tinh don dieu ham so

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 đồng biến trên tập xác định của nó... với độ dài.[r]

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y  f ( x ) có tập xác định D  Hàm số f đồng biến trên D  y 0, x  D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D  Hàm số f nghịch biến trên D  y 0, x  D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D  Nếu y ' ax  bx  c (a 0) thì: a  y ' 0, x  R    0 + a  y ' 0, x  R    0 +  Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax  bx  c (a 0) : + Nếu  < thì g( x ) luôn cùng dấu với a + Nếu  = thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x  b 2a ) + Nếu  > thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a  So sánh các nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax  bx  c với số 0: +  0  x1  x2    P  S  +   0   x1  x2   P   S  + x1   x2  P  g( x ) m, x  (a; b)  max g( x ) m g( x ) m, x  (a; b)  g( x ) m ( a; b )  B Một số dạng câu hỏi thường gặp ; ( a; b ) Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định)  Hàm số f đồng biến trên D  y 0, x  D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D  Hàm số f nghịch biến trên D  y 0, x  D và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc D  Nếu y ' ax  bx  c (a 0) thì: a  y ' 0, x  R    0 + a  y ' 0, x  R    0 + 2 Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x ) ax  bx  cx  d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) Ta có: y  f ( x ) 3ax  2bx  c a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b )  y 0, x  (a ; b ) và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f ( x ) 0  h(m) g( x ) thì f đồng biến trên (a ; b )  (*) h(m) max g( x ) (a ; b )  Nếu bất phương trình f ( x ) 0  h(m) g( x ) thì f đồng biến trên (a ; b )  (**) h(m)  g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x ) 0 không đưa dạng (*) thì đặt t  x  a 2 Khi đó ta có: y g(t) 3at  2(3a  b)t  3a  2b  c a    a   0  S    (   ; a ) g ( t )  0,  t   P 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng   – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; )  g(t ) 0, t   a   0   a     S   P 0 b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b )  y 0, x  (a ; b ) và y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f ( x ) 0  h(m) g( x ) thì f nghịch biến trên (a ; b )  (*) h(m) max g( x ) (a ; b )  Nếu bất phương trình f ( x ) 0  h(m) g( x ) thì f nghịch biến trên (a ; b )  (**) h(m)  g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x ) 0 không đưa dạng (*) thì đặt t  x  a 2 Khi đó ta có: y g(t) 3at  2(3a  b)t  3a  2b  c a    a   0  S    (   ; a ) g ( t )  0,  t   P 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng   a    a   0  S    ( a ;  ) g ( t )  0,  t   P 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng   3 Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x ) ax  bx  cx  d đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước  a 0 ( x1; x2 ) y 0 x1, x2    f đơn điệu trên khoảng  có nghiệm phân biệt  (1) 2 thành ( x1  x2 )  x1x2 d (2)  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm  Biến đổi x1  x2 d Tìm điều kiện để hàm số y ax  bx  c (2), (a, d 0) dx  e a) Đồng biến trên ( ; ) b) Đồng biến trên ( ; ) c) Đồng biến trên ( ;  )  e y'  D R \    d , Tập xác định: Trường hợp Nếu: f ( x ) 0  g( x ) h(m) (i) a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g( x ) h(m), x    e   d h(m)  g( x ) (  ; ]  b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g( x ) h(m), x    e   d h(m)  g( x ) [ ; )  c) (2) đồng biến trên khoảng ( ;  )  e    d  ;   g( x ) h(m), x  ( ;  )  e    ;   d h(m)  g( x ) [ ;  ]  adx  2aex  be  dc  dx  e   f (x)  dx  e  Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) 0 không đưa dạng (i) thì ta đặt: t  x   Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t) 0 , với: g(t ) adt  2a(d  e)t  ad  2ae  be  dc a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g(t ) 0, t  (ii) a    a  (ii)      0 S   P 0 b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g(t ) 0, t  (iii) a    a  (iii)      0 S   P 0 Tìm điều kiện để hàm số y ax  bx  c (2), (a, d 0) dx  e a) Nghịch biến trên ( ; ) b) Nghịch biến trên ( ; ) c) Nghịch biến trên ( ;  )  e y'  D R \    d , Tập xác định: Trường hợp Nếu f ( x) 0  g( x) h(m) (i) a) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; )  e    d   g( x ) h(m), x    e   d h(m)  g( x ) (  ; ]  b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; )  e    d   g( x ) h(m), x    e   d h(m)  g( x ) [ ; )  c) (2) đồng biến khoảng ( ;  )  e    d  ;   g( x ) h(m), x  ( ;  )  e    ;   d h(m)  g( x ) [ ;  ]  adx  2aex  be  dc  dx  e   f (x)  dx  e  Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) 0 không đưa dạng (i) thì ta đặt: t  x   Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t ) 0 , với: g(t ) adt  2a(d  e)t  ad  2ae  be  dc a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g(t ) 0, t  (ii) a    a  (ii)      0 S   P 0 b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g(t ) 0, t  (iii) a    a  (iii)      0 S   P 0 y  (m  1) x  mx  (3m  2)x Câu Cho hàm số (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m 2 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định nó   Tập xác định: D = R y (m  1) x  mx  3m   (1) đồng biến trên R  y 0, x  m 2 Câu Cho hàm số y  x  x  mx  (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m 0 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0)   Tập xác định: D = R y 3 x  x  m y có  3(m  3) + Nếu m  thì  0  y 0, x  hàm số đồng biến trên R  m  thoả YCBT + Nếu m   thì    PT y 0 có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; x1 ),( x2 ; )     P 0   x  x  S  Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0)  Vậy: m  m     m 0     (VN) Câu Cho hàm số y 2 x  3(2m  1) x  6m(m  1) x  có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) 2  Tập xác định: D = R y ' 6 x  6(2m  1) x  6m(m  1) có  (2m  1)  4(m  m) 1   x m y ' 0    x m  Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; m), (m  1; ) Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )  m  2  m 1 Cho hàm số y  x  (1  2m ) x  (2  m) x  m  1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K (0; ) Câu   Hàm đồng biến trên (0; )  y 3 x  2(1  2m) x  (2  m) 0 với x  (0; )  f (x)  3x  x  m 4x 1 với x  (0; ) 6(2 x  x  1) f ( x )  0  x  x  0  x  1; x  (4 x  1)2 Ta có:  1 f   m  m Lập BBT hàm f ( x ) trên (0; ) , từ đó ta đến kết luận:   Câu hỏi tương tự: y  (m  1) x  (2m  1) x  3(2 m  1) x  (m  1) , K ( ;  1) a) y  (m  1) x  (2m  1) x  3(2 m  1) x  (m  1) , K (1; ) b) y  (m  1) x  (2m  1) x  3(2 m  1) x  (m  1) , K ( 1;1) c) y  (m  1) x  (m  1) x  x  Câu Cho hàm số (1) (m 1) m 11 ĐS: ĐS: m 0 ĐS: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K ( ;2) 2  Tập xác định: D = R; y (m  1) x  2(m  1) x  2 2 Đặt t x – ta được: y g(t) (m  1)t  (4 m  2m  6)t  m  4m  10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;2)  g(t )  0, t  a    S   TH2:  P 0  m    3m  2m   4m2  4m  10 0   2m   0  m   a  m    3m  2m  0 TH1:  0   1 m  Vậy: Với thì hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;2) Câu y  (m  1) x  (m  1) x  x  Cho hàm số (1) (m 1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K (2; ) 2  Tập xác định: D = R; y (m  1) x  2(m  1) x  2 2 Đặt t x – ta được: y g(t) (m  1)t  (4 m  2m  6)t  m  4m  10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; )  g(t )  0, t  m    a  3m  m     4m2  4m  10 0 m2   S    2m  a     0  0 3m  2m  0 TH1:    TH2:  P 0   m  Vậy: Với   m  thì hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; ) Câu Cho hàm số y  x  x  mx  m (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = m 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài  Ta có y ' 3 x  x  m có  9  3m + Nếu m ≥ thì y 0, x  R  hàm số đồng biến trên R  m ≥ không thoả mãn + Nếu m < thì y 0 có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) Hàm số nghịch biến trên đoạn m x1  x2  2; x1x2   x1; x2  l  x1  x2 với độ dài Ta có: x1  x2 1 ( x1  x2 )2  x1x2 1 m  l  YCBT     Câu Cho hàm số y  x  3mx  (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2  x1 1  y '  x  mx , y ' 0  x 0  x m + Nếu m =  y 0, x    hàm số nghịch biến trên   m = không thoả YCBT + Nếu m 0 , y 0, x  (0; m) m  y 0, x  (m;0) m  Vậy hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2  x1 1  ( x1; x2 ) (0; m)  ( x ; x ) (m;0)   và x2  x1 1  m  1  m 1     m 1 Câu Cho hàm số y  x  2mx  3m  (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2)  Ta có y ' 4 x  4mx 4 x ( x  m)  + m 0 , y 0, x  (0; )  m 0 thoả mãn  + m  , y 0 có nghiệm phân biệt:  m , 0, m Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2)  Câu hỏi tương tự: m 1   m 1 Vậy m    ;1 a) Với y  x  2(m  1) x  m  ; y đồng biến trên khoảng (1;3) y ĐS: m 2 mx  x m Câu 10 Cho hàm số (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m  2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1) y   Tập xác định: D = R \ {–m} m2  ( x  m)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định  y     m  (1) (   ;1)  m   m  Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng thì ta phải có (2)   m  Kết hợp (1) và (2) ta được:  y x  3x  m (2) x Câu 11 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng ( ;  1)  Tập xác định: D R \ {1} y'  2x2  4x   m ( x  1)  f ( x) ( x  1)2 2 Ta có: f ( x ) 0  m 2 x  x  Đặt g( x ) 2 x  x   g '( x ) 4 x   y '  0, x  ( ;  1)  m  g( x) Hàm số (2) đồng biến trên ( ;  1) Dựa vào BBT hàm số g( x ), x  ( ;  1] ta suy m 9 Vậy m 9 thì hàm số (2) đồng biến trên ( ;  1) y (  ; 1] x  3x  m (2) x Câu 12 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; )  Tập xác định: D R \ {1} y'  2x2  4x   m ( x  1)  f ( x) ( x  1)2 2 Ta có: f ( x ) 0  m 2 x  x  Đặt g( x ) 2 x  x   g '( x ) 4 x   y '  0, x  (2; )  m  g( x ) Hàm số (2) đồng biến trên (2; ) Dựa vào BBT hàm số g( x ), x  ( ;  1] ta suy m 3 Vậy m 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; ) y [2; ) x  3x  m (2) x Câu 13 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2)  Tập xác định: D R \ {1} y'  2x2  4x   m ( x  1)  f ( x) ( x  1)2 2 Ta có: f ( x ) 0  m 2 x  x  Đặt g( x ) 2 x  x   g '( x ) 4 x   y '  0, x  (1;2)  m min g( x ) [1;2] Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Dựa vào BBT hàm số g( x ), x  ( ;  1] ta suy m 1 Vậy m 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) y x  2mx  3m2 (2) 2m  x Câu 14 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng ( ;1)  Tập xác định: D R \ { 2m} y'   x  4mx  m2 ( x  2m )  f (x) ( x  2m)2 Đặt t  x  2 Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t)  t  2(1  2m )t  m  4m   2 m   y '  0, x  ( ;1)    g(t ) 0, t  (i ) Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)  m 0   ' 0   m 0   '    (i)     m 0   4m    S        P 0  m  4m  0  m 2  Vậy: Với m 2  thì hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1) y x  2mx  3m (2) 2m  x Câu 15 Cho hàm số Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; )  Tập xác định: D R \ { 2m} y'   x  4mx  m2 ( x  2m )  f (x) ( x  2m)2 Đặt t  x  2 Khi đó bpt: f ( x ) 0 trở thành: g(t )  t  2(1  2m)t  m  4m   2m   y '  0, x  (1; )    g(t ) 0, t  (ii) Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )  m 0   ' 0   m 0   '    (ii)      4m    S    m2  4m  0  m 2  P     Vậy: Với m 2  thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; )