V- Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy: Phơng pháp: Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy ta thờng sử dụng các ph¬ng ph¸p sau: - Dựa vào tính chất các đờng đồng quy trong tam giác: ba đờng [r]
(1)Một số bài toán đơng tròn A Đặt vấn đề I- Đặt vấn đề Trong qu¸ tr×nh häc m«n To¸n ë trêng THCS häc sinh cÇn biÕt c¸c tæ chøc c«ng viÖc cña m×nh mét c¸c s¸ng t¹o Ngêi thÇy cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh kĩ năng, thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ khoa học sâu sắc, suy nghĩ có quy luật , có phơng pháp Vì đòi hỏi ngời thầy lao động sáng tạo, biết tìm tòi phơng pháp để dạy cho học sinh trau dồi t lôgic giải các bài toán đặc biệt các tài toán hình học Là giáo viên dạy toán trờng THCS, trực tiếp bồi bỡng, phụ đạo vµ «n luyÖn vµo THPT, t«i nhËn thÊy viÖc gi¶i c¸c bµi tËp h×nh häc ë ch¬ng trình THCS không là nêu và trình bày lời giải, đó là điều kiện cần nhng cha đủ Muốn giỏi học sinh phải biết định dạng các bài tập và từ đó tìm phơng pháp giẩi cách hợp lí nhất, điều này học sinh THCS cßn rÊt m¬ hå nhÊt lµ phÇn h×nh häc Trong ch¬ng tr×nh THCS h×nh häc lµ mét néi dung cÇn thiÕt ph¶i rÌn luyện và các đề thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi luôn có tỉ lệ định dành cho hình học, đặc biệt phần đờng tròn là nội dung không thể thiế các đề thi đó Hình học là công cụ để rèn luyÖn trÝ th«ng minh, t s¸ng t¹o, t l«gic vµ ph¸t triÓn trÝ tëng tîng Vì nó là móng vững để hộc nhứng môn khoa học khác Các dạng toán hình học nói chung và phần đờng tròn nó riêng ®a d¹ng vµ phong phó Song gi¶i c¸c bµi to¸n nµy häc sinh thêng gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n, phøc t¹p Tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i thÊy häc sinh rÊt bÕ t¾c việc đình dang, kĩ vẽ hình, trình bày còn yếu là phần đờng trßn Nªn khu«n khæ s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy t«i xin nªu mét sè dạng toán đờng tròn Từ thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy Tôi đã m¹nh d¹n lùan chon vµ viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm “ Mét sè d¹ng to¸n c¬ đờng tròn” Với hi vọng thông qua chuyên đề này có thể giúp học sinh có kĩ định dạng, kĩ giải và hứng thú học môn Toán Trong qu¸ tr×nh viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm, ®iÒu kiÖn vµ kinh nghiệm còn hạn chế nên không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đợc đóng góp, bổ sung ý kiến các bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm đợc áp dung cách hiệu II- Mục đích - Củng cố cho học sinh các kiến thức đờng tròn, nắm đợc số dạng toán đờng tròn - Có kĩ định hớn dạng toán và vận dụng kiến thức đã học vào giải bµi tËp mét c¸c thµn th¹o - KÜ n¨ng tr×nh bµy khoa häc logic - Phát huy trí lực học sinh để tìm nhiều hớng giải hay - Gióp häc sinh cã kiÕn thøc vµ tù tin gi¶i to¸n hoÆc thi cö III- NhiÖm vô - Nhắc lại các kiến thức đờng tròn - Phân dạng toán, nêu phơng pháp giải và hớng dẫn học sinh định d¹ng mét bµi to¸n - áp dụng đề tài vào tiết luyện tập, ôn tập, phụ đạo và bồi dỡng NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (2) Một số bài toán đơng tròn IV- Néi dung - Ch¬ng I: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n - Ch¬ng II: Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n - Ch¬ng III: Bµi tËp rÌn kÜ n¨ng B Giải vấn đề Nội dung hình học phẳng lớp có thể nói là hình họcvề đờng tròn Có nhiều bài toán hay và khó chủ đề này Sự phong phú, đa dạng thể loại nh linh hoạt suy luận bài toán đờng trßn lu«n cuèn hót m«n häc nµy Ch¬ng I: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n: I- Sự xác định và tính chất đờng tròng: I.1- §Þnh nghÜa: TËp hîp ( hay cßn gäi lµ quü tÝch) các điểm O cho trớc khoảng không đổi R>0 đợc gọi là đờng tròn tâm O bán kính R Ta kí hiệu (O;R) R O I.2- Hình tròn là tập hợp các điểm bên đờng tròn và các điểm chính đờng tròn đó I-3- Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định đờng kính nó Nừu AB là đoạn thẳng cho trớc thì đờng tròn đờng kính AB là tập hợp các điểm M cho AMB = 900 Khi đó tâm O là trung điểm AB cña AB, cßn b¸n kÝnh I.4- Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng vẽ đợc đờng tròn mà mà thôi Đờng tròn đó gọi là đờng tròn ngọai tiếp tam giác ABC R I.5- §êng kÝnh v¬ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy lµm hai phÇn b»ng nhau.’ Ngîc l¹i, đờng kính qua trung điểm dây không qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy D A B O AB CD M MC MD AB CD M vµ MC MD AB CD ( CD kh«ng lµ ®- C êng kÝnh) I.6- Trong đờng tròn, hai dây cung và chúng cách tâm Ngợc lại, hai d©y cung kh«ng b»ng nhau, d©y cung lín h¬n khivµ chØ nã gÇn t©m h¬n D N AB CD OM ON AB CD OM ON C B A M Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đờng cao BD và CE Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đờng tròn b) DE<BC Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (3) Một số bài toán đơng tròn a) Gäi F lµ trung ®iÓm cña BC áp dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông BEC, BDC ta cã: A D 1 EF BC, DF BC BF EF DF CF 2 VËy bèn ®iÓm B, E, D, F cïng n»m trªn mét đờng tròn tâm F bán kính BC E B C F b) Trong đờng tròn tâm F nói trên, có BC là đờng kính, DE là dây cung kh«ng ®i qua t©m nªn DE<BC 90 VÝ dô 2: Cho tø gi¸c ABCD cã B D a) Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng thuộcmột đờng tròn b) Chứng minh BD AC Tứ giác ABCD có thêm điều kiệngì để BD=AC Gi¶i: a) Gäi K lµ trung ®iÓm cña AC áp dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ADC, ABC ta có: 1 DK AC, BK AC AK DK CK BK 2 D C A K Vậy bốn điểm A, D, C, B cùng nầm trên đờng tròn tâm K đờng kính AC B b) Trong đờng tròn (K) nói trên, có AC là đờng kính, BD là dây cung kh«ng ®i qua t©m nªn BD < AC C 90 Để BD=AC BD phải là đờng kính đờng tròn (K) A ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA Chøng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên đờng tròn Gi¶i: XÐt tam gi¸c ADC cã: AQ=QD (gt) QP là đờng trung bình tam giác ADC CP=PQ (gt) D Q A P F M C N B QP//AC vµ QP= AC (1) Tơng tự: MN là đờng trung bình tam giác ABC MN//AC vµ MN= AC (2) Tõ (1), (2) suy QP//MN vµ QP=MN MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh (*) T¬ng tù: ta cã MQ//BD NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (4) Một số bài toán đơng tròn Mµ QP//AC (cmt) MQ QP hay MQP 90 (**) L¹i cã AC BD Tõ (*) vµ (**) suy MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt Do đó bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trênmột đờng tròn Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB C là điểm di động trên đờng tròn, H là hình chiếu C trên AB Trên OC lấy OM=OH a) Điểm M chạy trên đờng nào? b) Kðo dài BC doạn CD=CB Điểm D chạy trên đờng nào? Gi¶i: a) XÐt OMB vµ OHC cã: OM=OH (gt) MOB OMB = OHC (c.g.c) chung OB=OC (cùng là bk đờng tròn (O)) D C M A O H B OHC 90 OMB Vậy điểm M chạy trên đờng tròn đờng kính OB b) Do C nằm trên đờng tròn đờng kính AB nên AC CB Mµ CD=CB nªn ta cã: ADC= ABC AD=AB=2R Do điểm A cố định nên điểm D chạy trên đờng tròn tâm A, bán kính AB=2R Ví dụ 5: Cho hình vẽ bên, đó hai đờng tròn cùng có tâm là O Cho biÕt AB>CD Hãy so sánh độ dài: a) OH vµ OK b) ME vµ MF c) MH vµ MK E A H B O D K C M F Gi¶i: a) Vì AB>CD OH<OK (Hai dây một đờng tròn dây nào nới h¬n th× gÇn t©m h¬n) b) V× OH<OK ME>MF c) OH ME MH= ME OK MF MK= MF Mµ ME>MF MH>MK Ví dụ 6: Từ mộtđiểm S nằm ngòa đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đờng tròn Chứng minh AB=CD thì SA=SC Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (5) Một số bài toán đơng tròn Gọi I, J lần lợtlà trung điểm AB , CD khiđó ta có D : OI AB, OJ CD Mµ AB=CD nªn OI=OJ Ta cã SOI= SOJ SI=SJ Do AI=CJ nên từ đó suy SA=SC J O C B I A S II- Tiếp tuyến đờng tròn: II.1- Một đờng thẳng đợc gọi là tiếp tuyến đờng trònnếu nố có điểm chung với đờng tròn đó Điểm chung đợc gäi lµ tiÕp ®iÓm Ax lµ tiÕp tuyÕn A lµ tiÕp ®iÓm II.2- Tiếp tuyến đờng tròn vuông góc với bán kính tiếp điểm Ngợc lại, đờng thẳng vuông góc với bái kính giao điểm bán kinh với đờng tròn là tiếp tuyến đờng tròn đó Ax lµ tiÕp tuyÕn cña OA Ax A O x O B x M A II.3- Hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì khoảng c¸ch tõ giao ®iÓm tíi hai tiÕp ®iÓm b»ng vµ ®o¹n th¼ng nèi giao điểm đến tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến, góc tạo bở hai b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm AM, BM là tiếp tuyến đờng tròn (O) MA MB 1 AMO BMO AMB AOM BOM AOB 2 , vµ II.4- Đờng tròng tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác đó Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đờng phân giác tam giác Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các riếp tuyến AM, An với đờng tròn ( M, N là các tiếp điểm ) a) Chøng minh OA MN b) Vẽ đờng kính NOC Chứng minh MC//AO c) Tính độ dài các cạnh tam giác AMN biết OM=3cm, OA=5cm Gi¶i a) AM, AN là tiếp tuyến đờng tròn (O) nên ta cã: AM=AN vµ AO lµ ph©n gi¸c cña MAN Suy AO MN (1)(Đờng phân giác hạ từ đỉnh tam gi¸c c©n) N A D O M C b) Ta thÊy MO=CO=ON OM= CN CMN lµ tam gi¸c vu«ng t¹i M NM MC (2) NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (6) Một số bài toán đơng tròn Tõ (1), (2) suy MC//AO c)áp dụng định lí Pytago vào tam giác AMO vuông M, ta có: AO2=AM2+MO2 AM2=AO2-MO2 AM2=25-9=16 AM=4(cm) AN=4(cm) xét tam giác AMO vuông M có MD là đờng cao, ta có: 4.3 2, AO.MD=AM.MO MD= (cm) MN=2.MD=4,8(cm) Ví dụ :Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc víi AB (Ax, By cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê AB) Gäi M lµ mét ®iÓm thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với đờng tròn và cắt By N a) TÝnh sè ®o gãc MON b) Chøng minh r»ng MN=AM+BN c) Chứng minh AM.BN=R2 (R là bán kính đờng tròn) Gi¶i: x a)Vì Ax AB Ax là tiếp tuyến đờng y trßn (O) Tơng tự: By là tiếp tuyến đờng tròn (O) Gäi E lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn MN cña (O) N Theo tÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t cã: E OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOE ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EOB M AOE EOB 180 Mµ B A O OM ON 90 Hay MON b) Theo tÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t cã: MA=ME MN=MA+MB NB=NE Mµ ME+EN=MN c)Ta thÊy tam gi¸c MON vu«ng t¹i O (theo cmt) nªn ta cã: OE2=ME.NE AM.NB=OE2=R2 mµ ME=MA NE=NB Ta có thể dựa vào tam giác đồng dạng ( hai tam giác AOM và BON đồng d¹ng víi nhau) VÝ dô 3: Cho ®o¹nth¼ng AB Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c tia Ax vµ BY cho Ax//By a) Nêu cách dựng đờng tròn tâm i tiếp xúc với AB, Ax và By b) Gọi D, E là các tiếp điểm đờng tròn (i) với Ax, By Chứng minh tæng AD+BE kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ Ax, By c) Tìm quỹ tích các tâm i Ax, By thay đổi Gi¶i; NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (7) Một số bài toán đơng tròn a) Giả sử (i) tiếp xúc với ba đờng Ax, Byvà AB đã dựng đợc Các tiếp điểm là D, E, H Do DI=HI nªn i n»m trªn tia ph©ngi¸c gãc xAB T¬ng tù i n»m trªn tia ph©n gi¸c gãc yBA Vëy i lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c nµy b) Theo tÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: AD=AH, BE=BH Bëi vËy AD+BE=AH+HB=AB §¼ng thøc nµy chøng tá tæng kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña Ax vµ By D A I E H B c) Ta cã: 1 B 1 xAB ) 90 A yBA ( xAB yBA 1 2 90 VậY ĐIúm i nằm trên nửa đờng tròn đờng kính AB Do đó AIB (kh«ng kÓ hai ®iÓm A, B) III- Vị trí tơng đối hai đờng tròn: III.1-Giả sử hai đờng tròng (O,R) và (O’,r) có R.r, và d=OO’ là khoảng cách hai tâm Khi đó vị trí tơng đối hai đờng tròn ứng với mét hÖ thøc gi÷a R, r vµ d theo b¶ng sau: Sè chung Vị trí tơng đối Hình vẽ ®iÓm HÖ thøc R, r vµ d D 1) Hai đờng trßn c¾t O' d r R-r < d < R+r O R E 2) Hai đờng trßn tiÕp xóc -TiÕp xóc A O O' d = R-r - TiÕp ngoµi xóc 3)Hai đờng trßn kh«ng giao O O' d = R+r A d > R+r NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (8) Một số bài toán đơng tròn - ë ngoµi O O' A - ë d< R+r B O O' III.2- Hai đờng tròn tiếp xúc và tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm Ví dụ 1:Chứng minh định lí: “Nừu hai đờng tròn cắt thì đờng nối tâm là đờng trung trực dây chung Gi¶i: XÐt OAA ' vµ OBO ' cã : OA=OB (cùng là bán kính đờng tròn (O)) OO’ chung O’A=O’B (cùng là bán kính đờng tròn (O’) OAA ' = OBO ' (c.c.c) ' OB ' O AOO (hai gãc t¬ng øng) Nên OO’ là đờng phân giác góc AOB Mµ AOB c©n t¹i O Suy OO’ là đờng trung trực AB A O H O' B Ví dụ 2: Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt A và B Từ A vẽ đ ờng kính AOC vµ AO’D Chøng minh r»ng: a) Ba ®iÓm B, C, D th¼ng hµng b) AB vu«ng gãc víi CD Gi¶i: a) Gäi Ilµ giao ®iÓm cña AB vµ OO’, suy i lµ trung ®iÓm cña AB Trong ABC có OI là đờng trung bình, nên OI//BC Trong ABD có O’i là đờng trung bình, nên O’I//BD Suy OO’//BC//BD nªn ba ®iÓm B, C, D th¼ng hµng b) Vì AB OO’ (hai đờngảtòn cắt nhauthì đờng nối tâm là đờng trung trực dây chung) AB CD A O I O' C B D Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài với A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng tròn (O’)) a) Chøng minh r»ng ABC lµ tam gi¸c vu«ng b) TÝnh sè ®o gãc OMO’ c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c BCO’O theo R vµ r NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (9) Một số bài toán đơng tròn d) Gäi i lµ trung ®iÓm OO’ Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña (I,IM) Gi¶i: a)Qua A kÎ tiÕp tuyÕn chung trong, c¾t BC t¹i M, ta cã: MA=MB (tÝnh chÊt haitiÕp tuyÕn c¾t nhau) MA=MC (tÝnh chÊt haitiÕp tuyÕn c¾t nhau) B M C H Suy MA=MB=MC= BC I O A O' Tøc lµ, tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM øng víi cạnh BC nửa cạnh đó nên là tam giác vu«ng b)Theo tÝnh chÊt haitiÕp tuyÕn c¾t nhau, ta cã: MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMB ' 900 MO’ lµ tia phan gi¸c cña gãc AMC OMO AMC 180 Mµ AMB c) Tø gi¸c BCO’O lµ h×nh thang v× OB//O’C SBCO’O= (OB+O’C)BC H¹ O’D OB tø gi¸c BCO’H lµ h×nh ch÷ nhËt BC=O’H Trong OO’H cã: O’H2=OO’2-OH2=(R-r)2-(R-r)2=4Rr O’H=2 Rr VËy SBCO’O= Rr ( R r ) d) Ta thấy IM là đờng trung bình hình thang BCO’O, đó IM//OB IM BC Vậy BC là tiếp tuyến đờng tròn (I;IM) Ví dụ 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài Chứng minh tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn đó là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính OO’ Gi¶i: Gi¶ sö AA’ lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña B E hai đờng tròn (O) và (O’) Gọi i là trung A ®iÓm cña OO’ KÎ IE vu«ng gãc víi AA’ thÕ th× EI//OA 1 Vµ EI= (OA+O’A’)= (r+r’)= OO’ ( r O I O' và r’ lần lợt là bán kính đờng tròn (O) vµ (O’)) điều này chứng tỏ IE là bán kính đờng tròn đờng kính OO’ Khi đó AA’ EI nên AA’ là tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính OO’ với tiếp điểm E IV- Góc với đờng tròn: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (10) Một số bài toán đơng tròn IV.1- Gãc néi tiÕp: a) Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh góc cắt đờng tròn BAC lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung BmC b) Trong đờng tròn số đo góc nội tiếp nửa sè ®o cña cung bÞ ch¾n C A O m B BAC 12 s® BmC - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n c¸c cung đờng tròn thì - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông - Trong đờng tròn, góc nội tiếp không quá 900 có số đo b»ng nöa sè ®o gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung IV.2- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y: a) Tia tiếp tuyến Ax và dây AB đờng tròn (O) t¹o nªn mét gãc gäi lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn Ax vµ d©yAB xAB lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y ch¾n cung AmB b) Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ mét d©y cung ®i qua tiÕp ®iÓm cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n B O m A x xAB s® AmB IV.3- Góc có đỉnh bên hay bên ngoài đờng tròn: a) Góc có đỉnh bên đờng tròn có số đo b»ng nöa tæng sè ®o cña hai cung bÞ ch¾n gi÷a hai cạnh góc và các tia đối hai cạnh AKB ( s® AnB s® CmD) b) Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn có số đo b»ng nöa hiÖu cña sè ®o h¹i cung bÞ ch¾n gi÷a hai c¹nh cña gãc Êy DAE ( s® DnE s® BmC) m C D O K A n B D C A m O B n E Ví dụ 1: Trong đờng tròn hai dây không cắt AB và CD là song song vµ chØ hai cung AC vµ BD b»ng Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (11) Một số bài toán đơng tròn Nèi B víi C BD *NÕu AB//CD th× AC V× AB//CD B C (So le trong) Mµ gãc B lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung AC, gãc C lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung BD BD Suy AC BD *NÕu AC th× AB//CD B D O A C BD C B V× AC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) Suy AB//CD Ví dụ 2: Cho A là điểm cố định trên đờng tròn (O) và M là điểm di động trên đờng tròn đó N là giao điểm AM với đờng kính cố định BC Chứng minh giao điểm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố định Gi¶i: Gọi giao đờng tròn (O) với đờng tròn ngoại tiếp tam D A giác OMN là P Tia PO cắt đờng tròn (O) D Khi đó ta có B C O N ONM OPM (cïng ch¾n cung OM) P DAM DPM (cïng ch¾n cung DM) M DAM OMN Hai góc này là hai góc đồng vị nên DA//BC Điều này chứng tỏ D cố định và đó P cố định Ví dụ 3: Trên đờng tròn (O) lấy ba điểm A, B, C Gọi M, N, P theo thứ tự lµ ®iÓm chÝnh giòa cña c¸c cung AB (kh«ng chøa C), BC (kh«ng chøa A) vµ AC (kh«ng chøa B) Gäi i lµ giao ®iÓm cña BP vµ AN, F lµ giao®iÓm cña AB víi MN Chøng minh r»ng: a) BNI lµ tam gi¸c c©n b) AE.BN=EB.AN c) EI//BC AN AB d) BN BD Gi¶i: PBN PCN ( s® s® PC s® CN ) a) ta cã: BIN BN (s® AP s® ) Mµ A P O M I E AP , CN BN PC BPN BIN B D N C Tøc lµ tam gi¸c BIN c©n t¹i N NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (12) Một số bài toán đơng tròn b)Vì M là điểm chính cung AB nen NE là đờng phân giác góc ANB Do đó: AE AN AE.BN EB AN EB BN c) Theo c©u a) ta cã BN=NI NBE NIE (c.g.c) Do đó EI=EB và vì tam giác EIB cân tạiE EIB Suy EBI PC IBC IBC MÆt kh¸c, AP nªn EBI Bëi vËy EIB Mµ hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le nªn EI//BC d) Hai tam gi¸c BND vµ ANB cã chung gãc ANB MÆt kh¸c, CN BAN BN CBN đó hai tam giác này đồng dạng AN AB Suy BN BD Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d ngoài đờng tròn A là hình chiÕu cña O trªn d kÎ c¸t tuyÕn ABC vµ hai tiÕp tuyÕn Bx vµ Cy c¾t d lÇn lît t¹i D, E chøng minh r»ng AE=AD Gi¶i: Ta thấy A, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính OD ( vì goc OAD vu«ng) nªn: BDO CAO (cïng ch¾n cung OB) Bốn điểmO, A, E, C cùng thuộcđờng tròn đờng kính OE nªn: CEO CAO (cïng ch¾n cung OC) D O A B OBD OCEO OD Tam Giác OED cân nênđờng cao OA chia đôi cạnh đáy ED Bëi vËy ta cã AE=AD d C E Ví dụ 5: Từ điểm M ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến MBA và hai tiÕp tuyÕn MC, MD Ph©n gi¸c cña gãc ACB c¾t AB t¹i E Chøng minh: a) MC=ME b)DE lµ ph©n gi¸c cña gãc ADB Gi¶i: a)Gọi F là giaođiểm CE với đờng tròn (O) đó : AF BF Ta cã: C CEB ( s® BC s® AF )= ) 1 ( BF MCE s® BC s® s® FC A E M B D F VËy tam gi¸c MEC c©n nªn MC=ME b)Ta thÊy MD=MC nªn MD=ME suy tam gi¸c MED can t¹i M nªn: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (13) Một số bài toán đơng tròn MED MDE EAF BDM (1) MÆt kh¸c: (cïng ch¾n cung BD) (2) EAF MDE BDM EDB Tõ (1), (2)ta cã MED HAY EDA Suy DE lµ ph©n gi¸c cña gãc ADB V- Quü tÝch cung chøa gãc: a) Qũy tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới góc không đổi là hai cung đối xứng qua AB, gọi là cung chứa góc dùng trªn ®o¹n th¼ng AB b) Dùng t©m O cña cung chøa gãc dùng trªn đợn thẳng AB - Dựng đờng trung trực d đoạn thẳng AB - Dựng tia Ax tạo với AB góc , sau đó dùng Ay Ax O lµ giao ®iÓm cña Ay víi d d y O B A x Ví dụ :Cho cung Ab cố định tạo bán kính OA và OB vuông góc với nhau, Điểm I chuyển động trên cung AB Trên tia OI lấy điểm M cho OM tổng các khoảng cách từ i đến OA và OB Tìm quỹ tích các điểm M Gi¶i: PhÇn thuËn: M A IH OA , IK OB I kÎ ®iÓm M thuéc OI cã tÝnh chÊt: H OM=IH+IK (1) m E BE OI OBE OIK KÎ Ta cã Nªn: OE=OK=IH, BE=IK (2) O B K Tg (1), (2) suy OM=OE+BE, đó EM=EB 450 Tam gi¸c EMB vu«ng nªn EMB Điểm M nhìn OB cố định dới góc 450 nên M di động trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn OB Giíi h¹n: V× M chØ n»m gãc vu«ng AOB nªn M chØ di chuyÓn trªn cung AmB mét phÇn cung chøa gãc 450 dùng trªn OB (phÇn n»m gãc AOB) Phần đảo: LÊy ®iÓm M bÊt k× trªn cung AmB nãi trªn kÎ BE OM, IH OA, IK OB Ta sÏ chøng minh OM=IH+IK 450 nen tam gi¸c EMB vu«ng c©n, suy EM=EB ThËt vËy, EMB OBE OIK nên: OE=OK=IH, BE=IK đó EM=IK VËy OM=OE+EM=IH+IK KÕt luËn: Quü tÝch c¸c ®iÓm M lµ cung AmB, mét phÇn cung chøa gãc 45 dùng trªn OB (phÇn n»m gãc AOB) VI- Tø gi¸c néi tiÕp: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (14) Một số bài toán đơng tròn a) Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn, còn đờng tròn đợc gäi lµ ngo¹i tiÕp tø gi¸c b) Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc đối diện 1800 Ngợc lại, tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn BAD BCD 180 Tø gi¸c ABCD néi tiÕp c) nÕu hai ®iÓm A,B cïng nh×n ®o¹n th¼ng MN díi cïng mét gãc th× tø gi¸c ABNM néi tiÕp C B O D A Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đờng phân giác bóc B, C cắt S các đờng phân giác ngoài góc B, C cắt P a) Chøng minh tø gi¸c BSCP néi tiÕp b) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCP c) Gäi N lµ giao ®iÓm cña BG vµ SP Chøng minh SN.PN=BN.NC Gi¶i: a)V× BS lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC A BP lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CBx S CBx 180 Mµ ABC BS BP SBP 900 90 t¬ng tù SCP SBP SCP 180 B x N C O y suy tø gi¸c BSCP néi tiÕp P b)Do tø gi¸c BSCP néi tiÕp 90 mµ SCP suy góc SCP là góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn Nên đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCP nhận SP làm đờng kính Suy tâm đờng tròn này là trung điểm SP c)XÐt BNS vµ PNC cã BNS PNC (đối đỉnh) SBC SPC (Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung SC) suy hai tam giác BNS, PNC đồng dạng: SN BN SN PN BN CN CN PN Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) S là điểm chính gi÷a cung SB; SC vµ SD c¾t AB t¹i E vµ F a) Chøng minh tø gi¸c CDFE néi tiÕp b) Chøng minh SO lµ ph©n gi¸c gãc ASB c) DE vµ CF kÐo dµi c¾t (O) lÇn lît t¹i M, N chøng minh SO vu«ng gãc víi MN Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (15) Một số bài toán đơng tròn a) ta cã : DFB ( s® DCB s® AS ) ) 1 ( SB s® DCB s® s® DCS DCS s® DAS DFB DSC 180 Suy tø gi¸c DFEC néi tiÕp SB SA SB b)Do SA hay tam gi¸c SAB c©n t¹i S MÆt kh¸c SO AB Nên SO là đờng phân giác góc ASB ( đờng cao hạ từ đỉnh tam giác cân đồng thời là đờng phân giác) c)V× tø gi¸c DCEF néi tiÕp nªn : FDE FCE (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung FE) SN SM đó SO MN VÝ dô 3: Cho hai ®o¹n th¼ng AC vµ BD c¸t t¹i E BiÕt AE.EC=BE.ED chøng ninh r»ng bèn ®iÓm A, B, C, D cïng n»m trªn mét đờng tròn Gi¶i: Theo đề bài ta có AE.EC=BE.ED AE BE ED EC AEB DEC đồng dạng B A E suy hai tam gi¸c AEB va DEC C D A D D vµ A cïng nh×n BC díi gãc b»ng Mà A và D cùng thuộc nửa mặt phẳng bở là đờng th¼ng BC Suy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đờng tròn Ví dụ4: Cho ba đờng tròn cùng qua điểm P Gopị các giao điểm khác P hai ba đờng tròn đó là A, B, C Từ điểm D (khác điểm P) trên đờng tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đờng tròn (PAB), (PAC) lần lợt M, N Chøng minh ba ®iÓm M, A, N th¼ng hµng Gi¶i: V× tø gi¸c APBM néi tiÕp MAP MDP 180 PBD PBM 180 L¹i cã A M N (KÒ bï) MAN PBD (1) P D C Tø gi¸c ANCP néi tiÕp PAN NCP 180 DCP NCP 180 (KÒ bï) D NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (16) Một số bài toán đơng tròn PAN PCD (2) PBD PCD 180 Mµ (3) PAN 180 Tõ (1), (2), (3) MAP Suy ba ®iÓm M, A, N th¼ng hµng Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Gọi điểm chính cña cung AB, BC, CD, DA lÇn lît lµ M, N, P, Q a) Chøng minh r»ng MP vu«ng gãc víi NQ b) Gäi giao ®iÓm cña DC víi PA, PB theo thø tù lµ E, F Chøng minh tø gi¸c ABFE néi tiÕp Gi¶i: a) Gäi i lµ giao ®iÓm cña PM vµ QN ta cã: C P MIN s® PQ (s® MN ) ( s® ABC s® ADC) 90 MP NQ PC DC b) V× F N E D I O B Q A nªn ta cã: M FBA AP ( s® s® AD s® PC) PEC FEA 180 FBA FEA 180 Từ đó PEC Do đó tứ giác ABFE nội tiếp 0 Ch¬ng II: Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n: IChøng minh tø gi¸c néi tiÕp: Phơng pháp: Thông thờng để chứng minh tứ giác nội tiếp thờng có hai c¸ch: - Chứng minh tổng hai góc đối diện có tổng 1800 để làm đợc điều này ta tính hai góc đối diện chứng minh góc nµy b»ng gãc kÒ bï víi gãc - Chøng minh cã hai ®iÓm nh×n hai ®iÓm cß l¹i díi cïng mét gãc và và cùng phía đờng nối hai điểm này 20 Bài tập I.1: Cho tam giác cân ABC với đáy BC có A Trªn nöa mÆt 40 Gäi ph¼ng bê AB kh«ng chøa ®iÓm C lÊy D cho DA=DB vµ DAB E lµ giao ®iÓm cña AB va DC a) Chøng minh tø gi¸c ADBC néi tiÕp b) TÝnh AED Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (17) Một số bài toán đơng tròn 20 a) V× tam gi¸c ABC c©n t¹i A vµ A ACB 80 (1) XÐt tam gi¸c ADB cã DA=DB suy tam gi¸c ADB c©n t¹i D DAB 40 Nªn ta cã DBA ADB 100 (2) ADB 180 Tõ (1), (2) ACB Do đó tắ giác ADBC nội tiếp A D E BAC s® BC b) (gãc néi tiÕp ch¾n cung BC) s® BC =400 ADB s® AD T¬ng tù: (gãc néi tiÕp ch¾n cung DA) DA s® C B =80 AED ( sđ BC sđ DA) =600 (góc có đỉnh bên đờng tròn chắn Mµ cung BC vµ cung AD) Bài tập I.2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB C là điểm nằm hai điểm O và A Đờng thẳng kẻ qua C vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) P và Q Tiếp tuyến đờng tròn(O) điểm D trên cung nhỏ BP cắt đờng thẳng PQ F Chứng minh: a) Tø gi¸c BCFD néi tiÕp b) ED=EF c) Tam giác EDP và tam giác EQD đồng dạng Suy ED2=EP.EQ Gi¶i: 900 a) V× AB PD BCF D B BDA 90 Mµ (góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn) O BCF BDF 180 Q Do vËy tø gi¸c BDFC néi tiÕp ABD ADE b) ta thÊy: (= s® ADP ) ADB DFE F C P A E L¹i cã (Cïng bï víi gãc CFD) DFE FED c©n Suy EDF Nªn ED=EF PQD PDE b) Ta cã (= s® PD ) E chung Suy hai tam giác EDP và EQD đồng dạng NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (18) Một số bài toán đơng tròn ED EP ED2 EP.QE EQ ED Bài tập I.3: Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt tậihi điểm A và B Gọi è là mét tiÕp tuyÕn chung cña chóng vµ AB c¾t EF t¹i I a) Chứng minh hai tam giác IEA và IBE đồng dạng b) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña EF c) Gọi C là điểm đối xứng B qua I Chứng minh tứ giác AECF nội tiÕp Gi¶i: a) XÐt IEA vµ IBE cã: A IEA chung EAB BEI (= s® EB ) O' O B Suy hai tam giác IEA và IBE đồng dạng b) Theo a) ta cã: E I F C IE IB IE IA.IB IA IE (1) tơng tự hai tam giác IFA và IBF đồng dạng suy IF2=IA.IB (2) Tõ (1), (2) suy IE=IF hay i lµ trung ®iÓm cña EF c) V× IE=IF vµ IB=IC nªn tø gi¸c EBFC lµ h×nh b×nh hµnh FEB Suy CFE (so le trong) BEI Mµ EAB CAE Suy CFE Dò, A cùng nhìn EC dới góc nên bốn điểm A, E, C, F cùng thuộc đờng tròn Bài tập I.4: Cho đờng tròn (O) và điểm C ngoài đờng tròn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn đờng thẳng nối C với O cắt đờng tròn hai điểm A và B Gọi i là giao điểm AB với EF Chøng minh r»ng: a) Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc đờng tròn BIN b) AIM Gi¶i: CEM CNE ( s® EM ) a)Ta thÊy: L¹i cã: ECN chung Nên hai tam giác CEM và CNE đồng dạng N E M C CE CN CM.CN CE CM CE (1) Vì CE, CF là tiếp tuyến đờng tròn (O) nªn AB EF Trong tam giác vuông CEO có EI là đờng cao: CE2=CI.CO (2) NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn I A O B M' F (19) Một số bài toán đơng tròn CM.CN CI CO Tõ (1), (2) Mµ MCI chung CM CO CI CN Suy hai tam giác CMI và CON đồng dạng CIM CNO MNO 180 V× vËy MIO Vậy bốn điểm O, I, M, N cùng nằm trên đờng tròn b)Kéo dài NI cắt đờng tròn (O) M’ Do tứ giác IONM nội tiếp nên: 1 IOM INM AM ' ' s® MM s® MM s® AM ' AM AIM AIM ' BIN VËy Bài toán I.5: Cho đờng tròn (O) và hai tiếp tuyến SA, SB Kẻ dây cung BC §êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y AC c¾t BC t¹i I Chøng minh: a) Bốn điểm S, A, i, B cùng thuộc đờng tròn b) Tø gi¸c SAOI néi tiÕp c) SI//AC Gi¶i: a) *Trêng hîp I n»m ®o¹n BC (h a) ACB Ta cã SAB (cïng ch¾n cung AB) B V× SA=SB (theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t I nhau) O Nªn tam gi¸c SAB c©n t¹i S Tam giác AIC có IO vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến nên tam giác AIC cân i S A AIC Suy ASB AIB AIC AIB 180 Do đó ASB VËy bèn ®iÓm S, A, I, B cïng n»m trªn mét ®I B êng trßn *Trêng hîp I n»m ngoµi ®o¹n BC (h b) O T¬ng tùnh trªn ta cã: BSA AIC AIB hay BSA Suy S vµ I cïng thuéc cung chøa gãc dùng A trªn ®o¹n AB, nghÜa lµ bèn ®iÓm S, A, I, B cïng S thuộc đờng tròn b)*Trêng hîp I n»m ®o¹n BC: SIA Do tø gi¸c SAIB néi tiÕp nªn SIB SI lµ ph©n gi¸c gãc BIA MÆt kh¸c, OI lµ ph©n gi¸c gãc AIC OI SA hay A và I cùng thuộc đờng tròn đờng kính SO *Trêng hîp I n»m ngoµi ®o¹n BC ABS Do tø gi¸c SAIB néi tiÕp AIS (cïng ch¾n cung SA) Trong đờng tròn (O) ta có: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn C C (20) Một số bài toán đơng tròn ABS ACB (cïng ch¾n cung AB) IAC V× tam gi¸c AIC c©n nªn ta cã: ACB OIA OIA AIS IAC 90 Do đó Nh A và I thuộc đờng tròn đờng kính SO c)Theo c©u b) ta cã SI OI theo gi¶ thiÕt ta cã AC OI suy AC//SI Bài toán I.6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng tròn (O) P Kẻ đờng kính PQ Các tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc ABC vµ ACB c¾t AQ theo thø tù t¹i E, F Chøng minh: a) PC2=PI.PA b) Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đờng tròn Gi¶i: a)XÐt PCI vµ PAC APC chung (1) PC AP lµ ph©ngi¸c cña gãc BAC BP PAC ICP (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (2) Tõ (1), (2) suy hai tam gi¸c PIC vµ PAC đồng dạng E Q A F PC PA PC2 PA PI PI PC K B C I P c)Do PQ là đờng kính nên góc PAQ vuông Gọi K là giao điểm ba đờng ph©n gi¸c ta cã: FEB AEK 900 AKE Xðt tam gi¸c ABK ta cã: B A AKE ABK BAK 2 Do đó: FEB 900 A B C FCB 2 Bởi E và C cùng nhing FB đới góc, nên bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đờng tròn Bài tập I.7: Qua điểm A bên ngoài đờng tròn, kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn Các tiếp tuyến đờng tròn tạiB và C cắt K Qua K kẻ đờng thẳn vuông góc với OA, cắt OA H và cắt đờng tròn tâm O E và F (E n»m gi· K vµ F) GäiM lµ giao ®iÓm cña OK vµ BC Chøng minh r»ng: a) EMOF néi tiÕp b) AE, AF là tiếp tuyến đờng tròn (O) Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (21) Một số bài toán đơng tròn a) v× OM OK nªn tam gi¸c OCK vu«ng, nªn: KC2=KM.KO KC lµ tiÕp tuyÕn, KÌ lµ c¸t tuyÕn nªn: KC2=KE.KF Suy KM.KO=KE.KF nªn KM KF KE KO Mµ EKM chung F H A O B M E C K Suy hai tam giác KEM và Kò đồng dạng EMK KFO đó tứ giác EMOF nội tiếp (1) KFO Ta cã AOE FOA 90 , AME 90 b) đặt EMK Do đó tứ giác AOME nội tiếp (2) Từ (1), (2) suy năm điểm A, E, M, O, F cùng thuộcmột đờng tròn, đờng kính đờng tròn là OA AFO AEO 90 tức là AF và AE là tiếp tuyến đờng tròn (O) II- Chứng minh đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn: Phơng pháp: Có hai phơng pháp thờng dùng để chứng minh mộtđờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn - Chứng minh đờng thẳng đã cho vuông góc với bán kính đờng tròn đầu mút nó - Để chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm A ta chứng minh góc tạo đờng thẳng d với dây AB nào đó góc nội tiếp chắn cung AB 0 Bài tập II.1: Chotam giác ABC cântịA, các đờng cao AD, BE cắt tạiH Vẽ đờng tròn (O) có đờng kính AH Chứng minh rằng: a)Điểm E nằm trên đờng tròn (O) b)DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) Gi¶i: a)vì góc AEH vuông, nên E nằm trên đờng tròn (O) (*) b) Tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn Suy ED=DB đó tam giác BDE cân D DBH HED (1) MÆt kh¸c tam gi¸c EOH c©n t¹iO, HEO nªn OHE (2) OHE L¹i cã BHD (đối đỉnh) (3) BHD tõ (2), (3) OHE (4) A O H B D E C BHD 90 (5) Mµ HBD HED 90 hay 0E DE (**) Tõ (1), (4), (5) OHE Từ (*), (**) suy DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (22) Một số bài toán đơng tròn Bài toán II.2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và hai tiếp tuyến Ax và By Một đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn C (C khác A, B) cắt Ax, By lÇn lît t¹i E, F Chøng minh r»ng: a) OE vu«ng gãc víi OF b) Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB c) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c EOF tiÕp xóc víi AB Gi¶i: a)AE, BF là haitiếp tuyến đờng tròn (O) y x nªn: OE lµ ph©n gi¸c cña gãc AOC F I C T¬ng tù OF lµ phan gi¸c cña BOC E BOC 180 Mµ AOC d EO FO 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng b)Ta cã ACB A B O trßn) Suy tam gi¸c ACB vu«ng t¹i C OBF 90 ) Ta thÊy tø gi¸c FCOB néi tiÕp ( FOC CFO CBO ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) Do đó hai tam giác vuông EOF và ACB đồng dạng c) Ta thÊy AE AB, BF BA AE BF (1) Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF mµ O lµ trung®iÓm cña AB (2) Tõ (1), (2) ta cã IO//EA//FB Suy OI AB điều này chứng tỏ AB tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEO Bài toán II.3: Từ mộtđiểm A ben ngoài đờng tròn (O, R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Đờng thẳng vuông góc với OC O cắt tia AB t¹i M a) Chøng minh tø gi¸c AMON lµ h×nh thoi b) Điểm A phải cách O khoảng bao nhiêu MN là tiếp tuyÕn cña (O) Gi¶i: a)XÐt tø gi¸c AMON, ta cã: AM//ON (cïng vu«ng gãc víi OB) AN//OM (cïng vu«ng gãc víi OC) Do đó tứ giác AMON là hình bình hành (1) MÆt kh¸c, xÐt h©itm gi¸c vu«ng OBM vµ OCN, ta cã: OB=OC=R BOM CON (cïng phô víi gãc MON) B M A I N C OBM OCN OM=ON (hai c¹nh t¬ng øng) (2) Tõ (1), (2) suy tø gi¸c AMON lµ h×nh thoi b)§Ó MN tiÕp xóc víi (O, R) cÇn ®iÒu kiÖn lµ: d(O,MN)=R OI=R AO=2.R vËy víi AO=2.R th× MN lµ tiÕp tuyÕn cña (O, R) NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (23) Một số bài toán đơng tròn Bài tập II.4: Cho đờng tròn đờng kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB lấy hai điểm C, D thuộc đờng tròn AC và AD cắt tiếp tuyến Bx đờng tròn lần lợttại E, F a) Chøng minh ABD BFA, ACB AEB b) Chøng minhtws gi¸c CDFE néi tiÕp c) Gọi I là trung điểm FB, chứng minh DI là tiếp tuyến đờng tròn d) gi¶ sö CD c¾t Bx t¹i G, ph©n gi¸c cña gãc CGE c¾t AE, AF lÇn lît t¹i M, N Chøng minh tam gi¸c AMN c©n Gi¶i: a) V× BA FB, BD FA ADB BFA AEB T¬ng tù ta cã ABC b) Ta thÊy tø gi¸c CDBA néi tiÕp nªn ECD ABD (cïng bï ví gãc ACD) DFB Theo c©u a) taosuy ECD DFE DFB DFE 180 Do vËy ECD §iÒu nµy chøng tá tø gi¸c CDFE néi tiÕp c)Xét tam giác ABF có OI là đờng trung bình, đó OI//AF x E N C D M F G I A O B Mµ AD DB Suy OI DB Bởi D và B đối xứng qua OI OIB ODI ODI OBI 90 điều này chứng tỏ DI là tiếp tuyến của đờng tròn d) XÐt NEG cã: CNG NEG EGN (tÝnh chÊt gãc ngoµi tam gi¸c) XÐt DMG cã: DMG MDG MGD EGN MÆtkh¸c: MGD ( NG lµ ph©n gi¸c cña gãc CGE) MDG CDA CBA AEB (theo c©u a)) DMN Do đó CNG VËy tam gi¸c AMN c©n t¹i A Bài tập II.5: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) và E là điểm chính gi÷a cung AB Haid©y CE, ED c¾t AB theíth tù t¹i P, Q C¸c d©y AD vµ EC kÐo dµi c¾t t¹i I C¸c d©y BC vµ ED kÐo dµi c¾t t¹i K Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b) Tø gi¸c CDQP néi tiÕp c) IK//AB d) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQD tiÕp xóc víi EA t¹i A Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (24) Một số bài toán đơng tròn a) Ta cã: I CKD ( s® DC s® EB ) K (góc có đỉnh bên ngoài đờng trßn ch¾n cung DC vµ cung EB) E CID ( s® DC s® AE ) A (góc có đỉnh bên ngoài đờng trßn ch¾n cung DC vµ cung EA) EB Mµ AE CKD CID Do đó tứ giác CDQP nội tiếp b) ta cã: Q P O D C ) 1 ( ) 1 EQB ( BE AE DCE s® AD s® s® AD s® s® DE EQB DQP 180 Mµ DQP DCE 180 VËy tø gi¸c CDQP néi tiÕp c) Theo c©u a) ta cã: IKD ICD (Cïng ch¾n cung ID) Theo c©u b) ta cã: ICD KQB (cïng bï víi gãc DQB) IKD KQB Do vËy Suy IK//AB EAB d)Ta cã IDK (hai gãc néi tiÕp ch¾n haicung b»ng nhau) Kẻ tiếp tuyến Ay đờng tròn (AQD), ta có BAy IDK BAy EAB Từ đó Bởi Ay trùng với AE, hay AE là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AQD III- Chứng minh tiếp tuyến chung hai đờng tròn: Bài tập III.1: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C Vẽ hai đờng tròn đờng kính AB và BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC kẻ BD vuông góc 90 Giao DA, DC với hai đờng víi AC t¹i B lÊy ®iÓ D cho ADC trßn lµ E, F Chøng mØnh»ng: a) EF là tiếp tuyến chung hai đờng tròn b) Tø gi¸c AFEC néi tiÕp Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn B (25) Một số bài toán đơng tròn a)Ta cã: D AD DC BF DC AD//BF E F T¬ng tù BE//DC Do đó tứ giác BEDF là hình bình hành A O 90 L¹i cã ADC Nªn tø gi¸c BEDF lµ h×nh ch÷ nhËt FEB DBE (1) Gäi O lµ trung ®iÓm cña AB EBO 90 Mµ BD BO DBE OBE EOB c©n t¹i O nªn OEB DBE 90 (2) Suy OEB FEB 90O hay OE FE Tõ (1), (2) OEB Do đó EF là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB (*) Chøng minh t¬ng tù ta cã O ' F FE Nên EF là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC (**) Từ (*), (**) ta có EF là tiếp tuyến chung hai đơng tròn b) Ta cã: FEB BAE (cïng ch¾n cung BE) B C O' FEA ACF 90 FEB BCF 90 BAE BCF 180 Bëi vËy tø gi¸c AFEC néi tiÕp Bài tập III.2: Hai đờng tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhâutị A và B Đ ờng thẳng AO cắt (O), (O’) lần lợt C,E; đờng thẳng AO’ cắt (O), (O’) lần lợt D, E Chứng minh rằng: a) Tø gi¸c CDEF néi tiÕp b) Tø gi¸c ODEO’ néi tiÕp c) A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Nếu DE là tiếp tuyến chung hai đờng tròn thì AB=R=R’ Gi¶i: a)Ta cã: CDF CDA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn) 90 T¬ng tù FEC D, E cïng nh×n CF díi mét gãc 900 nªn tø gi¸c CDEF néi tiÕp b) Ta cã: Tam giác Cà nhận OO’ làm đờng trung bình ' OE O OO’//CF FCE (đồng vị) FCE EDO ' (haigãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) L¹i cã Suy vËy hai ®iÓm D, O cïng nh×n EO’ díi gãc b»ng nªn tø gi¸c DOO’E néi tiÕp FBA 90 nªn ba ®iÓm C, B, F th¼ng hµng c)V× ABC D E A O C NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn I B O' F (26) Một số bài toán đơng tròn Trong đờng tròn (O’) ta có: AEB BFA (cïng ch¾n cung AB) Mµ tø gi¸c CDEF néi tiÕp nªn DEC DFC BFA (cïng ch¾n cung CD) DEC AEB Do đó nghÜa lµ AE lµ ph©n gi¸c cña gãc DEB T¬ng tù, AD lµ ph©n gi¸c cña gãc BDE Vậy A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DBE d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung hai đờng tròn (O), (O’) Khi đó OD//O’E (cïng vu«ng gãc víi DE) ' OE DEO O (so le trong) ' O AED MÆt kh¸c AO (theo c©u b)) ' OE AO ' O OA O ' A Từ đó O (R=R’) Bëi vËy gi¸c ODEO’ lµ h×nh ch÷ nhËt Khi đó OD O ' O OD AI và OD 2.AI AB VËy AB=R=R’ Bài tập III.3: Cho đờng tròn (O, R) tiếp xúc với đờng tròn (O’, R’) (R’>R) điểm A Đờng thẳng nối tâm OO’ cắt hai đờng tròn lần lợt điểm thø hai B, B’ Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña c¸c ® êng trßn đờng kính OO’ và BB’ qua A Gi¶i: Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña OO’ vµ BB’ Ta cã: OO’=AO’-AO=R’-R BB’=AB”-AB=2R’-2R=2(R’-R)=2.OO’ Do đó: BB ' BK O ' O 2.IO M N A O I O' B K B' Ta l¹i cã: AB=2.AO Nªn AK=AB+BK=2.AO+2.IO=2(AO+IO)=2.IA kẻ AN tiếp xúc với đờng tròn (I) N (1), từ K hạ KM vuông góc với tia AN t¹i M ta cã KM//IN ( cïng vu«ng gãc íi AN ) áp dụng định lí Talet cào tam giác AMK, ta có: KM AK AI 2 IN AI AI VËy KM=2.IN==2.IO=BK, hay KM lµ b¸n kÝnh Suy AM tiếp xúc với đờng tròn (K) (2) Từ (1), (2) suy tiếp tuyến chung đờng tròn (I) và đờng tròn (K) qua A IV-Chứng minh hai đờng thẳng song song vuông gãc: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (27) Một số bài toán đơng tròn Bài tập IV.1: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng phân giác góc B và C lần lợt cắt đờng tròn E và F Dây cung EF lần lợt cắt AC, AB H, I a) Chøng minh tam gi¸c FKB vµ EAK c©n b) Chứng minh tứ giác FIKB nội tiếp Từ đó suy IK//AC c) Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c AIKH Gi¶i: a) XÐt tam gi¸c FKB, cã: C FKB ( s® FB s® EC) ( s® FA s® AE ) FBK s® FE E K H O A B I F Do đó tam giác FKB cân F * Chøng minh t¬ng tù ta cã tam gi¸c EKC c©n t¹i E EC=EK Mµ AE=EC Nªn AE=EK suy tam gi¸c AEK c©n t¹i E EC EBC AE b) *V× BE lµ ph©n gi¸c cña gãc ABC ABE CFE ABE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) KFI IBK hay VËy hai ®iÓm F vµ B cïng nh×n IK díi hai gãc b»ng vµ hai ®iÓm F vµ B cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng chứa đoạn IK, tứ gi¸c BKIF néi tiÕp * V× tø gi¸c BKIF néi tiÕp, nªn: FKI FBI (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) FCA L¹i cã: IBE ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) ACF IK//AC Do đó IKF c) Theo c©u b) IK//AC hay IK//AH (1) T¬ng tù tø gi¸c EHKC néi tiÕp, nªn: EKH ECH (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) ECA MÆt kh¸c: EBA (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung cña (O) EKH KBA HK//AB hay HK//AI (2) Tõ (1), (2) ta cã tø gi¸c AIKH kµ h×nh b×nh hµnh Bài tập IV.2: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với t¹i I Chøng minh r»ng: a) Kho¶ng c¸ch tõ O tíi AB b»ng nöa CD b) §êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vu«ng gãc víi AD Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (28) Một số bài toán đơng tròn a)C¸ch 1: Kẻ đờng kính AE Khi đó ta có: AEB ACB ( cïng ch¾n cung AB) BEA 90 ( tam gi¸c ABE vu«ng) Do BAE ICB IBC 90 ( tam gi¸c BIC cu«ng) A CD BE CD BAE IBC BE N D O K H Xét tam giác ABE có HO là đờng trung bình nªn: 1 HO BE CD 2 E I B M C C¸ch 2: Gọi H, K lần lợtlà chân đờng vuông góc hạ từ O xuống AB, CD Khi đó: AOH DOK ( AOB DOC ) ( 2 s® AB s® CD) AIB 90 AOH ODK Do đó L¹i cã OH=OD Suy hai tam gi¸c vu«ng OAH vµ DOK b»ng OH DK CD b) Gọi M là trung điểm BC và IM cắt AD N, đó ta có IM MC ICM CIM ADB ACB ICB MÆt kh¸c: NDI (cïng ch¾n cung AB) NID BIM (đối đỉnh) Từ đó ta có: NID NDI BIM ICB BIM MIC 90 IND 90 MI AD Bài tập IV.3: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) có hai đờng chéo AC, BD vu«ng gãc víi t¹i I Gäi E, F, G, H lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA Chøng minh r»ng: a) EFGH lµ h×nh ch÷ nhËt b) GIEO lµ h×nh b×nh ha×nh c) H×nh chiÕu cña I trªn c¸c c¹nh vµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh cña tø giác ABCD cùng nằm trên đờng tròn Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (29) Một số bài toán đơng tròn a) Tam giác BCD nhận GF làm đờng trung b×nh, nªn: C GF//= DB (1) F G Lại có HE là đờng trung bình tam giác ADB, nªn: O I B D HE//= DB (2) H E Tõ (1), (2) suy EFGH lµ h×nh b×nh hµnh (*) K A T¬ng tù ta cã HG//AC (3) Mµ AC DB (4) Tõ (1), (3), (4) ta cã HGF =900 (**) Tõ (*), (**) suy EFGH lµ h×nh ch÷ nhËt b)Gäi K lµ giao ®iÓm cña GI vµ AB, ta ph¶i chøng minh GK AB Trong tam gi¸c vu«ng DIC cã: GIC GCI (v× GI=GC) MÆt kh¸c GIC AIK (đối đỉnh) GCI DAB ( cïng ch¾n cung AD) AIK DBA AKI 90 Suy GI//OE (cïng vu«ng gãc víi AB) T¬ng tù ta còng cã;GO//EI (cungf vu«ng gãc víi DC) Do đó tứ giác GIEO là hình bình hành c)Ta thÊy c¸c ®iÓm H, F, K cïng nh×n GE díi gãc 900 nªn chóng cïng n»m trên đờng tròn đờng kím GE Tơng tự nh hình chiếu I trên các cạnh còn lại nằm trên đờng trßn nµy 90 Bµi tËp IV.4: Cho tam gi¸c ABC ( A ), nội tiếp đờng tròn (O, R) Hai đờng cao BI và CT lần lợt cắt đờng tròn I’, T’ a) Chøng minh IT//I’T’ b) Chøng minh OA IT c) Cho B, C cố định, A di chuyển trên cung lớn BC đờng tròn (O) Chứng minh bán kính đờng tròn ngoại tiếp ta giác AIT khôngđổi Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (30) Một số bài toán đơng tròn a) Ta thÊy: A IAB ABI 90 (tæng hai gãc nhæntng méttam gi¸c vu«ng) TCA BCI (tæng hai gãc nhæntng méttam gi¸c vu«ng) TCI Suy TBI Do đó tứ giác BCIT nội tiếp BCT BIT (cïng ch¾n cung BT) Trong đờng tròn(O) I' I T' T B K O C ' T ' BCT BI ' (cïng ch¾n cung BT’) BI 'T' BIT VËy Mà haigóc này vị trí đồng vị nên IT//I’T’ ' ACT ' (cïng phô víi gãc BAC) b) ABI ' AT ' OA I ' T ' AO IT AI c) Gọi K là giao điểm BI và CT Tứ giác AIKT nội tiếp đờng tròn đờng kính AK Dodos bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIT có độ dài AK:2 DÔ thÊy ABK ABT ' AK AT ' BAC s® BC Do không đổi nên số đo góc T’CA không đổi Bởi cung T’A có số đo không đổi và đó dây T’Acó độ dài không đổi, nghĩa là AK có độ dài không đổi V- Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy: Phơng pháp: Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy ta thờng sử dụng các ph¬ng ph¸p sau: - Dựa vào tính chất các đờng đồng quy tam giác: ba đờng cao, ba đờng trung tuyến, ba đờng phân giác, … - Chứng minh giao điểm hai đờng thẳng nằm trên đơng thẳng thø ba - Chứng minh các đờng cùng qua điểm cố định (các phơng pháp trên có thể đợc vận dụng bở kĩ khác Bài tập V.1: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a) Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp vµ CA lµ ph©n gi¸c cña gãc SCB b) Gọi E là giao điểm đờng tròn tâm O với BC Chứng minh ba đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (31) Một số bài toán đơng tròn B 90 (gi¶ thiÕt) a)* BAC E BDC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) VËy hai ®iÓm A, D cïng nh×n BC díi mét gãc M A 900 nªn tø gi¸c ABCD néi tiÕp SCM * Ta cã SDM (cïng ch¾n cung SM) S SDM D L¹i cã BCA (cïng ch¾n cung AB) MCB Do đó SCM nªn CA lµ ph©n gi¸c cña gãc SCB K b) KÐo dµi AB cµ DC chóng c¾t t¹i K Trong tam giác BKC có BD và AC là các đờng cao ( theo câu a)) Mµ BD vµ CA cÊt á M nªn M lµ trùct©m cña tam gi¸c BKC 90 (góc nộitiếp chắn nửa đờng tròn) MÆt kh¸c MEC ME BC ME là đờng cao thứ ba tam giác BKC Vậy ba đờng thẳng AB, DC, ME đồng quy O C Bài tập V.1: Hai đờng tròn (O), (O’) cắt A, B Đ ờng thẳng vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) và (O’) lần l ợt C, D các đờng thẳng CA, DA cắt đờng tròn (O), (O’) theo thứ tựtại E, F Chứng minh rằng: a) Tø gi¸c CEFD néi tiÕp b) AB lµ ph©n gi¸c cña gãc FBE c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy Gi¶i: K 90 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa a) V× CFA F đờng tròn) E A AED 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Suy tø gi¸c CFED néi tiÕp O b) Trong đờng tròn (O) ta có O' FBA FCA (cïng ch¾n cung AF) C B D Trong đờng tròn (O’) ta có EDA ABE (cïng ch¾n cung AE) MÆt kh¸c tø gi¸c CFED néi tiÕp, nªn FCA ADE (cïng ch¾n cung EF) ABE Suy FBA c)Gi¶ sö CF, DE c¾t t¹i K Xét tam giác CDK có CE, DF là hai đờng cao nên A là trực tâm đó AB là đờng cao nên AB phải qua K Bài tập V.2: Từ điểm C nằm ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA Gọi TJ là đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CT, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tạiM, N a) Chứng minh TN, JM và AB đồng quy b) Chứng minh các tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung ®iÓm E cña CD Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (32) Một số bài toán đơng tròn a) Do TJ là đờng kính nên TMJ TNJ 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn) Trong tam giác TJC, đờng thẳng TN, JM và CA là đờng cao nên chúng đồng quy Vậy ba đờng thẳng TN, JM, AB đồng quy b) V× tam gi¸c DMC vu«ng nªn EM ED JME MDE T M C MÆtkh¸c ta l¹i cã O E D B A N J JMO TJM (tam gi¸c OJM c©n t¹i O) TJM DCM (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) JMO MDE DCM 90 Do vËy JME Suy ME là tiếp tuyến đờng tròn (O) Bµi tËp V.4: Trªn c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c nhän ABC, Dùng vÒ phÝa ngoài các tam giác ABC’, ACB’, CBA’ chứng minh a) AA’=BB’=CC’ b) Các đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy c) OB’=OA+OC Gi¶i: a)Ta cã hai tam gi¸c ABA’ vµ C’BC b»ng A' C Suy AA’=CC’ B' T¬ng tù AA’=BB’ O' O Do đó AA’=BB’=CC’ b) Gi¶ sö BB’ vµ CC’ c¾t t¹i O Trªn OB’ lÊy A O’ cho CO’=CO (1) B Theo cau a) ta cã ' O ACC AB ' Ta thÊy hai ®iÓm B vµ C cïng nh×n AO díi gãc b»ng nªn tø gi¸c AB’CO néi tiÕp C' ' OC B ' AC 60 B (2) Từ (1), (2) suy tam giác COO’ Từ tứ giác OAB’C nội tiếp và tam giác OO’C ta có: ' OA CO ' O 60 O Do đó O’C//OA Tơng tự từ tứ giác OCA’B nội tiếp và tam giác OO’C ta có ' CO 60 COA ' O Do đó O’C//OA’ V× O’C//OA vµ O’C//OA’ nªn ba ®iÓm A, O, A’ th¼ng hµng, nghÜa lµ AA’ ®i qua O Vậy ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy c) Ta cã B ' O ' C AOC (c.g.c) BO’=AO Từ đó ta có: OB’=B’O’+O’O=AO+OC NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (33) Một số bài toán đơng tròn VI- Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng: Ph¬ng ph¸p : §Ó chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng ta thêng dïng c¸c ph¬ng ph¸p sau: - Chứng minh hai đoạn thẳng tạo thành từ hai ba điềm đã cho vuông góc cùng sông với đờng thẳng nào đó: - Lîi dông hai gãc kÒ bï: - Chứng minh đờng thẳng vẽ qua hai điểm qua điểm còn lại Bµi to¸n VI.1: Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M §êng tròn đờng kính AM cắt đờng tròn đờng kính BC N và cắt cạnh AD E a) Chøng minh ba ®iÓm E, N, C th¼ng hµng b) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC Chøng minh BCF CDE c) Chøng minh MF AC Gi¶i: a) Ta cã : ENB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn đ- A B êng kÝnh AM) 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng L¹i cã BNC tròn đờng kính BC) M BNC 180 hay ENC 180 E Do đó BNE N VËy ba ®iÓm E, N, C th¼ng hµng C D F b) XÐt BCF CDE cã : BC=CD ( là cạnh hình vuông ABCD) (1) MÆt kh¸c: NCF NFC 90 FBC NFC 90 FBC NCF ECD (2) Tõ (1), (2) suy hai tam gi¸c vu«ng BCF vµ CDE b»ng c)V× BCF CDE nªn CM=CF Do đó MF//BD Mµ AC BD Suy MF AC Bài tập VI.2: Cho hình thang ABCD (AD là đáy lớn, BC là đáy nhỏ) nội tiếp đờng tròn (O).Các cạnh bên AB và CD cắt E Các tiếp tuyến B và D đờng tròn (O) cắt F a) Chøng minh tø gi¸c BEFD néi tiÕp b) Chøng minh EF//BC c) Khi nào thì tứ giác AEFD là hình bình hành Khi đó hãy chứng minh EC.EK=ED.CK (K lµ giao ®iÓm cñaBF vµ DE) d) Vẽ hình bình hành BDFP Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BFP cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai Q Chứng minh D, P, Q thẳng hàng Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (34) Một số bài toán đơng tròn a) Hình tang ABCD nội tiếp đờng tròn nên nó là h×nh thang c©n P CD BFD AB ( s® BAD s® BCD) ta cã ( s® AD s® BC) AED VËy tø gi¸c BEFD néi tiÕp b) Do tø gi¸c BEFD néi tiÕp, nªn: BDE BFE (cïng ch¾n cung BE) (1) Mặt khác BF là tiếp tuyến đờng tròn (O) nên E F K B A C Q O D CBF BDC BDE s® BC (2) Tõ (1), (2) CBF BFE EF // BC c) V× EF//BC L¹i cã BC//AD Nªn EF//AD Do để tứ giác AEFD là hình bình hành FD//AE Nếu tứ giác AEFD là hình bình hành thì OD là đờng trung trực AB V× vËy AD=BD Trong tam gi¸c AED cã: EC EB ED EA (3) KC KB KE KF (4) MÆt kh¸c BC//EF nªn: KB EB EB KF FD EA (5) L¹i cã BE//FD nªn: EC KC EC.EK KC.ED ED KE Tõ (3), (4), (5) FPQ PDB d) Ta cã (so le trong) FBQ PDB (cïng ch¾n cung BCQ) FPQ FBQ Do đó VËy hai ®iÓm P, B cïng nh×n FQ díi hai gãc b»ng nªn tø gi¸c BPFQ néi tiÕp BQP BFP FBD Do FP//BD nªn BFP Mµ FB lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn: FBD BAD s® BD BQP BQD BAD BQD 180 Từ đó ta có: VËy ba ®iÓm P, Q, D th¼ng hµng NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (35) Một số bài toán đơng tròn Bài tập VI.3: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P cho AP>R Từ điểm P kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O) t¹i M a) Chøng minh BM//OP b) §êng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh c) Gäi K lµ giao cña AN vµ OP; T lµ giao cña PM vµ ON; J lµ giao cña PN vµ OM Chøng minh ba ®iÓm T, J, K th¼ng hµng Gi¶i: x A P a) V× PA, PM lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn: PA=PM vµ PO lµ ph©n gi¸c cña gãc APM K VËy tam gi¸c MPA c©n vµ nhËn PO lµ ph©n gi¸c N PO AM 90 BM AM L¹i cã BMA Do đó PO//MB b) Do PO//MB hay PO//NB (1) MÆt kh¸c ta thÊy hai tam gi¸c vu«ng PAO vµ O T M B J NOB b»ng nhau, nªn: AP=ON Mµ AP//ON (cïng vu«ng gãc víi AB) Do đó AB//PN hay OB//PN (2) Tõ (1), (2) ta cã OBNP lµ h×nh b×nh hµnh c) Ta thÊy tø gi¸c APNO lµ h×nh b×nh hµnh 90 mµ OAP nªn tø gi¸c OAPN lµ h×nh ch÷ nhËt, nªn: ON NP (3) L¹i cã PM OJ (4) Mµ ON c¾t PM t¹i T (5) Tõ (3), (4), (5) suy T lµ lµ trùc t©m cña tam gi¸c PJO (*) Ta thÊy tø gi¸c PNMO néi tiÕp Mµ MN//OP Do đó tứ giác PNMO là hình thang cân OPN POM PJO c©n MÆt kh¸c KO=KP (tø gi¸c APNO lµ h×nh ch÷ nhËt Do JK là đờng trung tuyến hạ từ đỉnh tam giác cân PJO nên JK là đờng cao tam giác PJO (**) Tõ (*), (**) ta cã ba ®iÓm K, T, J th¼ng hµng Bài tập VI.4: Cho hai điểm A, B cố định trên đờng tròn (O) Các điểm C, D di động trên đờng tròn cho AD//BC và C, D cùng phía với dây AB; M là giao điểm AC và BD Các tiếp tuyến với đờng tròn A vµ D c¾t t¹i E Chøng minh: a) Ba ®iÓm E, O, M th¼ng hµng b) Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hàng số Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (36) Một số bài toán đơng tròn a)V× ED, EA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn ED=EA Do đó E nằm trên đờng trung trực dây AD (1) DC MÆt kh¸c AD//BC AB BDA CAD MAD c©n Nªn MD=MA C D M O E B A Suy M nằm trên đờng trung trực AD (2) Tõ (1), (2) suy ba ®iÓm E, O, M th¼ng hµng b) Do AD//BC DC DAB CDA h¬n n÷a AB ( ch¾n hai cung b»ng nhau) nªn tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n MDC MAB 1 AMB ( AOB s® AB s® DC) s® AB MÆt kh¸c l¹i cã Do đó tứ giác OABM nội tiếp Vậy đờng tròn (MDC) đờng tròn (OAB) cho nên bán kính không đổi VII- Dạng toán cho trớc hai đờng tròn tiếp xúc: Lu ý: Với bài toán đó cho trớc hai đờng tròn tiếp xúc thì ta nªn lu ý tíi tiÕp tuyÕn chung cña chóng Hçu nh bao giê tiÕp tuyÕn chung đóng vai trò quan trọng lời giải Bài tập VII.1: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn ( C thuộc đờng tròn (O), D thuộc đờng tròn (O’)) a) TÝnh sè ®o gãc CAD b) Tính độ dài CD biết OA=4,5cm, O’A=2cm Gi¶i: a)KÎ tiÕp tuyÕn chung t¹i A, c¾t CD t¹i M C M Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã D MA=MC=MD Tam giác CAD có đờng trung tuyến AM mét nöa c¹nh t¬ng øng, nªn tam gi¸c CAD O' A O vu«ng t¹i A 90 VËy CAD b) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã MO, MO’ lÇn lît lµ tia ph©n ' 900 gi¸c cña hai gãc kÒ bï AMC, AMD nªn OMO Xét tam giác OMO’ vuông M, MA là đờng cao nên : MA2=OA.O’A=4,5.2=9 Do đó MA=3cm Mµ CD=2.MA nªn CD=6cm Bài tập VII.2: Hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Một đ ờng th¼ng d tiÕp xóc víi (O), (O’) lÇn l ît t¹i B, C TiÕp tuyÕn chung t¹i A c¾t d t¹i E a) Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (37) Một số bài toán đơng tròn ' 90 b) Chøng minh OEO c) C¸c tia BA vµ CA c¾t (O’) vµ (O) lÇn l ît t¹i D vµ H Chøng minh diÖn tÝch hai tam gi¸c ADH vµ ACB b»ng Gi¶i: a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta H cã EA=EC=EB D Tam giác CAB có đờng trung tuyến AE mét nöa c¹nh t¬ng øng, nªn tam gi¸c CAB O' O A vu«ng t¹i A b) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta C cã EO, EO’ lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña hai E B ' 90 gãc kÒ bï AEC, AEB nªn OEO c) Ta cã SABC=SADH AB.AC=AD.AH AB AE BE // CD AD AC Ta ph¶i ®i chøng minh BE//CD 90 nên BH là đờng kính Do BAH Tơng tự DC là đờng kính Ta có 2.ABC BOA s® AB ' C AC AO s® 2 ACB ' C 2( ABC BOA AO ACB ) 180 Vậy HB//CD Từ đó suy điều phải chứng minh Bài tập VII.3: Hai đờng tròn (O, R) và (O’, R’), (R>R’) tiếp xúc A CD là day cung đờng tròn lớn tiếp xúc với đờng tròn nhỏ P Chøng minh AP lµ ph©n gi¸c cña gãc CAD Gi¶i: Kẻ tiếp tuyến chung hai đờng tròn A Tiếp C tuyÕn nµy c¾t CD kÐo dµi t¹i B Do BA, BP là hai tiếp tuyến đờng tròn nhỏ nên O' O A BA=BP P BAP Do đó BPA tam giác CPA ta có BPA PCA PAC PAC BPA PCA BAP PCA ®iÒu nµy chøng tá PA lµ ph©n gi¸c gãc CAD D B VIII- Dạng toán chứng minh điểm cố định Bài tập VIII.1: Cho đờng tròn (O), mộy dây AB cố định, C là điểm chuyển động trên cung nhỏ AB Gọi M là trung điểm dây BC, từ M vẽ MN vuông góc với tia AC (N nằm trên AC) Chứng minh đờng thẳng MN luôn qua điểm cố định Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (38) Một số bài toán đơng tròn Vẽ đờng kính AD, ta có DCA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) A DC AN MÆt kh¸c MN AN Do đó MN//DC (1) L¹icã MB=MC (2) Tõ (1), (2) suy MN ®i qua trung ®iÓm G cña BD Mà B, D cố định nên G cố định Vậy C thay đổi thì MN luông qua điểm cố định O C D G B M N Bài tập VIII.2: Cho đờng tròn (O) có hai đờng kính AB và CD vuông góc víi LÊy ®iÓm T b¸t k× trªn ®o¹n CD a) T×m ®iÓm M trªn AD, ®iÓm N trªn AC sa«ch i lµ trung ®iÓm cña NM b) Chøng minh MA+NC=AC c) Chứng minh đờng tròn ngọai tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Gi¶i: a)Giả sử đã dựng đợc haiđiểm M, N thỏa mãn điều N kiện đề bài xÐt tam gi¸c vu«ng AMN ta cã C AT=TM=TN Do đó M, N nằm trên (T, TA) T b) KÎ MK //AC XÐt MKT vµ NCT cã B A O MTK CTN K (đối đỉnh) TM=TN (theo c©u a)) M TMK TNC (so le trong) D MKT NCT (g.c.g) CN=MK Từ đó ta có MA+NC=MA+MK=MA+MD=AD=AC c) Ta cã OT AB TA=TB l¹i cã TA=TM=TN (chøng minh trªn) đó TA=TB=TM suy T là tâm đờng tròn qua các điểm A, N, B, M Mà A, B cố định Cho nên đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm A và B cố định IX- D¹ng to¸n cùc trÞ: Ph¬ng ph¸p: §Ó chøng minh mét®o¹n th¼ng lµ lín nhÊt haynhá nhÊt ta thêng dùa vµo c¸c ®iÒu kiÖn sau: - Đoạn nối liền hai điểm nhỏ bất kì đờng gấp khúcnà nối hai điểm đó - Nếu cho trớc điểm ngoài đờng thẳng thì đờng vuông góc gắn đờng xiên.(cùng kẻ từ điểm đó tới đờng thẳng) - Trong đờng tròn, đờng kính lớn dây cung khác Bài tập IX.1: Cho đờng tròn đờng kính PQ Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng chứa đờng kính PQ kẻ hai tiếp tuyến Px, Qy và NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (39) Một số bài toán đơng tròn điểm M thuộc đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đờng tròn, tiếp tuyến này c¾t Px, Qy lÇn lît t¹i E, F a) chøng minh EF=PE+QF 900 b) FOE c) Xác định vị trí M để tổng PE+QF đạt giá trị nhỏ Gi¶i: a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta P E x cã EP=EM FQ=FM M Mµ EF=ME+MF O Do đó EF=PE+QF b) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã Q y F OE vµ OF lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï POM vµ QOM 90 Suy EO FO hay FOE c) Theo c©u a) ta cã EF=PE+QF Do đó để (PE+QF)min EFmin Mà EF PQ và PQ không đổi Nªn EFmin EF=PQ EF//PQ MO PQ Vậy M là giao điểm đờng trung trực PQ với đờng tròn Bµi tËp IX.2: Cho cung chøa gãc AB T×m ®iÓm M trªn cung chøa gãc saôch MA+MB đạt giá trị nhỏ Gi¶i: LÊy M’ chÝnh gi÷a cung chw¸ gãc Ta cã K M’A=M’B Trên tia đối tia M’A lấy điểm K cho M’K=M’B suy tam gi¸c KBA vu«ng t¹i B M' Trên ta đối tia MA lấy điểm H cho HM=HB Tam gi¸c M’KB c©n nªn ta cã 1 AKB AM 'B M H T¬ng tù tam gi¸cMBH c©n ta cã 1 AHB AMB A B AHB Bëi vËy AKB Do đó tứ giác ABHK nội tiếp Khiđó ABK AHK 90 Do đó AH HK Ta có MA+MB=MA+MH=AH HK VËy (MA+MB)max=HK M M’ Bài tập IX.3: Cho đờng tròn(O), đờng kính AB=2R và M là điểm thuộc đờng tròn (M khác A và B) Tiếp tuyến (O) M cắt các tiếp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn lît ë C vµ D Tim gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng diÖn tÝch hai tam gi¸c ACM vµ BDM NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (40) Một số bài toán đơng tròn Gi¶i: Ta cã tø gi¸c ABDC lµ h×nh thang vu«ng C ( AC BD).AB CD.AB AB 2.R 2 2 SABDC= (1) M D (v× CD=MC+MD=AC+BD) KÎ MH AB th× B H O A 1 MH.AB MO.AB R 2 SAMB= (2) Tõ (1), (2) suy SAMC+SBDA=SABDC-SAMB 2R2-R2=R Từ đó giá trin nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là R M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB Bµi tËp IX.4: Bªn mét tam gi¸c cã ba gãc nhän h·y t×m mét®iÕmao chotongr khoảng cách từ điểm đó tới các đỉnh tứ giác là nhỏ Gi¶i: Gi¶ sö O lµ mét ®iÓm bÊt k× n»m tam gi¸c B' C' ABC Ta dựng tam gác AOO’ Dùng ®iÓm C’ cho: O' C AO ' C ' AOC , đó OA+OB+OC=BO+OO’+O’C’ Mặt khác hai điểm B và C’ cố định, đó đờng O gấp khúc BOO’C’ là ngắn nó là đờng B A th¼ng, nghÜa lµ ' C ' 120 ' OA AO ' O 60 AOB AO (do O ) Khi đó ' C ' 120 AOC AO VËy O lµ giao®iÓm cña ba cung chøa gãc 1200 ch¾n trªn c¹nh AB, BC, CA X- D¹ng to¸n quü tÝch: Ph¬ng ph¸p: Lêi gi¶i bµi to¸n quü tÝch gåm hai phÇn PhÇn thuËn: Chøng minh r»ng nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt T thuéc h×nh H Phần đảo: Chứng minh điểm thuộc hình H có tÝnh chÊt T ( Đôi phần thuận ta tìm đợchình H’ chứa hình H Khi đó ta cần dựa vào giả thiết để giớ hạn hình H’ thành hình H tiến hành phần đảo ) Lu ý: Phần đảo bài toán quỹ tích thực chất là bài toán dựng hình Để chứng minh quỹ tích điểm M là đờng tròn ta thờng dung hai cách: + Chứng minh điểm M cách diểm cố định mộtkhoảng không đổi + Chứng minh M nhìn đợn cố định dới góc vuông Bài tập X.1: Cho hai điểm A, B cố định Từ A vẽ các tiếp tuyến với đờng trßn (B) cã b¸n kÝnh kh«ng lín h¬n AB T×m quü tÝch c¸c tiÕp ®iÓm M Gi¶i: NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (41) Một số bài toán đơng tròn * PhÇn thuËn: Vì AM là tiếp tuyến đờng tròn (B) 90 AM BM hay AMB Do AB cố định, điểm M chuyển động luôn nhìn AB dới góc 900, đó điểm M nằm trên đờng tròn đờng kính AB M B A M' * Phần đảo: Lấy M’ bất kì thuộc đờng tròn đờng kính AB Vẽ đờng tròn (B, BM’) ta ' B 90 cã AM ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) AM ' BM ' M ' Hơn đờng tròn (B, BM’) và AM’ có điểm chung là M’ Vì vậyAM’ là tiếp tuyến đờng tròn (B, BM’) * KÕt kuËn: Quỹ tích các điểm M ( tiếp điểm tiếp tuyến vớ đờng tròn (B)) là đờng tròn đờng kính AB Bài tập X.2: Cho đờng tròn (O; R), đờng kính AB C là điểm chuyển động trên đờng tròn (O; R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=CB T×m tËp hîp c¸c ®iÓm D Gi¶i: * PhÇn thuËn: D' ACB 90 Ta cã (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®D C' êng trßn) C AC BD Mµ CD=CB Suy tam gi¸c ABD c©n t¹i A Do đó AD=AB=2.R (không đổi) và A cố định Do đó D thuộc đờng tròn (A; 2R) * Giíi h¹n: A O B Điểm C chuyển động trê đờng tròn (O; R) nên D thuộc đờng tròng (A; 2R) * Phần đảo: Lấy điểm D’ bất kì thuộc đờng tròn (A; 2R), ta có AD’=2R và BD’ cắt đờng tròn (O) C’ Ta cã: AD’=AB=2R Nªn tam gi¸c ABD’ c©n t¹i A ' B 90 MÆt kh¸c AC (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) AC ' BD ' Do đó tam giác ABD’ nhận AC’ làm đờng trung tuyến VËy C lµ trung ®iÓm cña BC * KÕt luËn: Tập hợp các điểm D là đờng tròn (A; 2R) Bài tập X.3: Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính BC Điểm A nửa đờng tròn đó và dựnghình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C Gọi F là giao điểm AE và nửa đờng tròn(O) K là giao ®iÓm cña CF vµ ED a) Chứng minh bốn điểm E, B, F, K nằm trên đờng tròn NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (42) Một số bài toán đơng tròn b) BKC lµ tam gi¸c g×? V× sao? c) Tìm quỹ tích điểm E A di động trên nửa đờng tròn Gi¶i: 90 a) Ta cã KEB D K BFC 90 L¹i cã (g0cs néi tiÕp ch¾n nöa ®E' êng trßn) E Do đó bốn điểm E, F, B, Kcùng thuộcmột đờng tròn O' BCF FAB b) (cïng ch¾n cung BF) m FAB BAE 45 (tÝnh chÊt) mµ BCF 450 450 T¬ng tù BKF B D' F A A' O C VËy tam gi¸c BCK vu«ng c©n c)* PhÇn thuËn: CF Tam gi¸c FBC vu«ng c©n BF CF BF Suy F là điểm chính cung BC nên F cố định FC cố định BK BC (chứng minh trên) K nằm trên đêòng thẳng a qua B, vuông góc với BC b nên a cố định K là giao điểm đờng thẳng a với CF 90 K cố định, Bcố định, BEK E thuộc đờng tròn đờng kính BK Vì A thuộc nửa đờng tròn (O) nên E thuộc BmK đờng kính BK thuộc nửa mÆt ph¼ng bê BK kh«ng chøa ®iÓm C * Phần đảo: Lấy E’ bất kì thuộc cung BmK, đờng thẳng E’F cắt nửa đờng tròn (O) A’ (khác F), đờng thẳng E’K cắt CA’ D Ta phải chứng minh tứ giác BE’D’A’ lµ h×nh vu«ng ThËt vËy: ' B BCF FA (gãc néi tiÕp ch¾n cung BF cña (O)) ' B 450 450 FA Mµ BCF ' B 450 T¬ng tù FE Suy tam gi¸c BE’A’ vu«ng c©n t¹i B ' BA ' 90 BE E ; ' D ' 90 ' C 90 BA ' D ' 90 Ta cã BA tø gi¸c BE’D’A’ lµ h×nh ch÷ nhËt Mµ BE’=BA’ Do đó tứ giác BE’D’A’ là hình vuông * KÕt luËn: Quỹ tích các điểm E là nửa đờng tròn đơng kính BK (cung BmK) Ch¬ng III: Bµi tËp rÌn kÜ n¨ng: Bài tập 1: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD c¾t t¹i E H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F §êng NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (43) Một số bài toán đơng tròn thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai là M Giao điểm BD và CF là N Chøng minh r»ng a) CEFD néi tiÕp b) Tia FA lµ ph©n gi¸c cña gãc BFM c) BE.DN=EN.BD Bài tập 2: Cho điểm A bên ngoài đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn ( B, C là các tiếp điême ) M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (kh¸c B vµ C) Gäi D, E, F lêng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm MB và DF; K là giaođiểm cuae MC vad EF a) Chøng minh MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp b) MF vu«ng gãc víi HK c) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bài tập 3: Cho đờng tròn (O) có đờng kính BC, dây AD vuông góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ tự là tâm cấc đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF a) Hãy xác định vị trí tơng đối các đờng tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) vµ (K) b) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao? c) Chøng minh AE.AB=AF.AC d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai đờng tròn (I) và (K) e) Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn Bài tập 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đờng tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn , kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự C, D Gọi N lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC, H lµ giao ®iÓm cña MN vµ AB Chøng minh r»ng: a) MN vu«ng gãc víi AB b) MN=NH Bài tập 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) và đoqừng kính BON Gọi H là trực tâm tam giác ABC, đờng thẳng BH cắtd đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i M a) Chøng minh tø gi¸c AMNC lµ h×nh thang c©n b) Gäi T lµ trung ®iÓm cña AC Chøng minh ba ®iÓm H, T, N th¼ng hµng c) Chøng minh BH=2.OT vµ tam gi¸c CHM c©n Bài tập 6: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt M và N, tiếp tuyến chung với haiđờng tròn (O), (O’) phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự là A và B Qua M kẻ cát tuyến sông với AB cắt đờng tròn (O), (O’) thứ tự C, D Đờng thẳng CA và đờng thẳng DB cắt G a) Chøng minh GM vu«ng gãc víi CD b) Chøng minh tø gi¸c GANB néi tiÕp c) Chứng minh đờng thẳng MN qua trung điểm AB Bài tập 7: Cho đờng tròn (O; R) Hai đờng thẳng AB và CD vuông góc với t¹i E E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC vµ AE c¾t CO ë F, DE c¾t AB ë M a) CEF vµ EMB lµ tam gi¸c g×? NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (44) Một số bài toán đơng tròn b) Chứng minh các đờng thẳng OE, BF, CM đồng quy Bài tạp 8: Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa đỉnh C Gọi F là giao điểm AE và nửa đờng tròn (O) K là giao điểm CF vµ ED a) Chứng minh bốn điểm E, B, F, K cùng nằm trên đờng tròn b) BKC lµ tam gi¸c g×? v× sao? c) Tìm quỹ tích điểm E A di động trên nửa đờng tròn (O) Bài tập 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), Gọi D là điểm chính cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C và D với đờng tròn (O) cắt tain E Gọi P, Q lần lợt là giao điểm các cặp đờng thẳng AB và CD; AD vad CE a) Chøng minh BC//DE b) Chøng minh c¸c tø gi¸c CODE, APQC néi tiÕp c) Tø gi¸c BCQP lµ h×nh g×? Bài tập 10: Cho đờng tròn (O) và dây AB, M là điểm chuyển động trên đờng trßn, tõ M kr MH vu«ng gãc víi AB t¹i H, gäi E, F lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc H trên MA, MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt dây AB D a) Chứng minh đờng thẳng MD luôn qua điểm cố định M thay đổi trên đờng tròn MA b) Chøng minh MB AH AD BD BH Bài tập 11: Cho đờng tròn (O; R) và dây cung cố định AB Từ điểm M di động trên đờng tròn ta dựng hình bình hành AMNB a) Tìm quỹ tích giao điểm T hai đờng chéo hình bình hành AMNB b) Tìm vị trí M để đờng chéo AN dài hay ngắn Bài tập 12: Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó) Một đờng tròn (O) thay đổi nhng luôn qua B và C Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến đờng tròn (O) Đờng thẳng MN cắt AO và AC lần lợt H và K a) Chứng minh M, N di động trên đờng tròn cố định b) Gọi T là trung rriểm BC NT cắt đờng tròn (O) P Chứng minh MP//BC c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn qua hai điểm cố định Bài tập 13: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài điểm T Hai đờng tròn này nằm đờng tròn (O”) và tiếp xúc với (O”) tơng ứng M, N Tiếp tuyến chung T (O) và (O’) cắt (O”) P PM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai A và MN cắt (O) điểm thứ hai B PN cắt đờng tròn (O’) t¹i ®iÓm thø hai D vµ MN c¾t (O’) t¹i ®iÓm thø hai C a) Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp b) Chứng minh các đờng thẳng AB, CD và PT đồng quy Bài tập 14: Cho đờng tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD, tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA lần lợt M, N, P, Q Chứng minh MP, NQ, AC, BD đồng quy NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (45) Một số bài toán đơng tròn Bài tập 15: Cho tam giác ABC, AB cố định, đờng cao AH Cho biết AH=BC T×m quü tÝch ®iÓm C Bài tập 16:Cho đờng thẳng d và hai tiếp điểm A, B nằm hai phía d Dựng đờng tròn (O) qua A, B cho nó cắt d thành dây có độ dài nhá nhÊt Bài tập 17:Cho đờng tròn (O) có hai điểm BC cố định thuộc đờng tròn, các tiếp tuyến với đờng tròn B, C cắt A Gọi M là mộtđiểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đờng tròn M cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gäi giao ®iÓm cña OD, OE víi BC theo thø tù lµ I, K Chøng minh r»ng: a) OBDK, DIKE lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy Bài tập 18: Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đờng tròn (O) đờng kÝnh AD Gäi E lµ h×nh chiÕu cña B trªn AD, H lµ h×nh chiÕu cña A trªn BC, M lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh tam gi¸c MEH c©n Bài tập 19: Cho tam giác ABC nội tiếpđờng tròn (O), Điểm M thuộc cung BC không chứa A Gọi MH, MI, MK theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ M BC AB AC đến BC, AB, AC Chứng minh MH MI MK BàI TậP 20:Cho tam giác nhọn ABC, các đờng cac AD, BE, CF Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đờng tròn nội tiÕp tam gi¸c DEF a) Chøng minh OA vu«ng gãc víi Ì b) TØ sè diÖn tÝch tam gi¸c DÌ vµ ABC theo R vµ r KÕt qu¶ ¸p dông s¸ng kiÕn Sau áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy (Phụ đạo và ôn thi vào PTTH) tôi thu đợc kÕt qu¶ nh sau: A B SÜ sè 33 33 Díi 13 5-6 14 7-8 16 9-10 Ghi chó Không dạy theo chyên đề Dạy theo chuyên đề Bµi häc kinh nghiÖm Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi thấy muốn đạt kết cao thực chuyên đề thì: a) §èi víi gi¸o viªn: - Gi¸o viªn ph¶i lµ ngêi yªu nghÒ, say sa nghiªn cøu vµ lu«n cã ý thøc học hỏi để cao trình độ và nghiệp vụ s phạm - Trớc dạng toán giáo viên phải phân tích để tìm các cách giải khác Từ đó cho học sinh so sánh để tìm u điểm, nhợc điểm tõng c¸ch gi¶i - C¸c bµi tËp ®a lu«n cã xu híng rÌn luyÖn t s¸ng t¹o cho häc sinh - Gi¸o viªn lu«n t¹o c¸c t×nh huèng nh»m gîi trÝ tß mß, ham muèn kh¸m ph¸ cña häc sinh NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (46) Một số bài toán đơng tròn b) Dèi víi häc sinh: - Luôn có ý thức học tập và say mê nghiên cứu để tìm lời giải hay - Đợc trang bị chu đáo đồ dùng dạy học Phạm vi áp dụng đề tài Trong quá trình áp dụng đề tài vào giảng dạy, tôi đã thu đợc kết đáng khả quan, đặc biệt áp dụng vào phụ đạo và làm tài liệu ôn thi vào PTTH Nên đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cấp trờng, huyện C KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ KÕt luËn Trong thời gian dạy trờng THCS, đã nhiều năm tôi dạy bồi dỡng, phụ đạo và ôn thi vào THPT Bớc đầu đã có thành công định, qua đó tôi đã đúc rút đợc số kinh nghiệm giảng dạy vì tôi đã mạnh dạn viết sáng kiến này Qua chuyên đề, tôi thấy học sinh nắm đợc bài và hứng thú học tập Tôi nghĩ tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài này ngày càng phong phó h¬n KiÕn nghÞ - Mở các lớp bồi dỡng thờng xuyên để giáo viên có điều kiện nâng cao kiến thức cho thân, có điều kiện để học hỏi bạn bè đồng nghiệp - Tăng cờng tổ chức các chuyên đề cấp huyện các giáo viên có lùc vµ cã kinh nghiÖm gi¶ng d¹y - Đầu t cho việc mua và sử dụng trang thiết bị dạy học, đặc biÖt lµ m¸y chiÕu ®a n¨ng - Tập hợp các giáo án có chất lợng đóng thành để chocác giáo viªn c¸c trêng cã thÓ tham kh¶o vµ häc hái lÉn - KhuyÕn khÝc gi¸o viªn sö dông gi¸o trªn m¸y, nÕu cã chÊt lîng cã thÓ sö dông l©u dµi hoÆc sö dông cã phÇn bæ sung sau mçi lÇn g¶ng d¹y - Mua nhiều sách tham khảo dạng chuyên đề, đặc biệt là các loại sách theo dạng phát triển từ bài toán để giáo viên có thể mợn đọc tham kh¶o NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn (47) Một số bài toán đơng tròn Phô lôc Đặt vấn đề Mục đích NhiÖm vô Néi dung Giải vấn đề Ch¬ng I: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n Ch¬ng II: Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n Ch¬ng III: Bµi tËp rÌn kÝ n¨ng KÕt qu¶ ¸p dông kinh nghiÖm Bµi häc kinh nghiÖm Ph¹m vi ¸p dông KÕt luËn – KiÕn nghÞ NguyÔn HiÕu Th¶o Trêng THCS ThÞ TrÊn Trang 5 5 77 77 77 77 77 77 (48)