x (2m 1) x 3(2 m 1) x (m 1) , K ( ; 1) a) y (m 1) x (2m 1) x 3(2 m 1) x (m 1) , K (1; ) b) y (m 1) x (2m 1) x 3(2 m 1) x (m 1) , K ( 1;1) c) y (m 1) x (m 1) x x Câu Cho hàm số (1) (m 1) m 11 ĐS: ĐS: m 0 ĐS: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K ( ;2) 2 Tập xác định: D = R; y (m 1) x 2(m 1) x 2 2 Đặt t x – ta được: y g(t) (m 1)t (4 m 2m 6)t m 4m 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;2) g(t ) 0, t a S TH2: P 0 m 3m 2m 4m2 4m 10 0 2m 0 m a m 3m 2m 0 TH1: 0 1 m Vậy: Với thì hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;2) Câu y (m 1) x (m 1) x x Cho hàm số (1) (m 1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K (2; ) 2 Tập xác định: D = R; y (m 1) x 2(m 1) x 2 2 Đặt t x – ta được: y g(t) (m 1)t (4 m 2m 6)t m 4m 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; ) g(t ) 0, t m a 3m m 4m2 4m 10 0 m2 S 2m a 0 0 3m 2m 0 TH1: TH2: P 0 m Vậy: Với m thì hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; ) Câu Cho hàm số y x x mx m (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = m (7) 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài Ta có y ' 3 x x m có 9 3m + Nếu m ≥ thì y 0, x R hàm số đồng biến trên R m ≥ không thoả mãn + Nếu m < thì y 0 có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 x2 ) Hàm số nghịch biến trên đoạn m x1 x2 2; x1x2 x1; x2 l x1 x2 với độ dài Ta có: x1 x2 1 ( x1 x2 )2 x1x2 1 m l YCBT Câu Cho hàm số y x 3mx (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2 x1 1 y ' x mx , y ' 0 x 0 x m + Nếu m = y 0, x hàm số nghịch biến trên m = không thoả YCBT + Nếu m 0 , y 0, x (0; m) m y 0, x (m;0) m Vậy hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2 x1 1 ( x1; x2 ) (0; m) ( x ; x ) (m;0) và x2 x1 1 m 1 m 1 m 1 Câu Cho hàm số y x 2mx 3m (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2) Ta có y ' 4 x 4mx 4 x ( x m) + m 0 , y 0, x (0; ) m 0 thoả mãn + m , y 0 có nghiệm phân biệt: m , 0, m Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) Câu hỏi tương tự: m 1 m 1 Vậy m ;1 a) Với y x 2(m 1) x m ; y đồng biến trên khoảng (1;3) y ĐS: m 2 mx x m Câu 10 Cho hàm số (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1) y Tập xác định: D = R \ {–m} m2 ( x m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định y m (1) ( ;1) m m Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng thì ta phải có (2) m Kết hợp (1) và (2) ta được: (8) y x 3x m (2) x Câu 11 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng ( ; 1) Tập xác định: D R \ {1} y' 2x2 4x m ( x 1) f ( x) ( x 1)2 2 Ta có: f ( x ) 0 m 2 x x Đặt g( x ) 2 x x g '( x ) 4 x y ' 0, x ( ; 1) m g( x) Hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1) Dựa vào BBT hàm số g( x ), x ( ; 1] ta suy m 9 Vậy m 9 thì hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1) y ( ; 1] x 3x m (2) x Câu 12 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; ) Tập xác định: D R \ {1} y' 2x2 4x m ( x 1) f ( x) ( x 1)2 2 Ta có: f ( x ) 0 m 2 x x Đặt g( x ) 2 x x g '( x ) 4 x y ' 0, x (2; ) m g( x ) Hàm số (2) đồng biến trên (2; ) Dựa vào BBT hàm số g( x ), x ( ; 1] ta suy m 3 Vậy m 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; ) y [2; ) x 3x m (2) x Câu 13 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) Tập xác định: D R \ {1} y' 2x2 4x m ( x 1) f ( x) ( x 1)2 2 Ta có: f ( x ) 0 m 2 x x Đặt g( x ) 2 x x g '( x ) 4 x y ' 0, x (1;2) m min g( x ) [1;2] Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Dựa vào BBT hàm số g( x ), x ( ; 1] ta suy m 1 Vậy m 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) y x 2mx 3m2 (2) 2m x Câu 14 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng ( ;1) Tập xác định: D R \ { 2m} y' x 4mx m2 ( x 2m ) f (x) ( x 2m)2 Đặt t x 2 Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t) t 2(1 2m )t m 4m 2 m y ' 0, x ( ;1) g(t ) 0, t (i ) Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1) (9) m 0 ' 0 m 0 ' (i) m 0 4m S P 0 m 4m 0 m 2 Vậy: Với m 2 thì hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1) y x 2mx 3m (2) 2m x Câu 15 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; ) Tập xác định: D R \ { 2m} y' x 4mx m2 ( x 2m ) f (x) ( x 2m)2 Đặt t x 2 Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t ) t 2(1 2m)t m 4m 2m y ' 0, x (1; ) g(t ) 0, t (ii) Hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) m 0 ' 0 m 0 ' (ii) 4m S m2 4m 0 m 2 P Vậy: Với m 2 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) (10)